卷03（解析版）-2023年高考數(shù)學(xué)預(yù)測(cè)卷(天津卷)

2023年高考金榜預(yù)測(cè)卷（三）

數(shù)學(xué)（天津卷）

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

I.本試卷分第I卷（選擇題）和第I［卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自

己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂

黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無效。

3.回答第II卷時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共9個(gè)小題，每小題5分，共45分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

只有一個(gè)符合題目要求.

X

1.已知集合A={xeN∣Y-2X≤3^B=<x∈R≤0,則AC(45)=()

X—2

A.{3}B.{0,3}C.{2,3}D.{0,2,3}

【答案】C

【詳解】解：A={xeN∣√-2x≤3}={Λ≡N∣-l≤x≤3}={0,1,2,3),

X得｛tU"解得?！躼<2,

由≤0

x—2,

所以8=[X∈RM≤0∣=[0,2),

所以48=(-∞,0)u[2,+∞),

所以Ac(4B)={2,3}.

故選：C.

u,,u,,

2.∣<∣?log2α>log2?β<j().

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【詳解】若a=T,6=-2,則滿足而不滿足Iog2α>log2b,

當(dāng)log24>log,b時(shí)，a>b>0,所以二>二>0,即

αbab〃。

所以，q<：，，是，，log?a>Iog2b”的必要不充分條件，

故選：B

3.已知α=log32,6=ln2,c=203,則。也C的大小關(guān)系為（）

A.a>h>cB.Oa>bC.b>c>aD.c>b>a

【答案】D

【詳解】解：由題意

Iog23>log,e>1

I1,,

a=---<--------=?<1

Iog23Iog2e

ob>a

故選：D.

4.像“3,4,5”這樣能夠成直角三角形的數(shù)稱為勾股數(shù)，又稱為（）

A.畢達(dá)哥拉斯數(shù)B.楊輝數(shù)C.拉格朗日恒等數(shù)D.三角數(shù)

【答案】A

【詳解】勾股定理又稱為畢達(dá)哥拉斯定理，

故勾股數(shù)又稱為畢達(dá)哥拉斯數(shù).

故選：A.

5.函數(shù)/（x）=5∕在［-3,3］上的大致圖象為（）

【答案】C

【詳解】函數(shù)/(χ)定義域?yàn)镽,/(T)=二/：1=-??Γ=T(X)'即函數(shù)/(X)是奇函

數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除B；

而/(I)=Hl>1,排除D,又/(3)=6二e<2<l,排除A,選項(xiàng)C符合題意.

28282

故選：C

22

6.已知雙曲線C:]-馬=1(a>0/>0)的左，右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,A為C的左頂點(diǎn)，

ab~

5π

以耳苞為直徑的圓與C的一條漸近線交于P,Q兩點(diǎn)，且NPAQ=則雙曲線C的離心

O

率為()

A.2√3B.嚕C.√13D.浮

【答案】C

【詳解】如圖，由題意可得：OP=OQ=C,OA=a,

不妨設(shè)漸近線/：y=2x,即直線/的斜率加=2,則tanNAOP=-2,故

aaa

cosNAoP=-cosZ.AOQ=--,

在&AOP中，AP2=OA2+OP2-2OAOPcosZAOP=a2+c2-2×a×c×?--]=3a2+c2,即

AP=y∣3a2+c2>

在AAOQ中，AQ2-OA2+OQ2-2OAOQ∞sZAOQ=a2+c2-2×a×c×-=c2-a2,即

AP=y∣c2-a2>

在4APQ中，PQ2=AP2+AQ2-2AP-AQcosZPAQ,即

4C2=3a2+C2+C2-a2

整理可得:c4-14α2c2+13a4=0,即e,-14/+13=0，解得e?=13或1=1(舍去),

故雙曲線C的離心率為J萬.

故選：C.

yl

≡■

7.一個(gè)球與一個(gè)正三棱柱（底面為等邊三角形，側(cè)棱與底面垂直）的兩個(gè)底面和三個(gè)側(cè)面

都相切，若棱柱的體積為48石，則球的表面積為（）

A.16πB.4πC.8πD.32π

【答案】A

【詳解】由題意，設(shè)正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為

則其內(nèi)切球的半徑為'且〃=迫所以正三棱柱的高為/?=2-=立4,

3263

又棱柱的體積為丫邛邛/?=9=48石’得a=45

所以球的表面積為S=4π∕=4ττ{*?α）=^a2=16π.

故選：A.

8.一種藥在病人血液中的量不少于1500,咫才有效，而低于500,四病人就有危險(xiǎn).現(xiàn)給某

病人注射了這種藥2500mg,如果藥在血液中以每小時(shí)20%的比例衰減，為了充分發(fā)揮藥物

的利用價(jià)值，那么從現(xiàn)在起經(jīng)過（）小時(shí)向病人的血液補(bǔ)充這種藥，才能保持療效.（附:

Ig2≈0.3010,Ig3≈0.4771,結(jié)果精確到0.M）

A.2.3小時(shí)B.3.5小時(shí)C.5.6小時(shí)D.8.8小時(shí)

【答案】A

【詳解】設(shè)應(yīng)在病人注射這種藥X小時(shí)后再向病人的血液補(bǔ)充這種藥，

貝IJ500≤2500x(1-20%)*≤1500,整理可得：0.2≤0.8'≤0.6，

log0,80?6≤X≤Iog080.2,

lg2

Iog080.6=度處=處」=吆2+愴3-1X2.3,Iog080.2=更空=~1≈7.2,

08Ig0.8lg8-l31g2-l08Ig0.831g2-l

.?.2.3≤x≤7.2,即應(yīng)在用藥2.3小時(shí)后再向病人的血液補(bǔ)充這種藥.

故選：A.

(x-2)IΠ(Λ+l),-?<x≤m,

已知加＞函數(shù)（）

9.0,/x={cost3x÷-l,∕n<x≤π,恰有3個(gè)零點(diǎn)，則機(jī)的取值范圍是（）

兀5π)Γ,3π^「兀5兀1Γn3π^∣C(C5π?3兀、(t.5兀)Γ,3π

心適Bc∪

A?IM??^1rτj?Kd[2,jD.[θ,-J^2,τ

【答案】A

【詳解】設(shè)g(x)=(x-2)In(X+1),MX)=COS(3x+?}

r-23

求導(dǎo)g'(X)=In(X+1)+——=ln(x+1)+1一一—

'x+1x+1

由反比例函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)知g'(χ)在(T間,加>0上單調(diào)遞增，

且g'(?<0,g'(l)>0,故g'(χ)在加內(nèi)必有唯一零點(diǎn)X。，

當(dāng)X∈(T,Λ?)時(shí),g,U)<0,g(x)單調(diào)遞減;

當(dāng)xe(Λ0,m]時(shí)，g<x)>0,g(x)單調(diào)遞增；

令g(x)=O,解得X=O或2,可作出函數(shù)g(x)的圖像,

令MX)=0,即3x+J=∣→左肛上eZ,在(0,句之間解得X=T或技或3,

作出圖像如下圖

故選：A

二、填空題(本大題共6個(gè)小題，每小題5分，共30分.把答案填在題中橫線

上.)

1-i..

10.復(fù)數(shù)Z滿足^=T+2i,則IZI=.

【答案】叵

5

【詳解】由題??z=上-=(IT)(THi)=厘J

1件醉J田超惠-l+2i(-l+2i)(-l-2i)55'

-Bin，

故答案為：包■

5

11.函數(shù)F(X)=X(InX-1),g(x)=αx+b(α,heR),若α=l時(shí)，直線y=g(x)是曲線/(x)

的一條切線，則匕的值為.

【答案】Y

【詳解】當(dāng)。=1時(shí)，g(x)=x+"∕'(x)=lnx,設(shè)切點(diǎn)為A(Λ0,/(%)),

因?yàn)間(x)=x+b是/(χ)的一條切線，

所以/'(%)=ln?=l,解得Xo=e,

所以%)=f(e)=0,

又切點(diǎn)A(e,0)在切線y=x+6匕

所以O(shè)=e+b,得Z?=-e.

故答案為：Y

12.在(石-2)的展開式中，不含Y的各項(xiàng)系數(shù)之和為.

【答案】TIl

【詳解】令X=I可得各項(xiàng)系數(shù)之和為(1-2)8=1,

二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為J=CX=(-2)'Cx~r,r=0,l8,

令手1=2,則廠=2,

故含一項(xiàng)的系數(shù)為(-2)2(^=112,則不含一的各項(xiàng)系數(shù)之和為ιτi2=Tll.

故答案為：TlL

13.接種疫苗是預(yù)防控制新冠疫情最有效的方法.我國(guó)自2021年1月9日起實(shí)施全民免費(fèi)接

種新冠疫苗.截止到2021年5月底，國(guó)家已推出了三種新冠疫苗(腺病毒載體疫苗、新冠病

毒滅活疫苗、重組新冠病毒疫苗)供接種者選擇，每位接種者任選其中一種.若5人去接種

新冠疫苗，恰有3人接種同一種疫苗的概率為.

…才40

【答案】—

o1

【詳解】由題意，每位接種者等可能地從3種任選一種接種，

山分步乘法計(jì)算原理知，共有3$=243不同的結(jié)果，

恰有3人接種同一種疫苗，可先從5人中任選3人并成一組，有C；種結(jié)果，

這個(gè)小團(tuán)體有3種疫苗可選，另外兩人各有2種疫苗可選，故共有C"3x22=120種，

故恰有三人接種同一種疫苗共有120種不同結(jié)果，

由古典概型概率計(jì)算公式得：/,=-.

243ol

故答案為：940

o1

14.已知.ABC為等腰直角三角形，AB=AC=2,圓M為.√1BC的外接圓，

ME=；(MA+MB),則MEAB=；若P為圓M上的動(dòng)點(diǎn)，則PM?FE的取值范

圍為.

【答案】0[2-^,2+√2]

【詳解】在等腰直角；/WC中，AB=AC=2,由ME=；(MA+MB)得，點(diǎn)E是弦AB的中

點(diǎn),

在圓M中，MELAB,因此ME?A8=0;

依題意，以圓M的圓心M為原點(diǎn)，直線CB為X軸，點(diǎn)A在y軸正半軸上，建立平面直角

坐標(biāo)系，如圖,

=2,因?yàn)镻為圓M上的動(dòng)點(diǎn),

設(shè)P(√2cosθ,&sin6?)(0<θ<2π),

PM=(-75cosθ,-72sinθ),PE=(------41cosθ,--------gsin。)，

22

于是得PM?PE=2cos2^+2sin2e-cos6-sin0=2-&sin(9+匹),

4

而E≤6+f<"，因此當(dāng)。=￡時(shí)，(PM?PE)min=2-√L當(dāng)。=毛時(shí),

44444

(PM-PE)nm=2+42,

所以PΛ∕?PE的取值范圍為[2-JΣ,2+√Σ].

故答案為：0;[2-√2,2+√2]

15.已知函數(shù)=g(x)=∣x(x-2)∣,則〃g⑵)=,若方程

/(g(x))+g(x)-w=O的所有實(shí)根之和為4,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

【答案】1m<?

【詳解】g(2)=0,貝ιj∕(g(2))=∕(θ)=2°=l

令r=g(χ),則M=O的實(shí)根個(gè)數(shù)即

函數(shù)y=∕(χ)與函數(shù)y=m-χ圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)

當(dāng)R>I時(shí)，函數(shù)y=∕(χ)與函數(shù)y=m-χ圖像有1個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)橫坐標(biāo)大于1,

即g(x)=f>1,函數(shù)y=g(x)與函數(shù)y=f(f>l)有2個(gè)交點(diǎn)，

則方程f(g(x))+g(x)-機(jī)=0有兩根，且兩根和為2,不符合題意；

當(dāng)機(jī)=1時(shí)，函數(shù)y=∕(x)與函數(shù)V=6一》圖像有2個(gè)交點(diǎn)，6=0也=1

即g(x)=0或g(x)=l,則Xl=O或七=1或X3=2,

則方程f(g(x))+g(x)-m=0有3個(gè)根，且3根和為3,不符合題意；

當(dāng)施<1時(shí)，函數(shù)y=f(χ)與函數(shù)丁=加一%圖像有2個(gè)交點(diǎn)，tj<0,0<r4<1

即g(x)=q<?；騡(x)=f4,0<Q<l

函數(shù)y=g(χ)與函數(shù)y=4(4<0)無交點(diǎn)，不符合題意；

函數(shù)y=g(χ)與函數(shù)y=∕4(o<L<ι)有4個(gè)交點(diǎn)，且4個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和為4,

則方程f(g(x))+g(x)-W=O有4個(gè)根，且4根和為4,符合題意

綜上，實(shí)數(shù)〃?的取值范圍是，”<1

故答案為：1：m<1

三、解答題：(本大題5個(gè)題，共75分)

16.在ABC中，內(nèi)角AB,C所對(duì)的邊分別為α,。，c,己知4$山2上0+441^抽3=2+夜

2

(1)求角C的大??；

⑵已知b=4,ABC的面積為6,求：

①邊長(zhǎng)C的值；

②CoS(28-C)的值.

【答案】(1)；(2)①加；②且

410

【詳解】(1)由題意可得：

A-BI-COs(A-B)

4sin9--------+4sinΛsinβ=4×------------------+4sinΛsinβ=2-2cosAcosB-2sinAsinB+4sinΛsinβ

22

=2-2(cosAcosB-sinAsinB)=2-2cos(A+B)=2÷2cosC=2+V2,

可得COSC=正，

2

??C∈(0,π),

C=-

4

(2)①:，ABC的面積S=JabSinC=IXαx4x-^?=6,

222

??U=35/2，

由余弦定理：c?2=∕+∕-2α力CoSC=I8+16-2x3√∑χ4x立=10,則c=√I5;

2

a2+c2-b218+10-16√5HUA∕π)

②YCoSB=-------7=-J==—>n0,B∣Jθ∈0,-,

2ac2×3√2×√105I2；

則SinB=JI-CoS2B=

5

?*?sin28=2sinBcosB=2×^-×^^?=-,cos2B=2cos2B-?=2×--?=~—

55555

√24√2√2

故cos(28-C)=cos28CoSC+si∏2BsinC=—X-----F-X----=-----

525210

17.如圖,在四棱錐P-ABCO中，%，平面ABC。，AB//CD1^CD=2fAB=I,βC=2√2,

Λ4=2,ABlBC,N為P。的中點(diǎn).

⑴求證：AN//平面尸BC；

(2)求平面B4。與平面Pa)夾角的余弦值；

(3)點(diǎn)M在線段AP上，直線CM與平面PAD所成角的正弦值為華，求點(diǎn)M到平面PCO的

距離.

?/?\/6

【答案】(I)證明見解析(2)9(3)3

【詳解】(1)記Co的中點(diǎn)為E,連結(jié)AE,

因?yàn)锳3〃CD,CE=^-CD=↑=AB,所以四邊形ABeE是平行四邊形，則AE=I,

2

因?yàn)锳S/8C,所以平行四邊形ABCE是矩形，則AEJ"Λfi,

因?yàn)锽4J■平面A8Cf>,AE,ABu平面ABC￡),所以PA_L4E,PA_LAB,則PAAE,48兩兩

垂直，

故以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AE,AB,AP為x，Xz軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

則A(0,0,0),β(O,l,O),f(2√2,θ,θ),θ(2√2,-l,θ),C(2夜,1,0),P(0,0,2),

因?yàn)镹為P。的中點(diǎn)，所以N

設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為加=(x,y,z),而8P=(O,-1,2),BC=(2√2,0,0),

Jm`BP=-V+2z=O

''LBC=2√2X=0'令Z=I則，〃=(0,2,1),

UUlnIT1UUUlU

所以AJV?機(jī)=-5x2+l=O,則ANJ.,〃，

又AN<z平面尸BC,所以AN//平面PBC.

(2)設(shè)平面PAz)的一個(gè)法向量為"=(α,4c),≡AP=(0,0,2),AD=(2√2,-l,0),

APn=2C=O

所以令a=l,則7=(1,20,0)，

AD?n=2?∣2a-b=O

設(shè)平面PCZ)的一個(gè)法向量為"=(r,s,f),而CO=(0,-2,0),PC=Qyfi,1,-2),

CD?u=-2S=O

所以令r=l,貝!]"=(l,0,夜),

PCU=2Λ∕2Γ+s-2f=O

記平面PAZ)與平面PcD夾角為α,則O＜a＜；,

∣ι+o+o∣V3

所以COSa=COS=

--

川.√l+8×√i+29

所以平面PAD與平面PCD夾角的余弦值為且.

9

(3)依題意，不妨設(shè)AM=Mo≤%≤2),則/=(0,(U),CΛ∕=(-2√2-1J),

又山(2)得平面PAr)的?個(gè)法向量為：=(1,2夜,0),記直線CM與平面上4￡＞所成角為夕,

I/?-CMI∣-2√2-2√2∣4√5

所以sin/?=kos(〃,?~?=',-------LT=笠，解得上=1(負(fù)值舍去)，

n?CM√1+8?√8+1+?215

所以M(0,0,1),則MP=(0,0,1),

而由(2)得平面PCz)的一個(gè)法向量為"=(l,0,亞),

?MP-U?√2而

i

所以點(diǎn)M到平面PCO的距離為、r?=??=?-

u√l+23

18.已知等比數(shù)列｛q｝的前"項(xiàng)和為5“，也｝是等差數(shù)列，52=0,R-%=l,h3+a2=5,

2?5=?+3%.

⑴求｛4,,｝和也｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)圾｝的前“項(xiàng)和為乙，生=(2"：1)4,〃eN*.求證：∑?<l.

【答案】⑴4,=(T嚴(yán)；bn=2n

(2)證明見解析

【詳解】(1)4-q=1①，?i+%=5②，2?5=?t+3&③,，

②一①可得4-仇+q+/=4,

因?yàn)镾?=q+%=。，所以4-仿=4,

設(shè)也｝的公差為d,5UJ2d=4,即d=2,

代入③可得2(b,+4d)=4+3d+33+d),解得4=2,所以〃=2+2(〃-1)=2〃；

由①②可得4=1,a2=-l,等比數(shù)列｛”“｝的公比為-1,所以4=(-l)"T.

力"(2+2〃)(2π+l)an(2π+1)(-1)"'

⑵T,=—?—="(〃+1)，c—~^z-=-?r^-

2Tn〃(〃+1)

W、，…，2M+12n+3111111

?n為7∏?0'Jj^,c+cI=-------------------------=—I------------------------=-----------,

n(n+?)(Π+1)(∕7+2)nπ+1n+↑n+2nn+2

昌111111

/Ci=C.÷C7÷...÷=1----1-------F...4------------------=1----------.

?rf,122”3352w-l2〃+12n+?

]2"

由〃eN*,有1-^~-<1,即Eq<1.

2"+lM

22

19.已知橢圓C:「+與=I(a”>0)的離心率為;，橢圓的右焦點(diǎn)F與拋物線V=4x的

焦點(diǎn)重合.橢圓C的左頂點(diǎn)為A,直線AP與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為P,點(diǎn)尸關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱

點(diǎn)為點(diǎn)Q,直線P4,QA與y軸分別交于M,N兩點(diǎn).

(1)求橢圓C的方程.

⑵是否存在定點(diǎn)7,使得NMTW=若存在，求出定點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

【答案】⑴蘭+片=1

43

⑵存在，r?(√3,o)∏!c(-√3,o)

【詳解】(1)拋物線V=4x的焦點(diǎn)為尸(1,0),

c=l。=2

由題意可得：?4=從+C?解得"=G,

c_1C=I

.a-2

22

故橢圓方程為TpL

JT

(2)存在定點(diǎn)7,使得NMTN=萬，理由如下:

由⑴可得：A(-2,0),

設(shè)「優(yōu),%)(%≠°)，則Q(F)，-%),

故直線PA的斜率k?=?≠θ,直線%的斜率*2=-?=?

X0+2-Λ0+2Λ0-2

則城2=焉'已=法’

人OIJ人0J√vθ?

；點(diǎn)。(%,九)在橢圓上，則4→[?=ι,即￡=1(4-引，

:?kk一*力一.3,即一奈，

k'-XJ-44%

直線抬的方程為y=K(χ+2),

令X=O,則y=2吊，即M(0,24),

同理可得：N(0,2哈,

UUUIlLUl

設(shè)T[m,n),則MT=(S2勺)，NT=(犯〃一2&),

故

UUlTUUD3

MTNT=病+(n-2?)(n-2?)=∕n2+n2—2〃(4+&)+4k?h——2九k`----+機(jī)2÷77~—3,

12\秋)

TTUUUUUtl/、/\

若NMTTV=5,則MT?NT=O對(duì)任意4C(Y),。)U(O,+∞)恒成立,

-2n=0m=±5/3

可得療+/-3=0'解得'

n=0

故存在定點(diǎn)T為(6,0)或卜GO),使得NMTN=與

20.設(shè)加為實(shí)數(shù)，函數(shù)/(x)=InX-，nx.

⑴求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)加=e時(shí)，直線y=αr+6是曲線y=∕(x)的切線，求α+2Z＞的最小值；

⑶若方程/(x)=(2-，〃)x+〃(〃eR)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根VX?),證明：2X∣+X2＞∣?.

(注：e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

【答案】(1)當(dāng)m≤0時(shí)，函數(shù)/S)的單調(diào)遞增區(qū)間為Q+8)；當(dāng)用＞0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)

遞增區(qū)間為(0」)，單調(diào)遞減區(qū)間為(',+O;

mm

⑵-e-21n2;

(3)詳見解析.

【詳解】(1)因?yàn)?(x)=lnx-e,

所以/'(x)=!-m=笠土?,(x>0),

當(dāng)加≤O時(shí)，/*)>0在(0,*?)上恒成立，函數(shù)/(χ)在(O,?κ≈)上單調(diào)遞增；

當(dāng)m>0時(shí),由f'(x)>O,解得0<x<L函數(shù)/(χ)在(0—)上單調(diào)遞增，

mm

由尸(x)<0,解得x>L,函數(shù)/(X)在(工,+8)上單調(diào)遞減；

m