22.3 實(shí)際問(wèn)題與二次函數(shù)：拱橋問(wèn)題和運(yùn)動(dòng)中的拋物線

22.3實(shí)際問(wèn)題與二次函數(shù)第二十二章二次函數(shù)第3課時(shí)拱橋問(wèn)題和運(yùn)動(dòng)中的拋物線學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握二次函數(shù)模型的建立，會(huì)把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問(wèn)題．(重點(diǎn))2.利用二次函數(shù)解決拱橋及運(yùn)動(dòng)中的有關(guān)問(wèn)題．(重、難點(diǎn))3.能運(yùn)用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行決策．導(dǎo)入新課情境引入

我校九年級(jí)學(xué)生姚小鳴同學(xué)懷著激動(dòng)的心情前往廣州觀看亞運(yùn)會(huì)開(kāi)幕式表演.現(xiàn)在先讓我們和姚小鳴一起逛逛美麗的廣州吧！如圖是一個(gè)二次函數(shù)的圖象，現(xiàn)在請(qǐng)你根據(jù)給出的坐標(biāo)系的位置，說(shuō)出這個(gè)二次函數(shù)的解析式類(lèi)型.xyxyxy（1）y=ax2（2）y=ax2+k（3）y=a(x-h)2+k（4）y=ax2+bx+cOOO導(dǎo)入新課問(wèn)題引入

如圖，一座拱橋的縱截面是拋物線的一部分，拱橋的跨度是4.9米，水面寬是4米時(shí)，拱頂離水面2米.現(xiàn)在想了解水面寬度變化時(shí)，拱頂離水面的高度怎樣變化．你能想出辦法來(lái)嗎？講授新課利用二次函數(shù)解決實(shí)物拋物線形問(wèn)題一建立函數(shù)模型這是什么樣的函數(shù)呢？

拱橋的縱截面是拋物線，所以應(yīng)當(dāng)是個(gè)二次函數(shù)你能想出辦法來(lái)嗎？合作探究怎樣建立直角坐標(biāo)系比較簡(jiǎn)單呢？以拱頂為原點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為y軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖．從圖看出，什么形式的二次函數(shù)，它的圖象是這條拋物線呢？由于頂點(diǎn)坐標(biāo)系是（0.0），因此這個(gè)二次函數(shù)的形式為xOy-2-421-2-1A如何確定a是多少？已知水面寬4米時(shí)，拱頂離水面高2米，因此點(diǎn)A（2，-2）在拋物線上，由此得出因此，，其中｜x｜是水面寬度的一半，y是拱頂離水面高度的相反數(shù)，這樣我們就可以了解到水面寬度變化時(shí)，拱頂離水面高度怎樣變化．解得由于拱橋的跨度為4.9米，因此自變量x的取值范圍是：水面寬3m時(shí)從而因此拱頂離水面高1.125m現(xiàn)在你能求出水面寬3米時(shí)，拱頂離水面高多少米嗎？我們來(lái)比較一下（0，0）（4，0）（2，2）（-2，-2）（2，-2）（0，0）（-2，0）（2，0）（0，2）（-4，0）（0，0）（-2，2）誰(shuí)最合適yyyyooooxxxx知識(shí)要點(diǎn)建立二次函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的基本步驟是什么？實(shí)際問(wèn)題建立二次函數(shù)模型利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解實(shí)際問(wèn)題的解例1某公園要建造圓形噴水池，在水池中央垂直于水面處安裝一個(gè)柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m，由柱子頂端A處的噴頭向外噴水，水流在各個(gè)方向沿形狀相同的拋物線落下，為使水流形狀較為漂亮，要求設(shè)計(jì)成水流在離OA距離為1m處達(dá)到距水面最大高度2.25m.如果不計(jì)其它因素，那么水池的半徑至少要多少m才能使噴出的水流不致落到池外？典例精析解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，根據(jù)題意得，A點(diǎn)坐標(biāo)為(0，1.25)，頂點(diǎn)B坐標(biāo)為(1，2.25).數(shù)學(xué)化●B(1,2.25)

(0,1.25)●C●DoAxy根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，如果不計(jì)其它因素，那么水池的半徑至少要2.5m，才能使噴出的水流不致落到池外.

當(dāng)y=0時(shí),可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2.5,0);同理，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-2.5,0).設(shè)拋物線為y=a(x+h)2+k，由待定系數(shù)法可求得拋物線表達(dá)式為：y=－(x-1)2+2.25.●B(1,2.25)

(0,1.25)●DoAxy●C

有一座拋物線形拱橋，正常水位時(shí)橋下水面寬度為20m，拱頂距離水面4m．如圖所示的直角坐標(biāo)系中，求出這條拋物線表示的函數(shù)的解析式；OACDByx20mh解：設(shè)該拱橋形成的拋物線的解析式為y=ax2.∵該拋物線過(guò)(10,-4),∴-4=100a，a=-0.04∴y=-0.04x2.練一練利用二次函數(shù)解決運(yùn)動(dòng)中拋物線型問(wèn)題二例2：如圖，一名運(yùn)動(dòng)員在距離籃球圈中心4m（水平距離）遠(yuǎn)處跳起投籃，籃球準(zhǔn)確落入籃圈，已知籃球運(yùn)行的路線為拋物線，當(dāng)籃球運(yùn)行水平距離為2.5m時(shí)，籃球達(dá)到最大高度，且最大高度為3.5m，如果籃圈中心距離地面3.05m，那么籃球在該運(yùn)動(dòng)員出手時(shí)的高度是多少米？解：如圖，建立直角坐標(biāo)系.則點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1.5，3.05），籃球在最大高度時(shí)的位置為B（0，3.5）.以點(diǎn)C表示運(yùn)動(dòng)員投籃球的出手處.xyO解得

a=－0.2，

k=3.5，設(shè)以y軸為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線的解析式為y=a(x-0)2+k，即y=ax2+k.而點(diǎn)A，B在這條拋物線上，所以有所以該拋物線的表達(dá)式為y=－0.2x2+3.5.當(dāng)x=－2.5時(shí)，y=2.25.故該運(yùn)動(dòng)員出手時(shí)的高度為2.25m.

2.25a+k=3.05，

k=3.5，xyO1.足球被從地面上踢起，它距地面的高度h(m)可用公式h=-4.9t2+19.6t來(lái)表示，其中t(s)表示足球被踢出后經(jīng)過(guò)的時(shí)間，則球在

s后落地.42.如圖，小李推鉛球，如果鉛球運(yùn)行時(shí)離地面的高度y(米）關(guān)于水平距離x(米）的函數(shù)解析式為，那么鉛球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中最高點(diǎn)離地面的距離為

米.xyO2當(dāng)堂練習(xí)3.某公園草坪的防護(hù)欄是由100段形狀相同的拋物線形組成的，為了牢固起見(jiàn)，每段護(hù)欄需要間距0.4m加設(shè)一根不銹鋼的支柱，防護(hù)欄的最高點(diǎn)距底部0.5m（如圖），則這條防護(hù)欄需要不銹鋼支柱的總長(zhǎng)度至少為（）A.50mB.100mC.160mD.200mC4.某工廠要趕制一批抗震救災(zāi)用的大型活動(dòng)板房．如圖，板房一面的形狀是由矩形和拋物線的一部分組成，矩形長(zhǎng)為12m，拋物線拱高為5.6m．（1）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，求拋物線的表達(dá)式．

解：（1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=ax2.∵點(diǎn)B（6，﹣5.6）在拋物線的圖象上，∴﹣5.6=36a，∴拋物線的表達(dá)式為（2）現(xiàn)需在拋物線AOB的區(qū)域內(nèi)安裝幾扇窗戶(hù)，窗戶(hù)的底邊在AB上，每扇窗戶(hù)寬1.5m，高1.6m，相鄰窗戶(hù)之間的間距均為0.8m，左右兩邊窗戶(hù)的窗角所在的點(diǎn)到拋物線的水平距離至少為0.8m．請(qǐng)計(jì)算最多可安裝幾扇這樣的窗戶(hù)？

（2）設(shè)窗戶(hù)上邊所在直線交拋物線于C，D兩點(diǎn)，D點(diǎn)坐標(biāo)為（k，t），已知窗戶(hù)高1.6m，∴t=﹣5.6﹣（﹣1.6）=﹣4∴

，解得k=

，即k1≈5.07，k2≈﹣5.07∴CD=5.07×2≈10.14（m）設(shè)最多可安裝n扇窗戶(hù)，∴1.5n+0.8（n﹣1）+0.8×2≤10.14，解得n≤4.06．則最大的正整數(shù)為4．答：最多可安裝4扇窗戶(hù).5懸索橋兩端主塔塔頂之間的主懸鋼索，其形狀可近似地看作拋物線，水平橋面與主懸鋼索之間用垂直鋼索連接.已知兩端主塔之間的水平距離為900m,兩主塔塔頂距橋面的高度為81.5m,主懸鋼索最低點(diǎn)離橋面的高度為0.5m.(1)若以橋面所在直線為x軸，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，求這條拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；yxO-450450解：根據(jù)題意，得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0,0.5），對(duì)稱(chēng)軸為y軸，設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=ax2+0.5.拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（450,81.5），代入上式，得81.5=a?4502+0.5.解得故所求表達(dá)式為(1)若以橋面所在直線為x軸，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，求這條拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；yxO-450450(2)計(jì)算距離橋兩端主塔分別為1