上海市閔行區(qū)2023-2024學(xué)年高三年級上冊學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研試題數(shù)學(xué)試卷含答案

2023學(xué)年第一學(xué)期高三年級學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研

數(shù)學(xué)試卷

考生注意：

1.本場考試時間120分鐘，試卷共4頁，滿分150分，答題紙共2頁.

2.作答前，考生在答題紙正面填寫學(xué)校'姓名'考生號，粘貼考生本人條形碼.

3.所有作答務(wù)必填涂或書寫在答題紙上與試卷題號對應(yīng)的區(qū)域，不得錯位.在草稿紙、試

卷上作答一律不得分.

4.用2B鉛筆作答選擇題，用黑色筆跡鋼筆、水筆或圓珠筆作答非選擇題.

一'填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）

考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果.

1.已知集合加={0,l,a+l},若—leM,則實數(shù)。=.

2.若sina=；,貝Usin（乃-a）=.

3.若xy=l（x、yeR）,貝!!/+4y2的最小值為.

4

4.已知（x-1），=a0+。］%+。2%2+。3丁+a4x,則a2=.

5.已知圓錐的底面周長為4乃，母線長為3,則該圓錐的側(cè)面積為.

22

6.若雙曲線2=1（?！?/〉0）的離心率為后，則該雙曲線的漸近線方程為.

b

71

7.若將函數(shù)y=sin（2x+0）（0<0<》）的圖像向右平移彳個單位，得到的圖像所對應(yīng)的函

數(shù)為奇函數(shù)，則0=.

8.已知/（x）=x2—8x+10,xwR,數(shù)列{%}是公差為1的等差數(shù)列，若

/（￡?1）+/（a2）+/（a3）的值最小，則.

9.今年中秋和國慶共有連續(xù)8天小長假，某單位安排甲、乙、丙三名員工值班，每天都需

要有人值班.任選兩名員工各值3天班，剩下的一名員工值2天班，且每名員工值班的日期

都是連續(xù)的，則不同的安排方法數(shù)為.

10.若平面上的三個單位向量a、b、c滿足b則的所有可能的值

組成的集合為.

+00+8

ii.已知數(shù)列｛%｝為無窮等比數(shù)列，若w>=-2,則的取值范圍為

Z=1Z=1

12.已知點(diǎn)P在正方體A3CD-4片。1。的表面上，P到三個

平面ABC。、AD2A、耳4中的兩個平面的距離相等，

且P到剩下一個平面的距離與P到此正方體的中心的距離相

等，則滿足條件的點(diǎn)P的個數(shù)為.

二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）

每題有且只有一個正確選項.考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項的小方格涂

K|71

till■

13.已知a、/?eR,a>b,則下列不等式中不一定成立的是（）

（A）a+2>b+2（B）2a>2b（C）a2>b2（D）2a>2b

14.某校讀書節(jié)期間，共120名同學(xué)獲獎（分金、銀、銅三個等級），從中隨機(jī)抽取24名同

學(xué)參加交流會，若按高一、高二、高三分層隨機(jī)抽樣，則高一年級需抽取6人；若按獲獎

等級分層隨機(jī)抽樣，則金獎獲得者需抽取4人.下列說法正確的是（）

（A）高二和高三年級獲獎同學(xué)共80人（B）獲獎同學(xué)中金獎所占比例一定最低

（C）獲獎同學(xué)中金獎所占比例可能最高（D）獲金獎的同學(xué)可能都在高一年級

15.已知復(fù)數(shù)為、z?在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為尸、Q,|OP|=5（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），且

22

Z1-z1Z2-sin^+z2=0,則對任意。eR,下列選項中為定值的是（）

（A）|OQ|（B）\PQ\（C）△OPQ的周長（D）△OPQ的面積

16.已知函數(shù)y=/（%）的導(dǎo)函數(shù)為y=/，（x）,xeR,且y=/（x）在R上為嚴(yán)格增函數(shù)，關(guān)

于下列兩個命題的判斷，說法正確的是（）

①“王〉々”是“/（玉+1）+/（々）>/（XJ+/（々+1）”的充要條件；

②“對任意％<0,都有/（x）</（0）”是“y=/（x）在R上為嚴(yán)格增函數(shù)”的充要條件.

（A）①真命題；②假命題（B）①假命題；②真命題

（C）①真命題；②真命題（D）①假命題；②假命題

三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題，必須在答題紙的相應(yīng)位置寫

出必要的步驟.

17.(本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分)

如圖，在四棱錐P-A5CD中，底面ABCD是邊長為。的正方形，側(cè)面上4。，底面

歷

ABC。,且PA=PD=設(shè)￡、廠分別為PC、80的中點(diǎn).

2

(1)證明:直線所〃平面PAD；

(2)求直線PB與平面A5CD所成的角的正切值.

18.(本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分)

在△ABC中，角AB、C所對邊的邊長分別為a、b、c,且a-2ccos5=c.

(1)若cosB=g,c=3,求Z?的值；

(2)若5c為銳角三角形，求sinC的取值范圍.

19.(本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分)

2023年9月23日至10月8日，第19屆亞運(yùn)會在杭州成功舉辦，杭州亞運(yùn)會的志愿者

被稱為“小青荷”.某運(yùn)動場館內(nèi)共有小青荷36名，其中男生12名，女生24名，這些小青

荷中會說日語和會說韓語的人數(shù)統(tǒng)計如下：

男生小青荷女生小青荷

會說日語812

會說韓語mn

其中〃?、〃均為正整數(shù),6WmW8.

(1)從這36名小青荷中隨機(jī)抽取兩名作為某活動主持人，求抽取的兩名小青荷中至少

有一名會說日語的概率；

(2)從這些小青荷中隨機(jī)抽取一名去接待外賓，用A表示事件“抽到的小青荷是男

生”，用8表示事件“抽到的小青荷會說韓語”.試給出一組相、〃的值，使得事件A與5相

互獨(dú)立，并說明理由.

20.(本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分)

已知0<p<4,曲線I；、匕的方程分別為V=2p%

(0<x<8,y>0)flx2=2py(0<y<8,x>0),「與在

第一象限內(nèi)相交于點(diǎn)K(xK,yK).

(1)若|OK|=4衣，求夕的值；

(2)若p=2,定點(diǎn)T的坐標(biāo)為(4,0),動點(diǎn)M在直線

y=x1.,動點(diǎn)"(/,%)(°<心<4)在曲線r\上，求

刀的最小值；

(3)已知點(diǎn)4a,%)(0〈4)、3(%2，%)(%<%248)在曲線「]上，點(diǎn)A、8關(guān)于

直線y=x的對稱點(diǎn)分別為C、D,設(shè)|AC|的最大值為小，|3。|的最大值為/,若

m1

ye[1,2],求實數(shù)p的取值范圍.

21.(本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分)

已知aeR,f(x)=(a-2)x3-x2+5x+(1-?)Inx.

(1)若1為函數(shù)y=/(x)的駐點(diǎn)，求實數(shù)。的值；

(2)若a=O,試問曲線丁=/(x)是否存在切線與直線x—y—1=0互相垂直？說明理

由；

(3)若a=2,是否存在等差數(shù)列七,％2，工3(°<%<%<%3)，使得曲線y=/(X)在點(diǎn)

(%,/(%))處的切線與過兩點(diǎn)(％,/&))、(%3，/(七))的直線互相平行？若存在，求出所

有滿足條件的等差數(shù)列；若不存在，說明理由.

參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)

填空題1.—2；2.1；3.4；

4.6;5.6不；6.y=±x',

7T；8.3；9.18；10.

11.［2,+oo)；12.6.

二.選擇題13.C；14.D；15.A；16.C.

三.解答題

17.⑴［證明］連接AC,ABCD為正方形且P為的中點(diǎn),

二歹為AC的中點(diǎn)，又E為PC中點(diǎn)，

：.EF//PA.........................2分

又EF不在平面"40上,E4u平面上4Z),

.?.EF〃平面PAD.......................................................................6分

⑵解PA=PD=^a,AD=a..,PA±PD,

△B4O為等腰直角三角形，

取AD中點(diǎn)由等腰三角形性質(zhì)可知LAD,.................................................8分

又「平面平面ABCD,平面PAD平面4BCD=A￡),

r.PM，平面ABCD,......................................................................10分

連接BM，則NP8M為直線PB與平面ABCD所成的角......................12分

由=2。,氏0=@。，RWLMB可得tan/PBM=好，

225

???直線網(wǎng)與平面ABCD所成的角的正切值為￡...........................14分

18.［解］(1)將《^3=:，0=3帶入條件中可得。=5......................2分

由余弦定理〃=片+/-2〃CCOSB可得b=2?;..................6分

(2)a-2ccosB=c,由正弦定理可得sinA-2sinCcos5=sinC,.....8分

sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,

sinBcosC-sinCcosB=sinC,sin(5-C)=sinC,..............10分

B—Ce(—、,5),。€(0,10，所以5—0=0,即8=20,............12分

又因為△ABC為銳角三角形，.?.Ce(f,f),sinCe(：，￥)...........14分

6422

19"解］(1)從這36名小青荷中隨機(jī)抽取兩名的方法數(shù)為CM................2分

抽取的兩名都不會說日語的方法數(shù)為G；，......................4分

C217

因此，抽取的兩名中至少有一名會說日語的概率為1-於二天；.6.分.....

。3621

(抽取的兩名小青荷中至少有一名會說日語的方法數(shù)為C；o+C；°C：6給2分)

(2)當(dāng)機(jī)=6、〃=12時,事件A與5相互獨(dú)立..........................8分

理由如下：

從這些小青荷中隨機(jī)抽取一名，事件A發(fā)生的概率P(A)=￥=!,

363

事件3發(fā)生的概率尸(8)="U=1，................................................10分

362

事件A與5同時發(fā)生的概率P(A］硝=三=」............................12分

36o

P(A)P(B)=ix1=|=P(AlB),

326

因此，事件A與B相互獨(dú)立...........................14分

17+1477

(其它答案：當(dāng)機(jī)=7、〃=14時，P(A)=-,P(B)=——=—,P(AB)=—;

33o123o

當(dāng)加=8、〃=16時，P(A)=-,P(B)=^±^=-,P(AS)=—=-.)

3363369

121

(2)［另解］從這些小青荷中隨機(jī)抽取一名，事件A發(fā)生的概率「(㈤=0=G，

363

m+n

事件3發(fā)生的概率P(3)=—L，.....................................8分

36

事件A與3同時發(fā)生的概率P(AB)=—,.....................................10分

36

33636

整理得〃=2相，....................12分

所以可取加=6、〃=12或加=7、”=14或相=8、n=16........................14分

(學(xué)生只需寫出三種情況中的一種即可)

y=2px

20.［解］(1)聯(lián)立《二J,由點(diǎn)K(%K，yQ在第一象限，

x2=2py

得收=2J.....................................2分

JK=2P

由|OK|=40,得26P=4g,所以p=2；……4分

(2)曲線仁和:T2關(guān)于直線y=x對稱，

取N關(guān)于y=x的對稱點(diǎn)N',則V在曲線

y1=4x(0<%<4,y>0)±,......................6分

鼠=(|陌V]+|MT|)1ra「

又因為|W|+|VT|習(xí)77V],

所以只需求T到V=4x(0<x<4,y>0)上動點(diǎn)V的距離177Vl的最小值，

令N(x,2&)(04x<4),貝U|77V［=J(4—X)2+4X=J%?—4%+16,.....8分

當(dāng)x=2時，|7N［的最小值為20，+1rfli=26

所以(當(dāng)M(8—40,8—4后)，N(2挺,2)時)|M2V|+|VT|的最小值為26.…10分

(3)由(1)可得

IAC|=2/XI=V2I%—I,

(0Kx1K2p),

\BD\==@9-|,

2與%I(2/?<x2<8),12分

因此當(dāng)％=0■時，m=~^~PJ

當(dāng)％=8時，t=4y/2(2-y［p),14分

由臺得白晟)。,

................................16分

解得16—8A/3WpK160—64^/6...............................18分

21.［解］⑴由題意/'。=3(?！?)1—2%+5+匕@,..............2分

X

由1為函數(shù)y=/(%)的駐點(diǎn)，得r(l)=3(a—2)+3+(1—，)=。，

因此4=1；...................................4分

(2)當(dāng)a=O時，/(x)=-2x3-x2+5x+Inx,

1

/'(%)=—619一2%+5+—,.................................6分

x

原問題等價于是否存在%>