空間點、直線、平面之間的位置關系-2023年高考數(shù)學一輪復習（全國通用）（解析版）

考向27空間點、直線、平面

之間的位置關系

1.(2022年甲卷理7文9)在長方體48Cf)-A8∣GA中，已知瓦力與平面ABeD和平面的域8所成的角均

為30°,則

A.AB=2ADB.AB與平面AqG。所成的角為30。

C.AC=CBtD.BQ與平面8片GC所成的角為45。

【答案】D

【解析】用。與平面ABC。即NBQ8,耳。與平面A4,g8即No8∣A,

則/用。8=/。Α4=30°,設與。=2,則AO=Bg=I,由長方體對角線長公式『="+,2,得

1

AB=近，從而百，AB=①AD

ABI=AB與平面ABCID所成的角NBIAB的正弦值為耳

AC=√3>√2=CB1,B1D與平面8耳GC所成的角NDBC的正弦值為半.

2.(2022年乙卷理7文9)在正方體ABCo-A耳Ge中，E,F分別為AB,BC的中點，則

A.平面BIEFi.平面BORB.平面gEF_L平面A%)

c.平面片所〃平面AACD.平面4所〃平面AC。

【答案】A

【解析】

對于A選項：在正方體ABC。-ABGR中，因為EF分別為AB,BC的中點，易知EFLBD,從而防_1_平

面BC又因為EFU平面BOJ,所以平面BlEF，平面BZ)),所以A選項正確；

對于B選項：因為平面AiBD一平面Bz)DI=BZ),由上述過程易知平面4EFL平面A1BD不成立;

對于C選項：由題意知直線外與直線8∣E必相交，故平面4）〃平面AAC有公共點，從而C選項錯誤;

對于D選項：連接AC,AB1,B1C,易知平面A8∣C〃平面ACQ,

又因為平面ABiC與平面BIEF有公共點B1,故平面AB1C與平面BtEF

不平行，所以D選項錯誤.

3.（2022年新高考1卷第9題）已知正方體ABCo-A4GR，貝U

A.直線8C∣與D4,所成的角為90。

B.直線BG與CA所成的角為90。

C.直線8C∣與平面B4A。所成的角為45。

D.直線8C∣與平面ABC。所成的角為45。

【答案】ABD

【解析】在正方體A3CD-A8∣CQ中，因為8G?LB∣C,BClJ.44，所以BGj■平面AgCO,所以

BC11DAi,BC1JLCA1,故選項A,B均正確；

設AGBlDt=O,因為AGJ_平面B8∣OQ,所以直線BG與平面88QQ所成的角為NGBO,在直角

△080中，SinNGBO=K=J,故NCQO=30。，故選項C錯誤：

直線BG與平面"8所成的角為NGBC=45。，故選項D正確.綜上，答案選ABD.

①首先由所給條件中的部分線（或點）確定一個平面，然后再證其余的線（或點）在這個平面內(nèi)；②將所有

條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重合.

（2）證明點共線：

①先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上；②直接證明這些點都在同一條特定的直線

上.

（3）證明線共點：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經(jīng)過該點.

（3）求異面直線所成角

①平移法：

常見三種平移方法：直接平移：中位線平移（尤其是圖中出現(xiàn)了中點）：補形平移法：“補形法”是立體幾何

中一種常見的方法，通過補形，可將問題轉(zhuǎn)化為易于研究的幾何體來處理，利用“補形法”找兩異面直線所成

的角也是常用的方法之一。

②利用模型求異面直線所成的角

已知平面α的一條斜線a與平面α所成的角為仇，平面a內(nèi)的一條直線b與斜線a所成的角為0,與它的射

影a'所成的角為。2。求證：COSθ=COSθ∣?COSθ2O

③向量法求異面直線所成的角

1.公理2的三個推論

推論1:經(jīng)過一條直線和這條直線外一點有且只有一個平面；

推論2：經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面；

推論3：經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個平面.

2.異面直線判定的一個定理

過平面外一點和平面內(nèi)一點的直線，與平面內(nèi)不過該點的直線是異面直線.

1.異面直線易誤解為“分別在兩個不同平面內(nèi)的兩條直線為異面直線”，實質(zhì)上兩異面直線

不能確定任何一個平面，因此異面直線即不平行，也不相交.

2.在判斷直線與平面的位置關系時最易忽視“線在平面內(nèi)”.

iOS)

一、單選題

1.正方體ABCD-AtBlCtDl中，點加在棱OR上,過點C作平面BMC1的平行平面α,記平面α與平面BCC1B1

的交線為/,則AC與/所成角的大小為（）

【答案】D

【解析】因為平面BMcJ/平面α,平面8"GC平面BCC百=BG,平面α平面BCCg=/,貝IJBG〃/;

JT

在正方體中，易證8G，平面A18∣CO,故BG八AC,所以AC，/,即AC與/所成角的大小為,

2.如圖，直三棱柱ABC-A4G中，ACXBC,若A41=AC=BC=1,則異面直線Ae，48所成角的大小是

【解析】如圖所示，連接BC

WAB,AZfi1AlC即為異面直線ACAB所成角

AA,=AC=BC=l,【AC=近,B?C=e

又ACJ_BC,/.AB=X1B1=√2

在AC中，AiBl=AxC=BiC=>/2

4AC是正三角形

π

NgAC=I

故選：C

3.設”,匕是兩條不同的直線，α,/是兩個不同的平面，給出下列命題：

①若“_L〃,au心力U￡,則0_1_萬

②箱a〃β,aua,buβ,貝IJa〃/?

③若α〃夕MUa,61/7,則）

④若a〃b,a_La,i>_Lp,則α〃夕

其中為真命題的是（）

A.①②B.②③C.③④D.①④

【答案】C

【解析】①中，α?L6,quα∕u夕，則平面α與平面夕可能平行，可能相交也可能垂直，故①錯誤：

②中，a〃仇aua,bu0,直線。與直線6可能平行，異面或者垂直，故②錯誤；

③中，a〃β,aua,b1β,則6_Lc,故。故③正確；

④中，。〃"。1。,61夕，則?！ā?故④正確.

故選：C.

4.如圖，已知A、B、C、D、E、F分別是正方體所在棱的中點，則下列直線中與直線E尸相交的是（）.

C.直線CQD.直線D4.

【答案】A

【解析】如圖，易知4尸HG,HGBE,所以A尸〃BE,且AF=

2

所以ABEF為梯形，故AB與EF相交，A正確；

因為8CMH,MHNL,NLEF,所以BC〃瓦故B錯誤；

因為平面CDH平面EFNL,CDu平面CrW,EFU平面EFNL,

所以直線CQ與直線EF無公共點，故C錯誤；

因為AOU平面ACF,EFI平面ADF=尸，故A。與EF異面，D錯誤.

故選：A

5.已知正方體中A8CO-A4G2,E,G分別為AR,GQ的中點，則直線AG,CE所成角的余弦值為

()

?√30r√30r4√5n√M5

10151515

【答案】C

【解析】如圖所示：

取AB的中點F,連接EF,CF,易知A1G//CF,則NEcR或其補角）為直線A1G與CE所成角.不妨設AB=I,

則CF=6，EF=√6,EC=3,由余弦定理得CoSNECF=9+5-*=生叵,即直線AG與CE所成角的

2×3×√515

余弦值為拽.

15

故選：C.

6.已知/,，〃是兩條不同的直線，α是平面，且加〃ɑ,則（）

A.若/m,貝i"〃（ZB.若1〃a,貝∣"m

C.若貝∣J∕?LαD.若∕?Lα,貝∣J∕?Lw

【答案】D

【解析】依題意加//ɑ,

A選項，若〃/加，則可能∕uα,所以A選項錯誤.

B選項，若〃∕ɑ,則/與，”可能相交、異面、平行，所以B選項錯誤.

C選項，若/_L〃z,則可能∕uα,所以C選項錯誤.

D選項，由于“〃ɑ,所以平面ɑ內(nèi)存在直線〃，滿足加//",

若∕lα,則［1〃,則21m,所以D選項正確.

故選：D

7.如圖正方體ABCE）-A4G。中，P、°、R、S分別為棱AB、BC、BB「CZ）的中點，連接4$用。.空間任

意兩點、M、N,若線段MN上不存在點在線段AS,瓦。上，則稱MV兩點可視，則下列選項中與點Q可視

的為（）

A.點、PB.點BC.點RD.點Q

【答案】D

【解析】如圖連接PS,

因為RS分別為A8,8的中點，所以AP=0S,AP//DS,

所以四邊形"SD為平行四邊形，所以AO〃PS,

因為40〃4。，所以4。〃PS,所以A，A，P，S四點共面，

所以AS與RP相交，所以點尸與點R不可視，所以排除A,

因為DR〃BB∣,所以D,q,B∣,R,B共面,

所以由圖可知RB與耳。相交，QR與瓦。相交，

所以點8,點R都與點，不可視，所以排除BC,

故選：D

8.設/是直線，?,“是兩個不同的平面，則下列說法正確的是（）

A.若/〃α,l∕∕β,則α〃夕B.若/〃ɑ,l±β,則α,夕

C.若aJL0,Ila,則/〃夕D.若卬,l∕∕a,則∕J√?

【答案】B

【解析】對于A,若/〃a,l∕∕β,貝∣Ja,尸可能相交，故錯誤；

對于B,若/〃a,I邛,根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可知，a內(nèi)一定存在和/平行的直線機,

則，〃也垂直于“，由線面垂直的判定定理可知aJ_￡,故B正確；

對于C,若aLβ,ILa,則/可能在夕內(nèi)，故錯誤；

對于D,若a",/〃a,則/可能和S平行，故錯誤，

故選：B

二、多選題

9.已知空間中a力是兩條不同的直線，a,尸是兩個不同的平面，則下列命題不正確的是（）

A.a±a,b.La=>a∕/1>

B.aLa,aLb=>b//a

C.4<=。,匕匚夕,々〃夕=>4與匕異面

D.βLa,ac?β-b,aA-b=>aA.β

【答案】BCD

【解析】A：由垂直于同一平面的兩直線平行，可知A正確；

B：由a_La,：j_1可得b〃a或者bu<z,故B錯誤；

C：由aua,bu/3,a〃?可得。與b異面或a∕",故C錯誤;

D：由￡_La,aβ=b,aYb>當α<Zα時，不能得到。，乃，

只有當αuα時，才可以得到a_L/?,故D錯誤.

故選：BCD

10.如圖，若ABCZ）EF-ABCAEM為正六棱臺，AE=3,AB=4,AA=2則下列說法正確的是（）

A.AB//E1C1

B.ECL平面4。。

C.ΛA∕/平面CER

D.側(cè)棱與底面所成的角為60

【答案】BCD

【解析】對于A選項，因為AB與EQl平行，與&G異面，故A錯誤；

對于B選項，連接AREC,。。,因為六棱臺A8COE尸-A4G3gK是正六棱臺，

所以Oaj_平面ABCDEF,CEU平面ABCDEF,故。。1CE,

又因為底面ABCDE萬是正六邊形，所以AT>LCE,AOcOQ=O,AoU平面ADRA,OaU平面40。4,

所以ECL平面AOAA,

即ECL平面ADQ,故B正確；

對于C選項,設AL）與EC交于點M,因為AB=4,A百=3,所以AO=8,Ae=6,又DW=2,所以AM=6,

即AD=AM,又ADJfAM,所以AMAAl是平行四邊形，AAt/∕MDl,AMU平面CEA,AA∣0平面CE

所以胴〃平面CEA，故C正確；

對于D選項，.AtN/∕OOl,OOi1平面A8C3EF,.??AN?LABCDEF

NAAN為側(cè)棱與底面所成的角，在Rt,A1AN中,cosNAAN=要=:，

AI/?Z.

所以NA1AN=60，故D正確.

故選：BCD

三、填空題

11.已知直三棱柱ABC-ABCl中，NABC=I20。，AB=2,BC=CC1=I,則異面直線A耳與BG所成角

的余弦值為.

【答案】叵

5

【解析】如圖所示,設M,MP分別為AB,網(wǎng)和BG的中點,

可得MN//AB∣,NP//BCt,且MN=LABl=嶼,NP=>BC∣=立,

所以異面直線ABt與BCi所成角即為直線MN與NP所成的角,

作8C的中點為Q,貝九尸QM為直角三角形，

因為PQ=I,MQ=JAC,

在；ABC中，

由余弦定理可得AC?=AB2+BC2-2A8?8CcosN4BC=4+l-2χlx2χ(-g)=7,

所以AC=√7,所以MQ=*，

在AMQ尸中，MPNMQ2+PQ2=浮,

在，PMN中，

又因為異面直線所成角的范圍是(0,]],

所以4月與BC1所成的角的余弦值為叵.

5

故答案為：眄.

5

12.已知三棱柱ABC-ABC的底面是邊長為2的等邊三角形，。為8C的中點，若幺48=三，則側(cè)面四

邊形BCCtBl為正方形，則異面直線4。與BC1所成角的余弦值為.

【答案】邁

6

【解析】如圖所示，取84的中點E,連接4E,DE,則DE//8G，

則NAQE為異面直線A。與BG所成的角（或補角），

因為是邊長為2的等邊三角形，所以4。=百，

TrTE

又因為NAAB=三，所以44,8乃=1,

2

則線E=gBB∣=1,A1E=JAIB;+B1E-2Λ1Bl-B,Ecos^=√3,

又由四邊形BCC4為正方形，所以DE=3BG=血,

所以cosNADE=3^ζ33「=".

2×5p×√26

故答案為：顯.

6

13.在矩形ABCD中，AB=2AT）=4,點E為Cf）的中點（如圖1）,沿AE將△A3E折起到△APE處,

使得平面尸AE_L平面ABCE（如圖2）,則直線PC與平面ABCE所成角的正切值為.

PR2

【答案】S

【解析】取AE的中點尸，連接CF,PF,

：PA=P￡：且E為C￡＞的中點，ΛPFrAE,

又；平面P4E_L平面ABCE,平面PAE「平面ΛBCE=AE,PFU平面R4￡,

.?.PF_L平面ABCE,

則直線尸C與平面ABCE所成角為ZPCF

AE=√AD2+DE2=2√2>PF=EF=0

CF2=EF-+CE2-2EFCEcosZCEF=10即CF=M,

所以tan∕Pb=9=正.

√105

14.正方體ABC。-AMCQ的棱長為2,E,F,G分別為8C,CC,,B片的中點，給出下列四

個命題:

①上底邊G。的中點在平面AEF內(nèi)

②直線AG與平面AEF不平行

Q

③平面AEF截正方體所得的截面面積為I

④點C與點G到平面AEF的距離相等.

錯誤的命題是

【答案】①②④

【解析】在①中，如圖所示，連接。尸，D1A,延長。F,AE交于點S,因為E,F為BC,CC的中點,

所以EF//BC-BC1//ADt,所以EF〃A￡?,所以A,E,F,2四點共面，

所以截面即為梯形AEF。，所以上底邊GA的中點不在平面AM內(nèi)，故①錯誤；

在②中，如圖所示，取4G的中點。，連接AQ,GQ,由條件可知GQ∕∕EF,AiQ∕∕AE,

且GQA。=。，EKAE=E,所以平面AGQ//平面的

又因為AGU平面AGQ,所以AG//平面AEF,故②錯誤；

在③中，由①可知，因為AS=AS=J4?+22=26,ADl=2√2,

所以S叫s=gx2&xj（2^）、[^^）=6,所以“形5=6、9今，故③正確；

在④中，記點C與點G到平面AE尸的距離分別為九，A2,

因為匕九；所以九,

'-A￡F=]SΔA=VA_CEF==-2=1,

2

又因為％_八CT?=：?S^AEF-A2=VA一GEF=??J?=∣>魚=s

3323oZkAfF

所以九片生，故④錯誤.

故答案為：①②④.

-+∕c

TE

一、單選題

1.（2022?浙江?模擬預測）現(xiàn)有邊長為G的正四面體O-ABC,其中點M為a8Co的重心，點N,H分

別為。Λ/,AN中點.下列說法正確的有（）

3

A.ANlDMB.HM=一D.HM//AB

4

【答案】B

【解析】???正四面體O-ABC,點M為ABCO的重心，

.?.M為等邊^(qū)BCD的中心，

二9_1_面80）,QMU面BCD,LzW.

直線AM與AN交于點A,故AN不與。M垂直，故排除A；

延長。M交BC于點G,則G為BC中點，連接AG,如圖所示,

Z.<-

A4B

3

邊長為G，在aBCD中可得OG=不，

21

由AM±NM,AD=?/?,DM=—DG=1,MN=一.

32

1________________________I______________________________________O

HM=—y∣AM2+MN2=-AD2-DM2+MN2=-

224

故B正確，C錯誤；

在AM4G中，H,M分別為NA,NG的中點，

.?.HM//AG,又「ACcAB=A,不與AB平行，

故D錯誤.

故選：B.

2.(2022.上海靜安.二模)在下列判斷兩個平面α與夕平行的4個命題中，真命題的個數(shù)是().

(1)a、夕都垂直于平面r,那么a〃夕.

(2)a、戶都平行于平面r,那么a〃夕.

(3)a、4都垂直于直線/,那么a〃夕.

(4)如果/、機是兩條異面直線，且/〃a,m〃a,I//β,m//β,那么a〃尸

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】由面面平行的判定定理分析可知(1)錯，(2),(3),(4)正確.

故選：D

3.(2022?浙江嘉興?二模)如圖，已知正方體488-ABCQ的棱長為1，則下列結(jié)論中正確的是()

①若E是直線AC上的動點，則DE〃平面ABG

②若E是直線AC上的動點，則三棱錐E-ABG的體積為定值，

6

TT

③平面43C∣與平面ABCQ所成的銳二面角的大小為了

4

④若F是直線3。上的動點，則A尸?LAC

A.①②?B.②③?C.①②④D.①③④

【答案】C

【解析】對于①，連接AzYeA,

AxDJIBC,A,Dt=BC,二四邊形ABCO為平行四邊形，；.48〃Cq,

又ABU平面ABG,c。(Z平面A〃G,???C?！ㄆ矫鍭BG,

同理可得：AD"平面386，

AD1∩CD,=D,,AR,CRu平面AC。，.?.平面ACQ〃平面ABG,

若E是直線AC上的動點，則AEU平面ACR,，。岑〃平面ABG，①正確;

對于②，由①知，RE〃平面ABG,

==

二%-4町=5-Ag=V-AGD1??^,Λ1CID,力用~×~×1×1×1=->②正確;

對于③，連接Ba,交ACl于點。，連接B。，

平面43CZ)〃平面A百Ca,平面ABG與平面ABCo所成的銳二面角即為平面48G與平面A4CQ所

成的銳二面角,

.四邊形ABCQ為正方形，.?.ACTBQ,。為AG中點,

又AyB=BCBOLAiCt,

???NBOBl即為平面ABG與平面AgGq所成的銳二面角的平面角，

tanZBOB1=-^L=-L=√2Π

1BO√2,：.NBOB產(chǎn)一,

14

2

■rr

即平面MG與平面例。所成的銳二面角不為“③錯誤;

對于④，四邊形ABCD為正方形，，AC"L8。,

Bg_L平面ABCZ),ACU平面ABCQ,：.BBJAC,

又BBeBD=B,88],8￡><=平面8。￡）蜴，「.4^_1平面8￡巴81；

若F是直線50上的動點，則AFU平面.?.RFLAC,④正確.

故選：C.

4.（2022?山東濰坊?三模）我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中給出了很多立體幾何的結(jié)論，其中提到的多

面體"鱉臊”是四個面都是直角三角形的三棱錐.若一個“鱉膈”的所有頂點都在球。的球面上，且該"鱉膈''的

高為2,底面是腰長為2的等腰直角三角形.則球。的表面積為（）

A.12萬B.46TrC.6兀D.2乃

【答案】A

【解析】如下圖所示：

在三棱錐A—8CD中，A3，平面BCE>,BCLCD且BC=CD=2,AB=2,

因為Afi_L平面BCD,BC、BD、CDu平面BCO,則A8L8C,ABVBD,CDlAB,

CDLBC,ABcBC=B,?CQΛ平面ABC,ACU平面ABC,.?.ACYCD,

所以，三棱錐A-BCD的四個面都是直角三角形，且BD=《BC?+CD?=2也，

AD=AB1+BD1=2√3，

設線段AD的中點為。，則OB=OC=gAO=OA=OQ,

所以，點。為三棱錐A-BCD的外接球球心，

設球。的半徑為R,則R=gAO=6,因此，球。的表面積為4萬收=12萬.

故選：A.

5.（2022.河南.模擬預測（文））手工課可以提高學生的動手能力、反應能力、創(chuàng)造力，使學生在德、智、

體、美、勞各方面得到全面發(fā)展.某小學生在一次手工課上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成是

一個直三棱柱和一個長方體的組合圖形.其直觀圖如圖所示，AF=BF=2五,48=AA=2AO=4,P,Q,

M,N分別是棱AB,GE,BB-A尸的中點，則異面直線PQ與MN所成角的余弦值是（）

2√15后

D.

15155

【答案】B

【解析】分別取棱CG,AE的中點G,H,連接A”，HQ,NH,MG,GH.

易證四邊形APQH是平行四邊形，四邊形MNHG是平行四邊形,

則AH〃PQ,GH//MN,

故∕A"G是異面直線PQ與MN所成的角或其補角.

因為AF=BlF=,AB=AAt=2AD=4,

所以A，=聞，GH=30，AG=2√6,

30+18-242√15

則COSNAHG=

2×√30×3√2^15'

故異面直線PQ與MN所成角的余弦值是嚕.

故選：B

6.（2022?北京?人大附中模擬預測）已知正方體ABCD-ABCQ,。為對角線ACI上一點（不與點AG重合）,

過點O作垂直于直線4G的平面。，平面。與正方體表面相交形成的多邊形記為M,下列結(jié)論不正確的是

)

AD

A.M只可能為三角形或六邊形

B.平面ABCD與平面α的夾角為定值

C.當且僅當。為對角線AG中點時，M的周長最大

D.當且僅當。為對角線AG中點時，M的面積最大

【答案】C

【解析】如下圖，在正方體中，體對角線AG與平面CBQ-平面AB。，平面。PQRST都垂直，由圖可知,

在平面α運動過程中M只可能為三角形或六邊形，故A正確：由題可知平面α與AG都垂直，所以平面ɑ在

移動過程中都是平行平面，與平面ABCD的夾角為定值，故B正確；如下圖，當。為對角線AG中點時，M

為正六邊形。PQRST,而三角形ABO為等邊三角形，根據(jù)中位線定理。T=；4C,可得兩個截面周長相等,

故C錯誤；由圖可得，當。為對角線4G中點時，M為正六邊形OPQRST,設邊長0T=α,面積為土叵〃，

2

當。向下剛開始移動時，M為六邊形。出。RQZ,結(jié)合圖形可知兩鄰邊一條增大，一條減小且變化量相等,

設。1="+x,S"="-x(0<x<4),而且所有六邊形的高都相等且等于扃，兩鄰邊夾角都為120,則S,、

邊彩°∣4Q∣R∣S∣T]=S附”+S稀彩

PAs,τ,+sQAS,=:(α+x)(α-X)Sin120×2+^-(a+x+a-x)×y∣3ax2<,當M為三角形時

22222

面積最大為島2<轉(zhuǎn)所以當且僅當。為對角線Aa中點時，M的面積最大，故D正確.

2

故選：C.

7.(2022?河南安陽?模擬預測(理))在四面體ABC。中，NBCD=90。,AB，平面BCD,AC=CD.過點

B作垂直于平面AS的平面α截該四面體，若截面面積存在最大值，則tanZAC8的最大值為()

A.√2B.√2C,√3D.%

【答案】C

【解析】在四面體ABC。中，NBCD=90。,AB_L平面Be3,AC=Cr).TABJ_平面8C￡),CDU平面BCQ,

ABLCD,又CDLBC,ABCBC=B,則COl平面ABC,過8作BEj_AC于點E,過點E作所〃CD,則

斯_L平面ABC,BEU平面ABC,故EF上BE,ACEF=E,則AC_L平面BEF,ACU平面AC。，故

平面8￡產(chǎn)_1_平面AC。，設tanZACB=<9,設AC=I,在RABC中，BC=cosθ,AB=Sin。，在RABE中，

AEEF

ZABE=8,BE=ABcosθ=sin0cosθ,ΛE=ABsin^=sin2在△ACQ中，EFHCD,則=故

EF=AE=Sin2O,故

111isin"cos。1tan3θ

=X

S八BFF=-BE?EF=-Sin。COs。?sin2。=—Sin3夕Cos。=不x7Γ^Zforι4λ,9tnn2n,1

△BEF2222(sin20+cos26?)2tan6+2tan6+1

11

X—/(x)=V+2x+',得

2?2^令X=---,x∈(0,÷∞)

—~—I--------FtanΘtanθ

tanθtanθ

尸(X)=3/+2—=3x4+2/-I=(3七)產(chǎn)+1),當廣⑴>。時，》〉手，當/(力<。時，0<*<4,

XX"x"?3

故函數(shù)/（X）在用時單調(diào)遞減，在（理,+8）時單調(diào)遞增，即當X=。時，F(xiàn)（X）有最小值，此時截面

面積最大，故當一!一=@,tan，=石時，截面面積最大，故若截面面積存在最大值，則—L≥走，故

tan3tan。3

tanZACB的最大值為6，

8.（2022?浙江紹興.模擬預測）如圖，斜三棱柱ABC-A4G中，底面二43C是正三角形，瓦尸,G分別是

側(cè)棱AAl,即,CG上的點，^.AE>CG>BF,設直線CA,8與平面EFG所成的角分別為名/，平面防G與

A.SineVSina+sin/?,CoSe≤COSa+cos/?

B.Sin8≥sin。+sin/?,cos<cosa+COS/

C.SineVSina+Sin分,cos，>cosa÷cos/7

D.Sine≥sinα+sin。cosθ≥cosa+COS/7

【答案】B

【解析】

如圖：延長ERAB交于M,延長EG,AC交于N,延長FG,BC交于D,易得MN為平面ABC和平面EFG

的交線,

又。在平面ABC和平面MG上，則￡＞在直線MN上，即M,M。三點共線，由外角定理可得

ττ

NANM+NCDN=-.

3

過A作APL面EFG,垂足為P,過A作AQLMN,垂足為Q,連接PQ,PN,易得N/W尸即為直線C4與

平面EFG所成的角。,

則Sina=—,又APjL面EbG,MNU面EFG,則AP_LMN,又AQlMN,AP,AQu面APQ,

AN

APryAQ=Af

所以MNl.面"。，PQU面AP。，則MNLPQ,則/AQP即為平面石FG與底面ABC所成的銳二面角巴

?p

貝IJSine=而,

又SinNANM=強,

則Sina=Sine?sinZ∕VW,同理可得sin/?=Sine?sin∕CDN,則

AN

sinα+sin/7=Sine?(sinZANM+sinZC￡W),

又由

sin公NM=—M+NCDNSCDN

22

.∕ANM+/CDN、/ANM-/CDN、/ANMtZCDN、./ANM-NCDN、

=s?n(---------------------)cos(----------------------)+cos(----------------------)s?n(----------------------),

sinACDN=sin/ANMCDNAANM-/CDN)

,ZANM+ZCDN/ANM-/CDN、/ANM+4CDN、.，AANM-NCDN、

=s?n(---------------------)xcos(-----------------------)-cos(----------------------)s?n(----------------------),

則

za+zc

sinZANM+sinZCDN=2sin(≡≡)CoSlNM-NSV)52^^ANM+ZCDN=?SinJ,

2226

故Sina+sin力=Sin"(SinZAΛ7W+sinNCfW)≤sin6,A,C錯誤;

故CoS2，=I-Sin26≤l-(sinα+sin⑶2,由α,∕eθ,?可知α-∕e，所以1+2COS(α-∕7)>0,

即l+2cos<zcos∕7+2sinasinβ>G,整理可得

sin2α+cos2α+sin2)9+cos2夕+2COSaCOS尸+2SinaSinβ-?>Q,

即(SinC+siny0)^+(CoSa+cosβ?-1>O,即(CoSa+cos∕7)~>1-(Sinaf+sin∕7)^,

故cos*=I-Sin2e≤l-(sinc+sin夕y<(cose+cos∕)2,又CoSa,cos/?,CoSe≥0,故CoSe<cosα+cos4，B

正確，D錯誤.

故選：B.

二、多選題

9.（2022?廣東?大埔縣虎山中學模擬預測）如圖所示，在棱長為2的正六面體ABCf）-A耳GR中，。為線

段AC的中點（圖中未標出），以下說法正確的有（）.

A.線段CD中點為E,則直線OE與平面ABCR所成角的正弦值為T.

B.在線段AB上取靠近8點的三等分點F,則直線O尸與直線CQl不共面.

C.在平面ABCD上存在一動點P,滿足∣M+WH=2,則P點軌跡為一橢圓.

D.在平面C248上存在一動點。，點。到點。的距離和點Q到直線AB的距離相等，則點Q的軌跡為拋

物線，其準線到焦點的距離為√5.

【答案】AD

【解析】選項A：取AC中點“，連接HZXAH、OE、A'CDr4。

正六面體48CD-AMGA中，DH±D,C,DHVBC,DxCΓχBC=C

則_L平面AiBCDl,則NDAIH為直線4。與平面AiBCDl所成角

Rt?DΛ,H,中DH=6,Ao=20

則SinNDA”=半=：,即直線A。與平面A1BCD1所成角的正弦值為;.

2√222

由0為線段AC的中點，E為線段CD中點，可得4?！āＪ?/p>

則直線OE與平面ABC。所成角的正弦值為g.判斷正確；

選項B：在線段GA上取靠近2點的三等分點“，連接HARB、D1C

qG

H

正六面體ABCD-AMG2中，Dt/∕BC,A1D1=BC

則四邊形AACB為平行四邊形，則A0、B。相交且互相平分，則ACCS。=。

又HDJiBF,”2=B尸，則四邊形"RF8為平行四邊形，

則HF、BDt相交且互相平分，則HFCBR=O

又四邊形HRFB為平行四邊形，則GACoF=H

則直線QF與直線GA共面.判斷錯誤：

選項C：在平面ABCD上一動點P,滿足IAH+忸H=2,

又正六面體ABCA-AACQ的棱長為2,則P點軌跡為線段A8.判斷錯誤；

選項D：連接AG、D1B.AD1

則正六面體ABS-ABCQ中，ABCAC=O,AGCAC=O

則0點為矩形GAAB的中心.

在平面CiQAB上一動點。，點。到點0的距離和點Q到直線的距離相等,

則點Q的軌跡是以。為焦點以直線AB為準線的拋物線，

焦點。到準線AB的距離為貶.判斷正確.

故選：AD

?θ.（2022?湖北省仙桃中學模擬預測）已知點￡F為正方體ABCD-ABGA的棱AB、BC的中點，過EF

的平面ɑ截正方體，AB=4,下列說法正確的是（）

A.若α與地面ABCD所成角的正切值為應，則截面為正六邊形或正三角形

B.α與地面ABCO所成角為45則截面不可能為六邊形

C.若截面為正三角形耳6時，三棱錐Q-EFG的外接球的半徑為竽

D.若截面為四邊形，則截面與平面4E尸所成角的余弦值的最小值為1

【答案】AD

【解析】取EF的中點。，做Ool底面48GA,則。為Ba的四等分點，

且Oa=4,30=0,分別取AA、DG的中點M、N,連接MN、旦9交于K點，則K點為用僅的四等分

點，連接0K,在正方體ABCn-AMG。中，OKLMN,BlDi1MN,此時E尸、MVU平面α,

即平面α與底面ABeR所成的角為ZOKB1,且tanNOKBL器=壺=0,

因為平面A88//平面AB∣G2,所以平面α與底面ABCD所成的角的正切值為&,

再分別取4A、CG的中點。、P,連接EQ、QM、NP、PF,即過"'的平面α截正方體的截面為正六邊形

EGMNPF；取用8的中點G,連接EG、FG,則4EFQ為等邊三角形，EFLOQ,EFlOB,所以N8OQ即

為平面ABC。與平面所G所成的二面角的平面角，?Oβ=→4√2=√2,BG=I,

4

Rr2L

tanZBOG=—=-==√2,

OG√r2

所以平面ABCDH與平面EFG所成的二面角的平面角的正切值為正，此時.EFG為等邊三角形，故A正確;

當NoKBl=45時，IanZOKBl=1,所以Ool=KOl=4,所以AK=30-4,

由于M/V//EF,所以。MN為等腰直角三角形，MN=60-8,

由于EF=2近，所以四邊形MNFE為等腰梯形，必與GC、AA有交點，

則截面為六邊形，故B錯誤；

若截面為正三角形EFG時，則G為四B的中點，

所以三棱錐Q-EFG為正三棱錐，且EF=2√LAG=Jl6+16+4=6,

設正三角形EFG的外接圓的圓心為。一外接球的球心為。，連接。G.OG,

則Oo=OG=R,QlG=EF=巫，因為AG2=。哥+與G2=32+4=36,

'2sin603

222

所以D1O1=DtG-O1G=36-在RtOGO1中,

因為。o；+OiG2=OG?,所以竽-Rj+[3]=A2,解得R=竽，故C錯誤;

若截面為四邊形，則截面與底面ABC，棱的交點必在ABrC4上，且截面為AcLE時與平面瓦E尸所成

角的最大，此時的余弦值最小，連接4C，取AG的中點T，連接87，OBi,則F8∣=B∣E,OBjEF,

四邊形AaEF為等腰梯形，OTLEF,

則ZTOB1即為截面為ACFE時與平面B1EF所成平面角,Bo=16+2=18,

22

B1T=8,TO=16+2=18,在0叫中,

由余弦定理得3々。4=嗎%普故D正確.

2BlO×OT2×189

E

故選：AD.

三、填空題

11.（2022?河南?新鄉(xiāng)縣高中模擬預測（理））已知A,B兩點在球O的球面上，過直線A8的兩個平面所

成的銳二面角為60。，兩平面與球面的交線分別為圓C和圓。，圓C的半徑為1,圓。的半徑為2,且AB

是圓C的一條直徑，則該球的半徑為.

【答案】√5

【解析】由題意可知，如圖所示，

因為AD=%）