數列求和方法及數學歸納法

數列求和一、常用公式法直接利用公式求和是數列求和的最根本的方法．常用的數列求和公式有：等差數列求和公式:等比數列求和公式:二、錯位相減法可以求形如的數列的和，其中為等差數列，為等比數列.例1：求和：.設，其中為等差數列，為等比數列，公比為，利用錯位相減法求和.解：，兩端同乘以，得，兩式相減得于是.說明：錯位相減法實際上是把一個數列求和問題轉化為等比數列求和的問題.三、裂項相消法適用于

其中{

}是各項不為0的等差數列，c為常數；局部無理數列、含階乘的數列等例2求數列{1/(＋)}的前n項和解：∵1/(＋)＝－(n＋1－n＝1)

分母有理化

∴1/(＋)＋1/(＋)＋…＋1/(－)

＝－1＋－＋…＋－

＝－1

說明：對于分母是兩二次根式的和，且被開方數是等差數列，

利用乘法公式，使分母上的和變成了分子上的差，從

而Sn又因中間項相消而可求。四、分組轉化法有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，假設將這類數列適當拆開，能分為幾個等差、等比或常見的數列，那么對拆開后的數列分別求和，再將其合并即可求出原數列的和．例3集合A＝{a|a＝2n＋9n－4，n∈N且a＜2000}，求A中元素的個數，以及這些元素的和解：由210＝1024，211＝2048

知210＋9×10－4＜2000

211＋9×10－4＞2000

∴A中有10個元素,記這些元素的和為S10，那么

(首項為9，公差為9的等差數列)

S10＝2＋22＋23＋…＋210＋9＋18＋…＋90－4×10

(首項為2，公比為2的等比數列)

＝2(210－1)＋99×5－40＝2501

說明：此題中A是一個集合，集合中的元素是不可重復的，

也是沒有順序，所以集合與數列是不同的，但在

求和時與10個元素的順序無關，所以可借用數列

的方法求和。五、配對求和法對一些特殊的數列，假設將某些項合并在一起就具有某種特殊的性質，那么在數列求和時，可考慮把這些項放在一起先配對求和，然后再求Ｓｎ．例4,設數列的首項為，前項和滿足關系式：〔1〕求證：數列是等比數列?！?〕設數列的公比為，作數列使，求?！?〕對〔2〕中的數列求和：。〔1997年上海高考試題〕解:1〕略；〔2〕，〔提示：〕〔3〕〔提示：配對求和〕六、數學歸納法第一數學歸納法：〔1〕命題成立；〔2〕假設命題成立；由〔1〕〔2〕可知命題都成立。簡單實例：證明；第二數學歸納法：〔1〕命題成立；〔2〕假設；由〔1〕〔2〕命題都成立。應用的注意點：〔1〕兩步缺一不可〔2〕第二步證明是必須利用歸納假設；例5．用數學歸納法證明：

。證明：i)當n=2時，左式=，

右式=，∵，∴，

即n=2時，原不等式成立。ii)假設n=k(k≥2,k∈Z)時，不等式成立，即,那么n=k+1時，

左邊=右邊=，要證左邊>右邊，只要證，只要證，只要證4k2+8k+4>4k2+8k+3只要證4>3。而上式顯然成立，所以原不等式成立，即n=k+1時，左式>右式。由i),ii)可知，原不等式對n≥2，n∈N均成立。七.倒序相加法：如果一個數列｛an｝，與首末兩項等距的兩項之和等于首末兩項之和，可采用把正著寫和與倒著寫和的兩個和式相加，就得到一個常數列的和，這一求和的方法稱為倒序相加法。例6.求和解析：據組合數性質，將倒序寫為以上兩式相加得：八.待定系數法類似等差數列，如果是關于的次式，那么它的前項和是關于的次式，且不含常數項。因此，只要求出這個次式的各項系數即可。例7.求和解析：由于通項是的二次式，那么是的三次式，且不含常數項。設，令得解得所以九．無窮等比數列各項和符號：顯然：1〕，不存在2〕，，不存在3〕，不存在4〕，定義：我們把的無窮等比數列前n項的和當時的極限叫做無窮等比數列各項的和，并用S表示，即S=()。注：1.無窮等比數列前n項和與它的各項和S的區(qū)別與聯(lián)系；2.前n項之和是數列中有限個項的和,而無窮等比數列各項的和是數列中所有的項的和,它們之間有著本質的區(qū)別。3.對有無窮多項的等比數列,我們是不可能把它們所有的項一一相加的,而是通過對它的前n項之和取極限運算而求得,是用有限的手段解決無限的問題。4.求和前提：；公式說明它只求公比的無窮等比數列各項的和.數學歸納法●難點磁場(★★★★)是否存在a、b、c使得等式1·22+2·32+…+n(n+1)2=(an2+bn+c).●案例探究［例1］試證明：不管正數a、b、c是等差數列還是等比數列，當n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等時，均有：an+cn＞2bn.命題意圖：此題主要考查數學歸納法證明不等式，屬★★★★級題目.知識依托：等差數列、等比數列的性質及數學歸納法證明不等式的一般步驟.錯解分析：應分別證明不等式對等比數列或等差數列均成立，不應只證明一種情況.技巧與方法：此題中使用到結論：(ak－ck)(a－c)＞0恒成立(a、b、c為正數)，從而ak+1+ck+1＞ak·c+ck·a.證明：(1)設a、b、c為等比數列，a=,c=bq(q＞0且q≠1)∴an+cn=+bnqn=bn(+qn)＞2bn(2)設a、b、c為等差數列，那么2b=a+c猜測＞()n(n≥2且n∈N*)下面用數學歸納法證明：①當n=2時，由2(a2+c2)＞(a+c)2，∴②設n=k時成立，即那么當n=k+1時，(ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)＞(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)=(ak+ck)(a+c)＞()k·()=()k+1［例2］在數列{an}中，a1=1，當n≥2時，an,Sn,Sn－成等比數列.(1)求a2,a3,a4，并推出an的表達式；(2)用數學歸納法證明所得的結論；(3)求數列{an}所有項的和.命題意圖：此題考查了數列、數學歸納法、數列極限等根底知識.知識依托：等比數列的性質及數學歸納法的一般步驟.采用的方法是歸納、猜測、證明.錯解分析：(2)中，Sk=－應舍去，這一點往往容易被無視.技巧與方法：求通項可證明{}是以{}為首項，為公差的等差數列，進而求得通項公式.解：∵an,Sn,Sn－成等比數列，∴Sn2=an·(Sn－)(n≥2)(*)(1)由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=－由a1=1，a2=－,S3=+a3代入(*)式得：a3=－同理可得：a4=－,由此可推出：an=(2)①當n=1,2,3,4時，由(*)知猜測成立.②假設n=k(k≥2)時，ak=－成立故Sk2=－·(Sk－)∴(2k－3)(2k－1)Sk2+