第15講 三角函數(shù) 章末題型大總結(jié)（原卷版）

第15講三角函數(shù)章末題型大總結(jié)一、思維導(dǎo)圖二、題型精講題型01三角函數(shù)的概念【典例1】（2023上·陜西咸陽·高三?？茧A段練習(xí)）已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為軸的正半軸，若角終邊有一點(diǎn)，且，則（

）A．1 B． C． D．2【典例2】（2023上·河南周口·高三周口市文昌中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知角θ的終邊經(jīng)過點(diǎn)，且θ與α的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，則【典例3】（2023上·北京·高三北京市廣渠門中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的正半軸重合，將角的終邊按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后經(jīng)過點(diǎn)，則．【變式1】（2023上·黑龍江·高三黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知角α的終邊過點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【變式2】（2023上·北京·高一北京市十一學(xué)校校考期末）已知角的終邊上一點(diǎn)，且，則.題型02扇形的弧長與面積（含最值）【典例1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知一個(gè)直徑為30厘米的輪子，每秒旋轉(zhuǎn)25弧度，則輪周上一點(diǎn)在半分鐘內(nèi)所經(jīng)過的弧長為厘米．【典例2】（2023上·廣東廣州·高三廣東廣雅中學(xué)?？茧A段練習(xí)）扇子是引風(fēng)用品，夏令必備之物.我國傳統(tǒng)扇文化源遠(yuǎn)流長，是中華文化的一個(gè)組成部分.歷史上最早的扇子是一種禮儀工具，后來慢慢演變?yōu)榧{涼、娛樂、觀賞的生活用品和工藝品.扇子的種類較多，受大眾喜愛的有團(tuán)扇和折扇.如圖1是一把折扇，是用竹木做扇骨，用特殊紙或綾絹?zhàn)錾让娑瞥傻?完全打開后的折扇為扇形（如圖2），若圖2中，，分別在，上，，的長為，則該折扇的扇面的面積為（

）

圖1

圖2A． B． C． D．【典例3】（2023下·遼寧沈陽·高一校聯(lián)考期中）已知扇形的圓心角為，所在圓的半徑為r．(1)若，求扇形的弧長．(2)若扇形的周長為24，當(dāng)為多少弧度時(shí)，該扇形面積最大？求出最大面積．【變式1】（2022上·廣東廣州·高三?？计谥校┕糯娜四投忌朴谠诩埳壬项}字、題畫，題字、題畫的部分多為扇環(huán).如圖是扇環(huán)的幾何圖形，設(shè)弧長度是，弧長度是，幾何圖形面積為，扇形面積為，若，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【變式2】（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知扇形的周長為30cm，當(dāng)它的半徑和圓心角各取什么值時(shí)，能使扇形的面積最大？最大面積是多少？題型03同角三角函數(shù)基本關(guān)系【典例1】（2023下·北京西城·高一北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤绻堑慕K邊在直線上，則（

）A． B． C． D．【典例2】（多選）（2023下·江西上饒·高一上饒市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（多選）已知，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【典例3】（2023下·四川遂寧·高一遂寧中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，求值：(1)；(2)【變式1】（2023·海南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若，且，則（

）A． B． C． D．【變式2】（多選）（2023·江蘇常州·常州市第三中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【變式3】（2023·全國·高一課堂例題）已知，，求下列各式的值．(1)；(2)；(3)．題型04利用誘導(dǎo)公式化簡【典例1】（2023上·湖南·高三湖南省祁東縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知是第四象限角，且，則（

）A． B． C． D．【典例2】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）化簡：(1)；(2)．【變式1】（2023上·上海崇明·高三?？茧A段練習(xí)）化簡：.【變式2】（2023上·安徽合肥·高三合肥一中?？茧A段練習(xí)）已知，，且為第二象限角，則.題型05三角函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性【典例1】（2024上·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知函數(shù)的最小正周期為，時(shí)函數(shù)圖像位于最低點(diǎn)，則（

）A． B． C．1 D．【典例2】（多選）（2023上·湖北·高一湖北省天門中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)定義域?yàn)?，且為奇函?shù)，為偶函數(shù)，且時(shí)，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．周期為4B．C．在上為減函數(shù)D．方程有且僅有四個(gè)不同的解【典例3】（2023上·廣東廣州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知函數(shù)在上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，且，則.【變式1】（2023上·福建莆田·高三莆田一中?？计谥校┮阎膱D象關(guān)于對(duì)稱，則函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸是（

）A． B． C． D．【變式2】（多選）（2023上·湖南邵陽·高三統(tǒng)考期中）關(guān)于函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．的最小正周期為 B．的最大值為2C．在上單調(diào)遞減 D．是的一條對(duì)稱軸【變式3】（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).若，且點(diǎn)是函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，則函數(shù)的最小正周期的最大值為.題型06三角函數(shù)圖象變換【典例1】（2023上·江蘇連云港·高二連云港高中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象為，為得到函數(shù)的圖象，只需把上的所有點(diǎn)（

）A．縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)向左平移個(gè)單位B．縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)向右平移個(gè)單位C．縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)向左平移個(gè)單位D．縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)向右平移個(gè)單位【典例2】（2023上·高一?？颊n時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后與函數(shù)的圖象重合，則的值可以是.【變式1】（2023下·廣東佛山·高一佛山一中?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的圖象如圖所示，為了得到的圖象，可以將的圖象（）A．向右平移個(gè)單位長度 B．向右平移個(gè)單位長度C．向左平移個(gè)單位長度 D．向左平移個(gè)單位長度【變式2】（2023下·江西贛州·高一校聯(lián)考期中）為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（

）A．向右平移個(gè)單位長度 B．向左平移個(gè)單位長度C．向右平移個(gè)單位長度 D．向左平移個(gè)單位長度題型07根據(jù)圖象求解析式【典例1】（2023上·重慶·高三校聯(lián)考期中）函數(shù)的一段圖象如圖所示.(1)求函數(shù)的解析式；(2)將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，得到的圖象，求函數(shù)在的值域.【典例2】（2023上·山東濟(jì)南·高三山東省濟(jì)南市萊蕪第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示

(1)求的解析式；(2)將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，再橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，最后將圖象向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在區(qū)間上的值域．【典例3】（2023上·重慶·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上的圖象如圖所示．

(1)求函數(shù)的解析式；(2)將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在上的值域．【變式1】（2023·四川綿陽·四川省綿陽南山中學(xué)校考一模）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．

(1)求函數(shù)的解析式；(2)將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，得到的圖象，求函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間．【變式2】（2023上·山西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．(1)求的解析式；(2)求在上的值域．題型08拼湊角【典例1】（2023上·貴州黔西·高三?？茧A段練習(xí)）已知，且，，則（

）A． B． C． D．【典例2】（2023上·江蘇淮安·高三金湖中學(xué)校聯(lián)考期中）若，則（

）A． B． C． D．【變式1】（2023上·福建廈門·高三福建省廈門第二中學(xué)?？计谥校┮阎?，則（

）A． B． C． D．-【變式2】（2023下·貴州貴陽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若，則（

）A． B． C． D．題型09三角函數(shù)值域與最值【典例1】（2023上·天津河?xùn)|·高三校考階段練習(xí)）函數(shù)，函數(shù)的值域?yàn)?，則．【典例2】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）求下列函數(shù)的最大值和最小值，并寫出分別取得最大值和最小值時(shí)自變量α的值：(1)，；(2)，；(3)，．【變式1】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）若x∈[－，]，求函數(shù)y＝＋2tanx＋1的最值及相應(yīng)的x的值．題型10五點(diǎn)法作圖問題【典例1】（2021·河南·校聯(lián)考三模）已知函數(shù).（1）完成下列表格，并用五點(diǎn)法在下面直角坐標(biāo)系中畫出在上的簡圖；0（2）求不等式的解集.【典例2】（2021下·遼寧沈陽·高一沈陽二十中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)(1)填寫下表，并用“五點(diǎn)法”畫出的圖象.x0

(2)若函數(shù)滿足不等式，求的范圍.【變式1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）用“五點(diǎn)法”在給定的坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)在上的大致圖像.

【變式2】（2023下·新疆烏魯木齊·高一新疆師范大學(xué)附屬中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)

(1)請(qǐng)用“五點(diǎn)法”畫出函數(shù)在一個(gè)周期上的圖象（先在所給的表格中填上所需的數(shù)字，再畫圖）；00(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值及相應(yīng)的值.題型11三角函數(shù)中零點(diǎn)（根）個(gè)數(shù)問題【典例1】（2023上·北京·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，其中，再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知．條件①：；條件②：的最小正周期為；條件③：的圖象經(jīng)過點(diǎn)．(1)求的解析式并求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．【典例2】（2023上·北京·高三北京四中?？计谥校┮阎瘮?shù).(1)求的值；(2)求的對(duì)稱軸；(3)若方程在區(qū)間上恰有一個(gè)解，求的取值范圍.【變式1】（2023上·北京·高三101中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最大值．(2)若方程在上恰有2個(gè)解，求m的取值范圍．【變式2】（2023上·江蘇·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)的最小正周期為．(1)求的值；(2)將函數(shù)的圖象先向左平移個(gè)單位長度，再向上平移2個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象．若在區(qū)間上有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．題型12三角函數(shù)中零點(diǎn)（根）的代數(shù)和問題【典例1】（2023上·河南信陽·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求周期及最大值；(2)求在上所有解的和．【典例2】（2023上·河北張家口·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量.設(shè)函數(shù).(1)求函數(shù)的解析式及其單調(diào)遞增區(qū)間；(2)將圖象向左平移個(gè)單位長度得到圖象，若方程在上有兩個(gè)不同的解，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并求的值.【典例3】（2023下·江西萍鄉(xiāng)·高一統(tǒng)考期中）函數(shù)的部分圖象如圖所示．

(1)求函