中考數(shù)學(xué)知識點(diǎn)與經(jīng)典題型練習(xí) 四邊形中由動(dòng)點(diǎn)引起的分類討論問題(解析版)

專題27四邊形中由動(dòng)點(diǎn)引起的分類討論問題

【題型演練】

一、單選題

1.如圖，點(diǎn)。為矩形ABCo的對稱中心，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿A。向點(diǎn)O移動(dòng)，移動(dòng)到點(diǎn)。

停止，延長Po交BC于點(diǎn)Q,則四邊形APC。形狀的變化依次為（）

A.平行四邊形一矩形一平行四邊形一矩形B.平行四邊形一矩形一菱形一矩形

C.平行四邊形一菱形一平行四邊形一矩形D.平行四邊形一菱形一平行四邊形

【答案】C

【分析】根據(jù)對稱中心的定義，根據(jù)矩形的性質(zhì)，可得四邊形ApC。形狀的變化情況：這個(gè)

四邊形先是平行四邊形，當(dāng)對角線互相垂直時(shí)是菱形，然后又是平行四邊形，最后點(diǎn)A與

點(diǎn)。重合時(shí)是矩形.

【詳解】解：觀察圖形可知，四邊形APCQ形狀的變化依次為平行四邊形T菱形T平行四

邊形→矩形.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了中心對稱，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定，根據(jù)

PQ與AC的位置關(guān)系即可求解.

2.矩形438的邊BC上有一動(dòng)點(diǎn)E,連接AE、DE,以AE、OE為邊作平行四邊形

AEDF.在點(diǎn)E從點(diǎn)B移動(dòng)到點(diǎn)C的過程中，平行四邊形AED尸的面積（）

A.先變大后變小B.先變小后變大C.一直變大D.保持不變

【答案】D

【分析】過點(diǎn)E作EG_L4O于G,證四邊形ABEG是矩形，得出EG=A8,

矩疇此。，即cl得出結(jié)論?

SAEDF=25ΔAi）￡=2X5ADXEG=AD×AB=SJ

【詳解】解：過點(diǎn)E作EG,Az）于G,如圖所示:

則NAGE=90°,

；四邊形ABCC是矩形，

ZABC=ZBΛD=90o,

.?.四邊形ABEG是矩形，

EG=AB,

；四邊形AE。尸是平行四邊形，

,

,?SAEDF=2SAWE=2×-ADXEG=AD×AB=S矩彩ABCD

即YAED尸的面積保持不變，故D正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)與判定、平行四邊形的性質(zhì)以及三角形面積等知識，熟

練掌握矩形的性質(zhì)，證出YAa尸的面積=矩形ABC。的面積，是解題的關(guān)鍵.

3.如圖，在四邊形ABCO中，ZB=ZD=90o,ZBAC-45o,NC4O=30。，CO=2,點(diǎn)尸

是四邊形ABC。邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).若點(diǎn)P到AC的距離為G，則點(diǎn)P的位置有（）

A.1處B.2處C.3處D.4處

【答案】C

【分析】根據(jù)勾股定理和含30度角的直角三角形的性質(zhì)，可以求得AC、AD.BC和48的

長，然后即可得到點(diǎn)。到AC的距離和點(diǎn)8到AC的距高，從而可以得到滿足條件的點(diǎn)P有

兒處，本題得以解決.

A

解：過點(diǎn)8作JBFlAC于點(diǎn)R過點(diǎn)。作監(jiān)IAC于點(diǎn)E

VZCΛD=30o,CD=2,ZD=90o,

2

??AC=4τA。=JAC'-CD?=44-22=2?∣3，

，在RtAAOC中，斜邊AC上的高OE=ADCD=2在匚=G,

AC4

?"AC=4,∕B=90°,NBAC=45。，

ΛAB=BC,AB2+BC2=AC2.

：.AB=BC=2丘，

ABBC

：.在RtAABC中，斜邊AC上的高BF==2?20=2,

AC4

：6<2,點(diǎn)P是四邊形ABCQ邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P到AC的距離為G，

，點(diǎn)P的位置在點(diǎn)。處，或者邊BC上或者邊AB上，

即滿足條件的點(diǎn)尸有3處.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理、含30度角的直角三角形的性質(zhì)等知識，解答本題的關(guān)

鍵是求出滿足條件的點(diǎn)尸所在的位置.

4.如圖，在正方形ABC。中，點(diǎn)P是AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、8重合），對角線AC、BD相

交于點(diǎn)0,過點(diǎn)尸分別作AC、BQ的垂線，分別交AC、BD于點(diǎn)E、F.交A。、BC于M、

M點(diǎn)從從下列結(jié)論：①PM+PN=AC②尸5+尸尸=Po2；③點(diǎn)。在知、N兩點(diǎn)的連線

上；④。P平分/MPN；⑤四邊形PEOF不可能為菱形.其中正確的個(gè)數(shù)有（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】依據(jù)正方形的性質(zhì)以及勾股定理、矩形的判定方法即可判斷四邊形PEO尸是矩形,

從而作出判斷.

【詳解】解：???四邊形ABC。是正方形，

.?ZBAC=ZDAC=450.

ZPAE=ZMAE

Y在AAPE和AAME中，■AE=AE,

NAEP=NAEM

：.?APE^?AME(ASA),

.*.PE=EM=-PM,

2

同理，F(xiàn)P=FN=-NP.

2

；正方形ABCf)中，AClBD,

又?.?PE_LAC,PFVBD,

：.NPEO=NEoF=NPFo=90。,R?APE中AE=PE,

.?.四邊形PEo尸是矩形.

：.PF=OE,

：.PE+PF=OA,

又，：PE=EM=LPM,FP=FN=LNP,OA=-AC,

222

：.PM+PN=AC,故①正確；

；四邊形PEOp是矩形，

PE=OF,

在直角△OPF中，OF2+PF2=PO2，

?*.PE2+PF2=PO2，故②正確.

?.?四邊形PEOF是矩形，

OP不一定平分/MPM故④錯(cuò)誤；

連接0Λ∕,0N,

?/OA垂直平分線段PM.OB垂直平分線段PN,

：.OM=OP,ON=OP,

，ZOMP=ZOPM,ZONP=ZOPN,

：四邊形PEO尸是矩形，

：.NMPN=9?！?BPZOPM+ZOPN=90o,

：.Z0MP+ZONP=90°,即/OMP+ZONP+ZMPN=180°,

O,N共線，故③正確.

當(dāng)點(diǎn)P是A8的中點(diǎn)時(shí)，

貝∣jPE=OE=LOA,FP=OF=LOB,OA=OB,

22

：.PE=OE=FP=OF,

.?.四邊形PEo尸為菱形.故⑤錯(cuò)誤.

綜上，①②③正確，共3個(gè).

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、矩形的判定、勾股定理等知識，證明四邊形PEoF是矩形

是關(guān)鍵.

5.如圖,在平行四邊形ABCz）中，ZC=120o,AB=4,AD=S,點(diǎn)、H、G分別是邊

CD、BC上的動(dòng)點(diǎn).連接A"、HG,點(diǎn)E為A”的中點(diǎn)，點(diǎn)尸為G”的中點(diǎn)，連接EF.則

【答案】C

【分析】如圖，取AO的中點(diǎn)M,連接CM、AG,AC,作AN_L8C于N.首先證明NAeD

=90°,求出AC,AN,利用三角形中位線定理，可知EF=TAG,求出AG的最大值以及最

小值即可解決問題.

【詳解】解：如圖，取A。的中點(diǎn)例，連接CM、AG,AC,作AN_LBC于N.

：四邊形ABCo是平行四邊形，ZBCD=120°,AD=2AB=8

：.ZD=180o-ZBCD=60o,AB^CD=4,

".'AM=DM=DC=4,

；.△C￡>M是等邊三角形，

二ZDMC=ZMCD=60°,AM=MC,

/.ZMAC=NMCA=30。，

NACD=90。,

?'?AC=4-?∕3

.?.AN=^AC=2√3

；AE=EH,GF=FH,

：.EF^AG,

；點(diǎn)G在8C匕,AG的最大值為AC的長，最小值為AN的長，

.?.AG的最大值為4百，最小值為2石，

.?.E尸的最大值為2√L最小值為百，

.?.E/的最大值與最小值的差為：√3

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、三角形的中位線定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、直

角三角形30度角性質(zhì)、垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，本題的突

破點(diǎn)是證明NACn=90。，屬于中考選擇題中的壓軸題.

6.如圖，在AABC中，NABC=90。，AB=8cm,BC-6cm,動(dòng)點(diǎn)P,。分別從點(diǎn)A,8同

時(shí)開始移動(dòng)（移動(dòng)方向如圖所示），點(diǎn)P的速度為ICm∕s,點(diǎn)Q的速度為2cm∕s,點(diǎn)。移動(dòng)

到C點(diǎn)后停止，點(diǎn)P也隨之停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)四邊形APQC的面積為12cπ√時(shí)，則點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)的

時(shí)間是（）

【答案】A

【分析】設(shè)出動(dòng)點(diǎn)P,。運(yùn)動(dòng)f秒，能使"3。的面積為12cπ√,用f分別表示出BP和BO的

長，利用三角形的面積計(jì)算公式即可解答.

【詳解】解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)尸，Q運(yùn)動(dòng)r秒后，能使APBQ的面積為15cn√,

則BP為（8τ）cm,BQ為2fcm,由三角形的面積計(jì)算公式列方程得：∣（8-∕）×2z=12,

解得4=2,Z2=6（當(dāng)r=6時(shí)，BQ=12,不合題意，舍去），

動(dòng)點(diǎn)P，。運(yùn)動(dòng)3秒時(shí)，能使ΔP8Q的面積為I2cπ√,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，能借助三角形的面積計(jì)算公式來研究圖形中的動(dòng)點(diǎn)

問題是解題的關(guān)鍵.

7.如圖，在ZVWC中，AC=BC=6cm,NACB=90。，M是AB邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)。、E分

別是AC、BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，且∕DME=90?.則下列結(jié)論：（1）AD=CE,（2）OE的長度不

變；（3）∕C3M+∕8EΛ∕的度數(shù)不變；（4）四邊形CaWE的面積為9cm?其中正確的結(jié)

論有（）個(gè).

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【分析】由題意易得CM?LΛB,AM=CM,ZDAM=ZECM=45°,然后可得

.ADM會AcEM,則有AZ)=CE,NAMZ)=NCME,OW=EM,5λdm=SCf：M,進(jìn)而問題可求

解.

【詳解】解：：AC=BC=6cm,NACB=90。，例是48邊上的中點(diǎn)，

CMVAB,AM=CM,ΛDAM=ZECM=45°,

,.?NDME=90?,

ZAMD+ADMC=ADMC+NCME=90°,

.?.ZAMD=NCME,

：.；ADM^CEM(ASA),

：.AD=CE、4AMD=NCME、DM=EM,Sadm=Scem,故(1)正確：

二.OEM是等腰直角三角形，

DE=6DM，

：OM是在變化的，

.?.OE的長度也在變化；故(2)錯(cuò)誤；

?.?ZCDM=ZA+ZAMD,ZBEM=NECM+NCME,

ZCDM+ZBEM=ZA+ZECM+ZAMD+ZCME=900+2ZAMD,

由NAW。是在變化，所以可知NCDVZ+NBEM也在變化，故（3）錯(cuò)誤;

o

：AC=JeC=6cm,∠TACB=90,

.?Sacb=?AC-BC=18cm,

,12

*?SAMC=3SACB=9cm~,

S

?'?S四邊形mwE=SCDM÷CEM=SCDM+Sm”=SAMC=9cm；故⑷正確；

故選A.

【點(diǎn)睛】本題主?？疾榈妊苯侨切蔚男再|(zhì)與判定、全等三角形的性質(zhì)與判定及等積法，

熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)與判定、全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，在邊長為4的正方形48C。中，P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（不含B、C兩點(diǎn)），AABP

沿直線AP翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處；在CQ上有一點(diǎn)M,使得將ZCMP沿直線MP翻折后，

點(diǎn)C落在直線PE上的點(diǎn)尸處，直線PE交CO于點(diǎn)M連接MA,NA.則以下結(jié)論中正確

的是（）

①ZICMP~Z8雨；②四邊形AMCB的面積最大值為10；③當(dāng)P為BC中點(diǎn)時(shí)，AE為線段

NP的中垂線；④線段AM的最小值為2石；⑤當(dāng)AABP絲ZArw時(shí)，θP=4√2-4?

B.①②⑤C.①②③D.②④⑤

【答案】B

【分析】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)逐個(gè)分析即可.根據(jù)正方形的性質(zhì)以及翻折證明角度

相等，根據(jù)Λ4可證△CMPS故①正確；當(dāng)k2時(shí)，四邊形AMeB面積最大值為10,

故②正確；NE≠EP,故③錯(cuò)誤；AM的最小值=J16+9=5,故④錯(cuò)誤；PB=4√5-4故⑤正確.

【詳解】YNAPB=NAPE,NMPC=NMPN,

NC7W+NNpB=I80°,

2ZNPM+2NAPE=180°,

ZMPN+ZAPE=90o,

：.ZAPM=90o,

：ZCPM+ZAPB=90o,ZAPB+Z∕?B=90o,

/./CPM=∕PAB.

?.?四邊形A8C。是正方形，

.?AB=CB=DC^AD=4,/C=/8=90。，

：ZMPSXBPA,故①正確；

設(shè)PB=x,則CP=4-X,'：/^CMP^∕?BPA,

.PBAB

.?-----------,

CMPC

??CM=-x(4-x),

4

SAMCB=~^[4+—X(4-x)]×4-——x2+2x÷8=——(x-2)+10,

.?.m2時(shí)，四邊形AΛ∕C8面積最大值為10,故②正確；

當(dāng)PB=PC=PE=2時(shí),設(shè)ND=NE=y,在/?/△PCN中,

(y÷2)2=(4-y)2÷22

解得y=,

JNEJEP,故③錯(cuò)誤；

作MG,4B于G，VAM=√MG2+AG2=√16+AG2，

JAG最小時(shí)AM最小，

11/?2

λ:AG=AB-BG=AB-CM=4--x(4-Λ)=-(X-1)^+3,

44v7

.?.x=l時(shí)，AG最小值=3,

?,?ΛM的最小值=J16+9=5,故④錯(cuò)誤；

??ΛABP^ΛADN,

：?/PAB=NDAN=TL5°,在AB上取一點(diǎn)K使得4K=PK,設(shè)P8=z,，NK%=NK4P=22.5。.

'.βZPKB=ZKPA+ZKAP=45o,

,NBPK=NBKP=450,

：.PB=BK=z,AK=PK=血z,

Λz+λ∕22=4,

?z=4Λ∕2一4，即PB=4>/2-4故⑤正確.

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì).利用正方形的性質(zhì)以及翻折進(jìn)行角度的轉(zhuǎn)化,

從而證明三角形相似是解題的關(guān)鍵.

9.如圖，在矩形ABCO中，AB=A,BC=8,點(diǎn)E為C。中點(diǎn)，P、。為BC邊上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

且PQ=2,當(dāng)四邊形APQE周長最小時(shí)，BP的長為（）

A.3.5B.4C.4.5D.5

【答案】B

【分析】四邊形APQE周長等于AP+PQ+QE+AE,其中AE、PQ為定值，即求AP+QE最

小值，PF=QE,作/關(guān)于BC的對稱點(diǎn)尸，，當(dāng)4、P、尸'共線時(shí)AP+P尸最小，此時(shí)的P位

置即為所求.

【詳解】解：如圖：四邊形APQE周長等于AP+PQ+QE+AE,

作E尸〃8C,使EF=PQ=2,

即四邊形PQE尸是平行四邊形，則PF=QE,

作F關(guān)于BC的對稱點(diǎn)F,連接AF,EF''交BC于點(diǎn)M,即有MUBC,

；四邊形ABCZ）是矩形，Aβ=4,θC=8,E為力C中點(diǎn)，

ΛCD=AB=4,AD=BC=8,/0=9（）。，

.?.DE=-DC=I,

2

即在RrZiAZ）E中，AE=y∣AD2+DE2=√82+22=√68-即AE為定值，

即四邊形APQE周長=AP+PQ+QE+AE,其中AE+PQ為定值，

,.?AP+QE=AP+PF'≥AF',

.?.當(dāng)A、Λk共線時(shí)"+PU最小，即四邊形APQE周長最小，

,/EF//BC,FF'X.BC.

.?.結(jié)合四邊形ABCZ）是矩形，易證明四邊形CEFM是矩形，

貝IJMF'=MF=CE=^CD=2,

：.MC=EF=2,

：.BM=6,

VABlBC,FMABC,

Λ_ABP^F1MP.

.BPAB4

"~PM~^MF'~2~'

'：BP+PM=6,

：.BP=4.

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，將軍飲馬，線段和最小值問題，相似三角形的性質(zhì)與判定，

正確的作出輔助線，轉(zhuǎn)化未知線段為已知線段的長是解題的關(guān)鍵.

10.如圖，在MΔABC中，NACB=90。,AC=8C,CDJLAS于。點(diǎn)，M,N是AC,BC上的動(dòng)

點(diǎn),且ZMDN=90。，下列結(jié)論:①AM=CN；②ADMN為等腰直角三角形;③四邊形MDNC

的面積為定值；④AM2+BN?=MM;⑤）NM平■分NCND.其中正確說法的是（）

A.??B.①②③C.①②③④D.②③④

【答案】C

【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AD=CZZZA=ZACD=ZDCB=45°,再根據(jù)可得

NMiW=90。，即NADM=NCDN；再證ADMJCDN可得DM=DN,CM=BN,^???CM=BN,

可知△MDN是等腰直角三角形，

S四邊形MDNC=S4CDN+SACDM=SACDM+S∕uzλw=SΔΛCO=/SΔAg°；根據(jù)CM=BN,CM=BN>易得

CM2+CN2=MN2=AM2+BN2,顯然CM、CN不一定相等，所以/CMW不一定等于45。，

所以MN平分NCNo不一定成立.

【詳解】解：NACB=90。，AC=BC,

...△ABC是等腰直角三角形，

XVCD±ΛB,

0

：.AD=DB=CD,ZA=ZB=ZACD=ZDCB=45f

ZADC=ZBDC=ZMDN=900=NAQM+ZCDM=ZBDN+ZCDN=ZCDM+ZCDN,

JZADM=ZCDN,

?/ZADM=ZCDN,AD=CDfNA=/8Cg5。，

：,&ADMWCDN,

：.DM=DN,AM=CN,即①正確；

N是等腰直角三角形，即②正確；

四邊形M。Ne的面積為SVq邊形MDNC=SACDN+^ΔCDM，

?：；ADM=CDN,

??SMMD=S“ND，

?*?S四邊形MONC=SACDN+SACDM=SACDM+^?ADM=1^ΔΛCD?

即S四邊形MoNC=S&CO=^SABC,則可知該四邊形面積為定值，即③正確；

"."AC=BC,AM=CN,

：.CM=AC-AM=BC-AM=BC-AN=BN;

在RtACMN中，有CM?+CN-=MN-,

即有CM2+CN2=MN2=AA〃+BN2,即④正確；

???△MLW是等腰直角三角形，

∕AMD=45。為定值，

又；在M、N運(yùn)動(dòng)時(shí)，在RoGWN中，CM、CN不一定相等，

.?./CNM不一定等于45。，

：.MN平分NCND不一定成立,即⑤錯(cuò)誤.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、等腰：角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等

知識點(diǎn)，掌握等腰直角三角形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

二、填空題

11.如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC,ZB=90o,A8=6cm,AD=I2cm,BC=15cm.點(diǎn)P

從點(diǎn)A出發(fā)，以Iem/s的速度向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)。從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，以2cm∕s的速度向點(diǎn)B

運(yùn)動(dòng).規(guī)定其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，從運(yùn)動(dòng)開始，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)

間US時(shí)，PQ//CD,且PQ=CD

【答案】4

【分析】根據(jù)相PQ〃CD時(shí)，四邊形PQC力為平行四邊形，得出PgCD,PD=CQ,

用/表示出PD,CQ即可列出關(guān)于，的方程，解方程即可.

【詳解】解：根據(jù)題意可知，AP=t,則PQ=I2T,CQ=2t,

VAD∕/BC,PQ//CD,

：.四邊形PQCD為平行四邊形，

：.PQ=CD,PD=CQ,

：.?2-t=2t,

解得：f=4,

即∕=4s時(shí)，PQ//CD,PQ=CD.

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，解一元一次方程，根據(jù)題意列出關(guān)于f

的方程，是解題的關(guān)鍵.

12.如圖，在AABC中，N8=90。，AB=12mm,8C=24mm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊AB向B

以2mm∕s的速度移動(dòng)(不與點(diǎn)B重合)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)8開始沿邊BC向C以4mm∕s的速度

移動(dòng)(不與點(diǎn)C重合).如果尸、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，秒，四邊形

APQC的面積為Smm2,請寫出S與r的函數(shù)關(guān)系式，并標(biāo)注f的取值范圍

BQC

【答案】γ=4r2-24r+144(0<r<6)

【分析】先表示出，8。的長，進(jìn)而得到BP的長度，利用S"c-Szw來求出四邊形APQC

的面枳和范圍.

【詳解】解：由題意得：”=2f,BQ=At,

：.PB=12-2/,

5raρ=∣Pβ?ββ=^(12-2r)-4r=-4產(chǎn)+24r,

鼠邊畤吶=gxABxBC-S呻=l×I2×24-(-4r+24z)=4r-24r+144.

4

，O<f<6.

【點(diǎn)睛】本題考查求二次函數(shù)的應(yīng)用，理解題意，正確表示出8P,BQ是求解本題的關(guān)鍵.

13.如圖所示，四邊形ABC。中，ACLBC于點(diǎn)。，Ao=Co=4,B0=D0=3,點(diǎn)P為線

段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).過點(diǎn)P分別作PMLA。于點(diǎn)M,作PNLDC于點(diǎn)N.連接P8,在點(diǎn)

P運(yùn)動(dòng)過程中，PM+PN+PB的最小值等于.

【答案】7.8

【分析】證四邊形ABC。是菱形,得Cn=A￡>=5,連接PD,由三角形面積關(guān)系求出PM+PN=4.8,

得當(dāng)P8最短時(shí)，PM+PN+PB有最小值，則當(dāng)AC時(shí)，P8最短，即可得出答案.

【詳解】解：?.,A0=C0=4,Bo=Z)O=3,

.?.AC=8,四邊形ABCO是平行四邊形，

?.?AC，/?。于點(diǎn)。，

1222

平行四邊形ABCD是菱形，AD=y∣AO+DO=?∣4+3=5，

：.CD=AD=S,

連接PD,如圖所示：

?.?SΔADP+SΔCDP=SΔADC,

：.IAD?PM+?DC?PN=AC-OD,

即?×5×PM+^×5×PN=?×8×3,

Λ5×(PM+PN)=8x3,

.'.PM+PN=48,

：.當(dāng)PB最短時(shí)，PM+PN+PB有最小值,

由垂線段最短可知：當(dāng)LAC時(shí)，PB最短，

二當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)。重合時(shí)，PM+PN+尸B有最小值，最小值=4.8+3=7.8,

故答案為：7.8.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理、最小值問題

以及三角形面積等知識；熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

14.如圖，在四邊形ABCD中，AD/7BC,AD<BC,NABC=90。，且AB=3,E是邊AB

上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)4ADE、ΔBCE.ACDE兩兩相似時(shí)，AE=.

3

【答案】；或1

【分析】分情況討論：∕CEO=90。和NCDE=90。，利用相似三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)

和直角三角形30度角的性質(zhì)分別可得AE的長.

【詳解】解：分兩種情況：

①當(dāng)NCE￡>=90。時(shí)，如圖1,

過E作EF_LC￡>于F,

AD

VAD∕/BC,AD<BC,

：.AB與CO不平行，

ZBEC≠ZECD,

Λ??ADE.ΔBCE.ACQE兩兩相似時(shí),

：?ZBEC=ZCDE=ZADE,

；NA=NB=NCEQ=90。，

：.ABCE=ADCE,

：.AE=EF,EF=BE,

.?AE=BE=^AB=-,

22

②當(dāng)∕CDE=90。時(shí)，如圖2,

圖2

當(dāng)二ADE、△BCE.△COE兩兩相彳以時(shí)，

VAD/7BC,CE和BC相交，

,AD與CE不平行，

JZADE≠ZCED9

：.ZCEB=ZCED=ZAED=GOo,

/.ZBCE=ZDCE=ZADE=30。，

YZA=Z5=90o,

JBE=ED=2AE,

VΛB=3,

ΛΛE=1,

3

綜上，AE的值為1或L

故答案為：!■或1.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)和直角三角形30度角的性質(zhì)，當(dāng)

兩個(gè)直角三角形相似時(shí)，要分情況進(jìn)行討論；正確畫圖是關(guān)鍵，注意不要丟解.

三、解答題

15.如圖，在44BC中，點(diǎn)。是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)。不與A、C兩點(diǎn)重合），過點(diǎn)。作

直線MN〃3C,直線MV與NBe4的平分線相交于點(diǎn)E,與NDC4（八鉆C的外角）的平

分線相交于點(diǎn)尸.

（I）OE與。尸相等嗎？為什么？

（2）探究：當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AEC尸是矩形？并證明你的結(jié)論.

⑶在（2）中當(dāng)NACB等于多少時(shí)，四邊形AECF為正方形（不要求說理由）

【答案】（1）相等，理由見詳解

（2）0是AC中點(diǎn)時(shí)，四邊形AEeF是矩形，理由見詳解

（3）NAe8=90。時(shí)，四邊形AEC廠為正方形，理由見詳解

【分析】（1）由CE平分NACB,C尸平分NAC。，可得ZAeE=NBCE,ZACf=ADCF,

再根據(jù)MN〃8C,可得NFEC=NBCE,NEFC=NFCD,即有NACE=NFEC,

ZACF=NEFC,則有Eo=OC,OC=O/，問題得解；

（2）證明AC=E尸，且AC、E尸互相平分，即可判斷四邊形AEC尸是矩形，據(jù)此作答即可；

（3）根據(jù)對角線相互垂直的矩形是正方形作答即可.

（1）

EO=OF,理由如下：

：根據(jù)題意，有CE平分N4CB,C尸平分NAC。，

.?.ZACE=NBCE,ZACF=NDCF,

?；MN//BC,

，NFEC=NBCE,ZEFC=NFCD,

ΛZACE=ΛFEC,ZACF=ZEFC,

：.EO=OC,OC=OF,

：.EO=OC=OF-,

（2）

。是AC中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形，理由如下：

在（1）已證明Eo=OC=O尸，

：。是AC中點(diǎn)，

AO=OC,

，EO=OC=OF=AO,

：.AC=EF,且AC、E尸互相平分，

四邊形AECF是矩形；

⑶

當(dāng)NAcS=90。時(shí)，四邊形AECF為正方形，理由如下：

在(2)中已證明四邊形AEC廠是矩形，

,.?ZACS=90°,

.".AClBC,

?.,MN//BC,

：.AClMN,

：.AC±EF,

，矩形AEC尸是正方形.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，矩形的判定，正方形的判定等知

識，掌握平行線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

16.我們定義：有一組鄰角相等的凸四邊形叫做“等鄰角四邊形例如：如圖①，NB=NC,

則四邊形ABe。為“等鄰角四邊形”.

(1)定義理解：以下平面圖形中，是等鄰角四邊形的是.

①平行四邊形；②矩形；③菱形；④等腰梯形.

(2)深入探究：

①已知四邊形ABC。為“等鄰角四邊形“，且ZA=I20。，ZS=IOOo,則NO=.

②如圖②，在五邊形ABa)E中，DE//BC,對角線BO平分NABC,求證：四邊形ABz)E

為等鄰角四邊形.

(3)拓展應(yīng)用：如圖③，在等鄰角四邊形ABa)中，NB=NC,點(diǎn)P為邊BC上的一動(dòng)點(diǎn)，

過點(diǎn)尸作PMLABPN工CD,垂足分別為M,N.在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，PM+PN

是否會發(fā)生變化？請說明理由.

【答案】⑴②④

⑵①40°或70。或120。；②見解析

(3)不會發(fā)生變化，理由見解析

【分析】(1)根據(jù)平行四邊形、矩形、菱形、等腰梯形的性質(zhì)即可解答:

(2)①分當(dāng)NC=N。和No=N4、NC=Zfi時(shí)三種情況求解；

②由Z)E〃BC得NEf>8=NO8C,根據(jù)對角線3。平分/ABC,得NABO=NOBC,故

ZABD=ZEDB,印證得四邊形ABDE為等鄰角四邊形；

(3)過C作C"_LA3于4,過尸作PG_LC〃于G,CHYAB,PGLeH,

得四邊形PM"G是矩形，得PM=HG,可證明ΔPGC=ACNP,得CG=PN,即有

PM+PN=HG+CG=CH,從而說明在點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)過程中，PM+PN的值總等于C到AB

的距離，不會變化.

(1)

解：①平行四邊形的鄰角互補(bǔ)，不是等鄰角四邊形；

②矩形四個(gè)角都是直角，則鄰角相等，是等鄰角四邊形；

③菱形的鄰角互補(bǔ)，不是等鄰角四邊形；

④等腰梯形的兩個(gè)底角相等，是等鄰角四邊形.

綜上，②④是等鄰角四邊形.

故答案為：②④；

(2)

解：①當(dāng)NC=N。時(shí)，四邊形ABCO為“等鄰角四邊形”，

VZA=120°,23=100。，

.?.ZC=≈ZD=(360o-120o-100o)÷2=70o；

當(dāng)NO=ZA=I20。時(shí)，四邊形ABC。為“等鄰角四邊形”，

當(dāng)NC=/3=100。時(shí)，四邊形ABC。為“等鄰角四邊形”，

ZD=360o-120o-l∞o-100o=40o;

故答案為:40?；?0。或120。；

②?：DE//BC,

NEDB=NDBC,

：對角線8。平分/A8C,

ZABD=NDBC,

ZABDZEDS,

??.四邊形Aβr>E為等鄰角四邊形：

(3)

解：在點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)過程中，尸河+PN的值不會發(fā)生變化，理由如下：

過C作CEJ.AB于"，過2作PG_LcH于G,如圖：

VPMLAB,CHLAB,PGYCH,

???/PMH=/PGP=ZMHG=90。,

???四邊形PMHG是矩形，

ΛPM=HG.MH//PG,即A5〃PG,

*

..ZB=ZGPCf

*：ZB=ZNCP1

???NGPC=NNC尸，

YPNICD,

：./PGC=NCNP=90。,

在ΔPGC和ACNP中,

ZPGC=NCNP

<ZGPC=ZNCP,

CP=PC

:.?PGC=?CNP(AAS),

CG=PN,

：.PM+PN=HG+CG=CH1

即在點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)過程中，PW+/W的值總等于C到AB的距離，是定值.

【點(diǎn)睛】本題考查多邊形綜合應(yīng)用，涉及新定義、多邊形內(nèi)角和、三角形全等的判定及性質(zhì)

等知識，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題.

17.如圖，點(diǎn)E是矩形ABCO的邊A3的中點(diǎn)，點(diǎn)G是邊A。上一動(dòng)點(diǎn)，連接5G,若點(diǎn)”

為BG的中點(diǎn)，連接A",連接￡77并延長交邊C。于點(diǎn)F,過點(diǎn)4作APLBG,垂足為點(diǎn)M,

交EF于點(diǎn)、P.

(2)連接BP、PG,若BPA.PG,請判斷四邊形AUPG是什么特殊四邊形，并證明.

【答案】(1)見解析

⑵四邊形AHpG是菱形，證明見解析

【分析】(1)由四邊形48C。是矩形，WZBA￡>=90o,AB=CD,AB//CD,又區(qū)尸是矩

形ABCO對邊AB、8的中點(diǎn)，即得四邊形AEFz)是矩形，EF//AD,可得

AH=-BG=HG-,

2

(2)設(shè)BG交AP于M,由BPLPG,得PH=3BG=HG,結(jié)合PH=A//,即得

ZHAP=ZHPA,所以NG4P=N∕MP,可證AMH=.AMG,得4∕=AG,PH=AG,

故四邊形ANPG為菱形.

(1)

?；四邊形438是矩形，

ΛZBAD=90°,AB=CD,AB//CD,

；E、F是矩形ABCO對邊A8、CD的中點(diǎn)，

AE=LAB=LCD=DF,

22

四邊形AEED是矩形，

.*.EF//AD,

又E是45中點(diǎn)，

”是BG的中點(diǎn)，

?/ZfiAD=90°,

/.AH=-BG=HG

2i

(2)

四邊形AHPG是菱形，

證明：由(1)知AH=HG,H為BG中點(diǎn)，

,/BPlPG,

：.PH=-BG=HG,

2

PH=AH,

：■ZHAP=ZHPA,

?.?NGAP=NHPA,

：.ZGAP=ZHAP,

在，AMW和A/WG中，

ZHAM=NGAM

?AM=AM,

ZAMH=ZAMG

：.；AMH≈AMG,

：.AH=AG,

.?.PH=AG,

'：PH//AG,AH=PH,

.?.四邊形AHPG為菱形.

【點(diǎn)睛】本題考查矩形性質(zhì)、菱形的判定，全等三角形性質(zhì)及判定等知識，解題的關(guān)鍵是掌

握矩形、菱形的性質(zhì)及判定定理，熟練應(yīng)用三角形全等的判定定理.

18.如圖，在四邊形ABCO中，AB//CD,NBCD=9。,AB=AD=IOcm,BC=8cm.點(diǎn)

P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒女m的速度沿折線ABC方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)”出發(fā)，以每秒2cm的

速度沿線段。C方向向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng).已知?jiǎng)狱c(diǎn)P,。同時(shí)發(fā)，當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，P,。運(yùn)

動(dòng)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為r.

A.——=i±_IB

D二，=---------------1C

⑴直接寫出CO的長(cm)；

(2)當(dāng)四邊形PBQ。為平行四邊形時(shí)，直接寫出四邊形的周長(cm)：

(3)在點(diǎn)P、點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻，使得VBPQ的面積為I5cn√?若存在,

請求出所有滿足條件的f的值；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)16

(2)8+8√13

(3)存在，滿足條件的f的值為二25秒或5秒

【分析】(1)過點(diǎn)A作AMlCD于根據(jù)題意證明四邊形ABc。是平行四邊形，然后根

據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及勾股定理可得結(jié)果；

(2)當(dāng)四邊形PBQD是平行四邊形，貝IJ點(diǎn)P在A3I二，點(diǎn)。在3C上，則BP=↑0-3t,DQ=Z,

根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得10-3/=2,求解得出平行四邊形的各邊長，求其周長即可；

(3)分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)；②當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)；根據(jù)三角

形面積列方程計(jì)算即可.

(1)

解：如圖1,過點(diǎn)A作AMIC。丁M,

A._.B

∕?P

DC

圖1

AMLCD,NBCD=90。,

：.AM〃CB,

?：AB//CD,

???四邊形ABC。是平行四邊形，

CM=A3=10Cm,

在ZftAOM中，AD=IOcm,AM=BC=8cm,

根據(jù)勾股定理得，DM=6cm,

.?CD=DM+CM=16cπi;

(2)

當(dāng)四邊形PBQD是平行四邊形，

則點(diǎn)尸在AB匕點(diǎn)。在。。上，

10—3,=21,

:.t=2,

此時(shí)，BP=DQ=4,CQ=I2,根據(jù)勾股定理得，ββ=4√13s

四邊形PBQD的周長為2(8P+BQ)=8+8屈；

(3)

①當(dāng)點(diǎn)尸在線段AB上時(shí)，即：0≤t≤岑時(shí)，

25

12

②當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，即：］<f≤6時(shí),

圖4

BP=3t-13CQ=?6-2t,

,S?>2=；尸8?CQ=g(3f-IO)(16-2t)=15,

19

二1=5或f=一(舍)，

3

即：滿足條件的f的值為三25秒或5秒.

【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形的動(dòng)點(diǎn)問題，平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理，讀懂題意，

根據(jù)相應(yīng)圖形的性質(zhì)列出方程是解本題的關(guān)鍵.

19.問題情境：四邊形ABCO中，點(diǎn)。是對角線AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是直線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)

(點(diǎn)E與點(diǎn)C、0、A都不重合)過點(diǎn)A,C分別作直線5E的垂線，垂足分別為，F(xiàn)G,連

接OF,OG

(1)初步探究：已知四邊形ABCD是正方形，且點(diǎn)E在線段OC上，求證A尸=8G；

(2)在(1)的條件下，探究圖中QF與OG的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【答案】(1)見解析

Q)OF=OG,理由見解析

【分析】(1)根據(jù)題意，AFlBE,CG.LBE,NABF+∕CBG=90?,∕ABF+∕BAF=90?,

則NBAF=NCSG,利用AAS證明ABFqBCG,即可得到答案；

(2)由(1)知AB=BC,AF=BG,然后得到OB=OA,由∕OBE=∕E4F,得到

△OAF沿AOBG,即可得證.

(1)

證明：???四邊形ABC。是正方形，

：.AB=BC,,ZABC=90°,

J∕ABb+∕C3G=90?,

VAFLBE,CGLBE1

：.^AFB=^BGC=90o,

???ZABF+^BAF=90?,

???/BAF=NCBG,

:?aABF沿.BCG,

：.AF=BG;

(2)

OF=OG；

理由如下：如圖1,連接05,

由(1)知∕ABC=900,AB=BC,AF=BG,

???點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，

.-.OB=-AC=OABOlAC,

2f

：.180C=90°,

：.NOBE+∕OEB=90?,

?/^AFE=90o,

.β.^EAF+XAEF=Θ0o,

ZOBE=ZEAF,

J40AF9乙。BG,

：.OF=OG.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等腰直角三角形，，解題的關(guān)

鍵是正確作出輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題.

20.如圖，在八鉆。中，Zβ=90o,AB=12cm,BC=24cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊AB向

點(diǎn)B以2cm∕s的速度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿邊BC向點(diǎn)。以4cm∕s的速度移動(dòng)，如果P,

Q兩點(diǎn)分別從A,8兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為xs.

A

(1)用含X的式子表示(請寫化簡之后的結(jié)果)；

AP=cm,BP=cm,BQ=cm,S四邊形APQC=

=cm2

(2)四邊形APQC的面積能否等于172cn??若能，求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；若不能，說明理由.

【答案】(1)2人(12-2r),4f,(4/一24f+144)

(2)當(dāng)1=7,四邊形AP0C的面積等于172cm?.

【分析】(1)根據(jù)題意用X表示出AP、BP、BQ、Sil小知,登即可；

(2)由%邊疇相c=172cπ?可得關(guān)于r的一元二次方程，然后解一元二次方程即可求得運(yùn)動(dòng)

H寸間t.

(1)

解：根據(jù)題意得："=2∕cm,BQ=4/cm,所以BP=48-AP=(12-2f)cm,

SPBQ=^BPBQ=→(12-2∕)×4z=T產(chǎn)+24r,

?SlaI邊形""=SABC-SPBQ

2

???SWAPQC=TX12X24-(T-+24/)=4/-24/+144.

故答案為：2f、(12-2r),4/,(4/2-24?+144).

(2)

解：Y四邊形AP0C的面積能等于172cπ√

.,?4r-24r+144=172,即4r-24f-28=0,解得，=7或I=T(舍去)

；?當(dāng)1=7,四邊形APQC的面積等于172cm'

【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的動(dòng)點(diǎn)問題、四邊形的面積，二次函數(shù)的與一元二方程的關(guān)系

等知識點(diǎn)，出SWAPQCS與t的函數(shù)關(guān)系式是解本題的關(guān)鍵.

21.(1)如圖1,在四邊形ABC。中，∕8=NC=90。，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，AB=EC,BE=CD,

連接AE、DE.判斷AAEO的形狀，并說明理由；

(2)如圖2,在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(O,1),點(diǎn)C是X軸上的動(dòng)點(diǎn)，線段C4繞著點(diǎn)

C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。至線段CB,連接8。、BA,

①求3點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡解析式

②80+84的最小值是.

【答案】(1)見詳解

(2)①y=xT；②指

【分析】(1)根據(jù)已知條件證得aΛBEMaECD,即可證得AAfD為等腰直角三角形：

(2)①根據(jù)(1)可知AOCsCDB,設(shè)8點(diǎn)坐標(biāo)為(x,)，)，C點(diǎn)坐標(biāo)為(加,0),可得x=m+l,

尸凡即點(diǎn)8的運(yùn)動(dòng)軌跡解析式為：＞'=x-li

②作點(diǎn)。關(guān)于直線y=X-I的對稱點(diǎn)。，連接Aq,交直線y=X-I與點(diǎn)與，此時(shí)A、?？贐1

三點(diǎn)共線時(shí)，5。+區(qū)4值最小，求得Q坐標(biāo)為根據(jù)勾股定理即可求得最小值.

【詳解】(1)AAfD為等腰直角三角形，理由如下，

在"BE與"召8中，

AB=EC

VNB=NC,

BE=CD

.ABEAECD(SAS),

.,.AE=DE,/BAE=ZCED,

"：BAE+ZBEA=9(f,,

.,.NBEA+NCED=90。,

NAE￡)=90。,

.?.△/!￡￡＞為等腰直角三.角形；

(2)①作X軸于點(diǎn)。，如圖所示，

由（1）得，AOCmCDB,

：.AO=CD=IfCO=BDf

設(shè)8點(diǎn)坐標(biāo)為（泉y）,。點(diǎn)坐標(biāo)為

：.x=m+i.y=tn,

?"?y=X—1,

.?.點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)軌跡解析式為：y=χ-k

②如圖所示，作點(diǎn)。關(guān)于直線y=χ-l的對稱點(diǎn)。一連接AQ,交直線y=χ-ι與點(diǎn)用,

此時(shí)OlBl=OB1,AB1+OBt=ABi+OlBl=AOl,

即4、。1、Bl三點(diǎn)共線時(shí)，80+84值最小，

?；直線y=x-l垂直平分00一

OG=OO1=I,

.??01坐標(biāo)為（1，-1）,

22

.?.AO1=JAG2+GO∣2=√2+l=√5,

即：5O+B4的最小值為√ξ.

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是一次函數(shù)與全等三角形的綜合，主要是數(shù)量掌握“一線三垂直”

模型以及“將軍飲馬”模型.

22.如圖，在四邊形ASCO中，AD//BC,ZB=9Q°,AD=24cm,AB=Scm,BC=26cm,

動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AO邊向點(diǎn)D以IcnVs的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿CB邊向點(diǎn)B以

3cm∕s的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)尸，。分別從點(diǎn)A,C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)

也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為f秒.

(1)當(dāng)r為何值時(shí)，四邊形ABQP為矩形？

(2)當(dāng)f為何值時(shí)，四邊形PQC。為平行四邊形?

【答案】(1)當(dāng)r=65s時(shí)，四邊形ABQP是矩形

(2)當(dāng)r=6s時(shí)，四邊形PQCz)是平行四邊形

【分析】(1)四邊形ABQP為矩形，即AP=BQ,列出等式，求解即可；

(2)四邊形R28為平行四邊形，即CQ=PD,列出等式求解；

(1)

解：.,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒，

/.AP=/(cm),PD=AD-AP=24-r(cm),CQ-3r(cm),BQ-BC-CQ=26-3r(cm),

如圖1,

ADBC,

.?.當(dāng)Λ4=8Q時(shí)，四邊形ABQp是平行四邊形，

ZB=90o.

.??四邊形ABQP是矩形，

即r=26-3r,

解得：t=6.5?

圖1

(2)

解：如圖如

.?.當(dāng)QC=PD時(shí)，四邊形PQc。是平行四邊形.

此時(shí)有3f=24~√,

解得f=6.

???當(dāng)r=6s時(shí)，四邊形尸2。是平行四邊形.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了矩形、平行四邊形的判定與性質(zhì)應(yīng)用，要求學(xué)生掌握對各種圖形的

認(rèn)識，同時(shí)學(xué)會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)解題思想.

23.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩