北京市2023-2024學年上學期九年級數學期末模擬訓練試卷(含答案)

2023-2024學年第一學期第一學期北京市九年級數學期末模擬訓練試卷

一、選擇題（本題共8道小題，每小題2分，共16分）

1.拋物線＞=2尤2向左平移1個單位，再向下平移3個單位，則平移后的拋物線的解析式為（）

A.y=2(x+l)~+3B.y=2(x+1)~—3

C.y=2(x—1)2-3D.y—2(x—1)~+3

2.如圖，在aAA8C中,Z6^90°,AC=3,B(=4,則sz力/的值為()

3.如圖，在等腰ABC中，ZA=120°,將.ABC繞點C逆時針旋轉磯0。＜打＜90。）得到二。?！?

當點A的對應點。落在BC上時，連接3E,則/血）的度數是（）

A.30°B.45°C.55°D.75°

4.“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”

這是《九章算術》中的一個問題，用現代的語言表述為：

如圖，CD為＜。的直徑，弦ABLCD于￡,CE=1寸，弦AB=1O寸，貝。的半徑為多少寸（）

5.如圖，等邊三角形ABC的邊長為3,點P為BC邊上一點，且BP=1,點D為AC邊上一點,

若NAPD=60°,則CD的長為（）

1

A

若點4T，M）,BQ,必），C（3,為）的在函數y=g化w。）的圖象上,

則X，%，%的大小關系為（）

A.B.C.%<必<%D.

7.我們都知道蜂巢是很多個正六邊形組合來的.正六邊形蜂巢的建筑結構密合度最高、

用材最少、空間最大、也最為堅固.如圖，某蜂巢的房孔是邊長為6的正六邊形ABCDE尸,

若。的內接正六邊形為正六邊形ABCDE7"則所的長為（）

A.12B.6&C.643D.126

8.如圖，拋物線丫=依2+法+<:（。片0）與*軸交于點4（-1,0）和6,下列結論:

①abc>0；②2。+匕<0；③3a+c>0；④9a+3匕+c<0.

其中正確的結論個數為（）

2

C.3個D.4個

二、填空題（本題共16分，每小題2分）

a

9..若7=彳，則

b3a-b

10.已知一個扇形的弧長為5兀?！保瑘A心角是150°,則它的半徑長為,扇形的面積為

11.關于x的一元二次方程犬+n+3=0有一根為T,貝!）n的值為.

12.如圖，Rt^ABC中，ABAC=9Q,ADLBC千D,BD=1,CD=4,則AD的長為.

13.如圖，A,B、，三點都在。。上，ZACB=35°,過點/作（。的切線與08的延長線交于點戶,

則ZAPO的度數是

C

14.如圖1是一種手機平板支架，圖2是其側面結構示意圖.托板固定在支撐板頂端的點C處，

托板四可繞點。轉動，支撐板切可繞點，轉動.如圖2,若量得支撐板長。8c〃，/CDE』Q。，

則點C到底座座的距離為cm（結果保留根號）.

15.平面直角坐標系xOy中，已知拋物線C:y=or2+bx+c（aw0）與直線/:y=Ax+”（左片0）如圖所示,

3

有下面四個推斷:

①二次函數、=加+及+。（。*0）有最大值;

3

②拋物線。關于直線為=；對稱；

2

③關于x的方程ax+bx+c=kx+n的兩個實數根為玉=-4,x2=0；

④若過動點M（〃?,0）垂直于x軸的直線與拋物線C和直線,分別交于點P（機,弘）和。（幾劣）,

則當為＜%時，加的取值范圍是-4＜根＜0.

其中所有正確推斷的序號是.

16.如圖，在矩形紙片加切中，將四沿典翻折，使點力落在笈上的點“處，砌為折痕，

連接網再將"沿位翻折，使點〃恰好落在腑上的點尸處，鶴為折痕，

連接項并延長交剛于點?，若/氏8,AB=5,則線段"的長等于.

三、解答題（本題有10個題，共68分）

17.計算：2cos300-tan60°+sin45°cos45°.

18.已知：如圖，在中，〃為AB邊的中點，連接CO,ZACD=NB,AB=4,求AC的長.

19.如圖，在RtZkABC中，ZACB=90,AD平分/SAC交BC邊于點〃于點￡,

4

4

若BD=5,cosB=g,求AC的長.

20.要修一個圓形噴水池，在池中心豎直安裝一根水管，水管的頂端安一個噴水頭,

使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1〃處達到最高，高度為3處

水柱落地處離池中心3加，水管應多長？

21.某中學決定增設“禮儀”“陶藝”“園藝”“廚藝”及“編程”等五門校本課程以提升課后服務質量,

促進學生全面健康發(fā)展.學校面向七年級參與課后服務的部分學生開展了“你選修哪門課程？

(要求必須選修一門且只能選修一門)”的隨機問卷調查,

并根據調查數據繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖：請結合上述信息，解答下列問題:

調查結果的條形統(tǒng)計圖

禮儀陶藝園藝廚藝編程

(1)共有名學生參與了本次問卷調查；

(2)“陶藝”在扇形統(tǒng)計圖中所對應的圓心角是度；

⑶小剛和小強分別從“禮儀”“陶藝”“編程”這三門校本課程中任選一門，

請用列表法或畫樹狀圖法求出兩人恰好選到同一門課程的概率.

22.教育部頒布的《基礎教育課程改革綱要》要求每位學生每學年都要參加社會實踐活動,

某學校組織了一次測量探究活動.如圖，某大樓的頂部豎有一塊廣告牌

5

小明與同學們在山坡的坡腳4處測得廣告牌底部，的仰角為53。，

沿坡面向上走到8處測得廣告牌頂部。的仰角為45。，

已知山坡的坡度i=l：2.4,AB=13米，AE=29米.

434

(測角器的高度忽略不計，結果精確到0.1米，參考數據cos53。tan53。。耳

(1)求點6距水平地面AE的高度；

(2)若市政規(guī)定廣告牌的高度不得大于7米，請問該公司的廣告牌是否符合要求，并說明理由.

23.如圖，ABC內接于＜0,AE是《0的直徑，AE±BC,垂足為〃

(1)求證：ZABO=ZCAE；

(2)己知；。的半徑為5,DE=2,求長.

24.如圖，正比例函數，=履的圖象與反比例函數〉=:的圖象交于A3兩點，其中A(T,3).

6

(2)根據函數圖象，直接寫出不等式近-二40的解集;

(3)若點C在y軸上，且ABC的面積為16,求點C的坐標.

25.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線,=依2+法一4與x軸交于點A(-2,0)，5(4,0),

與y軸交于點G點，為BC的中點.

D/7BxD/B

(1)求該拋物線的函數表達式；

(2)點G是該拋物線對稱軸上的動點，若G4+GC有最小值，求此時點G的坐標；

(3)若點尸是第四象限內該拋物線上一動點，求△&)尸面積的最大值；

26.(1)【問題呈現】

如圖1,一ABC和VAD￡都是等邊三角形，連接30,CE.易知"三二_________.

CE

(2)【類比探究】

如圖2,ABC和VADE都是等腰直角三角形，/ABC=NADE=90。.連接3D,CE.則些=_________

CE

(3)【拓展提升】

ABAD3

如圖3,ABC和VAD后都是直角三角形，ZABC=ZADE=90°,連接30,CE.

BCDE4

①求4g的值；

CE

②延長CE交5。于點尸，交A5于點G.求sinN班C的值.

BC

圖2

7

2023-2024學年第一學期第一學期北京市九年級數學期末模擬訓練試卷解析

一、選擇題（本題共8道小題，每小題2分，共16分）

1.拋物線＞=2尤2向左平移1個單位，再向下平移3個單位，則平移后的拋物線的解析式為（）

A.y=2（x+l）2+3B.y=2（x+l）2-3

C.y=2（x—I）?—3D.y=2（x—1）~+3

【答案】B

【分析】根據函數圖象平移的方法：左加右減，上加下減，可得答案.

【詳解】解：拋物線向左平移1個單位可得y=2（x+l）2,再向下平移3個單位可得y=2（x+l）2-3,

故選：B

2.如圖，在Z△/回中，/年90°,/俏3,BX,則szE4的值為（）

【答案】D

【分析】根據勾股定理求出四，根據正弦的定義計算，得到答案.

【詳解】解：在RtABC中，ZC=90°,AC=3,8c=4,

由勾股定理得，ABNAC?+BC?=5,

AB5

故選：D.

4.如圖，在等腰一ABC中，ZA=120°,將繞點。逆時針旋轉戊（0。＜。＜90。）得到4cDE,

當點A的對應點。落在3c上時，連接跖，則ZBa）的度數是（）

A.30°B.45°C.55D.75°

8

【答案】B

【分析】由等腰三角形的性質和三角形內角和定理，得NABC=NACB=30。，根據旋轉的性質，得BC=CE,

ZDCE=ZDEC=ZABC=ZACB=30°,再由等腰三角形和三角形內角和定理得

ZCBE=ZCEB=1(180°-30°)=75°,即可求得ZBED=ZBEC-ZCED.

【詳解】解：AB=AC,ZA=120°,

ZABC=ZACB=30°,

由旋轉得，BC=CE,NDCE=NDEC=ZABC=ZACB=3?！?

ZCBE=NCEB=1(180°-30°)=75°,

ZBED=ZBEC-ZCED=75°-30°=45°,

故選：B.

4.“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”

這是《九章算術》中的一個問題，用現代的語言表述為：

如圖，CD為。的直徑，弦于￡,CE=1寸，弦AB=10寸，則。的半徑為多少寸()

C

A.5B.12C.13D.26

【答案】C

【分析】連接Q4,構造直角三角形，根據垂徑定理和勾股定理求解.

【詳解】解：連接。4,如圖所示，

C

設直徑8的長為2尤，則半徑OC=x,

CD為。的直徑，弦于E,AB=10,

9

/.AE=BE=-AB=-xlO=5,

22

而OA=OC=x,

根據勾股定理得尤2=52+(X-l)2,

解得X=13,

即。的半徑為13寸.

故選C.

5.如圖，等邊三角形ABC的邊長為3,點P為BC邊上一點，且BP=1,點D為AC邊上一點,

若/APD=60°,則CD的長為()

123

A.-B.-C.-D.1

234

【答案】B

【分析】根據兩角對應相等的兩個三角形相似，即可證得ABPs^PCD,

然后根據相似三角形的對應邊的比相等即可求得CD的長.

【詳解】解：VZAPC=ZABP+ZBAP=60+ZBAP=ZAPD+ZCPD=60+ZCPD,

.?.ZBAP=ZCPD,

又：ZABP=ZPCD=60,

AABP^APCD.

,ABBPBn3_1

CPCD2CD

2

“屋

故選B.

7.反比例函數y=或傳力0)的圖象在直角坐標系中的位置如圖，

k

若點A(T,%),2(2,%)，C(3,%)的在函數丫=4傳力0)的圖象上,

X

則%,%,%的大小關系為()

10

V

A.B.C.D.

【答案】D

【分析】先根據函數解析式中的比例系數4確定函數圖象所在的象限，

再根據各象限內點的坐標特點及函數的增減性解答.

【詳解】解：：反比例函數y=：（%*o）的圖象在二、四象限，

k<0,

.?.點A（T,%）在第二象限，

/.%>。，

3>2>0,

；.8（2,為），C（3,打）兩點在第四象限，

y2<0,y3<0,

..?函數圖象在第四象限內為增函數，

?,%，%的大小關系為.

故選：D.

7.我們都知道蜂巢是很多個正六邊形組合來的.正六邊形蜂巢的建筑結構密合度最高、

用材最少、空間最大、也最為堅固.如圖，某蜂巢的房孔是邊長為6的正六邊形ABCD斯,

A.12B.672C.6#)D.12A

11

【答案】C

【分析】根據題意可得AB=AF,則AB=AF，再根據平分弧的直徑垂直平分這條弧所對的弦可得

NOMB=90°,BM=FM=-BF,再根據。4=03,NAC?=60?？傻?Q4B是等邊三角形，

2

則OB=AB=6,最后結合三角函數即可求解.

【詳解】解：連接。4,交BF于點、肱連接。8,

:六邊形ABCDEF是一。的內接正六邊形,

AB=AF,ZAOB=-x360°=60°,

6

,,AB-AF，

CM經過圓心a

OA=BF,BM=FM=—BF,

2

ZOMB=90°,

VOA=OB,ZAOB=60°,

???一。16是等邊三角形，

OB—AB=6,

在RtAOBM中，Z.OMB=90°,ZAOB=60°,sinZAOB=—

OB

：.BM=OB.sin60。=6x且=3指,

2

BF=2BM=2x3A=60,

故選C.

8.如圖，拋物線產加+法+c(awO)與x軸交于點A(TO)和8,下列結論:

①abc>0；②2〃+b<0；③3a+c>0；④9a+3b+c<0.

其中正確的結論個數為()

12

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】由圖像知，。c>0,根據對稱軸在y軸右側，根據左同右異，得匕>0,即可判斷①錯誤;根據-9b<1,

2a

得b+2a>0,判斷②錯誤；由拋物線y=a?+bx+c（awO）與x軸交于點A（-LO）,得a—b+c=0,推出

3a+c=0,判斷③錯誤；根據拋物線對稱軸0<x<l,確定點6的橫坐標小于3,進而推出9a+3b+c<0,判

斷④正確.

【詳解】解：由圖像知，開口向下，與y軸交于正半軸，

a<0,c>0,

???對稱軸在y軸右側

：.b>0,

abc<0,故①錯誤；

..b

-一五<1，

b<-2a,,

：.b+2a<Q,故②正確；

?拋物線丫=依2+法+《。片0）與X軸交于點A（-I,o）,

??ci—b+c=0,

*.*b=-2a,

/.3tz+c=0,故③錯誤；

拋物線y=加+bx+c（a+。）與x軸交于點A（-l,0）,對稱軸0<x<l,

???點6的橫坐標小于3,

9Q+3Z?+C<0,故④正確；

故選：B.

二、填空題（本題共16分，每小題2分）

13

a5a

9..右一二—,則---=____________.

b3a-b

【答案】I

2

【解析】

a53

【分析】根據7=彳，得至代入求值即可得到答案.

b35

【詳解】解：-=-，

b3

73

5

a_a_。_5

=-3-=2-=2-

a—Q-Q

55

故答案為：一.

2

10.已知一個扇形的弧長為5兀加，圓心角是150°,則它的半徑長為.,扇形的面積為

【答案】6cm1571cM之

【分析】設半徑為rem,直接用弧長公式解方程可求出半徑；

運用半徑和圓心角度數據扇形面積公式可求出面積.

【詳解】設扇形的半徑為rem,據弧長公式得：黑xm-5),解得廠6；

lol)

扇形的面積為：||^^x62=15^-(cm>

故答案為：6cm15Tlz

11.關于X的一元二次方程尤2+公+3=0有一根為T,則n的值為—

【答案】4

【分析】把工=-1代入原方程，解關于〃的一元一次方程即可.

【詳解】解：???關于x的一元二次方程Y+“+3=0有一根為-1,

/.(-1)2+HX(-1)+3=0,

解得m=4,

故答案為：4.

12.如圖，RtAABC中，ZBAC=90,ADLBC千D,BD=1,CD=4,則AD的長為

14

【答案】2

【分析】先判定△ABDsaa。，再根據相似三角形對應邊成比例即可求解.

【詳解】解：：/BAC=90,AD1BC,

：."+NC=90°,NB+ABAD=90°,

：.ZB=ZBAD,

:ZADB=ZCDA,

：./\ABD,

,BD_AD

即2

"~AD~~CDAD=BDCD^lx4=4,

解得：AD=2（負值舍去）,

故答案為：2.

13.如圖，A,B、。三點都在O。上，ZACB=35°,過點/作［。的切線與。8的延長線交于點只

則ZAPO的度數是.

【答案】20。##20度

【解析】

【分析】連接Q4,則NQ4P=90°,由圓周角定理得：ZAOB^2ZACB=10°,

進而求出NAPO的度數.

ZACB=35°

：.ZAOB=2ZACB=70°

:過點/作。的切線與OB的延長線交于點P

ZOAP=9Q°

15

，ZAPO=1800-ZAOB-ZOAP=20°

故答案為：20。

15.如圖1是一種手機平板支架，圖2是其側面結構示意圖.托板4?固定在支撐板頂端的點C處,

托板48可繞點C轉動，支撐板必可繞點，轉動.如圖2,若量得支撐板長◎8c〃，/CDE$0。，

則點，到底座座的距離為cm（結果保留根號）.

【答案】4A/3

【分析】過點C作CMLDE,利用正弦函數即可求解.

【詳解】如圖，過點。作CMVDE,點C到底座座的距離為CM

'：CD=8an,ZCD￡=60°,

/.CM=8siu6Q°=8X^1=473

2

故答案為：4后.

15.平面直角坐標系xQy中，己知拋物線C:y=m：2+6x+c（ax0）與直線/:y=Ax+〃（左片0）如圖所示,

有下面四個推斷:

16

①二次函數'=融2+法+。（。W。）有最大值;

②拋物線，關于直線尤=13對稱；

③關于x的方程or?+fcv+c=Ax+〃的兩個實數根為國=-4,無2=°；

④若過動點"（私0）垂直于x軸的直線與拋物線C和直線/分別交于點尸（九弘）和Q（私％）,

則當以<%時，0的取值范圍是T<7"<0.

其中所有正確推斷的序號是.

【答案】①③/③①

【分析】根據函數的圖象逐一判斷即可得到結論.

【詳解】解：：二次函數C:y=ax2+bx+c（qw0）的圖象的開口向下，

???二次函數有最大值，故①正確；

3

觀察函數圖象可知二次函數的圖象的對稱軸在-2和-1之間，不是關于直線尤=2對稱，故②錯誤;

觀察函數圖象可知y=aY+6x+c和y=的交點橫坐標為：T和0,

2

方程ar+fcv+c=履+〃的兩個實數根為網=-4,x2=0,故③正確；

當x<-4或x>0時，直線在拋物線的上方，

的取值范圍為：加<7■或機>0,故④錯誤.

故答案為：①③.

17.如圖，在矩形紙片/反力中，將相沿砌翻折，使點/落在戊7上的點“處，砌為折痕，

連接棉再將切沿方翻折，使點。恰好落在就上的點尸處，方為折痕，

連接廳'并延長交陰于點只若/廬8,AB=5,則線段用的長等于.

【分析】根據折疊可得四邊形ABNM是正方形，CD=CF=5,ZD=ZCFE=90°,ED=EF,

17

可求出三角形FNC的三邊為3,4,5,在用MEF中，由勾股定理可以求出三邊的長，

通過作輔助線，可證，bNCSAPGW,可得△尸FG三邊的比為3：4：5,

設FG=3m,則PG=4m,PF=5m,通過PG=HN,列方程解方程，進而求出PF的長，從而可求PE的長.

【詳解】解：過點P作PGLFN,PH±BN,垂足為G、H,

由折疊得：

四邊形ABNM是正方形，AB=BN=NM=MA=5,CD=CF=5,ZD=ZCFE=90°,ED=EF,

；.NC=MD=8-5=3,

在Rf尸NC中,ZW=V52-32=4,

.?.MF=5-4=1,

在RfMEF中，設EF=x,則ME=3-x,

由勾股定理得，12+(3-X)2=X2,

解得：x=；,

VZCFN+ZPFG=90°,ZPFG+ZFPG=90°,

.'.ZCFN=ZFPG,

又?.?/FGP=NCNF=90°

:.“FNCs&PGF,

AFG：PG：PF=NC：FN：FC=3：4：5,

設FG=3m,則PG=4m,PF=5m,

四邊形ABNM是正方形，

ZMBN=45°=NBPH,

.\GN=PH=BH=4-3m,HN=5-(4-3m)=l+3m=PG=4m,

解得：m=l,

???PF=5n1=5,

18

.*.PE=PF+FE=5+-=—,

33

20

故答案為：—.

三、解答題（本題有10個題，共68分）

17.計算：2cos300-tan600+sin450cos45°.

【答案】!

2

【解析】

【分析】將各個特殊角的三角函數值代入求解即可.

【詳解】解：2cos300-tan60°+sin45°cos45°

=2x立一6+在x在

222

=A/3—A/3+—

_j_

18.已知：如圖，在」IBC中，〃為A3邊的中點，連接C。，ZACD=ZB,AB=4,求AC的長.

【答案】2拒

【分析】先證明ABCsACD,再根據相似三角形對應邊成比例即可求解.

【詳解】解：,.變?yōu)锳3邊的中點，AB=4,

：.AD=jAB=2,

■:ZACD=ZB,ZBAC=ZCAD,

：.ABCsACD

ACAD,

—~■=~>即anAC=AB-AD=8,

ABAC

解得：AC=272（負值舍去）,

19.如圖，在RtA4BC中，ZACB=90,AD平分/BAC交3C邊于點AZ)E_LAB于點￡,

19

4

若BD=5,cosB=w，求AC的長.

【答案】6

4

【分析】先根據勖=5,cos3=，求出BE的長度，即可根據勾股定理求出DE,

4

再根據角平分線的性質可得CD=DE,即可求出BC的長度，最后根據cos2=y,求出AB的長度,

即可根據勾股定理求出AC的長度.

4

【詳解】解：：DE_LAB,5E?=5,cosB=-,

4

...在中，BE=B￡>cosB=5x-=4,

在Rt^BDE中，根據勾股定理可得：DE=飛BD2-BE。=舊-4=3，

：AD平分/R4C,ZACB=90,DELAB,

：.CD=DE=3,

：.BC=BD+CD=5+3=8,

在Rt^ABC中，AB=BC=10,

...在Rt^ABC中，根據勾股定理可得：AC=ylAB2-BC2=V102-82=6

21.要修一個圓形噴水池，在池中心豎直安裝一根水管，水管的頂端安一個噴水頭,

使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1〃處達到最高，高度為3〃，

水柱落地處離池中心3處水管應多長？

【答案】水管長為2.25〃

20

【分析】以池中心為原點，豎直安裝的水管為y軸，與水管垂直的為x軸建立直角坐標系,

設拋物線的解析式為y=a(x-1)2+3(0WxW3),將(3,0)代入求得a值，

則x=0時得的y值即為水管的長.

【詳解】以池中心為原點，豎直安裝的水管為y軸，與水管垂直的為x軸建立直角坐標系.

由于在距池中心的水平距離為1勿時達到最高，高度為37，

則設拋物線的解析式為：

尸a(x-1)2+3(0WxW3),

3

代入(3,0)求得：a——.

4

將a值代入得到拋物線的解析式為：

3

y=—(x-1)2+3(0WxW3),

4

9

令x=0,則y=—=2.25.

4

故水管長為2.25m.

21.某中學決定增設“禮儀”“陶藝”“園藝”“廚藝”及“編程”等五門校本課程以提升課后服務質量,

促進學生全面健康發(fā)展.學校面向七年級參與課后服務的部分學生開展了“你選修哪門課程?

(要求必須選修一門且只能選修一門)”的隨機問卷調查,

并根據調查數據繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖：請結合上述信息，解答下列問題:

調查結果的條形統(tǒng)計圖調查結果的扇形統(tǒng)計圖

禮儀陶藝園藝廚藝編程課程

(1)共有名學生參與了本次問卷調查；

(2)“陶藝”在扇形統(tǒng)計圖中所對應的圓心角是度；

⑶小剛和小強分別從“禮儀”“陶藝”“編程”這三門校本課程中任選一門,

請用列表法或畫樹狀圖法求出兩人恰好選到同一門課程的概率.

【答案】(1)120

(2)99

21

⑶小剛和小強兩人恰好選到同一門課程的概率為I

【分析】(1)用“禮儀”的人數除以占比得到總人數；

(2)用“陶藝”的人數除以總人數再乘以360。,即可求解；

(3)用畫樹狀圖法求得概率即可求解.

【詳解】(1)解：30+25%=120(人)

故答案為：120.

33

(2)“陶藝”在扇形統(tǒng)計圖中所對應的圓心角是二><360。=99。，

120

故答案為：99.

(3)把“禮儀”“陶藝”“編程”三門校本課程分別記為4B、C

開始

絲AAA

小強ABCABCABC

共有9種等可能的結果，其中小剛和小強兩人恰好選到同一門課程的結果有3種，

31

???小剛和小強兩人恰好選到同一門課程的概率為A=

22.教育部頒布的《基礎教育課程改革綱要》要求每位學生每學年都要參加社會實踐活動，

某學校組織了一次測量探究活動.如圖，某大樓的頂部豎有一塊廣告牌。，

小明與同學們在山坡的坡腳A處測得廣告牌底部，的仰角為53。，

沿坡面AB向上走到B處測得廣告牌頂部C的仰角為45°,

已知山坡的坡度i=l：2.4,AB=13米，AE=29米.

434

(測角器的高度忽略不計，結果精確到0.1米，參考數據sin53o“w，cos53°?-,tan53°?-)

(1)求點方距水平地面AE的高度；

(2)若市政規(guī)定廣告牌的高度不得大于7米，請問該公司的廣告牌是否符合要求，并說明理由.

22

【答案】(1)點6距水平地面AE的高度為5米

(2)該公司的廣告牌不符合要求，理由見解析

【分析】⑴過點8作即力AE于點四根據坡度得到盤=器，

12AM

設9W=5x米，AM=12尤米，利用勾股定理求得AB=13x米，進而解方程即可;

(2)作BNLCE于點兒則四邊形加WE是矩形.

分別在^aBCN和?△AQE中解直角三角形即可求解.

【詳解】(1)解：過點8作于點瓶

由題意可知，，=1:2.4=卷=瑞

設RW=5x米，AM=12x米,

則AB=J(5xY+(12尤y=13尤米

13x=13,解得x=l,

3M=5米，AM=12米,

即點8距水平地面AE的高度為5米.

(2)解：作3NLCE于點兒

VBM±AE,CEYAE,

四邊形8跖VE是矩形.

:.NE=BM=5米,BN=ME=12+29=41米.

在W_3C7V中，NCBN=45°,

:.CN=BN=41米,CE=41+5=46米，

在RfADE中，ZDAE=53°,AE=29米,

DE=AE-tan53°?29x-=—

33

CD=CE-DE=46--=—^z

33

23

...該公司的廣告牌不符合要求.

23.如圖，二ABC內接于0,AE是,。的直徑，AEYBC,垂足為〃

(1)求證：ZABO=ACAE,

(2)已知：。的半徑為5,DE=2,求長.

【答案】(1)見解析(2)8

【解析】

【分析】(1)由垂徑定理可得5E=CE，由圓周角定理得到N朋E=NC4E,由AO=3O得到

ZABO=ZBAE,即可得到結論；

(2)由垂徑定理可得ZBDO^9Q0,在RtBQD中，

2

由勾股定理可得BD=4,即可得到長.

【小問1詳解】

證明：是的直徑，AELBC,

BE=CE，

：.ZBAE=ZCAE,

,：AO=BO,

ABO是等腰三角形，

ZABO^ZBAE,

：.ZABO^ZCAE；

【小問2詳解】

：4后是＜。的直徑，AELBC,

：.BD^CD=-BC,ZBDO=9Q°,

2

在RtBOD中,OD=OE—DE=5—2=3,OB=5,

24

BD=y]OB2-OD2=J52—32=4，

:?BC=2BD=8.

24.如圖，正比例函數，=履的圖象與反比例函數＞=]的圖象交于AB兩點,其中A（-4,3）.

⑵根據函數圖象，直接寫出不等式履-‘40的解集；

X

⑶若點C在y軸上，且上ABC的面積為16,求點C的坐標.

3

【答案】Wk=--,加=-12；

4

（2）-4Wx＜0或無"；

⑶C（0,4）或（0,-4）.

【分析】本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，熟練掌握面積的計算方法是解答本題的關鍵.

（1）根據點A的坐標求左，機的值即可；

（2）根據函數圖象可直接寫出不等式h-'w。的解集；

X

（3）設OC=a,利用S"BC=ZOCA+%OCB，求出。的值即可得到答案.

【詳解】（1）解：將A（T,3）代入尸辰，得3=-4左，

3

解得左=-=，

4

將A（＜3）代入y=得-4=g,

解得加=—12,

73

/.k=—,用=—12；

4

（2）解：由反比例函數圖象的對稱性可得點3的坐標為（4,-3）,

25

由圖象可得：不等式辰-」4。的解集為TWx<0或x"；

x

(3)解：由反比例函數圖像的中心對稱性知點3(4,-3),

設OC=a,貝US^^gc=SAOCA+SAOCB=~OC|xA\+-OC-xB=-ax4+—cix4=16,

解得a=4,

.?.C(0,4)或(0,-4).

26.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y二6。+云-4與x軸交于點A(-2,0)，5(4,0),

與y軸交于點C點，為8C的中點.

⑴求該拋物線的函數表達式；

(2)點G是該拋物線對稱軸上的動點，若G4+GC有最小值，求此時點G的坐標；

(3)若點尸是第四象限內該拋物線上一動點，求△3D尸面積的最大值；

【答案】⑴y=5尤2-尤-4

⑵(1,-3)

(3)△以開面積的最大值為2

【分析】(1)利用待定系數法求出二次函數解析式即可；

(2)根據對稱軸得出當點G正好在直線BC與拋物線對稱軸的交點上時G4+GC最小，

求出直線BC的解析式y(tǒng)=x-4,求出拋物線的對稱軸為直線x=l,

把尤=1代入y=x-4求出點G的坐標即可；

(3)連接PC'過點P作尸0〃了軸，交BC于點。，根據點"是5C的中點，得出SB.3.,

當；PBC面積最大時，ABD尸面積最大，設尸-熱-勺，則Q("〃-4),用勿表示出5詠

求出其最大值，即可得出答案.

26

【詳解】(1)解：把A(-2,0),8(4,0)代入拋物線丁=加+灰_4得：

J4〃-2b-4=0

[16Q+4Z?-4=0'

.1

ci——

解得：2,

b=-\

???拋物線的函數表達式為y=^x2-x-4；

(2)解：：點G是該拋物線對稱軸上的動點，

GA=GB,

：.GA+GC=GB+GC,

，當點G正好在直線BC與拋物線對稱軸的交點上時G4+GC最小，

把x=0代入y=gd-x-4得：y=-