2024年新高考數(shù)學一輪復(fù)習：重難點突破5 極值點偏移問題與拐點偏移問題（七大題型）（解析版）

重難點突破05極值點偏移問題與拐點偏移問題

目錄

題型六：極值點偏移:混合型

題型七：拐點偏移問題

■方法技巧總結(jié)

1、極值點偏移的相關(guān)概念

所謂極值點偏移，是指對于單極值函數(shù)，由于函數(shù)極值點左右的增減速度不同，使得函數(shù)圖像沒有對

稱性。若函數(shù)/(X)在x=/處取得極值，且函數(shù)歹=/(X)與直線歹=6交于A(Xl,b),B(x2,h)兩點，則AB

的中點為而往往紅。如下圖所示。

圖1極值點不偏移圖2極值點偏移

極值點偏移的定義：對于函數(shù)v=/(x)在區(qū)間(。力)內(nèi)只有一個極值點X。，方程/(X)的解分別為

王、x2,且。＜%]＜》2＜6，(1)若土X」*/,則稱函數(shù)v=/(x)在區(qū)間(否,％2)上極值點X。偏移；

(2)若土產(chǎn)＞與,則函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(％,修)上極值點x°左偏，簡稱極值點與左偏；(3)若

A

-＜X0,則函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(％,工2)上極值點/右偏，簡稱極值點/右偏。

2、對稱變換

主要用來解決與兩個極值點之和、積相關(guān)的不等式的證明問題.其解題要點如下：(1)定函數(shù)(極值點為

%)，即利用導函數(shù)符號的變化判斷函數(shù)單調(diào)性，進而確定函數(shù)的極值點X0.

(2)構(gòu)造函數(shù)，即根據(jù)極值點構(gòu)造對稱函數(shù)/(x)=/(x)-/(2xo-x),若證事》2＞需，則令

E(x)=/(x)-/(生).

x

(3)判斷單調(diào)性，即利用導數(shù)討論尸(x)的單調(diào)性.

(4)比較大小，即判斷函數(shù)尸(x)在某段區(qū)間上的正負，并得出/(x)與/(2x0-x)的大小關(guān)系.

(5)轉(zhuǎn)化，即利用函數(shù)/a)的單調(diào)性，將/(x)與/(2x0-x)的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為x與2x0-x之間的關(guān)

系，進而得到所證或所求.

【注意】若要證明/的符號問題，還需進一步討論五土強與xo的大小，得出土玉所在

的單調(diào)區(qū)間，從而得出該處導數(shù)值的正負.

構(gòu)造差函數(shù)是解決極值點偏移的一種有效方法，函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的應(yīng)用貫穿

于整個高中數(shù)學的教學之中.某些數(shù)學問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，但如果我們能挖掘其內(nèi)在

聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、化繁為簡的作用.因此對函數(shù)的單調(diào)性

進行全面、準確的認識，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據(jù)題目的特點，構(gòu)造一個適當?shù)?/p>

函數(shù)，利用它的單調(diào)性進行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔

明快的思路，有著非凡的功效

3、應(yīng)用對數(shù)平均不等式同<正款〈號■證明極值點偏移:

①由題中等式中產(chǎn)生對數(shù);

②將所得含對數(shù)的等式進行變形得到章標;

③利用對數(shù)平均不等式來證明相應(yīng)的問題.

4、比值代換是一種將雙變量問題化為單變量問題的有效途徑，然后構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明題

中的不等式即可.

必考題型歸納

題型一：極值點偏移:加法型

例1.(2023?河南周口?高二校聯(lián)考階段練習)已知函數(shù)/(x)=上竺，aeR

⑴若。=2,求〃x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若。=1,為，々是方程/(6=如尹的兩個實數(shù)根，證明：國+々>2.

【解析】(1)由題可知/(X)的定義域為R,

令a(x)=x2-4x+2,則〃(x)=0的兩根分另I」為芭=2-0,々=2+應(yīng).

當x<2-&或x>2+應(yīng)時，/'(“<0；

當2-應(yīng)<x<2+6時，/小)>0；

所以/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2-忘,2+0),單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,2-忘)，(2+拉,+8).

(2)原方一程可化為Inx-x?+工+1=0,

?g(x)=lnx-x2+x+l,則g<x)=L-2x+l=欄=R，x>0.

XX

令g'(x)=0,得X=l.,:在(0,1)上，g'(x)>0,在(1,+8)上,g,(x)<0,

g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減,

，g(x)Wg⑴=-1+1+1=1>0,且當x>0,x趨向于0時，g(x)趨向于-oo,

當X趨向于y時，g(x)趨向于-00.

則g(x)在(0,1)和(1,+8)上分別有一個零點性,々，

不妨設(shè)0<演0<%）<1,/.2-xt>1,

設(shè)G（x）=g（x）-g（2-x），則G（x）=（lar-x2+x+l）-[ln（2-x）_（2-x）~+（2-x）+l]=Iru-ln（2-x）-2x+2,

G，(x)=：+2.x"—4x+2

———2

2-xx(2-x)

當0<x<l時，G'(x)>0,

???G(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，而G⑴=0,

.?.當0cx<1時,G(x)<0,g(x)<g(2-x),即g(xj<g(2_xj.

Vg(x2)=g(x,),

二g(x2)<g(2-xj.

：g(x)在(l,+8)上單調(diào)遞減，

:.x2>2-x,,即x,+x2>2.

例2.(2023?河北石家莊?高三校聯(lián)考階段練習)已知函數(shù)/(》)=》2M、-。(4€11).

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

,、2

(2)若函數(shù)/(x)有兩個零點為、巧，證明1<占+匕〈不.

【解析】(1)因為/(x)=x21nx-a(aeR)的定義域為(0,+a),

則"(x)-2x\nx+x=x:Qlnx+1),

令*(x)>0,解得X>%，令/'(x)<0,解得0<x<%,

,單調(diào)增區(qū)間為(+，+?>}

所以/(*)的單調(diào)減區(qū)間為

(2)證明：不妨設(shè)王<工2，由(1)知：必有0<再<4<々.

Ve

=22

要證』十/<，即證X[<-X],即證

又〃X2)=/(xJ,即證/(國)-/■[左-xj

<0

令g(x)=/(x)-f,其中

則g'(x)=x(21nx+1)+2In

令Mx)=g，(x),則"(x)=2(lnx+l)+l[2+1-1=2In2'—<C

TT、

在時恒成立,

(0,9)上單調(diào)遞減，即g1x)在上單調(diào)遞減，所以g'(x)>g'(9)

所以A(x)在=0,

上單調(diào)遞增，所以g(xj<g[2]

=0,

即/(%)-/—X]J<。，所以$+￡<；

接下來證明司+X2>1,

令土■=?,則，>1,又/(X|)=/(X2),即x；ln網(wǎng)=x；lnx2，所以lnX|=L^

x\l-t

要證1<再+々，即證1<再+歷，有(/+1)X]>1,

不等式(/+1)為>1兩邊取對數(shù)，即證ln$+ln(/+l)>0,

.t2Inr.zc,..(z+l)ln(z+l)t\nt

即Bn證r——+ln(/+l)>0,即Bn證——L--——->----

I-/2rv'tr-1

令”(%)=世竺1,xe(l,+=o),則t/(x)=(lnx+l)(x-l)-xlnx_x-lnx-1

x—1(l)2

令p(x)=x-lnx-l,其中XG(1,+OO),則，

XX

所以，P(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增,則當X€(1,+oo)時，p(x)>p⑴=0,

,xx—Inx—1

故當xel,+8)時，"((x)=^~k>0A

(I)

可得函數(shù)"(x)單調(diào)遞增，可得+即t+l)ln(，+l)>電￡,所以西+X2>1,

tt-\

2

綜上，1<再+々<不.

例3.(2023?廣東深圳?高三紅嶺中學?？计谀?已知函數(shù)/(x)=lnx.

(1)討論函數(shù)g(x)=/(x)-ax(aeR)的單調(diào)性；

⑵①證明函數(shù)尸(x)=/(x)-±(e為自然對數(shù)的底數(shù))在區(qū)間(1,2)內(nèi)有唯一的零點；

②設(shè)①中函數(shù)尸(X)的零點為X。，記加(x)=min,㈤,嵩)(其中向皿力｝表示。,6中的較小值)，若

機(同=〃(〃€1<)在區(qū)間(1,+8)內(nèi)有兩個不相等的實數(shù)根占/2(王<々)，證明：x,+x2>2x0.

【解析】(I)由已知g(x)=lnx-ox,

函數(shù)g(x)的定義域為(0,+e),導函數(shù)g(x)=1-a=上竺(x>0)

XX

當aWO時，g'(x)>0恒成立，所以g(x)在(0,+s)上單調(diào)遞增：

當a>0時，令8'(》)=0有方=,，

a

.?.當xe(0,J時，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，

當Xe(：,+=0>寸，g'(x)<o,g(x)單調(diào)遞減.

綜上所述：

當a40時,g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增;

當a>0時，g(x)在(0,。上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

(2)①尸(x)=lnx-十的定義域為(0,+孫導函數(shù)尸(制=15,

當x?l,2)時,F(x)>0,即尸(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)單調(diào)遞增,

又尸(1)=」<0,F(2)=ln2-4>0,且尸(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)的圖像連續(xù)不斷,

ee-

...根據(jù)零點存在性定理，有尸(X)在區(qū)間(1,2)內(nèi)有且僅有唯一零點.

0,函數(shù)尸(x)=lnx-士?在(0,+s)上單調(diào)遞增,

②當x>0時,

又尸(%)=0,

|x

.?.當1<X<X。時，F(xiàn)UX0,故/(x)<[BPWX-：

x

當時，F(xiàn)(x)>0,故/*)>：I,即切(外>咚,

ee

xInx,1<x<x0

???可得相(x)=1x，

當1<x時，w(x)=xlnx,由加(x)=l+lnx>0得加(x)單調(diào)遞增;

當X〉/時，m(x)=—,由加(x)=—]<0得加(x)單調(diào)遞減：

ee

若加(x)=〃在區(qū)間(l,y)內(nèi)有兩個不相等的實數(shù)根玉，X2{x1<x2),

則王￡(1,不)，X2G(xo,+O0)

，要證須+工2>2%,需證冗2>2%一玉，乂2%一項>/,

而加(X)在(%,+8)內(nèi)遞減,

故需證加。2)<加(4-再)，又加(再)二加卜2)，

即證加(玉)<加(2/一石)，即網(wǎng)出演<2?二J

下證玉In》]<：

2Y八一X

illh(x)=x\nx---7---,1<x<x,

el0

由/(Xo)=。知：h(xo)=O,

t己夕?)=:■,則夕'(f)=L^：

ee

當f?O,l)時，(p'(t)>0；

當fe(l,+8)時，(p'(t)<0,

故夕a)max=]，而夕(。>0,所以0<e(/)<L,

ee

由2x°-x>l,可知」i2x-x

ee0

A^(%)=1+10%+-^-^-^>1-1>0,即〃(x)單調(diào)遞增，

.?.當l<x<x()時，h(x)<h(xo)-O,即X[InX]<,故W+》2>2%，得證.

變式1.(2023?重慶沙坪壩?重慶南開中學?？寄M預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=x-sinO-alnx,x=l為其極小

值點.

(1)求實數(shù)。的值；

(2)若存在&WX2,使得/(占)=/(々)，求證：+x,>2.

【解析】(1)/(x)的定義域為(0,+8),

f\x)=1——cos{—x---,依題意得/(1)=[—a=0,得°=1,

2\2)x

此時/'(X)=1-，cos序J-p

當0cxe1時，0<—x<—,0<—cosf—<—,—>1,故/'(x)<0,/(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減，

222\2y2x

當l<x<2時，—<—x<7i,—cosf—<0,—<1,故/'(x)>0,/(x)在(1,2)內(nèi)單調(diào)遞增，

222Jx

故/(》)在x=l處取得極小值，符合題意.

綜上所述：4=1.

(2)由(1)知，/(x)=x-sinfXj-InX,

不妨設(shè)0＜?＜工2，

當1工玉＜公時，不等式用+工2〉2顯然成立;

當Z22時，不等式再+w>2顯然成立:

當0<玉<1,0<々<2時，由(1)知"X)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減，因為存在x產(chǎn)使得/(再)=/5)，所

以1<a<2,

要證占+毛>2,只要證占>2-馬，

因為1<工<2,所以0<2-》2<1,又為x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,

所以只要證/(再)</(2-々)，又/㈤=/(*2)，所以只要證/(WK/Q-W),

^F(x)=/(x)-/(2-x)(i<x<2),

則尸(x)=f\x)+尸(2-x)=1-/cos.q-g+l-ycosf^(2-x)1

2-x

=2-(^+-^^)-|(co{]x]-cosgx))

1i114-4

令g(、)=2-《+—)(】<x<2),貝厚(、)=?一曰=匹彳X，

因為l<x<2,所以g'(x)<o,g(x)在(1,2)上為減函數(shù),所以g(x)<g⑴=0,

即F'(x)<0,

所以尸(x)在(1,2)上為減函數(shù),

所以尸(x)〈尸⑴=0,即f(x2)<f(2-x2).

綜上所述：為+%>2.

變式2.(2023?湖北武漢?高二武漢市第六中學?？茧A段練習)己知函數(shù)。為實數(shù).

(1)求函數(shù)/(X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)/(X)在x=e處取得極值,/'(X)是函數(shù)“X)的導函數(shù)，且津(%)=/'(々)，再<%,證明：

2<玉+工2<e

【解析】(1)函數(shù)/(幻=丫2。11%-”的定義域為(0,+8),

3

/"(x)=2x(\nx--a)+x=x(21nx-3tz+1)

令/"(x)=0,所以lnx=M?,得”3，

/3?-i\(、

當xw0,e2,f\x)<0,當xwe2,+oo,f\x)>0,

/3a-lA(3a-1\

故函數(shù)/(X)遞減區(qū)間為o,e丁，遞增區(qū)間為e丁,+8.

(2)因為函數(shù)/(x)在x=e處取得極值，

所以x=e^=e，得。=1，

所以f(x)=X2(ln.v--),得/'(X)=x(2Inx-2)=2x(Inx-1),

令g(x)=2x(lnx-l),

因為g'(x)=21nx,當x=l時，g'(x)=0,

所以函數(shù)g(x)在xe(O,l)單調(diào)遞減，在xe(l,+8)單調(diào)遞增，

且當xe(O,e)時,8(力=2丫(111?-1)<0,當*€佰+<?)時,8(工)=理11)-1)>0,

故0<玉<1<與<e.

先證Xi+x?>2,需證x?>2-再.

因為乙>1,2-芭>1,下面證明g(xj=g(x2)>g(2-xj.

設(shè)(x)=g(2-x)-g(x),xe(0,l),

貝ljf'(x)=-g'(2-x)-g'(x)!t'(x)=-21n(2-x)-2Inx=-2ln[(2-x)x]>0

故，(力在(0,1)上為增函數(shù),故心)<《1)=8(1)-a1)=0,

所以，(xj=g(2-xj-g(x)<0,貝!]g(2-±)<g(x2),

所以2-X1<%,即得％+工2>2,

下面證明：x,+x2<e

令g(N)=g(X2)=m,^xe(0,l)fl^g(^)-(-2x)=2xInx<0,所以g(x)<-2x成立，

所以-2*>g(x,)=m,所以再

當xw(l,e)時,記A(x)=g(x)-(2x-2e)=2xlnx-4x+2e,

所以xw(l,e)時〃'(x)=21nx-2<0,所以〃(x)為減函數(shù)得力⑺>〃(e)=2e-4e+2e=0,

所以，"=8(4)>22-26,即得馬<y+e.

所以X+X2<-￡+T+e=e得證，

綜上，2<x,+x2<e.

變式3.(2023?江西景德鎮(zhèn)?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=(流]，，空)

(1)若函數(shù)/")在定義域上單調(diào)遞增，求。的最大值；

(2)若函數(shù)/(X)在定義域上有兩個極值點為和巧，若*2>%，/l=e(e-2),求回+工?的最小值.

【解析】(1)因為/(x)=(x+l)(：+ln(=a(x+l)：X+1)其中》>(),

ja4-lnx+^^jx-[a(x+1)+(x+]Inx]

則x—Inx+1—a,

--------i--------------二-----------------------------

因為函數(shù)/(x)在(0,+8)卜.單調(diào)遞增，對任意的x>0,x-lnx+l-a>0,HPa<x-Inx4-1,

令g(X)=X-ln%+l,其中x>0,則Q?g(x)mm，g，(x)=—,

由g'(x)<o可得0cxV1,由g'(x)>o可得X>1,

所以，函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+8),

所以，g(x)min=g6=lTnl+l=2,故a42,所以，。的最大值為2.

(2)由題意可知，2>芭>0,設(shè)%="1.

演

f7x)=0[x,-\nx,+l-a=0fx,-Inx+l-a=0

由I，\n可得,'n.則二.',,c，

f(x2)=0[x2-Inx24-1-a=0-InZ-Inx,+1-=0

—rmIn/tintby?(2+/)ln/人一、+.

可得士=口，x2=—>所以，九王+工2=匕彳一，令彳一，其中f>l,

A+1—--1—(zl+1)ln/

所以,

令p?)=2+/-：-l-(/l+l)ln/,其中r>l,則//()=]+今牛=(f"),

因為」=e(e-2)>l,由p'(f)<0,可得1</<2,由p'(/)>0可得f>2,

所以，函數(shù)P(。在(I")上單調(diào)遞減，在(4依)上單調(diào)遞增，IU=e(e-2)<e,

又因為p(e)=e(e-2)+e-(e-2)-l—[e(e-2)+l]=0且p⑴=0,

所以，當l<f<e時，P(f)<0,即⑺<0,

當t>e時，p(/)>0,即A'。)>0,

所以，函數(shù)〃(/)在(Le)上單調(diào)遞減，在(e,+8)上單調(diào)遞增，

所以，/,(/),=A(e)=^=e2~2e+e=e.

\/min\'e-1e-1

變式4.(2023?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=9+lnx-x(aGR).

(1)討論函數(shù)/(x)的極值點的個數(shù)；

(2)若函數(shù)/(X)恰有三個極值點不、x?、X3(X,<X2<X3),且求X1+X2+X3的最大值.

【解析】（1）函數(shù)/（x）二竺-+\nx-x（aeR）的定義域為（0,十。），

且f'（x\="（l）e'+1t=（xf8-x）

v7x2xx2

①當aMO時,aex-x<0,由/'（x）<0,可得x>l；由/心）>0,可得0<x<l.

所以“X）在（0,1）上單調(diào)遞增，在（L+8）上單調(diào)遞減，

因此/（X）在x=l處取得極大值，故當時，“X）有一個極值點；

②當時，令g（x）=2,其中x>0,則g'（x）=上手,

ee-e

由g'（x）<0可得x>l,由g'（x）>0可得0<x<l,

因此g（x）在（0,1）上單調(diào)遞增，在（1,+8）上單調(diào)遞減，

11y

所以g（x）a=g6=，所以故W-X20,

由/'（x）<0可得0<x<l,由/?（x）>0可得x>l,

所以/（X）在（0,1）上單調(diào)遞減，在（L+8）上單調(diào)遞增，

因此/（X）在x=l處取得極小值，故當。2：時，/（X）有一個極值點;

③當0<°<1時，(x-l)(aex-x)

e/(x)=------L

令/'（X）=O得》=1或。=/，令〃（X）="j,由②知"（XL="1）=":<0,

而力（0）=0>0,A^ln-y^j=a+idIna=a（1+2aIn勾，

令夕（“）=2aIna+1（0<a<,則“（a）=2（l+ln“）<0,

所以0（a）在（0,j上單調(diào)遞減，因此9（a）>l-|>0,故?ln5）>0,

所以函數(shù)”x）在（0,1）和（1,In*）上各存在唯的零點，分別為，〃、n,

所以函數(shù)/（x）在（0,?i）上單調(diào)遞減，在（九1）上單調(diào)遞增，在。,〃）上單調(diào)遞減，在（〃,m）上單調(diào)遞增,

故函數(shù)/（力在x=旭和％="處取得極小值，在x=1處取得極大值，

所以當0<。<，時，/（X）有三個極值點.

e

綜上所述，當aVO或時，/（X）有一個極值點；當0<。<白時，/（x）有三個極值點.

ee

(2)因為函數(shù)/(X)恰有三個極值點X］、/、X3(Xl<X2<X3)-

所以由(1)知X］="?,x2=l,x3=n,

由卜'=*,兩式相除得到e“r=X.

s

ae=x,再

(,I)X|

令，=受，則f>l,則與=必，e'=t>得再=二，七="4，

因此X3-X1=lnr?l,所以l<t4e,則西+々+￡="；7一+i

令項=1(r*+lllnr+1,其中l(wèi)<￡<e,則左，1)=t」---_2\n—t,

令(w(t)=t-；-21nf,!)lljto1(r)=1+-L-1>0?

所以0(f)在(Le］上單調(diào)遞增，則當1<tVe時，。(/)>。(1)=0,

即〃⑺>0,故人⑺在(Le］上單調(diào)遞增，

2e7e

所以當1<tWe時，&(e)=-->故X［+》2+X3的最大值為--.

e-1e-1

變式5.(2023?廣西玉林?高二廣西壯族自治區(qū)北流市高級中學校聯(lián)考階段練習)已知函數(shù)/(x)=lmr-M.

⑴討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

⑵當。=1時,若/(再)=/口2)(匹<七)，求證：X1+X2>2

【解析】(1)"x)=lnx-ax的定義域為(0,+8),

因為/“(X)=1-4=^—>X>0

XX

當aVO時，/(x)>0,

所以/(x)在(0,+=°)上單調(diào)遞增；

當a>0時，令#(x)>0得0<x<L令〃x)<0得x>L

aa

所以/(X)在(0,6上單調(diào)遞增，在(：,+8)上單調(diào)遞減；

綜上,當“40時，/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

當。>0時，/(x)在(0」)上單調(diào)遞增，在d,+00)上單調(diào)遞減.

aa

(2)當Q=1時4>0,/(x)=lnx-x,定義域為(0,+8),

r(x)=--i,所以/(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,欣)上單調(diào)遞減,

X

又因為/(占)=/(々)(占<X?),所以0<X,<1<血，

設(shè)F(x)=〃x)-/(2-x)(xe(0,l)),

則F(x)=，-一二一2=注二工20在(0,1)上恒成立，

xx-2x[2-x)'

所以尸(x)=/(x)二/'(2-X)在(0,1)上單調(diào)遞增，

所以尸(須)=/(*)-/(2-再)<0,即/(X,)=/(X2)</(2-X1),

又因為￡>1,0<X]<1,所以2-占>1,

乂因為/(x)在上單調(diào)遞減，

所以工2>2一再,即須+x2>2.

變式6.(2023?安徽?高二安徽師范大學附屬中學?？茧A段練習)已知函數(shù)

/(X)=33-|x2+log?x(a>0,a31).

(1)若/(x)為定義域上的增函數(shù)，求。的取值范圍；

⑵令a=e,設(shè)函數(shù)g(x)=/(x)-；x3-41nx+9x,且g(xJ+g(X2)=0,求證：+x2>3+771.

【解析】(I)/(x)的定義域為(。,+8)，./''(幻=--3'+—二

xina

由〃x)為定義域上的增函數(shù)可得f\x)>0恒成立.

貝岫--3x+—5—20得」-2-丁+3-,

x\naIna

令h(x)=-x3+3x2,h\x)=-3x2+6x=-3x(x-2)

所以當x?0,2)時,舊(x)>0,"x)單調(diào)遞增;

當xe(2,+oo)時,/f(x)〈0,〃(x)單調(diào)遞減；

故初式》)=例2)=4.

11-

則布---N4n0<Ina?—解得。w1,e"

Ina41

(_i__

故a的取值范圍為

13

⑵g(x)=/(x)--x^41nx+9.=--^-31nx+9x

33

由g(xi)+g(%2)=0有一務(wù)工；_3kiX]+9玉_2考_31!14+9々=0

3

有+x；)-31nxM2+9(x,+x2)=0

即-;[（M+x2）*_2X}X2j-InXjX2+3（X14-x2）=0

即一；（再+工2）2+3（再+x2）=Inx1x2-x,x2.

令E=西工2?〉0)，磯。=In/-/

由=可得當f?0,l)時，d⑺>0,S⑺單調(diào)遞增；

當fe(l,+?5)時,w't)<0,9(，)單調(diào)遞減；則90)43(1)=—1,

即——^X]+X?）~+3（X]+Xj）-—1,

解得再23+jn或%+超<3~vn（負值舍去）,

占攵%+x2>3+vn.

變式7.(2023?全國?高二專題練習)已知函數(shù)〃x)=lnx-“x-2)(aeR).

(1)試討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

/、3

(2)若函數(shù)/(x)有兩個零點為，x2(x,<x2),求證：%,+3X2>--a+2.

【解析】(1)由已知，/(x)的定義域為(0,+e),/'(x)=；-a,

①當a<0時，Vxe(0,+oo),/'(x)='-〃>0恒成立，

此時/(x)在區(qū)間(0,+。)上單調(diào)遞增；

②當a>0時，令/'(x)=L-a=0,解得x=L

xa

當xe(0,j時，/，(x)=：-a>0,/(x)在區(qū)間(0,J上單調(diào)遞增，

當口卜寸，F(xiàn)("=：一〃<0,7(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減，

綜上所述，當“40時，”X)在區(qū)間(0,+。)上單調(diào)遞增：

當”>0時，/(x)在區(qū)間(0,十)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(：,+?，上單調(diào)遞減.

(2)若函數(shù)/(x)有兩個零點不，x2(x,<x2),

則由(1)知，a>0,〃x)在區(qū)間(0,￡)上單調(diào)遞增，在區(qū)間用)上單調(diào)遞減,

且/［十］>0,/（&）=/（》2）=0,0<玉</<》2,

當工《再戶2)時，/(x)>0,當7?0,%)3天,+8)時,/(x)<0,(*)

V/（2）=ln2>0,/.2G（X1?X2）,x2>2,

乂:G>—，*,?2X>—F2,

aa2

233

???只需證明玉+x,>—,即有X1+3方〉一+2〉—Q+2.

"aaa

2

卜面證明%+%2>一，

a

設(shè)G（x）=F（x）=g-2a+J—4ax_4

x2（2-i/x）2,

—X

a

令G'（x）=O,解得x=L

a

當xe（0,J時，G'（x）<0,G（x）=F<x）在區(qū)間（0,￡|單調(diào)遞減，

當時，G'（x）>0,G（x）=F（x）在區(qū)間單調(diào)遞增,

:.F（x）*F（j=0,F（x）=/（x）-/j-x）在區(qū)間（0。）上單調(diào)遞增，

又xO,.?.尸（再）=小w卜尸歸=/（卜（13=°,

即/（］_/）>/（巧）=0,

222

，由（*）知，——X,G（Xj,X）,/.--%1<x,即玉+工2>—.

a2a2a

X*.*X2>—,x2>2,

33

/.4-3X>—I-2>—。+2,原命題得證.

2aa

變式8.（2023?全國?高二專題練習）已知函數(shù)/"）=加+（。-2）x-InMawR）.

（1）討論/（x）的單調(diào)性；

（2）若/（x）有兩個零點看,三，證明：x,+x2>-.

【解析】（I）函數(shù)/卜）的定義域為（0,+8）,/'（》）=25+“-2-：=叵二爐蟲,

.won寸，/'(x)<0恒成立，所以/(X)在(0,+。)上單調(diào)遞減：

。>0時,令/'(x)=0得X=L

a

當xe(0,J時，/'(x)<0；當xe1,+8卜寸，/^(x)>0,

所以/(x)在(0,￡|上單調(diào)遞減，在弓,內(nèi))上單調(diào)遞增.

(2)證明：時，由(1)知/(x)至多有一個零點.

a>0ll寸，由(1)知當x=^時，〃X)取得最小值，最小值為1)=1-1+1也

①當a=l時，由于=故/(x)只有一個零點；

②當“>1時，l-:+ln〃>0即/(1)>(),故/(x)沒有零點；

③當0<。<1時，l--+ln?<OEP

又/電O52)g卜弓號U>0,

由(1)知/(x)在(0,￡|上有一個零點.

又/(2LaflY+(a-2)f-l-ln--3+—In->4>0，

由(1)知/(x)在+8)有一個零點，

所以〃x)在(0,+8)上有兩個零點，。的取值范圍為(0/)

11321

不妨設(shè)斗<》2，則一<石<一<一，且一一王>一，

eaaaa

2xj—2,x€f0^-

=lax—Inr+In

貝IJ尸'（x）=2a--+^

XN

(\\2、2、

—x--x

11a211aXx

=—XH-----X2a2-12a

由于x+2-I-4-1-T~=24(且僅當

--X2a--X2x--xx—2—x

\a)a7a7a)

x=L等號成立),

a

所以當x40,2]時，尸(x)40,尸(x)在(0,22]單調(diào)遞減,

又F0,

所以尸(玉)>尸0,即/(％)=/(%)——

又=所以)>/([-苫

又由于X2>L,2-X]>L,且/(X)在上單調(diào)遞增,

~aaa\aJ

22

所以々>—玉即石+電>一?

aa

變式9.(2023?全國?高三專題練習)設(shè)函數(shù)=

⑴若/(x)20對Vxe[2,+co)恒成立，求實數(shù)％的取值范圍;

X

(2)已知方程E(7)=-L有兩個不同的根A、x,,求證：x1+x2>6e+2,其中e=2.7i828…為自然對數(shù)的

x-l3e

底數(shù).

【解析】(I)由/(x)=ln(x-I)-%(：2)NO,得xIn(x-l)-Mx-2"0.

令9(x)=/ln(x-l)-%(x-2),XG[2,+<X>),則^(x)=ln(x-l)+———k

x—1

令〃(則“("=告一1x-2

x)="(x),320(x22).

(x-l)2(X-1)

所以，函數(shù)”⑺=lna-l)+二7-人在[2,”)上單增,故“(x)”(2)=2-左.

①當左42時，則-上20,所以s(x)在[2,+co)上單增，^(X)>^J(2)=0,

此時/(x)>0對Vxe[2,+8)恒成立，符合題意；

②當左>2時，“(2)=2-左<0,9(9+1)=^^>0,

故存在%?2,+8)使得“(%)=0,

當xe(2,天)時,“(x)<0,則*(x)單調(diào)遞減，此時夕(X)<9(2)=0,不符合題意.

綜上，實數(shù)人的取值范圍(一叫2].

(2)證明：由(1)中結(jié)論，取后=2,有皿1)>2(?%>2),即Inf>當>1).

/\

2強-1_

不妨設(shè)、2>王>1，，=五>1，貝"山王〉一^—整理得五/%?一：.

西%強+]2lnx2-lnx,

王

(演-1)+*2-1)>*2-1)~(X|T)=々-7_3e

「是232-1)-呵再-1)一：[(&_1)_(再一1)]一，

即Xj+x2>6e4-2.

變式10.(2023?江西宜春?高三?？奸_學考試)已知函數(shù)/(x)=3alnr-(a-3)x,“eR.

(1)當。=1時，求曲線g(x)=/(x)-31m-sinx在x=：處的切線方程；

(2)設(shè)為，々是/?(x)=/(x)-(%-2)lnr-3x的兩個不同零點，證明：a(xt+^)>4.

【解析】(1)當a=l時，g(x)=/(x)-31m-sinr=2r-sinr,

曲線g(x)在x=]處的切線方程為y—(兀-l)=2(x-]J,即2x-”l=0；

(2)令/?(x)=/(工)一3一2)加一次=2Int—at=0,可得2山=0￥(%>0),

令"x)=21nx(x>0),〃(x)=ar(x>0),設(shè)函數(shù)〃(力與￡(x)相切于(/,%),

22

由a=/(/)=一、21nxo=%、0￥0="可得%=2,x0=e,a=-f

xoe

f(x)=21nx(x>0),〃(x)=ax(x>0)的大致圖象如下,

9

當0<a<1時，，(》)=2111￥(》>0)與〃口)="(丫>0)有兩個不同的交點,

即力(x)有兩個零點，所以0的取值范圍為(。,|)，

/?'(x)=|-a,當工€(0,力時，〃(x)>0,〃(x)在上遞增,

當工￡仁,+0^時，Ar(x)<0,〃(%)在("|,+8)上遞減，

要證。(玉+X))>4,只要證石+工2>—，

a

2

不妨設(shè)再<々，由〃(西)=〃(三)，則0<占<一<》2,

a

構(gòu)造函數(shù)尸(%)=〃(%)-〃

22

F'（x）=//（x）-Azf--%2—+------小(3

4~~

—xa

a

???o<x<5，,R'a）〉。，???/（力在是遞增，

又尸（2]=0,F（x）=A（x）-/?^--xj<0,

.,?〃（$）</?（：一石），又〃（』）=力（工2），???人（X2）<人（：一石），

而X,--%1G|-,+00在（2,+001上遞減，X2>--X.,即演+入2>3,

a\a）\a）aa

Q(X]+X2)>4.

變式11.(2023?海南?海南華僑中學?？寄M預(yù)測)已知函數(shù)/a)=lnx+x(x-3).

(1)討論/*)的單調(diào)性；

(2)若存在玉，々，七七①，”)，且玉<%2<W，使得/(玉)=/(工2)=/(不)，求證：2玉+工2>七.

【解析】(1)函數(shù)/1)的定義域為(0,+8)，

r(x)」+2x_3=^^=n),

XXX

令r(x)=o,得x=；或x=i,

在卜,；)上，f^x)>0,在6，1)上，，(x)<0,在(1,+8)上，.歡x)>o,

所以/(x)在(0,g上單調(diào)遞增，在(；,1)上單調(diào)遞減，在[1,口)上單調(diào)遞增.

(2)由(1)可知0<%<；<%<1<與，

設(shè)尸(x)=/(x)-/(l-x),xe1,lj,

貝ijF(x)=Ax)++J--4,

x1-xx(l-X)

因為xw所以9(x)ZO,尸(x)在川上單調(diào)遞增.

又名)=嗎卜佃肛所以當“4,1)時,產(chǎn)(x)>0,BP/(x)>/(l-x).

因為g<X2<l,所以/(々)>/(1-X2),所以/(為)>/(1一七)，

因為“X)在(0,［上單調(diào)遞增，且0<l-x2<1,

所以再>1一%2，即將+々>1.①

設(shè)G(x)=/(x)-/(2-x),xe^,l,

則G'(x)=f(x)+f(2-x)=-+4_2.

x2-xx(2-x)

因為xw(g,l,所以G'(x"O,G(x)在(g,l上單調(diào)遞增，

又G⑴=/。)-〃1)=0,所以當G(x)<0,即〃x)<〃2-x),

因為:<工2<1,所以/(X2)</(2-*2)，所以/(與)</(2-々).

因為/(x)在(L+00)上單調(diào)遞增，且5>1，

所以再<2-工2，即當+工2<2.②

由①得2(芭+工2)>2,由②得—%2-七>—2,所以2玉+%2>工3.

題型二：極值點偏移:減法型

例4.(2023?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=(x-e-l)e'-；ex2+e2x.

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間與極值.

(2)若/(占)=/(3)=/(3)(再<3<xj,求證：入」'<e-l.

【解析】(1)；/(x)定義域為R,/'(x)=(x-e)ev-ex+e2=(x-e)(ex-e),

令/'(x)=0,解得：x=e或x=l,

.,.當xG(-oo,l)U(e,+oo)時，f^(x)>0；當x?l,e)時，/，(x)<0；

\/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為和(e,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(l,e)；

/(X)的極大值為/(1)=-ge，極小值為〃e)=七.

(2)由(1)知：x,<1,1<x2<e,x3>e.

令尸(x)=/(x)-/(2-x),l<x<e,

則戶'(x)=/'(x)-"(2-x)]'=(x-e)(e*-e)+(2-x-e)(e2T-e)=^^[(x