《21.2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系》課件（兩套）

21.2解一元二次方程第二十一章一元二次方程21.2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系學習目標1.探索一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.（難點）2.不解方程利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系解決問題.（重點）導(dǎo)入新課復(fù)習引入1.一元二次方程的求根公式是什么？想一想：方程的兩根x1和x2與系數(shù)a,b,c還有其它關(guān)系嗎？2.如何用判別式b2-4ac來判斷一元二次方程根的情況？對一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0)b2-4ac>0時,方程有兩個不相等的實數(shù)根.b2-4ac=0時,方程有兩個相等的實數(shù)根.b2-4ac<0時,方程無實數(shù)根.講授新課探索一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系一

算一算

解下列方程并完成填空：（1）x2+3x-4=0;(2)x2-5x+6=0;(3)2x2+3x+1=0.一元二次方程兩根關(guān)系x1x2x2+3x-4=0x2-5x+6=02x2+3x+1=0-4123-1x1+x2=-3x1·

x2=-4x1+x2=5x1·

x2=6猜一猜

（1）若一元二次方程的兩根為x1,x2,則有x-x1=0,且x-x2=0,那么方程（x-x1)(x-x2)=0(x1,x2為已知數(shù)）的兩根是什么？將方程化為x2+px+q=0的形式，你能看出x1,x2與p,q之間的關(guān)系嗎？重要發(fā)現(xiàn)如果方程x2+px+q=0的兩根是x1,x2,那么x1+x2=-p,x1·x2=q.(x-x1)(x-x2)=0.x2-(x1+x2)x+x1·x2=0，x2+px+q=0，x1+x2=-p,x1·x2=q.猜一猜

（2）通過上表猜想，如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根分別是x1、x2，那么，你可以發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？證一證：一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（韋達定理）如果

ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根為x1、x2，那么注意滿足上述關(guān)系的前提條件b2-4ac≥0.歸納總結(jié)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用二例1：利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列方程的兩根之和、兩根之積.（1）x2+7x+6=0;解：這里a=1,b=7,c=6.Δ=b2-4ac=72–4×1×6=25>0.∴方程有兩個實數(shù)根.設(shè)方程的兩個實數(shù)根是x1,x2,那么x1+x2=-7,

x1x2=6.（2）2x2-3x-2=0.解：這里a=2,b=-3,c=-2.Δ=b2

-4ac=（-3）2–4×2×(-2)=25>0,∴方程有兩個實數(shù)根.

設(shè)方程的兩個實數(shù)根是x1,x2,那么x1+x2=,x1x2=-1.例2

已知方程5x2+kx-6=0的一個根是2，求它的另一個根及k的值.解：設(shè)方程的兩個根分別是x1、x2，其中x1=2

.所以：x1·x2=2x2=即：x2=由于x1+x2=2+=得：k=－7.答：方程的另一個根是，k=－7.變式：已知方程3x2-18x+m=0的一個根是1，求它的另一個根及m的值.解：設(shè)方程的兩個根分別是x1、x2，其中x1=1.所以：x1+x2=1+x2=6，即：x2=5

.

由于x1·x2=1×5=得：m=15.答：方程的另一個根是5，m=15.例3

不解方程，求方程2x2+3x-1=0的兩根的平方和、倒數(shù)和.解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知：

設(shè)x1,x2為方程x2-4x+1=0的兩個根，則:（1）x1+x2=

,(2)x1·x2=

,(3)

,

(4)

.411412練一練例4：設(shè)x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的兩個實數(shù)根，且x12+x22=4，求k的值.解：由方程有兩個實數(shù)根，得Δ=4（k-1）2-4k2≥0

即-8k+4≥0.

由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=2(k-1),x1x2=k2.∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2

=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4.由x12+x22=4，得2k2-8k+4=4,

解得

k1=0,

k2=4.經(jīng)檢驗，k2=4不合題意，舍去.總結(jié)常見的求值:

求與方程的根有關(guān)的代數(shù)式的值時,一般先將所求的代數(shù)式化成含兩根之和,兩根之積的形式,再整體代入.歸納當堂練習1.如果-1是方程2x2－x+m=0的一個根，則另一個根是___，m

=____.2.已知一元二次方程x2+px+q=0的兩根分別為-2和

1，則：p=

,q=

.1-2-33.已知方程3x2-19x+m=0的一個根是1，求它的另一個根及m的值.解：將x=1代入方程中：

3

-19

+m=0.

解得m=16,設(shè)另一個根為x1,則：

1×

x1=∴x1=4.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的兩個根，且（x1+1)(x2+1)=4；

（1）求k的值；（2）求(x1-x2)2的值.解：(1)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系所以(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=解得：k=-7；

（2）因為k=-7,所以則：5.設(shè)x1,x2是方程3x2+4x–3=0的兩個根.利用根系數(shù)之間的關(guān)系,求下列各式的值.(1)(x1+1)(x2+1);(2)解:根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：（1）(x1+1)(x2+1)=x1x2+x1+x2+1=（2）6.當k為何值時，方程2x2-kx+1=0的兩根差為1.解：設(shè)方程兩根分別為x1,x2(x1>x2)，則x1-x2=1∵

(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1拓展提升由根與系數(shù)的關(guān)系，得7.已知關(guān)于x的一元二次方程mx2-2mx+

m

-2=0

（1）若方程有實數(shù)根,求實數(shù)m的取值范圍.（2）若方程兩根x1,x2滿足∣x1-x2∣=

1

求m的值.解：(1)方程有實數(shù)根∴m的取值范圍為m＞0(2)∵方程有實數(shù)根x1,x2∵

(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1解得m=8.經(jīng)檢驗m=8是原方程的解．課堂小結(jié)根與系數(shù)的關(guān)系（韋達定理）內(nèi)容如果一元二次方程

ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根分別是x1、x2，那么應(yīng)用九年級數(shù)學上冊（RJ）21.2解一元二次方程21.2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系1.一元二次方程的一般形式是什么？3.一元二次方程的根的情況怎樣確定？2.一元二次方程的求根公式是什么？4、求一個一元二次方程，使它的兩個

根分別為

①2和3;②-4和7;③3和-8;④-5和-2x2-5x+6=0x2-3x-28=0③(x-3)(x+8)=0

x2+5x-24=0④(x+5)(x+2)=0②(x+4)(x-7)=0①(x-2)(x-3)=0x2+7x+10=0問題1：從求這些方程的過程中你發(fā)現(xiàn)根與各項系數(shù)之間有什么關(guān)系？新課講解如果方程x2+px+q=0有兩個根是x1,x2那么有x1+

x2=-p,x1?x2=q猜想：2x2-5x+3=0,這個方程的兩根之和，兩根之積是與各項系數(shù)之間有什么關(guān)系？問題2；對于一元二次方程的一般式是否也具備這個特征？x2=1解得：x1=所以得到,x1+x2=x1?x2=填寫下表：方程兩個根兩根之和兩根之積a與b之間關(guān)系a與c之間關(guān)系猜想：如果一元二次方程的兩個根分別是、，那么，你可以發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？已知：如果一元二次方程的兩個根分別是、。求證：推導(dǎo):如果一元二次方程的兩個根分別是、，那么：這就是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，也叫韋達定理。一元二次方程的

根與系數(shù)的關(guān)系

16世紀法國最杰出的數(shù)學家韋達發(fā)現(xiàn)代數(shù)方程的根與系數(shù)之間有這種關(guān)系，因此,人們把這個關(guān)系稱為韋達定理。數(shù)學原本只是韋達的業(yè)余愛好，但就是這個業(yè)余愛好，使他取得了偉大的成就。韋達是第一個有意識地和系統(tǒng)地使用字母表示數(shù)的人，并且對數(shù)學符號進行了很多改進。是他確定了符號代數(shù)的原理與方法，使當時的代數(shù)學系統(tǒng)化并且把代數(shù)學作為解析的方法使用。因此，他獲得了“代數(shù)學之父”之稱。

1.3.2.4.5.口答下列方程的兩根之和與兩根之積。練習：下列方程中，兩根的和與兩根的積各是多少？例1：已知是方程的兩個實數(shù)根，求的值。解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系:例2、利用根與系數(shù)的關(guān)系，求一元二次方程

兩個根的；（1）平方和；（2）倒數(shù)和解：設(shè)方程的兩個根是x1x2，那么返回例1.

不解方程，求方程的兩根的平方和、倒數(shù)和。（解法如上）運用根與系數(shù)的關(guān)系解題類型用根與系數(shù)的關(guān)系，不解方程，幾種常見的求值

求與方程的根有關(guān)的代數(shù)式的值時,一般先將所求的代數(shù)式化成含兩根之和,兩根之積的形式,再整體代入.例如：已知方程x2＝2x＋1的兩根為x1,x2，不解方程，求下列各式的值。（1）（x1－x2）2（2）x13x2＋x1x23

（3）1、如果-1是方程2X2－X+m=0的一個根，則另一個根是___，m=____。2、設(shè)X1、X2是方程X2－4X+1=0的兩個根，則

X1+X2=

___,X1X2=____，X12+X22=(X1+X2)2-___=

___(X1-X2)2

=(___)2-4X1X2=___

3、判斷正誤：以2和-3為根的方程是X2－X-6=0（）4、已知兩個數(shù)的和是1，積是-2，則這兩個數(shù)是

_____。X1+X22X1X2-3411412×2和-1基礎(chǔ)練習（還有其他解法嗎？）例2：已知方程的一個根是2，求它的另一個根及k的值.

解：設(shè)方程的兩個根分別是、，其中。所以：即：由于得：k=-7

答：方程的另一個根是，k=-7練習：（1）若關(guān)于x的方程2x2＋5x＋n＝0的一個根是－2，求它的另一個根及n的值。（2）若關(guān)于x的方程x2＋kx－6＝0的一個根是－2，求它的另一個根及k的值。（3）、已知一元二次方程的的一個根為1，則方程的另一根為___，m=___：（4）、已知方程的一個根是1，求它的另一個根和m的值。例3：已知方程的兩個實數(shù)根是且

求k的值。解：由根與系數(shù)的關(guān)系得

X1+X2=-k，X1×X2=k+2

又X12+X2

2=4

即(X1+X2)2-2X1X2=4K2-2(k+2）=4K2-2k-8=0

∵△=K2-4k-8當k=4時，△＜0當k=-2時，△＞0∴

k=-2解得：k=4或k=－2練習：（1）已知方程

的兩根為、，且，求k的值。練習（2）：已知關(guān)于x的方程x2+(2k+1)+k2-2=0的兩根的平方和比兩根之積的3倍少10，求k的值.例4：方程

有一個正根，一個負根，求m的取值范圍。解:由已知,△={即{m>0m-1<0∴0<m<1總結(jié)規(guī)律：兩根均為負的條件：X1+X2

且X1X2。

兩根均為正的條件：X1+X2

且X1X2。

兩根一正一負的條件：X1+X2

且X1X2。

當然，以上還必須滿足一元二次方程有根的條件：b2-4ac≥0。即：

一正根，一負根△＞0X1X2＜0兩個正根△≥0X1X2＞0X1+X2＞0兩個負根