2023年高考數(shù)學(xué)搶分秘籍（新高考專用）3 二項(xiàng)式定理題型歸類（8大題型）（解析版）

秘籍03二項(xiàng)式定理歸類

r高考預(yù)測(cè)

概率預(yù)測(cè)☆☆☆☆

題型預(yù)測(cè)選擇題、填空題☆☆☆☆

考向預(yù)測(cè)二項(xiàng)展開式與指定項(xiàng)系數(shù)

學(xué)應(yīng)試秘籍

二項(xiàng)式定理消失了幾年，作為新高考之后的模擬考中的?？褪墙衲旮呖嫉臒衢T，而且難度不大，題型

也相對(duì)較少，所以算是高考中必須要拿到的分?jǐn)?shù)，至于二項(xiàng)展開式思想的應(yīng)用也完全可以和數(shù)列等知識(shí)結(jié)

合考察，要明白其中的道理。

【題型一】指定項(xiàng)系數(shù)問題

基本規(guī)律

二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式I”?可以求解某一項(xiàng)，也可求解某一項(xiàng)的系數(shù)）

亶典例剖析「

1.（彳一2廠的展開式中尤7的系數(shù)為（）

A.-128C：oB.128C；oc.-8C；（）D.8c

【答案】c

【詳解】（x—2廠的展開式中，通項(xiàng)公式：=G0yj（—2）',

令10-r=7,解得r=3.

AX7的系數(shù)為G%（-2）3=-8C,；,

故選：c.

2..的展開式中X2/的系數(shù)為

【答案】-20

詳解：由二項(xiàng)式定理可知，展開式的通項(xiàng)為

&2行=C；，xJ7-2y）「,

要求解2y）的展開式中含％2y3的項(xiàng)，則r=3,

所求系數(shù)為C：=-20.

3.二項(xiàng)式（6-5的展開式的常數(shù)項(xiàng)為第（）項(xiàng)

A.17B.18C.19D.20

【答案】C

試題分析：由二項(xiàng)式定理可知丁_二（三（4）冷。（-3）'=0X（-3）'。=，展開式的常數(shù)項(xiàng)是使

期制-：§?

=網(wǎng)的項(xiàng)，解得，?二1§為第19項(xiàng),答案選C.

學(xué)名校模擬

1.（2023?福建福州?統(tǒng)考二模）若二項(xiàng)式（3/+±）"展開式中存在常數(shù)項(xiàng)，則正整數(shù)〃可以是（）

JT

A.3B.5C.6D.7

【答案】C

【詳解】二項(xiàng)式（3/+[）"展開式的通項(xiàng)為J=C；（3x2）i」）'=3"飛/1，，

XX

令2〃-4r=0,解得：r=],又因?yàn)?4/W”且r為整數(shù)，所以〃為2的倍數(shù)，

所以"=6,

故選：C.

的展開式中含1的項(xiàng)的系數(shù)為（

2.（2023?廣西?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）二項(xiàng)式)

X

A.-60B.60C.30D.-30

【答案】B

【詳解】（2x—的展開式的通項(xiàng)公式為｛2x）6,卜3=晨3一（一了.廣子,

7

令6——1,解得r=4,故所求系數(shù)為C：?2?.（—1）4=60.

故選：B.

7

3.(2023?北京西城?統(tǒng)考一模)在(X--1的展開式中，x的系數(shù)為()

x

A.40B.10

C.-40D.-10

【答案】A

【詳解】設(shè)(x-亍的通項(xiàng)小，則加=《片(_2r「化簡得小=(2>(-2戶/”,

令％=2,則x的系數(shù)為C；(-2)2=40,即A正確.

故選：A

【題型二】因式相乘型

基本規(guī)律

因式相乘型，可以采取乘法分配律，變?yōu)閮墒较嗉有驮俎D(zhuǎn)而求對(duì)應(yīng)通項(xiàng)系數(shù)

判典例剖析」

+的展開式中的系數(shù)為()

A.-56B.-28C.28D.56

【答案】B

【詳解】由題知(l-q)(x+y)8=(x+y)8-q(x+y)8,

(x+>)"展開式的通項(xiàng)公式為。尸，

將含xR項(xiàng)記為M,則M=C12y6-)c"3y5=28/>6_56x2y6=_28/y6,

X

故含項(xiàng)的系數(shù)為_28

故選：B

2.在卜2+》+1)(1-1)的展開式中常數(shù)項(xiàng)為()

A.14B.-14C.6D.-6

【答案】D

【詳解】由二項(xiàng)式定理得(1)'=(—1+—)5=—I+C5——Cj-y+C5-y—,

XXXXXXX

所以所求常數(shù)項(xiàng)為-l+c；-c；=-1+5-10=-6.

故選：D.

3.(x—2y)(2x—y)s的展開式中的W系數(shù)為()

A.-200B.-120C.120D.200

【答案】A

【詳解】(2—“展開式的通項(xiàng)公式為&=G(2x)5T(_y)’=25-匕尸(-丫)’，

當(dāng)「=3時(shí)，n=2"3c；/3(_y)3=T0x2y3,此時(shí)只需乘以第一個(gè)因式(x—2y)中的x即可，得到TO/y；

當(dāng)/'=2時(shí)，q=25-2C；x5-2(-y)2=8019，此時(shí)只需乘以第一個(gè)因式(x-2y)中的-2y即可，得到-SOTR；

據(jù)此可得：丫3寸的系數(shù)為T0—160=—200.故選：A.

學(xué)名校模擬

1.(2023?山西太原?統(tǒng)考一模)(l+x+d)(l-x)6的展開式中*2的系數(shù)為()

A.9B.10C.24D.25

【答案】B

【詳解】(1—的通項(xiàng)&=晨(—X丫=(一1)'晨丫，

令r=2,7；=(-1)2C；X2=15X2,令r=l,4=-C；x=-6x,令r=0,7；=1,

展開式中x2的系數(shù)為15/一6/+x2=10x2.

所以(1+x+f)(i—幻6的展開式中f的系數(shù)為10

故選：B

2.(2023?全國?模擬預(yù)測(cè))(3x-2)(x-l『的展開式中產(chǎn)的系數(shù)為()

A.85B.5C.-5D.-85

【答案】A

【詳解】"-I)，的展開式的通項(xiàng)為&=q/-r(-l)r(r=0,l,2,-,6).

則7；=-20/,4=15*2,

從而(3X-2)(X-1)6的展開式中丁的系數(shù)為3X15+(-2)X(-20)=85.

故選：A.

3.(2023?貴州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))(/+2)((-1)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為()

A.13B.17C.18D.22

【答案】B

【詳解】，+2)&-1)6的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為C：(T)4+2C：(-1)6=17.

故選：B.

【題型三】二項(xiàng)式給通項(xiàng)求n或參數(shù)

基本規(guī)律

利用二項(xiàng)展開式通信公式，待定系數(shù)法可求得。注意n值為正整數(shù)，可能存在分類討論的情況。

Q典例剖析

1.若(?一X)的展開式中第r+1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則(=.

2

【答案】-

3

【詳解】解:的展開式中笫r+1項(xiàng)為

(T)"x"j'，再根據(jù)它為常數(shù)項(xiàng)，

r\G

可得3r-2〃=0,求得二=—,故答案為：一.

n33

2.若(l+2x)”展開式中含/項(xiàng)的系數(shù)等于含x項(xiàng)的系數(shù)的8倍，則n等于()

A.5B.7C.9D.11

【答案】A

【詳解】&,=C：(2x)'=2'CK，

23c3

所以*=8,解得〃=5(負(fù)值舍去).故選：A.

3.若卜++］的展開式中存在常數(shù)項(xiàng)，則〃可能的取值為()

A.2B.3C.5D.7

【答案】A

【詳解】卜+gj展開式的第4+1項(xiàng)小=&（?。?（6?=C%3"-6?

令3〃一6%=0則”=2A（AeZ）

所以”為偶數(shù)。故選：A

量名校模擬

1.（2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若（1+區(qū)）5的展開式中/的系數(shù)為40,則/=（）

A.2B.4C.±2D.+4

【答案】C

【詳解】因?yàn)椋?+奴尸的展開式的通項(xiàng)公式為（w=C；（區(qū)）'=CKx'，且/的系數(shù)為40,

所以C#=40,即％2=4,

解得出=±2.

故選：C

2.（2023?江蘇南通?二模）已知（丁+/）"的展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為243,則展開式中常數(shù)項(xiàng)為（）

A.60B.80C.100D.120

【答案】B

【詳解】當(dāng)x=l時(shí)，3"=243,解得〃=5,

則（X，+彳）”的展開式第r+1項(xiàng)*=C；（x3）5-r（4）r=C；x,5-3r2rx-2r=C；2T,

XX

令15—5r=0,解得r=3,所以=10x8=80,

故選：B

3.（2023?湖北武漢?華中師大一附中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知1+。+*；（“>0）展開式的常數(shù)項(xiàng)為76,則”

（）

A.1B.61C.2D.病

【答案】A

【詳解】因?yàn)?+a+守="/a,

所以fx+a+二]=C：/x+j]+cjx+gxa+cJx+4]xa2+C^fxa3+

+x/+c；（x+3jX6z5+C^xa6,

cg+gj的展開式的通項(xiàng)為—Gj=gk，%=°，123,4,5,6,

當(dāng)％=2時(shí)為常數(shù)項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)為C：C：,

C；卜+*)xa的展開式的通項(xiàng)為C；C55T(5)x"=C；C"53xa,%=0,1,2,3,4,5,

展開式?jīng)]有常數(shù)項(xiàng)，

或卜+打x/的展開式的通項(xiàng)為C：C"U|"x/=c：C“Hx",k=0』,2,3,4,

展開式?jīng)]有常數(shù)項(xiàng)，

低卜++]xd的展開式的通項(xiàng)為C；C；/xY=c：c“ax/,%=0,1,2,3,

當(dāng)A=1時(shí)為常數(shù)項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)為C：C；xa3,

xa4的展開式的通項(xiàng)為C：C%2-*=*產(chǎn)隈/,%=0,1,2,

展開式?jīng)]有常數(shù)項(xiàng),

x°5的展開式?jīng)]有常數(shù)項(xiàng),

乂C：xa6為常數(shù),

所以常數(shù)項(xiàng)為C.C：+C：Cxa3+c：xa6=15+60/+不=76,

所以3+61乂〃3一])=0,又。＞0,

解得。=1.

故選：A.

【題型四】因式相乘型給通項(xiàng)求參數(shù)

?典例剖析

X+—的展開式中H的系數(shù)為75,則。=(

X

【答案】A

【詳解】卜+以6的展開式的通項(xiàng)公式為j所以1+J的展開式中廣的系數(shù)為

C：+(-=15-20a,由題知,15—20a=75,解得a=—3.

故選：A.

2.關(guān)于二項(xiàng)式(1+6+犬2)(1_幻8,若展開式中含一的項(xiàng)的系數(shù)為21,則。=()

A.3B.2C.1D.-1

【答案】C

【詳解】由題意得V的系數(shù)為lxC；x(-l)2+axC；x(-l)+lxC；=21,解得a=l,

故選：C.

3.已知、+my)(2x-y)'的展開式中/寸的系數(shù)為40,則機(jī)的值為()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】B

【詳解】由題意可得

在夕2x—y)s的展開式中，由x-'C；(2x)5-r(-y)r=(-l)r-25-rC；x4-r/,

令廠=4無解，即；(2%-y)的展開式?jīng)]有項(xiàng)；

在陽(2工一?的展開式中，由myC^(2x)5'(一y)「=(-1/-25~rniC^x5^yr+l,

(5r_2

令二:4解得廠=3，即沖(2x-?的展開式中的項(xiàng)的系數(shù)為(-I)，"叫曲；=-40m,又⑶的系數(shù)

為40,所以口0加=40,解得機(jī)=-1.

故選：B

:名校模擬

1.(2023?全國?模擬預(yù)測(cè))已知Q.一＞)('+)')的展開式中含有常數(shù)項(xiàng),則〃的值及展開式中的常數(shù)項(xiàng)分別

為（）

A.3,—10B.4,—10C.3,—5D.4,—5

【答案】A

【詳解】（x+y）5的展開式的通項(xiàng)為=C*ST爐，

因?yàn)?/九1=2（217-。屋

7

令7-左=%,得k=不，與ZeZ矛盾，舍去.

因?yàn)?M+產(chǎn)-C'5-yM.令5-&=Z+1,得k=2,

此時(shí)-Cf-R+:-io/y,

所以〃=3,常數(shù)項(xiàng)為-10.

故選：A.

2.（2023?吉林通化?梅河口市第五中學(xué)?？家荒＃▁-（10+y）6的展開式中，含一丁項(xiàng)的系數(shù)為-15，則“=

（）

A.1B.-1C.±1D.±2

【答案】C

【詳解】（a+y）6的展開式的通項(xiàng)公式為C/jy,令廠=4,可得C/6-y=匕?。?，」：

所以含EV項(xiàng)的系數(shù)為-15凡即-15/=-15,解得。=±1.

故選：C.

的展開式中，含，的項(xiàng)的系數(shù)為（

3.（2022?全國?模擬預(yù)測(cè)）在（五+1）,1+金））

X

A.21B.35C.48D.56

【答案】D

【詳解】由二項(xiàng)式定理可知：展開式各項(xiàng)的表達(dá)式為:

其中廠?0,3],攵￡[0,7],r,ZcN：

9一3〃一2女r=1r=3

令、"=_]得:3〃+2左=15,.?或

6k=6"k=3'

??.含1的項(xiàng)的系數(shù)為c?+C?=21+35=56.

X

故選：D.

【題型五】二項(xiàng)展開式賦值法

常見的通法是通過賦值使得多項(xiàng)式中的叮7變?yōu)椤愫汀?，在本題中要使x-1=0即給等式中的x賦值1,

求出展開式的常數(shù)項(xiàng)生；

7典例剖析

l.^(x—2)5=a5X5+a4X4+a3X3+a2X2+aix+ao,貝U01+03+05=().

A.1B.—1

C.121D.106

【答案】C

【詳解】

55452

解：(x-2)=a5x+a4x+a3x+a^x+%

令x=l得a5+Q4+a3+a2+4+%=-l①

5

令x=-i得—ci5+/_%+_q+/=-3②

(J)減得2(%+q+4)=—1+3，

%+/+q=121

故選：C

2.若(-l+2x)〃(〃￡N*)的展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)之和為-121,則公o

【答案】5

【詳解】

(-1+2x)"Y(-1)B(2X)°+C：(-if(2。+C；(一1廣(2x)2+…+Q(-1)。(十

令x=1得：C；(-1)"+C：2'+C：(一1廣222+---+C；(-l)02"=1

令x=T得:扇-1)"+C"(-2)+Q(-1廣(—2)2+…+C：(-2)”=(―3)"

???奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為：3)_=_]21，解得：〃=5

2

本題正確結(jié)果：5

52018

3.設(shè)（1-or）?"*=4++++?2018x,若4+24+3。3+…+2018。2（）18=2018。（。工0）,則

實(shí)數(shù)a=.

【答案】2

【詳解】

（1—^ZX）,"8=&+O|X+Ct-,X~++。2018廠68

兩邊分別求導(dǎo)：

20172017

-20180（1-or）=a,+2G2X++2O18?2O18X

取x=l

-2018a（l-a/"=q+2a2++2018a20lg=2018?

a-2

故答案為2

:名校模擬

1.（2023?北京海淀?統(tǒng)考一模）若。一1）4=a/4+々3%3+/產(chǎn)+〃1%+。0,則%一％+。2一%=（）

A.-1B.1C.15D.16

【答案】C

432

【詳解】因?yàn)椋╔T）,=a4x+a3x+a2x+a}x+a0,

令x=0得，4）=1,

令x=一]得，%—七+&-q+/=（—2）=]6,

所以，4-4+。2-6=16-1=15.

故選：C.

2.（2023?北京朝陽?統(tǒng)考一模）設(shè)（1+x）”=4+〃然+出％2++%%"，若%=%，則〃=（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】A

【詳解】（1+工）〃展開式第〃+1項(xiàng)&產(chǎn)C；，，

?*。2=%,?二C：=C：,

/.〃=2+3=5.

故選：A.

524(

3.(2023?河南開封?開封高中?？寄M預(yù)測(cè))已知(2x+l)(x-l)-ag+^x+^x++a4x+a^+abx',

則出的值為()

A.10B.-10C.30D.-30

【答案】B

【詳解】因?yàn)?2x+l)(x-l)s=2x(x-iy+(x-l)5,

(x-展開式第r+1項(xiàng)(.I=C^r(-1)'=G(T)'產(chǎn)'，

當(dāng)r=3時(shí)，2xC^(-l)\2=-20r\

當(dāng)r=2時(shí)，C；(—1)2V=10X3,

333

故a3x=-20/+10x=-1Ox,

即。3=-10.

故選：B

【題型六】二項(xiàng)展開式賦值法

常見的通法是通過賦值使得多項(xiàng)式中的I丫-1'變?yōu)?和L在本題中要使X-：=0即給等式中的X賺值1,

求出展開式的常數(shù)項(xiàng)生；公眾母：自莪提升之家-分享

境典例剖析

l.^(x—2)5=a5X5+a4X4+a3X3+a2X2+aix+ao,貝U01+03+05=().

A.1B.-1

C.121D.106

【答案】C

【詳解】

5542

解：(x-2)=a5x+a4x++tz2x+ax^+

令X=I得%+%+%+%+4+%=-1①

令X=_］得_%+_/+/_4+40=—35(2)

①減②得2(4+/+4)=—1+3’

%+。3+%=121

故選：c

2.若(―l+2x)"(〃eN*)的展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)之和為-121,則標(biāo)。

【答案】5

【詳解】

(-1+2M=CX-1)"(2x)°+C："(2刈+C：(-1廣之(2x)2+-0：㈠)。(2x)"

令x=1得：C；(T)"+C(-1)"'2'+C：(—I)”?2?+…+C；；(-1)°2"=1

令尤=-1得：&(T"+C"(-2)'+d㈠廣(_以+…+C；；(-2f=(-3)n

,奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為：/(-3)=-121，解得：〃=5

2

本題正確結(jié)果：5

3設(shè)(1-ox嚴(yán)=4+平+限2++々018無刈)若％+2a2+3%+...+2O18OJ0I8=2018。(aW0),則

實(shí)數(shù)a=.

【答案】2

【詳解】

(1—6LX)"018—+Cl2^++。2018，~"8

兩邊分別求導(dǎo)：

20172017

-2O18?(l-ar)=a,+2a2x++2O18?2Olgx

取x=l

2017

-2O18a(l-a)+2a2+.+2018a20l8=2018a

a=2

故答案為2

學(xué)名校模擬「

1.(2023?北京海淀?統(tǒng)考一模)若"-1)4=。4、4+。3工3+。2/+〃1%+〃()，貝IJ%-。3+。2-。1=()

A.-1B.1C.15D.16

【答案】C

【詳解】因?yàn)椤?1)4=〃4/+。3l3+。2爐+4%+〃0，

令x=0得，4=1,

令X=-1得，4-。3+"2_"l+"o=(-2)'=]6,

所以，-q=16-1=15.

故選：c.

2.（2023?北京朝陽?統(tǒng)考一模）設(shè)（l+x）"=%+qx+%x2++。,產(chǎn)"，若4=%，貝iJ"=（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】A

【詳解】（1+x）"展開式第r+1項(xiàng)酊=CX，

a2=a3<C；=C：,

w=2+3=5.

故選：A.

235b

3.（2023?河南開封?開封高中?？寄M預(yù)測(cè)）已知（2x+=a0+atx+a2x+a3x++a5x+a6x,

則出的值為（）

A.10B.-10C.30D.-30

【答案】B

【詳解】因?yàn)椋?x+l）（x-l）s=2x（x-iy+（x-l）5,

（x-爐展開式第r+1項(xiàng)I”=G產(chǎn)'（-1/=C；（-1/產(chǎn)，，

當(dāng)r=3時(shí)，2x-C^（-l）3X2=-20?,

當(dāng)r=2時(shí)，C^（-l）2x3=10x\

333

故a3x=-20x+10x=-1Of,

即4=T0.

故選：B

【題型七】換元型

Q典例剖析

1.若f=ao+4（x_i）+a2（x-l）~d----i-a6（^-1/?則4=（）

A.1B.6C.15D.20

【答案】c

6

【詳解】令X—1=，，則(r+1)=《)+卬+生「4----F(/6/.

又(+1)6展開式通項(xiàng)為:C"，.?.4"；=15.

故選：C.

2.對(duì)任意實(shí)數(shù)X,有(2x-3)9=4+q(x-l)+%(x-l)2+a3(x-l)3++%@-1)9.則下列結(jié)論成立的是()

A.%=1B.a2=-144

C.%+q+/+L+49=]D.<70—<7|+(7,—<7j+?,—%=-3，

【答案】BCD

5

【詳解]由(2x—3)9=4+%(x_1)+“2(X_1)-+1)3++ag(x—I),

當(dāng)x=l時(shí)，(2-3)9=%,4=T,A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

當(dāng)x=2時(shí)，(4—3)9=4+4+a?++%,即&+4+/+1+a,=l,C選項(xiàng)止確；

-9f

當(dāng)x=0時(shí),(3)=a0—at+a2—a3+???—a9,L1|Ja0—a]+a2—a}-i------a9=-3,D選項(xiàng)正確;

9-22

(2X-3)9=[-1+2(X-1)]9,由二項(xiàng)式定理，a2=C；(-l)2=-144,B選項(xiàng)正確.

故選：BCD

3.若多項(xiàng)式12+X1。=%+4(X+1)++%(x+lj+40(》+『°,則/=()

A.9B.10C.-9D.-10

【答案】D

10

(X+1)"=端+C%+...C：打。=%(x+l)9=%[端+。％+…仁/]，?10(x+l)=

4o?+C：oX+...+C調(diào)+*°),根據(jù)已知條件得*9的系數(shù)為0,產(chǎn)的系數(shù)為1

4,C9+4o,Co=。n%=TO

故選D.

Uo<io=l

4o=1

?名校模擬

1.（2023?江西南昌?統(tǒng)考一模）二項(xiàng)式定理，又稱牛頓二項(xiàng)式定理，由艾薩克?牛頓提出.二項(xiàng)式定理可以推

廣到任意實(shí)數(shù)次幕，即廣義二項(xiàng)式定理：

對(duì)于任意實(shí)數(shù)。，（1+力F1+仁+—一1>+...+鞏吧）.二3—+1）.八...

v71!2!k\

當(dāng)國比較小的時(shí)候，取廣義二項(xiàng)式定理展開式的前兩項(xiàng)可得：（1+力仁1+―并且區(qū)的值越小，所得結(jié)

果就越接近真實(shí)數(shù)據(jù).用這個(gè)方法計(jì)算石的近似值，可以這樣操作:

用這樣的方法，估計(jì)儂的近似值約為（）

A.2.922B.2.926C.2.928D.2.930

【答案】B

_____________I

【詳解】歷=127_2=/7（1W）=3xjl旨=3x1+（1）］13x"gx（1）-2.926.

故選:B.

2.（2023?廣東深圳?深圳中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若7"+C"7'i++C\：7+C：：M是9的倍數(shù)，則自然數(shù)"為

（）

A.4的倍數(shù)B.3的倍數(shù)C.奇數(shù)D.偶數(shù)

【答案】C

【詳解】因?yàn)?"+C37"T++C：；；7+C：M=g（7向+C；M7"+…+C：；；72+C；37+CM）-g

=；（7+1）*'-；=；（8向-1）=；（9向-/9"+…+（一1）"」9+（一1-一1）,

又7"+c：1+lr-'++C：；；7+C；；+1是9的倍數(shù)，

.?.”+1為偶數(shù)，即〃為奇數(shù).

故選：C.

3.（2023?全國?模擬預(yù)測(cè)）若（犬-2）4（丁+34=/+4（彳-2）+生（了一2）2++%（x-2）",則巴\&=（）

1234

A.-B.-C.-D.一

5555

【答案】D

【詳解】（x-2『任+3x）=（x-2），［（x-2）2+7（x-2）+10］

=（X-2）6+7（X-2）5+10（X-2）4,

所以。6=1,。5=7,。4=10，

所以」4D+4=4

g5

故選：D.

【題型八】三項(xiàng)展開式

三項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式：

H!

x3

%+0+—)"的通項(xiàng))；■cixa2-a3…aj"

7

、/xx\x2\-'Xm\

西典例剖析，

1.下列各式中，不是(/+2〃-4”的展開式中的項(xiàng)是()

A.8/B.6a4/?2C.-32a%D.-24a3b2

【答案】D

【詳解】(6+2a-R4表示4個(gè)因式〃2+2“-匕的乘積，在這4個(gè)因式中，有一個(gè)因式選2*其余的3個(gè)因

式選所得的項(xiàng)為C：x2aC；x(a2)'=8a7,所以8/是+2a-A『的展開式中的項(xiàng)，在這4個(gè)因式中，

有2個(gè)因式選—b,其余的2個(gè)因式選/,所得的項(xiàng)為C；x(-bpxC；xW丫=6a4b2,所以6/6是(a2+2a-b^

的展開式中的項(xiàng)，在這4個(gè)因式中，有1個(gè)因式選-從剩下的3個(gè)因式選2°,所得的項(xiàng)為

C；x(—A)xC；(2a)3=-324/),所以一324%是(/+2〃一34的展開式中的項(xiàng)，在這4個(gè)因式中，有2個(gè)因式

選-。，其余的2個(gè)因式中有一個(gè)選剩下的一個(gè)因式選20,所得的項(xiàng)為

C；x(-/,)2xC2xa2xC；x(2a)=24aV,所以_24。8+2a-b^的展開式中的項(xiàng).

故選:D.

2丫x4

X+1--的展開式中，二的系數(shù)為()

y)y

A.60B.-60C.120D.-120

【答案】A

【詳解】解：設(shè)(x+1-jj的通項(xiàng)為J=C：(x-；嚴(yán)，

設(shè)(X-2嚴(yán)的通項(xiàng)為如=CL尸-*(-2)￡=(-2)y_,/TyT,

yy

令k=2,6-r-k=4,;.k=2,r=0.

所以/的系數(shù)為C：(-2)y=60.

故選：A

25

3.(2a-3/7+cP展開式中abc的系數(shù)是.

【答案】-2016

【詳解】(2a-3)+c)8的展開式中，含有片兒5的項(xiàng)為：

25

C*2a)2-C'6(-3b)'-cy=-2016abe,

所以(2a-36+c)8展開式中420c5的系數(shù)是-2016.

故答案為：-2016

g名校模擬了

1.（2023?全國?模擬預(yù)測(cè)）已知（1--+2X；的展開式中的所有項(xiàng)的系數(shù)和為512,則展開式中含了7項(xiàng)的系

數(shù)為（）

A.-36B.-18C.18D.36

【答案】B

【詳解】令x=l,則2"=512,解得。=9,

（l-g+2xj的展開式中含/項(xiàng)為

C'DxC；xF+C：x（」）XC；X（2X）=—18X-7,

所以展開式中含『項(xiàng)的系數(shù)為-18.

故選：B

2.（2023?浙江嘉興?統(tǒng)考二模）（x-2y+3z）6的展開式中的系數(shù)為（）

A.-60B.240C.-360D.720

【答案】D

【詳解】展開式中的x'/z項(xiàng)可以看成6個(gè)因式（x-2y+3z）中，

其中3個(gè)取X,剩下的3個(gè)因式中2個(gè)取（-2丫），最后一個(gè)取3z,

即得至ljC>d.c；.（-2y）2（3z）=720X3/Z.

所以展開式中//z項(xiàng)的系數(shù)為720.

故選：D.

3.（2023?河南平頂山?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在卜2+x+y）”的展開式中，的系數(shù)為（）

A.60B.15C.120D.30

【答案】A

【詳解】方法L(V+x+yY可以看作6個(gè)(V+x+y)相乘，從中選2個(gè))，，有C：種選法；再從剩余的4

個(gè)括號(hào)中選出3個(gè)X,最后一個(gè)括號(hào)選出一,有C：C；種選法；所以》5y2的系數(shù)為c：C：C：=60.

2

方法2：因?yàn)?Y+x+>)6=［任+*+y,,所以其展開式的通項(xiàng)公式為=C；(x+x)6-/,

令r=2,得(爐+幻4展開式的通項(xiàng)公式為產(chǎn)x?=C“8T,再令8-4=5,得女=3,

所以丁產(chǎn)的系數(shù)為C：C：=60.

故選：A.

高考模擬練習(xí)

1.(2023?全國?模擬預(yù)測(cè))(x-2y)5(x+y)的展開式中Vy的系數(shù)是()

A.9B,-9C.10D.-10

【答案】B

【詳解】由于(x—2y)5(x+y)=(x—2y)5x+(x-2y)5y,

45

所以(》-2"(x+y)的展開式中的系數(shù)是(x-2〉),展開式中xj的系數(shù)和x的系數(shù)和，*-24的展開

式中第r+1項(xiàng)為J=廣，(_2燈=(_"C#5-y,

分別令r=l和r=0,得到(x-2y)5的展開式中的系數(shù)(-2)C=-10和f的系數(shù)(_2)℃=1,

因此(x—2y)5(x+y)的展開式中x'y的系數(shù)是一1()+1=_%

故選：B.

2.(2023?河南安陽?統(tǒng)考二模)(2x+y『的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的最大值為().

A.112B.448C.896D.1792

【答案】D

【詳解】該二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為0尸q.(2xfr-y=c;-2"，.產(chǎn)，.y,

,fq-28-f>c:+l-27-r,

由2fg-2…可得2”"

因?yàn)镃；=C；25,所以展開式中各項(xiàng)系數(shù)的最大值為c>26=1792.

故選：D

3.(2023,吉林長春?校聯(lián)考一模)楊輝是我國古代數(shù)學(xué)史上一位著述豐富的數(shù)學(xué)家，著有《詳解九章算法》、

《日用算法》和《楊輝算法》.楊輝三角的發(fā)現(xiàn)要比歐洲早500年左右，由此可見我國古代數(shù)學(xué)的成就是非

常值得中華民族自豪的.楊輝三角本身包含了很多有趣的性質(zhì)，利用這些性質(zhì)，可以解決很多數(shù)學(xué)問題，如

開方

左

右

積

積

積

本

。

第

o4一

>.1丁

第

I14一

1丁

第

24一

青

J1丁

第

34一

1丁

第

44一1464

五

1丁

第

54一51OO5

1丁

第

64一6

丁

命

中

左

以

右1152015

實(shí)

袤

藏

廉

袤

而

乃

乘

者乃

除

積

商

皆隅第”1行?c3…。二;C"…c3c詈1

之

數(shù)

方

廉算

第〃行Ic：比…0…c：-2cT1

圖

圖2

我們借助楊輝三角可以得到以下兩個(gè)數(shù)列的和

1+1+1+…+1=〃；

1+2+3+…+C3=C：

若楊輝三角中第三斜行的數(shù)：1,3,6,10,15,...構(gòu)成數(shù)列｛4｝,則關(guān)于數(shù)列｛4｝敘述正確的是()

/\22

A.??+??+1=(?+1)B.a“+4+i="

C.數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為C：D.數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和為C3

【答案】A

【詳解】4,=I+2+3+...+C3+C：=^^.

-5小田?n(n+l)(n+2)(n+l),2丁小

對(duì)選項(xiàng)A：an+a?+l=—~~-+-----------=(〃+l),正確；

對(duì)選項(xiàng)B：4+%=△2/+：——2——^=("+1?錯(cuò)誤；

對(duì)選項(xiàng)C：當(dāng)〃=3時(shí)，q+a,+見=1。*C；=1,錯(cuò)誤；

對(duì)選項(xiàng)D：當(dāng)〃=3時(shí)，4+。2+〃3=l°wC；=6,錯(cuò)誤;

故選：A

4.（2023?遼寧大連?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若二項(xiàng)式2x-金)("')的展開式中只有第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最

大，則展開式中丁項(xiàng)的系數(shù)為（

A.32B.-32C.16D.-16

【答案】B

【詳解】???（2》-5）”的展開式共有〃+1項(xiàng)，只有第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，

?n+\+\

2

鹿=4,

，（2%-5）4的第一+1項(xiàng)為J=Q（2x）J（-”）「=C；24r（-1）"一天，（r=0,l,2,3,4）,

，令4-力3==5，解得：r=b

22

555

g=C；23（-l）i1=-32/，即：展開式中戶項(xiàng)的系數(shù)為-32.

故選:B.

5.（2023?浙江溫州?統(tǒng)考二模）（1+x）”展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的是C：,則"不可能是（）

A.8B.9C.10D.11

【答案】A

【詳解】當(dāng)〃=9時(shí)，C；是最大的二項(xiàng)式系數(shù)，符合要求，

當(dāng)〃=10時(shí)，C：。是最大的二項(xiàng)式系數(shù)，符合要求,

當(dāng)〃=11時(shí)，C；|=C*是最大的二項(xiàng)式系數(shù)，符合要求，

當(dāng)"=8時(shí)，顯然C；＜C；,不滿足，

故選：A.

6.（2023?內(nèi)蒙古赤峰?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知（x+a）"（keN.MeR）的展開式中只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最

大，且V項(xiàng)的系數(shù)為-160,則的值為（）

A.40B.-40C.-12D.12

【答案】C

【詳解】由只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大可知％=6,則/項(xiàng)為C江3a）

即C：/=-160「.〃=—2,ak=—12.

故選：C

7.（2023?四川南充?統(tǒng)考二模）在二項(xiàng)式的展開式中，二項(xiàng)式的系數(shù)和為256,把展開式中所

有的項(xiàng)重新排成一列，有理項(xiàng)都互不相鄰的概率為（）

11-5