高二數(shù)學(xué)人教A版必修5學(xué)案1-2第1課時距離問題

1．2應(yīng)用舉例第1課時距離問題[目標(biāo)]1.能夠運用正、余弦定理的知識和方法求解距離問題；2.從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型(即畫出三角形)．[重點]在三角形中運用正、余弦定理求解距離問題．[難點]實際問題的理解與建模．知識點一距離問題[填一填]1．測量從一個可到達(dá)的點A到一個不可到達(dá)的點B之間的距離問題．如圖所示．這實際上就是已知三角形兩個角和一邊解三角形的問題，用正弦定理就可解決．2．測量兩個不可到達(dá)的點A，B之間的距離問題．如圖所示．首先把求不可到達(dá)的兩點A，B之間的距離轉(zhuǎn)化為應(yīng)用余弦定理求三角形的邊長問題，然后把未知的BC和AC的距離問題轉(zhuǎn)化為測量可到達(dá)的一點與不可到達(dá)的一點之間距離的問題．[答一答]1．如果知道一個三角形的三個角，是否可以解出這個三角形？提示：不可以．要解一個三角形，至少知道這個三角形的一條邊長．2．解與三角形有關(guān)的應(yīng)用題的基本思路是什么？提示：知識點二基線[填一填]在測量上，我們根據(jù)測量需要適當(dāng)確定的線段叫做基線．在測量過程中，要根據(jù)實際需要選取合適的基線長度，使測量具有較高的精確度．一般來說，基線越長，測量的精確度越高．[答一答]3．測量是否一定要選取基線？提示：測量一定要選取基線，因為無論應(yīng)用正弦定理還是余弦定理解三角形時，至少應(yīng)已知一邊的長度．4．如圖，在河岸AC測量河的寬度BC，測量下列四組數(shù)據(jù)，較適宜的是(D)A．a(chǎn)，c，α B．b，c，αC．c，a，β D．b，α，γ類型一測量從一個可到達(dá)的點，到一個不可到達(dá)的點之間的距離[例1]為了測量水田兩側(cè)A，B兩點間的距離(如圖所示)，某觀測者在A的同側(cè)選定一點C，測得AC＝8m，∠BAC＝30°，∠BCA＝45°，求A，B兩點間的距離．[解]根據(jù)正弦定理得eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(AC,sin∠ABC)，∴AB＝eq\f(ACsin∠ACB,sin∠ABC)＝eq\f(8sin45°,sin180°－30°－45°)＝eq\f(4\r(2),\f(\r(6)＋\r(2),4))＝8(eq\r(3)－1)(m)．即A，B間的距離為8(eq\r(3)－1)m.eq\a\vs4\al(此類題目的求解策略：,1找基線如本題中AC.,2測基線長及視角如AC、∠BAC及∠BCA.,3用正弦定理求解兩點間的距離AB的長.)[變式訓(xùn)練1]如圖，為了測量河的寬度，在一岸邊選定兩點A，B望對岸的標(biāo)記物C，測得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，AB＝120米，求河的寬度．解：在△ABC中，∵∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，∴∠ACB＝60°.由正弦定理可得AC＝eq\f(ABsin∠CBA,sin∠ACB).∴AC＝eq\f(120sin75°,sin60°)＝20(3eq\r(2)＋eq\r(6))．設(shè)C到AB的距離為CD，則CD＝ACsin∠CAB＝eq\f(\r(2),2)AC＝20(eq\r(3)＋3)．∴河的寬度為20(eq\r(3)＋3)米．類型二測量兩個不可到達(dá)的點之間的距離[例2]在一次反恐作戰(zhàn)戰(zhàn)前準(zhǔn)備中，為了弄清基地組織兩個訓(xùn)練營地A和B之間的距離，盟軍在兩個相距為eq\f(\r(3),2)a的觀測點C和D處，測得∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如圖所示．求基地組織的這兩個訓(xùn)練營地之間的距離．[分析]可將AB放在△ABC中來求，為此應(yīng)先求出AC和BC，再用余弦定理求AB.[解]∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，又∠DCA＝60°，∴∠DAC＝60°.∴AD＝CD＝AC＝eq\f(\r(3),2)a.在△BCD中，∠DBC＝45°，∴eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(CD,sin45°)，∴BC＝eq\f(\r(6),4)a.在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC＝eq\f(3,4)a2＋eq\f(3,8)a2－2×eq\f(\r(3),2)a×eq\f(\r(6),4)a×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(3,8)a2.∴AB＝eq\f(\r(6),4)a.即兩個訓(xùn)練營地之間的距離為eq\f(\r(6),4)a.測量兩個不可到達(dá)的點之間的距離問題，一般是把求距離問題轉(zhuǎn)化為求三角形的邊長問題，首先是明確題意根據(jù)條件和圖形特點尋找可解的三角形，然后利用正弦定理或余弦定理求解，另外基線的選取要恰當(dāng).[變式訓(xùn)練2]如圖，隔河看兩目標(biāo)A，B，但不能到達(dá)，在岸邊選取相距eq\r(3)km的C，D兩點，并測得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面內(nèi))，求兩目標(biāo)A，B之間的距離．解：在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，∴∠CAD＝30°.∴AC＝CD＝eq\r(3)km.在△BDC中，∠CBD＝180°－(45°＋30°＋45°)＝60°.在△BCD中，由正弦定理，得BC＝eq\f(\r(3)sin75°,sin60°)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2)(km)．則在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠＝(eq\r(3))2＋(eq\f(\r(6)＋\r(2),2))2－2eq\r(3)×eq\f(\r(6)＋\r(2),2)cos75°＝5.∴AB＝eq\r(5)km.∴兩目標(biāo)A，B之間的距離為eq\r(5)km.類型三與方向角有關(guān)的距離問題[例3]某測量員做地面測量，如圖，目標(biāo)A與B相距3千米，從B處測得目標(biāo)C在B的北偏西60°的方向上，從A處測得目標(biāo)C在A的正北方向，他從A向C前進(jìn)2千米到達(dá)D處時，發(fā)現(xiàn)B，D兩處也相距2千米，試求A與C的距離．[分析]先在△ABD中由余弦定理求cosA，再用內(nèi)角和定理和兩角和正弦公式求sin∠ABC，最后在△ABC中用正弦定理求AC.[解]依題意得，AB＝3，AD＝2，BD＝2，∠ACB＝60°.在△ABD中，由余弦定理得cosA＝eq\f(AB2＋AD2－BD2,2AB·AD)＝eq\f(32＋22－22,2×3×2)＝eq\f(3,4).∴sinA＝eq\r(1－cos2A)＝eq\f(\r(7),4)，∴sin(A＋C)＝sin(A＋60°)＝sinAcos60°＋cosAsin60°＝eq\f(\r(7),4)×eq\f(1,2)＋eq\f(3,4)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(7)＋3\r(3),8).∴sin∠ABC＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝eq\f(\r(7)＋3\r(3),8).在△ABC中，由正弦定理得：eq\f(AC,sin∠ABC)＝eq\f(AB,sinC)，∴AC＝eq\f(AB·sin∠ABC,sinC)＝eq\f(3×\f(\r(7)＋3\r(3),8),sin60°)＝eq\f(9＋\r(21),4).答：A與C之間的距離為eq\f(9＋\r(21),4)千米．1.解答實際問題要注意認(rèn)真審題，弄清題目條件.2.解三角形求邊長時，只需求角的正弦值或余弦值即可，而無需求角的大小.因此，要注意將三角形內(nèi)角和定理、誘導(dǎo)公式及兩角和或差的正弦、余弦公式結(jié)合起來求值.[變式訓(xùn)練3]如圖，A，B是海面上位于東西方向相距5(3＋eq\r(3))海里的兩個觀測點，現(xiàn)位于A點北偏東45°，B點北偏西60°的D點有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于B點南偏西60°且與B點相距20eq\r(3)海里的C點的救援船立即前往營救，其航行速度為30海里每小時，該救援船到達(dá)D點至少需要1小時．解析：由題意知AB＝5(3＋eq\r(3))，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝45°，所以∠ADB＝105°，所以sin105°＝sin45°cos60°＋sin60°cos45°＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2)＋\r(6),4).在△ABD中，由正弦定理得eq\f(BD,sin∠DAB)＝eq\f(AB,sin∠ADB)所以BD＝eq\f(AB·sin∠DAB,sin∠ADB)＝eq\f(53＋\r(3)·sin45°,sin105°)＝eq\f(53＋\r(3)·\f(\r(2),2),\f(\r(2)＋\r(6),4))＝eq\f(10\r(3)1＋\r(3),1＋\r(3))＝10eq\r(3).又∠DBC＝180°－60°－60°＝60°，BC＝20eq\r(3)，在△DBC中，由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2×BD×BCcos60°＝300＋1200－2×10eq\r(3)×20eq\r(3)×eq\f(1,2)＝900，所以CD＝30(海里)，則至少需要的時間t＝eq\f(30,30)＝1(小時)．1．海上有A、B兩個小島相距10海里，從A島望C島和B島成60°的視角，從B島望C島和A島成75°視角，則B、C間的距離是(D)A．10eq\r(3)海里 B.eq\f(10\r(6),3)海里C．5eq\r(2)海里 D．5eq\r(6)海里解析：如圖，C＝180°－60°－75°＝45°，AB＝10，由正弦定理得eq\f(10,sin45°)＝eq\f(BC,sin60°)，∴BC＝5eq\r(6)(海里)，故選D.2．某人向正東方向走了xkm后向右轉(zhuǎn)了150°，然后沿新方向走了3km，結(jié)果離出發(fā)點恰好為eq\r(3)km，那么x的值為(C)A.eq\r(3)B．2eq\r(3)C．2eq\r(3)或eq\r(3)D．3解析：由余弦定理可知x2＋32－6xcos30°＝(eq\r(3))2即x2－3eq\r(3)x＋6＝0，解得x＝eq\r(3)或2eq\r(3)，經(jīng)檢驗x＝eq\r(3)及2eq\r(3)都符合題意．3．A，B兩點間有一小山，先選定能直接到達(dá)點A，B的點C，并測得AC＝60m，BC＝160m，∠ACB＝60°，則A，B兩點間的距離為140_m.解析：在△ABC中，由余弦定理得AB＝eq\r(602＋1602－2×60×160cos60°)＝140(m)．4．某船上的人開始看見燈塔在南偏東30°方向，后來船沿南偏東60°方向航行45海里后，看見燈塔在正西方向，則這時船與燈塔的距離是15eq\r(3)海里．5．如圖所示，若小河兩岸平行，為知道河對岸邊兩棵樹C，D(CD與河岸平行)之間的距離，選取岸邊兩點A，B(AB與河岸平行)，測得數(shù)據(jù)：AB＝6m，∠ABD＝60°，∠DBC＝90°，∠DAB＝75°.試求C，D間的距離．解：∠ABC＝∠ABD＋∠DBC＝60°＋90°＝150°，所以C＝180°－150°＝30°，∠ADB＝180°－75°－60°＝45°.△ABD中，由正弦定理得AD＝eq\f(AB·sin∠ABD