材料力學(xué)(I)第四章教材

1第4章彎曲應(yīng)力§4-1對稱彎曲的概念及梁的計算簡圖§4-2梁的剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖§4-3平面剛架和曲桿的內(nèi)力圖§4-4梁橫截面上的正應(yīng)力·

梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件§4-5梁橫截面上的切應(yīng)力·

梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件§4-6梁的合理設(shè)計2工程實(shí)例3§4-1對稱彎曲的概念及梁的計算簡圖I.關(guān)于彎曲的概念受力特點(diǎn)：桿件在包含其軸線的縱向平面內(nèi)，承受垂直于軸線的橫向外力或外力偶作用。變形特點(diǎn)：直桿的軸線在變形后變?yōu)榍€。

梁—以彎曲為主要變形的桿件稱為梁。對稱軸(symmetricalaxis)Pmq桿件軸線縱向?qū)ΨQ面對稱彎曲的概念5

對稱彎曲：外力作用于梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，因而變形后梁的軸線(撓曲線)是在該縱對稱面內(nèi)的平面曲線（也稱平面彎曲）。

非對稱彎曲——梁不具有縱對稱面(例如Z形截面梁)；或梁雖有縱對稱面但外力并不作用在縱對稱面內(nèi)，從而撓曲線不與梁的縱對稱面一致。縱對稱面6(1)支座的基本形式1.固定端—使梁的端面既不能移動也不能轉(zhuǎn)動，有3個支反力。

II.梁的計算簡圖FRyFRxMR梁本身的簡化：以軸線代替梁，長度稱為跨度。計算簡圖：表示桿件幾何特征與受力特征的力學(xué)模型。72.固定鉸支座——實(shí)例如圖中左邊的支座，計算簡圖如圖b、e。3.可動鉸支座——實(shí)例如圖a中右邊的支座，計算簡圖如圖c、f。8(2)梁的基本形式簡支梁外伸梁懸臂梁9

在豎直荷載作用下，圖a、b、c所示梁的約束力均可由平面力系的三個獨(dú)立的平衡方程求出，稱為靜定梁。(3)靜定梁和超靜定梁

圖d、e所示梁及其約束力不能單獨(dú)利用平衡方程確定，稱為超靜定梁。10

試求圖a所示有中間鉸C的梁在A、B處的約束力。例題4-1解：1.整體受力分析，畫受力圖：11

此梁具有中間鉸C，根據(jù)鉸不能傳遞力矩的特點(diǎn)，作用在中間鉸一側(cè)(梁的AC或梁CB段)梁上的外力(荷載和約束力)對于中間鉸C的力矩應(yīng)等于零，還可列出1個獨(dú)立的平衡方程。這樣就可利用4個平衡方程求解4個未知的約束力。故該梁是靜定梁。鉸不能傳遞力矩

對于平面任意力系，僅可列出3個獨(dú)立的平衡方程.（屬平面任意力系）122.以CB段（圖c）為分離體，求FBy。例題4-1133.再以整體（AB梁）為研究對象例題4-114

思路二：“先副后主”

——可將梁在中間鉸C處拆開，先利用CB梁作為分離體求約束力FBy

，F(xiàn)Cx和FCy，再將FCx，F(xiàn)Cy等值反向后加在AC梁的C截面處，然后利用AC梁作為分離體求A處約束反力FAx，F(xiàn)Ay和MA。(d)例題4-115

作用在該梁CB段上的荷載是要通過中間鉸傳遞到梁的AC段上的，但作用在AC段上的荷載是不會傳遞給CB段的。故習(xí)慣上把梁的AC段稱為基本梁(或稱主梁)，把梁的CB段稱為副梁（或稱次梁）。具有中間鉸的梁稱為多跨靜定梁。例題4-116§4-2梁的剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖I.梁的剪力和彎矩(shearingforceandbendingmoment)簡支梁其約束反力為:

梁的左段內(nèi)任一橫截面m-m上的內(nèi)力，由m-m左邊分離體(圖b)的平衡條件可知：FS—剪力(shearingforce)，M—彎矩(bendingmoment)。17

根據(jù)作用與反作用原理，m-m左邊的梁段對于右邊梁段(圖c)的作用力和力矩數(shù)值應(yīng)與上式所示相同，但指向和轉(zhuǎn)向相反。由m-m右邊分離體的平衡條件加以檢驗(yàn)：（對截面形心C取矩）18截面法求內(nèi)力時，把剪力和彎矩的符號規(guī)定與梁的變形聯(lián)系起來，內(nèi)力符號規(guī)定如下：左上右下的相對錯動（+）下凸（+）上凸（-）左下右上的相對錯動（-）截面法求內(nèi)力時，均按正向假設(shè)剪力Fs和彎矩M的方向！（受拉）（受拉）（受拉）（受拉）19

(1)

橫截面上的剪力在數(shù)值上等于截面左側(cè)或右側(cè)梁段上外力的代數(shù)和。左側(cè)梁段向上的外力或右側(cè)梁段向下的外力將引起正值的剪力；反之，則引起負(fù)值的剪力。

(2)

橫截面上的彎矩在數(shù)值上等于截面左側(cè)或右側(cè)梁段上外力對該截面形心的力矩之代數(shù)和。

a)不論在左側(cè)梁段上或右側(cè)梁段上，向上的外力均將引起正值的彎矩，而向下的外力則引起負(fù)值的彎矩。b)截面左側(cè)梁段上順時針轉(zhuǎn)向的外力偶引起正值的彎矩，而逆時針轉(zhuǎn)向的外力偶則引起負(fù)值的彎矩；截面右側(cè)梁段上的外力偶引起的彎矩其正負(fù)與之相反。梁的內(nèi)力計算規(guī)律：20(1)某橫截面上的剪力Fs，在數(shù)值上等于該橫截面左側(cè)或者右側(cè)梁上外力(不包括力偶）的代數(shù)和。該橫截面左側(cè)梁上的外力向上取正值，向下取負(fù)值；該橫截面右側(cè)梁上的外力向上取負(fù)值，向下取正值。(2)某橫截面上的彎矩M，在數(shù)值上等于該橫截面左側(cè)或者右側(cè)梁上外力對該橫截面形心取矩的代數(shù)和。該橫截面左側(cè)梁上的外力對截面形心取矩順時針為正值，逆時針為負(fù)值；該橫截面右側(cè)梁上的外力對截面形心取矩逆時針為正值，順時針為負(fù)值。口訣：左上右下，剪力為正；左順右逆，彎矩為正。

剪力和彎矩的直接求法：21計算1-1,2-2截面的剪力和彎矩。解：計算支反力

FBFA（可用右段進(jìn)行驗(yàn)證!）

注：若求得的支反力為負(fù)值，則需按實(shí)際方向畫出！例題4-2（與保留左端求得結(jié)果一致）22II.剪力方程和彎矩方程·剪力圖和彎矩圖

剪力方程和彎矩方程實(shí)際上是表示梁的橫截面上的剪力和彎矩隨截面位置變化的函數(shù)式，它們分別表示剪力和彎矩隨截面位置的變化規(guī)律。顯示這種變化規(guī)律的圖形則分別稱為剪力圖和彎矩圖。xFSx

M（注：彎矩圖總是畫在梁受拉的一側(cè)）標(biāo)注：單位、符號和特征值231.

求約束反力例題4-22.

列剪力方程和彎矩方程由分離體（圖b）的平衡，得FS(x)M(x)(b)列剪力方程和彎矩方程，并作剪力圖和彎矩圖。243.

作剪力圖和彎矩圖

由(1)式知，F(xiàn)S圖為斜直線，由x=0，x=l的FS值可畫出FS圖。由(2)式知，M圖為二次拋物線，由x=0，l/4，l/2的M值可畫M圖。例題4-4Note:MhasamaximumwhenFS=025例題4-3F列剪力方程和彎矩方程，并作剪力圖和彎矩圖。2.列剪力方程和彎矩方程:AC和CB兩段的剪力方程和彎矩方程均不相同，因此需分段列出。1.求約束反力：26AC段梁例題4-5FCB段梁FS(x)M(x)F27剪力方程和彎矩方程：注意區(qū)間的表示方法F3.作剪力圖和彎矩圖(設(shè)a<b

)在集中力F作用點(diǎn)處，F(xiàn)S圖發(fā)生突變，M圖出現(xiàn)折點(diǎn)。28

在集中力F作用（C截面）處，其左、右兩側(cè)的剪力發(fā)生突變，且二者的差值等于F，即

其原因是把分布在小范圍的分布力，抽象成為集中力所造成的。若集中力F視為作用在Dx段上的分布力，就不存在突變現(xiàn)象了（圖d）。F29列剪力方程和彎矩方程，并作剪力圖和彎矩圖。xFAFBx解：1.計算支反力：2.剪力方程和彎矩方程AC段：CB段：3.作剪力圖和彎矩圖(設(shè)a<b

)

C處作用有集中力偶，彎矩為開區(qū)間。例題4-6在集中力偶m作用處，M圖發(fā)生突變，F(xiàn)S圖不受影響。

30對稱性與反對稱性規(guī)律：

對稱結(jié)構(gòu)在對稱載荷作用下，F(xiàn)S圖反對稱，M圖對稱;

對稱結(jié)構(gòu)在反對稱載荷作用下，F(xiàn)S圖對稱，M圖反對稱。F31FllFl對稱性與反對稱性的應(yīng)用：FFFlABF+F–lllABFFF/3F/3Fl/3Fl/32F/3F/3–++F/3MFS反對稱正對稱反對稱正對稱32列出剪力方程和彎矩方程，并作Fs圖和M圖。(a)

xBAl/2l/2CqFAFB例題4-71.求支座的約束反力(校核:)332.分段建立剪力方程和彎矩方程

AC段：

(a)例題4-7CB段：（以x截面右邊為分離）

xBAl/2l/2Cq343．求控制截面的內(nèi)力，繪FS、M圖

FS圖：

AC段內(nèi)剪力方程是x的一次函數(shù)，剪力圖為斜直線，計算A和C端截面的剪力值例題4-7CB段內(nèi)剪力方程為常數(shù)，剪力圖為水平線。(b)

FSx38

l18

ql38

ql(a)

xBAl/2l/2Cq35(b)

FSx38

l18

ql38

ql(a)

xBAl/2l/2CqAC段內(nèi)彎矩方程是x的二次函數(shù)，為二次拋物線，需求出三個截面的彎矩。尚需考察該段內(nèi)彎矩有無極值：極值彎矩為:例題4-7M圖：36CB段內(nèi)彎矩方程是x的一次函數(shù)，只需求出兩個端點(diǎn)的彎矩。(b)

FSx38

l18

ql38

ql(c)

Mx9128ql2116ql2梁的彎矩圖如圖c所示。(a)

xBAl/2l/2Cq例題4-7標(biāo)注單位、符號和特征值！37III.彎矩、剪力與分布荷載集度間的微分關(guān)系及其應(yīng)用M(x),FS(x)與q(x)間微分關(guān)系的導(dǎo)出

q(x)為x的連續(xù)函數(shù)，規(guī)定向上為正得：由梁的微段的平衡方程

剪力圖上某點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)處的荷載集度!若q=0，則Fs圖為水平線。38得：彎矩圖上某點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)處剪力的大小。

彎矩圖上一點(diǎn)處的凸凹方向可由梁上該點(diǎn)處荷載集度q(x)符號決定。39常見荷載作用下FS，M圖的一些特征:

若某截面FS(x)=0，根據(jù)該截面的彎矩為極值！40集中力作用處集中力偶作用處最大彎矩的可能位置：在剪力突變的截面在緊靠C點(diǎn)的某一側(cè)的截面41自左向右突變

外力無外力段均布載荷段集中力集中力偶q=0q>0q<0Fs圖特征M圖特征CPCm水平直線xFsFs>0FsFs<0x斜直線增函數(shù)xFsxFs降函數(shù)xFsCFs1Fs2Fs1–Fs2=P自左向右突變xFsC無變化斜直線xM增函數(shù)xM降函數(shù)曲線xM上凸xM下凸自左向右折角逆時針向上突變xM在C處有尖角

MxM1M21、幾何關(guān)系2、突變規(guī)律42

求支座約束反力；分段確定剪力圖和彎矩圖的形狀；求控制截面內(nèi)力，根據(jù)微分關(guān)系繪剪力圖和彎矩圖；確定|FS|max和|M|max

。

利用以上各特點(diǎn)，除可以校核已作出的剪力圖和彎矩圖是否正確外，還可以利用微分關(guān)系繪制剪力圖和彎矩圖，而不必再建立剪力方程和彎矩方程（簡易法），步驟如下：43

一簡支梁在其中間部分受集度為

q=100kN/m的均布荷載作用，如圖a所示。試?yán)脧澗亍⒓袅εc分布荷載集度間的微分關(guān)系校核圖b及圖c所示的剪力圖和彎矩圖。x(b)+-100kN100kNFSxFS

圖yFAFBABCDE2m1m4mq(a)+100150100xMM圖（kN·m）(c)例題4-844

該梁的荷載及約束均與跨中對稱，可得FA和FB為1.

校核剪力圖yFAFBABCDE2m1m4mq(a)例題4-8解:AC段和DB段內(nèi)無荷載作用，剪力圖均為水平線。其剪力值分別為+-100kN100kNFSxFS

圖(b)CD段內(nèi)有向下（q<0）的均布荷載作用，該段的剪力圖為向右下方傾斜的斜直線?？梢妶Db所示剪力圖是正確的。452.校核彎矩圖+100150100xMM圖（kN·m）(c)yFAFBABCDE2m1m4mq(a)AC和DB段內(nèi)無分布荷載作用，彎矩圖均為斜直線。控制點(diǎn)的彎矩分別為:MB=0MD=100kN·m；CD段均布荷載向下，其彎矩圖為下凸的二次拋物線。FS=0即x=2m處，M有極值：則圖示的彎矩是正確的。MA=0，MC=100kN·m；例題4-8+-100kN100kNFSxFS

圖(b)46Fsxqa/2qa/2qa/2––+qa2/2xMqa2/2qa2/23qa2/8–+qqa2qaABCDaaa47ABCD1m1m1mxM

15kNm5kNm20kNmxFs30kN20kN10kN+48M10kNm12.5kNm10kNm駐點(diǎn)D:2m1mABC10kN10kND+1.5mFs49解:DABCD1m1m1m20kNm20kN/m5kN15kN520Fs/kN51510M/kNm50ABCaa–Fs+M51已知：圖中梁的約束力為試指出下列圖示梁各自內(nèi)力圖中的錯誤。正確答案：52已知：圖中梁的約束力為正確答案：53已知圖中梁的約束力為：正確答案：54a2aaqqa2ABQx––+qa/4qa/43qa/47qa/4xM+qa2/43qa2/249qa2/325qa2/455已知FS圖，求下列梁外載及M圖(梁上無集中力偶）1m1m2m231q=2kN/m5kN1kN+–+11ABCDE(kN·m)MFS(kN)1.25561KN+–+3KN2KN0.5m1m1.5m2KN1KN5KNMFSABCD解:斜線段:M駐點(diǎn):－＋57已知M圖,求荷載圖及剪力圖。ADCB40KN

20KN

20KN

20KN20KN解:1m1m1mABDC5820KN2m2m2m20KN

20KN

ADCB解:已知M圖,求荷載圖及剪力圖。59BqllACBPqAqC解:繪制連續(xù)梁的剪力圖、彎矩圖。求解支反力取副梁分析有：得：取主梁分析有：60繪制連續(xù)梁的剪力圖、彎矩圖。10510A

CDEBA

1m2m1m1mBDEC解:51551061面積增量關(guān)系：即：彎矩函數(shù)的增量等于對應(yīng)梁段上剪力圖的面積。

若將載荷圖、剪力、彎矩三圖上下對齊，則下圖函數(shù)的增量等于上圖的面積。當(dāng)兩橫截面間無集中力作用時：當(dāng)兩橫截面間無集中力偶作用時：即：剪力函數(shù)的增量等于對應(yīng)梁段上分布載荷圖的面積。左側(cè)面積+集中載荷：力、力偶為正。62aaqaqABC試畫梁的內(nèi)力圖。Fsxqa–qa2–xMM

利用面積增量關(guān)系計算各截面的FS、M63IV.按疊加原理作彎矩圖(1)在小變形情況下,對于圖a所示懸臂梁，其剪力方程和彎矩方程分別為

在小變形情況下，此梁橫截面上的剪力和彎矩分別等于集中荷載F和均布荷載q單獨(dú)作用時相應(yīng)內(nèi)力的疊加(代數(shù)和)。64F=ql/4(a)F=ql/4(b)(c)(2)疊加原理當(dāng)所求參數(shù)(約束力、內(nèi)力、應(yīng)力或位移)與梁上(或結(jié)構(gòu)上)荷載成線性關(guān)系時，由幾項(xiàng)荷載共同作用所引起的某一參數(shù)之值，就等于每項(xiàng)荷載單獨(dú)作用時所引起的該參數(shù)值的疊加。步驟：①分別作出各項(xiàng)荷載單獨(dú)作用下梁的彎矩圖；②將其相應(yīng)的縱坐標(biāo)疊加即可（注意：不是圖形的簡單拼湊）。

疊加法前提條件：小變形，材料服從虎克定律。=+65○-﹢○﹢○○-F﹢○﹢○ql/4○-○-F(a)F=ql/4(b)(c)﹢○○-66按疊加原理作彎矩圖qF=+ABFABqAB=+

M2a670.5FlMFl0.5Fl0.5FlFFlll0.5F0.5F0.5FF0ABFAB=+FlABC=+0.5F按疊加原理作彎矩圖68§4-3平面剛架和曲桿的內(nèi)力圖I.平面剛架

由同一平面內(nèi)不同取向的桿件相互間剛性連接的結(jié)構(gòu)(具有剛節(jié)點(diǎn)的桿件結(jié)構(gòu))。

平面剛架桿件的內(nèi)力—剪力、彎矩、軸力。節(jié)點(diǎn)(join)：桿件與桿件之間的連接區(qū)域。剛節(jié)點(diǎn)：不能相對轉(zhuǎn)動，也不能相對移動。鉸結(jié)點(diǎn)：能相對轉(zhuǎn)動，不能相對移動。69作剛架內(nèi)力圖習(xí)慣上按下列約定：彎矩圖：畫在各桿的受拉一側(cè)，不注明正、負(fù)號；

剪力圖及軸力圖：可畫在剛架軸線的任一側(cè)（通常正值畫在剛架外側(cè)），但須注明正負(fù)號；剪力和軸力的正負(fù)號仍與前述規(guī)定相同。701.列各桿的內(nèi)力方程CB桿(0≤x≤a)(桿的外側(cè)受拉)BA桿(0≤x1≤l)(桿的外側(cè)受拉)例題4-8解:試作圖a所示剛架的內(nèi)力圖。712.繪內(nèi)力圖:由內(nèi)力方程畫出FN，F(xiàn)S，M圖。CB桿(0≤x≤a):(桿的外側(cè)受拉)BA桿(0≤x1≤l):(桿的外側(cè)受拉)722aABqC3a作圖示剛架的內(nèi)力圖。解：(1)求支座反力(2)對各桿分段求內(nèi)力BA桿：以A為原點(diǎn)ACBC桿：以C為原點(diǎn)（內(nèi)側(cè)受拉）（內(nèi)側(cè)受拉）73+-+BA桿：以A為原點(diǎn)BC桿：以C為原點(diǎn)ABCFNABC彎矩圖畫在受拉側(cè)MABCFS(3)作內(nèi)力圖2a3a74II.平面曲桿

平面曲桿的橫截面系指曲桿的法向截面(亦即圓弧形曲桿的徑向截面)。當(dāng)荷載作用于曲桿所在平面內(nèi)時，其橫截面上的內(nèi)力除剪力和彎矩外也會有軸力。75

圖a所示A端固定的半圓環(huán)在B端受集中荷載F作用時，其任意橫截面m-m上的內(nèi)力有:根據(jù)內(nèi)力方程將內(nèi)力值在與q

相應(yīng)的徑向線上繪出。76○-○+(c)

FN圖(d)

FS

圖+77例如：AC和DB段。橫截面上有彎矩又有剪力。稱為橫力彎曲(bendingbytransverseforce)。

例如：CD段。橫截面上只有彎矩沒有剪力。稱為純彎曲(purebending)。

平面彎曲的兩種形式：§4-4梁橫截面上的正應(yīng)力·梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件781、橫向線(mm、nn)

仍保持為直線，但發(fā)生了相對轉(zhuǎn)動；

實(shí)驗(yàn)觀測2、縱向線(aa、bb)

彎成弧線，凹側(cè)縮短，凸側(cè)伸長；實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象：3、橫向線仍然垂直于弧線(aa、bb)

。（（MeMeI.純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力792、纖維單向拉壓假設(shè)：

各縱向纖維之間相互不擠壓，處于單向受力狀態(tài)。1、彎曲變形的平面假設(shè)(planeassumption)：

梁的橫截面在彎曲變形后仍然保持平面，只是繞截面的某一軸線轉(zhuǎn)過一個角度，且與變形后梁的軸線垂直。兩個假設(shè)MeMe80兩個概念中性軸：中性層與梁的橫截面的交線，垂直于梁的縱向?qū)ΨQ面。中性層：既不伸長也不縮短的一層纖維。中性層(Neutralsurface）縱向?qū)ΨQ面中性軸(Neutralaxis)橫截面對稱軸拉伸區(qū)壓縮區(qū)81

變形幾何關(guān)系設(shè)橫截面的對稱軸為y

軸，向下為正，中性軸為z

軸（位置未定）。

表明線應(yīng)變ε的大小與該點(diǎn)到中性層的距離y成正比?？紤]bb的縱向線應(yīng)變e：(a)OOdxbby中性層bbyMMOO曲率半徑radiusofcurvature曲率中心(變形后：變形前：(——彎曲正應(yīng)變分布規(guī)律82

橫截面上任意一點(diǎn)的正應(yīng)力σ與該點(diǎn)到中性軸的距離y成正比，距中性軸為y的同一等高線上各點(diǎn)處的正應(yīng)力均相等。？問題：中性軸的位置、ρ值單向拉壓假設(shè)胡克定律彎曲正應(yīng)力的分布(b)中性軸xyMz

物理關(guān)系彎曲正應(yīng)力的分布——彎曲正應(yīng)力分布規(guī)律M83(1)(2)(3)將式(b)代入式(2)，得

:

因?yàn)閥

軸為截面的對稱軸，必然有Iyz=0。(自然滿足)(b)

靜力學(xué)關(guān)系整個橫截面上的微內(nèi)力sdA可合成三個內(nèi)力分量：M梁上只有外力偶Me作用，則橫截面內(nèi)力只有彎矩M。——彎曲正應(yīng)力的計算公式84

式中：1/ρ為梁彎曲變形的中性層的曲率，將式(b)代入式(3)，得：

z軸通過截面形心！由此確定了中性軸的位置！將式(b)代入式(1)，得:

由此確定了ρ的大小！EIz

稱為梁的抗彎剛度。y(對稱軸）z（中性軸）oC形心85(彎曲正應(yīng)力計算式)在實(shí)際的計算中通常用M、y的絕對值來計算正應(yīng)力s的大小，再由彎曲變形判定是拉應(yīng)力還是壓應(yīng)力。M：橫截面上的彎矩y：橫截面上所求應(yīng)力點(diǎn)的縱坐標(biāo)Iz：橫截面對中性軸z的慣性矩式中，中性層86矩形：高h(yuǎn)，寬b圓形：直徑為D

給定尺寸的工字型、T型等截面形狀，用平行移軸公式計算慣性矩Iz；型鋼查附錄表可得慣性矩。y1y2腹板web翼緣Flange分析以下橫截面上彎曲正應(yīng)力的分布思考：87例1:已知l=1m，q=2kN/m，10號槽鋼。求最大拉應(yīng)力和壓應(yīng)力。解：（1）作彎矩圖（2）由型鋼表查10號槽鋼（3）求最大應(yīng)力M88小結(jié)兩個概念：中性層、中性軸。三個關(guān)系：幾何關(guān)系、物理關(guān)系、靜力學(xué)關(guān)系。兩個假設(shè)：平面假設(shè)、單向拉壓假設(shè)。建立了梁的彎曲正應(yīng)力的計算公式：89II.純彎曲理論的推廣1.對于橫力彎曲當(dāng)其跨高之比l/h大于5時適用。FMqF1F2lh

當(dāng)其跨長與截面高度之比l/h大于5時，梁的跨中橫截面上按純彎曲理論算得的最大正應(yīng)力其誤差不超過1%適用范圍：2.上式雖然是以矩形截面梁為例導(dǎo)出的，但對于平面彎曲的情形均有效。90

中性軸z為橫截面的對稱軸時，橫截面上最大拉、壓應(yīng)力的值smax為：Wz為截面的幾何性質(zhì)，稱為彎曲截面系數(shù)(sectionmodulusinbending)，其單位為m3。hbzyodzyoM91

中性軸

z不是橫截面的對稱軸時(參見圖c)，其橫截面上最大拉應(yīng)力值和最大壓應(yīng)力值為92對于寬為b

，高為h的矩形截面對于直徑為D的圓形截面對于內(nèi)外徑分別為d、D的空心圓截面常用截面的Wz值:=d/DbHBhz空心矩形截面（箱形截面）93

圖a所示簡支梁由56a號工字鋼制成，其截面簡化后的尺寸見圖b。已知F=150kN。試求危險截面上的最大正應(yīng)力smax和同一橫截面上翼緣與腹板交界處a點(diǎn)處(圖b)的正應(yīng)力sa。例題4-91、作彎矩圖如圖，截面C為危險截面，相應(yīng)的最大彎矩值為解:94由型鋼規(guī)格表查得56a號工字鋼截面最大正應(yīng)力：危險截面上點(diǎn)a處的正應(yīng)力為：例題4-995由梁的自重引起的最大正應(yīng)力僅為而危險截面上的最大正應(yīng)力變?yōu)檫h(yuǎn)小于外加荷載F所引起的最大正應(yīng)力。

如果考慮梁的自重(q=1.041kN/m)則危險截面未變，但相應(yīng)的最大彎矩值變?yōu)榻?(1)1-1截面上1、2兩點(diǎn)的正應(yīng)力1m2mq=60kN/m11AB1120180302yz例:受均布載荷作用的簡支梁1-1截面上1、2兩點(diǎn)的正應(yīng)力；此截面上的最大正應(yīng)力；全梁的最大正應(yīng)力；已知E=200GPa，求1-1截面的曲率半徑。971120180302yz（2）1-1截面上的最大正應(yīng)力:（3）全梁的最大正應(yīng)力:(4)1-1截面的曲率半徑:1m2mq=60kN/m11ABxM98解：由幾何關(guān)系得：例:鋼板尺厚0.8mm，長252mm，彈性模量E=200GPa。求當(dāng)鋼板尺彎成圓弧π/3時，鋼板尺內(nèi)的最大正應(yīng)力。簡支梁受均布荷載q作用如圖，求梁下邊緣的總伸長。100強(qiáng)度校核:載荷設(shè)計:截面設(shè)計:其中[

]為材料的彎曲許用正應(yīng)力III.梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件

梁的危險截面上最大正應(yīng)力所在各點(diǎn)系處于單軸應(yīng)力狀態(tài)。于是可按單向應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度條件形式來建立梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件：強(qiáng)度計算：101對于抗拉和抗壓強(qiáng)度相等的材料(如炭鋼)，只要絕對值最大的正應(yīng)力不超過許用彎曲應(yīng)力即可。對于抗拉和抗壓不等的材料(如鑄鐵)，則最大的拉應(yīng)力和最大的壓應(yīng)力分別不超過各自的許用彎曲應(yīng)力。

為充分發(fā)揮脆性材料的強(qiáng)度，中性軸往往不是截面對稱軸，以盡量使梁的最大工作拉應(yīng)力st,max和最大工作壓應(yīng)力sc,max分別達(dá)到(或接近)材料的許用拉應(yīng)力[st]和許用壓應(yīng)力[sc]。102若中性軸是橫截面的對稱軸，則危險截面為：|M|max

截面若中性軸不是橫截面的對稱軸，則危險截面為：

M+max

或M-max

截面判斷危險截面：103圖a所示工字鋼制成的梁，其計算簡圖可取為如圖b所示的簡支梁。鋼的許用彎曲正應(yīng)力[s]=152MPa

。試選擇工字鋼的號碼。例題4-10畫M圖，確定Mmax。解:104強(qiáng)度條件要求：

此值雖略小于要求的Wz但相差不到1%，故可以選用56b工字鋼。由型鋼規(guī)格表查得56b號工字鋼的Wz為2.求Wz，選擇工字鋼型號例題4-1010512

跨長l=2m的鑄鐵受力如圖。已知材料的拉、壓許用應(yīng)力分別為[st]=30Mpa和[sc]=90Mpa，試根據(jù)截面最為合理的要求，確定T字形截面梁橫截面尺寸d，并校核梁的強(qiáng)度。1.截面最為合理應(yīng)使同一危險截面上最大拉應(yīng)力與最大壓應(yīng)力之比與相應(yīng)許用應(yīng)力之比相等?？傻弥行暂S（形心軸）位置：106根據(jù)組合截面形心坐標(biāo)公式：解得d=24mm2.強(qiáng)度校核計算截面對中性軸的慣性矩Iz梁的最大彎矩：計算梁的最大壓應(yīng)力并校核：滿足強(qiáng)度條件107

圖a所示為槽形截面鑄鐵梁，橫截面尺寸和形心C的位置如圖b所示。已知橫截面對于中性軸z的慣性矩Iz=5493×104mm4，b=2m。鑄鐵的許用拉應(yīng)力[st]=30MPa，許用壓應(yīng)力[sc]=90MPa。試求梁的許用荷載[F]。例題4-11108解：1.確定危險截面、危險點(diǎn)86134C截面B截面(d)

由M圖可知，B、C截面上正應(yīng)力的分布規(guī)律如圖d所示F1≤19.2kN截面C：截面B：F1≤24.6kN[F]=19.2kN，可見此梁的強(qiáng)度由最大拉應(yīng)力確定。109§4-5梁橫截面上的切應(yīng)力·梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件I.梁橫截面上的切應(yīng)力1.矩形截面梁從發(fā)生橫力彎曲的梁中取出長為dx的微段如圖。hbzyO110

A*為橫截面上距中性軸z為y的橫線AA1或BB1以外部分的面積(圖b中的陰影線部分);

為面積A*(圖b)對中性軸z的靜矩.即由于,故縱截面AA1B1B上有切向內(nèi)力dF'S(圖b)：1111.由于梁的側(cè)面為自由表面(圖a和圖b中的面mABn為梁的側(cè)表面的一部分)，其上無切應(yīng)力，故根據(jù)切應(yīng)力互等定理可知，橫截面上側(cè)邊處的切應(yīng)力必與側(cè)邊平行；2.對稱彎曲時，對稱軸y處的切應(yīng)力必沿y軸方向，亦即與側(cè)邊平行。

為確定這個縱截面上的切應(yīng)力t'，先分析橫截面與該縱截面的交線AA1處橫截面上切應(yīng)力t的情況：112從而對于狹長矩形截面可以假設(shè)：1.橫截面上各點(diǎn)處的切應(yīng)力均與側(cè)邊平行；2.橫截面上距中性軸等遠(yuǎn)處的切應(yīng)力大小相等。zyy

根據(jù)切應(yīng)力互等定理可知，距中性層為y的縱截面AA1B1B上在與橫截面的交線AA1處各點(diǎn)的切應(yīng)力t'均與橫截面正交，且大小相等。t'在dx長度內(nèi)可以認(rèn)為沒有變化。即t'在縱截面內(nèi)均勻分布：113

根據(jù)切應(yīng)力互等定理可知，梁的橫截面上距中性軸z的距離為y處的切應(yīng)力t

必與t

'互等，從而亦有代入前式得為矩形截面梁切應(yīng)力計算公式114橫截面上切應(yīng)力的變化規(guī)律bhdy1yyzOy11.t

沿截面高度系按二次拋物線規(guī)律變化；

2.同一橫截面上的最大切應(yīng)力tmax在中性軸處(y=0):1152.

工字形截面梁(1)腹板上的切應(yīng)力其中

可見腹板上的切應(yīng)力在與中性軸z垂直的方向按二次拋物線規(guī)律變化。116(2)在腹板與翼緣交界處：在中性軸處：

對于軋制的工字鋼，上式中的就是型鋼表中給出的比值，此值已把工字鋼截面的翼緣厚度變化和圓角等考慮在內(nèi)。117

由56a號工字鋼制成的簡支梁如圖a所示，試求梁的橫截面上的最大切應(yīng)力tmax和同一橫截面上腹板上a點(diǎn)處(圖b)的切應(yīng)力ta

。不計梁的自重。例題4-13118求tmax。作剪力圖，由圖可見FS,max=75kN。解:

查表得56a號工字鋼Iz=65586cm4和Iz/S*z,max=47.73cm。d=12.5mm119其中：于是有：2.求ta例題4-131203.薄壁環(huán)形截面梁

薄壁環(huán)形截面橫截面上切應(yīng)力的特征如圖a所示：

(1)由于d<<r0，切應(yīng)力t

的大小和方向沿壁厚d

無變化；

(2)由于梁的內(nèi)、外壁上無切應(yīng)力，故根據(jù)切應(yīng)力互等定理知，橫截面上切應(yīng)力的方向與圓周相切；(3)根據(jù)與y軸的對稱關(guān)系可知：

(a)y軸兩側(cè)各點(diǎn)處的切應(yīng)力其大小及指向均與y軸對稱。

(b)橫截面上與y軸相交的各點(diǎn)處切應(yīng)力為零；121A*=pr0d且

整個環(huán)形截面對于圓心O的極慣性矩：對于中性軸z的慣性矩Iz：從而有式中A=2pr0d為整個環(huán)形截面的面積。在中性軸上：122(4)圓截面梁離中性軸z為任意距離y的水平直線kk'上各點(diǎn)處的切應(yīng)力均匯交于k點(diǎn)和k'點(diǎn)處切線的交點(diǎn)O'

。沿寬度各點(diǎn)處切應(yīng)力沿y方向的分