2023版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)：第八章立體幾何 第一講 空間幾何體的結(jié)構(gòu)三視圖表面積和體積

第八章立體幾何

第一講空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖、表

面積和體積

要點(diǎn)提煉

考點(diǎn)1空間幾何體的結(jié)構(gòu)

1.多面體的結(jié)構(gòu)特征

名稱棱柱棱錐棱臺(tái)

D'S

圖形位

ABAB

底面互相平行且全等多邊形互相平行且相似

相交十一點(diǎn),延長(zhǎng)線交十一點(diǎn)，

側(cè)棱平行且相等

斯一定恰但不XE相等

側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形

考點(diǎn)1空間幾何體的結(jié)構(gòu)

規(guī)律總結(jié)

1.特殊的棱柱和棱錐

(1)側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫作直棱柱，底面是正多邊形的直棱柱叫作正

棱柱.反之，正棱柱的底面是正多邊形，側(cè)棱垂直于底面，側(cè)面是矩形.

⑵底面是正多邊形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面正多邊形的中心的棱錐叫

作正棱錐.特別地，各棱長(zhǎng)均相等的正三棱錐叫作正四面體.反之，正棱錐

的底面是正多邊形，且頂點(diǎn)在底面的射影是底面正多邊形的中心.

考點(diǎn)1空間幾何體的結(jié)構(gòu)

2.正棱錐中的直角三角形

已知正棱錐，如圖(以正四棱錐為例)，其高為加，

底面為正方形，作比，切于瓦則比為斜高，連接OC,0E,則

⑴斜高、側(cè)棱長(zhǎng)、底面邊長(zhǎng)的一半構(gòu)成直角三角形,如圖中

⑵斜高、高、斜高在底面的射影長(zhǎng)構(gòu)成直角三角形，如圖中

⑶側(cè)棱長(zhǎng)、高、側(cè)棱在底面的射影長(zhǎng)構(gòu)成直角三角形，如圖中RtZXPOC；

(4)斜高在底面的射影長(zhǎng)、側(cè)棱在底面的射影長(zhǎng)、底面邊長(zhǎng)的一半構(gòu)成直

角三角形，如圖中Rt△雙：

考點(diǎn)1空間幾何體的結(jié)構(gòu)

2.旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征

■圓錐.一

名稱圓柱1圓臺(tái)球

*

1

圖形1

1

1

旋轉(zhuǎn)

矩形直角梯形半圓形

圖形直角三角形

垂直十底

旋轉(zhuǎn)任一邊所任一直角邊所直徑所在的

邊的腰所

軸在的直線在的直線直線

在的直線

考點(diǎn)1空間幾何體的結(jié)構(gòu)

互樣?行且不蹄，延長(zhǎng)線交

母線相父于一點(diǎn)

垂肯十底面于一點(diǎn)

軸戴全等的

全等的矩形全等的等腰三角形圓

面等腰梯形

側(cè)面

矩形扇形

展開扇―

圖

考點(diǎn)1空間幾何體的結(jié)構(gòu)

規(guī)律總結(jié)球的截面的性質(zhì)

⑴球的任何截面都是圓面；

⑵球心和截面（不過球心）圓心的連線垂直于截面.

考點(diǎn)2空間幾何體的三視圖與直觀圖

1.三視圖的定義

幾何體的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖統(tǒng)稱為幾何體的三視圖.

三視圖中的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖分別是從幾何體的正前方、正左方、

正上方觀察幾何體畫出的輪廓線.

注意（1）畫三視圖時(shí)，重疊的線只畫一條，能看見的線用實(shí)線表示，不能看

見的線用虛線表示.（2）同一物體，若放置的位置不同，則所得的三視圖可能

不同.

考點(diǎn)2空間幾何體的三視圖與直觀圖

2.三視圖的長(zhǎng)度特征

〃長(zhǎng)對(duì)正、寬相等、高平齊〃，即正視圖和俯視圖的長(zhǎng)對(duì)正,側(cè)視圖和俯視

圖的寬相等,正視圖和側(cè)視圖的高平齊.

3.直觀圖

⑴畫法:常用斜二測(cè)畫法.

（2）規(guī)則:

a.原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中乂軸、/軸的夾角為45。（或

135。）,z'軸與（軸和『軸所在平面垂直

b.原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段,直觀圖中仍平行于坐標(biāo)軸.

考點(diǎn)2空間幾何體的三視圖與直觀圖

c.平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度丕變_，平行于y軸的線段

長(zhǎng)度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话?

(3)用斜二測(cè)粵法畫出的平面圖形的直觀圖的面積與原圖形面積的關(guān)系：

與觀圖二—不——為圖形.

注意用斜二測(cè)畫法畫直觀圖時(shí)，原圖中不與坐標(biāo)軸平行的直線段可以先

畫出線段的端點(diǎn)再連線，原圖中的曲線段可以通過取一些關(guān)鍵點(diǎn)，作出在

直觀圖中的相應(yīng)點(diǎn)后，用平滑的曲線連接而畫出.

考點(diǎn)3空間幾何體的表面積和體積

1.圓柱、圓錐.圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式

圓柱圓錐圓臺(tái)

，'51:

側(cè)面展開圖；r'、W卜：

孝’

冠錐側(cè)二工

側(cè)面枳公式5由柱側(cè)冠臺(tái)側(cè)二n(「+”/

說明圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積公式間的關(guān)系：S圓柱側(cè)一2nr/S圓臺(tái)側(cè)

二n(r+r')/-------?S圓錐側(cè)二nr/.

考點(diǎn)3空間幾何體的表面積和體積

2.空間幾何體的表面積與體積

表面積體積

柱體（棱柱和圓柱）

黑面積=5則+25氐V=S底h

.洛，

錐體（棱錐和圓錐）

息面積=5則+58

%小上下）方

臺(tái)體（棱臺(tái)和圓臺(tái)）s

%面積=5則+2+與

宗

球S=4TI不J￥

理解自測(cè)

1.判斷正誤（正確的打’勺〃，錯(cuò)誤的打〃x〃）.

（1）棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形.（X）

（2）在四棱柱中，若兩個(gè)過相對(duì)側(cè)棱的截面都垂直于底面很師亥四棱柱為直四棱柱.（V）

（3）棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后交于一點(diǎn).（V）

⑷以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái).（X）

（5）圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓面.（V）

⑹以直角三角形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐.（X）

（7）圓柱的一個(gè)底面積為5側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形，那么這個(gè)圓柱的側(cè)面積是2TIS（）

X

2.［易錯(cuò)題］如圖,長(zhǎng)方體ABCD-ABCD被截去一部分其中

中〃/。,剩下的幾何體是（C）

A棱臺(tái)B.四棱柱C.五棱柱D.六棱柱

3.［易錯(cuò)題］圓柱的側(cè)面展開圖是邊長(zhǎng)為6n和4n的矩形，則圓柱的表

面積為247T2+18n或24冗2+8n

4.有一塊多邊形的菜地,它的水平放置的平面圖形的

斜二測(cè)直觀圖是直角梯形（如圖）.N/8G45。/族

72

AD=1,DC±8c則這塊菜地的面積為2+萬.

考向掃描

考向1空間幾何體的結(jié)構(gòu)

1,典例（1）給出下列命題：

①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線;

②一個(gè)平面截圓錐彳導(dǎo)到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)；

③圓錐的所有軸截面都是全等的等腰三角形；

④圓錐的軸截面是所有過頂點(diǎn)的截面中，面積最大的一個(gè)；

⑤三棱錐的四個(gè)面中最多有三個(gè)直角三角形.

其中正確命題的個(gè)數(shù)是（B）

A.OB.lC.2D.3

⑵如圖，正三棱錐486勺底面邊長(zhǎng)為a,側(cè)棱長(zhǎng)為2d，點(diǎn)￡吩別為力04。

____11

上的動(dòng)點(diǎn),則截面△比碉長(zhǎng)的最小值為丁a.

考向1空間幾何體的結(jié)構(gòu)

解析⑴①只有當(dāng)這兩點(diǎn)的連線平行于軸時(shí)才是母線，故①不正

確;②只有平行于圓錐底面的平面截圓錐，才能得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓

臺(tái)，故②不正確；③正確；④因?yàn)閳A錐的母線長(zhǎng)一定，根據(jù)三角形面積公

式知，過圓錐頂點(diǎn)的截面中，兩條母線的夾角的正弦值越大，截面面積就

越大，所以當(dāng)軸截面中兩條母線的夾角為鈍角時(shí)，軸截面的面積就不是

最大的，故④不正確；⑤三棱錐的四個(gè)面中最多有四個(gè)直角三角形，故⑤

不正確.

考向1空間幾何體的結(jié)構(gòu)

⑵正三棱錐4-8CP的側(cè)面沿側(cè)棱必展開，得到一個(gè)

由三個(gè)全等的等腰三角形拼接而成的五邊形（如圖）.

由平面上兩點(diǎn)之間線段最短知，截面△陽調(diào)長(zhǎng)的

最小值即圖中線段8區(qū)的長(zhǎng)度.由對(duì)稱性知做

所以/DFB1=/ADO^NADB”所以用片片分嶼夠石.易知股八△4;。,所

2Ca--1a7一

yL_F_D_B_]_D__a__”以呵方?喘=笫所以*—即小白.所以

CDAD2a2a4

BBi=2升雙=-a,即截面△軻周長(zhǎng)的最小值為

444

考向1空間幾何體的結(jié)構(gòu)

方法技巧求解空間幾何體表面上兩點(diǎn)間的最短距離問題或兩條（多條）線

段長(zhǎng)度和的最小值問題常歸結(jié)為求平面兩點(diǎn)間的最短距離問題，解決此類

題的方法就是先把多面體側(cè)面展開成平面圖形，再用平面幾何的知識(shí)去求

解.

注意（1）解決展開問題的關(guān)鍵是明確需要展開立體圖形中的哪幾個(gè)面（有

時(shí)需要分類討論），以及利用哪些平面幾何定理來解決對(duì)應(yīng)的立體圖形問

題.⑵注意立體圖形展開前后線段與角度哪些會(huì)改變，哪些不會(huì)變.

考向1空間幾何體的結(jié)構(gòu)

2.變式［2021新高考卷I］已知圓錐的底面半徑為VX其側(cè)面展開圖為一

個(gè)半圓，則該圓錐的母線長(zhǎng)為（B）

A.2B.2V2C.4D.4V2

解析設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為/,因?yàn)樵搱A錐的底面半徑為魚，所以2nXV2

二n/,（利用圓錐的底面周長(zhǎng)等于其側(cè)面展開圖的弧長(zhǎng)建立等量關(guān)系）

解得/=2V2,故選B.

考向2空間幾何體的三視圖

3.典例［2021全國卷甲］［文］在一個(gè)正方體中，過頂點(diǎn)力的三條

棱的中點(diǎn)分別為“G該正方體截去三棱錐4斤6后，所得

正視圖

多面體的三視圖中，正視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖是（D）

考向2空間幾何體的三視圖

解析根據(jù)題目條件以及正視圖可以得到該幾何體的直觀圖，

如圖，結(jié)合選項(xiàng)可知該幾何體的側(cè)視圖為選項(xiàng)D所示的圖形.

方法技巧1.三視圖與直觀圖的常見題型及求解策略

(1)由直觀圖求三視圖.注意正視圖、側(cè)視圖和俯視圖的觀察方向，同時(shí)

也要注意看到的輪廓線用實(shí)線表示，看不到的輪廓線用虛線表示.

(2)由幾何體的部分三視圖畫出剩下的三視圖.先根據(jù)已知的部分三視圖,

推測(cè)、還原直觀圖的可能形式，然后找剩下部分三視圖的可能形式.做選

擇題時(shí)，也可以將選項(xiàng)代入，看給出的部分三視圖是否符合要求.

考向2空間幾何體的三視圖

(3)由三視圖還原為幾何體.要遵循以下三步:①看視圖，明關(guān)系；②分部分,

2.根據(jù)幾何體的三視圖判斷幾何體的結(jié)構(gòu)特征

(1)三視圖為三個(gè)三角形，一般對(duì)應(yīng)三棱錐；

(2)三視圖為兩個(gè)三角形，一個(gè)四邊形，一般對(duì)應(yīng)四棱錐；

(3)三視圖為兩個(gè)三角形，一個(gè)圓，一般對(duì)應(yīng)圓錐；

(4)三視圖為一個(gè)三角形，兩個(gè)四邊形，一般對(duì)應(yīng)三棱柱；

(5)三視圖為兩個(gè)四邊形，一個(gè)圓，一般對(duì)應(yīng)圓柱.

考向2空間幾何體的三視圖

4.變式［2020全國卷H］如圖是一個(gè)多面體的三視圖，

這個(gè)多面體某條棱的一個(gè)端點(diǎn)在正視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為例

在俯視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為2則該端點(diǎn)在側(cè)視圖中對(duì)應(yīng)的

點(diǎn)為（A）

A.￡B/C.GD.H

解析由三視圖知，該幾何體是由兩個(gè)長(zhǎng)方體組合

而成的，其直觀圖如圖所示，由圖知該端點(diǎn)在側(cè)視圖

中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為￡

考向3求空間幾何體的表面積（側(cè)面積）

角度1求空間幾何體的表面積

5.典例［2018全國卷I］［文］已知圓柱的上、下底面的中心分別為Q,q，過

直線QQ的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面

積為（A）

解析因?yàn)檫^直線42的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，所

以圓柱的高為2V2,底面圓的直徑為2V2,所以S圓柱=2s底+S側(cè)

=2XnX（V2）2+2nxV2X2V2=12n.

考向3求空間幾何體的表面積（側(cè)面積）

角度2求空間幾何體的側(cè)面積

6.典例［2021全國卷甲］［文］已知一個(gè)圓錐的底面半徑為6,其體積為30n,則

該圓錐的側(cè)面積為39n.

解析設(shè)該圓錐的高為力,則由已知條件可得;XnX62X/^30n,解得后|,

則圓錐的母線長(zhǎng)為，尼+62=俘+36=冬故該圓錐的側(cè)面積為

\42

13

nX6X^=39n.

考向3求空間幾何體的表面積（側(cè)面積）

方法技巧求空間幾何體的表面積的常見類型及解題思路

求多面體只需將它們沿著棱“剪開”展成平面圖形，利用求平面圖形

的表面積面積的方法求多面體的表面積.

可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過程及其幾何特征入手,將其展開后求

求旋轉(zhuǎn)體

表面積，但要搞清旋轉(zhuǎn)體的底面半徑、母線長(zhǎng)與對(duì)應(yīng)側(cè)面展

的表面積

開圖中的邊長(zhǎng)關(guān)系.

求不規(guī)則通常將所給幾何體分割或補(bǔ)形成柱體、錐體、臺(tái)體,先求出

幾何體的這些柱體、錐體、臺(tái)體的表面積，再通過求和或作差，求出所

表面積給幾何體的表面積.

考向3求空間幾何體的表面積（側(cè)面積）

說明正四面體的表面積為,/（百是正四面體的棱長(zhǎng)）.

注意（1）幾何體的側(cè)面積是指（各個(gè)）側(cè)面面積之和，而表面積是側(cè)面積

與所有底面面積之和.

⑵組合體的表面積應(yīng)注意對(duì)重合部分的處理.

考向3求空間幾何體的表面積（側(cè)面積）

7.變式⑴［2020全國卷I］［文］已知48c為球優(yōu)勺球面上的三個(gè)點(diǎn)

為△/比的外接圓若。Q的面積為=BC=AC=OQ,則球戊勺表面積

為（A

A.64TTB.48TIC.36TTD.32TT

（2）［數(shù)學(xué)探索］如圖所示，有兩個(gè)相同的直三棱柱，高為I，4小

底面三角形的三邊長(zhǎng)分別為3a,445a（a>0）用它們拼成小屋!小屋

一個(gè)三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中,表面積最小

的是一個(gè)四棱柱，則力勺取值范圍是（0,空）.

考向3求空間幾何體的表面積(側(cè)面積)

解析(1)如圖所示，設(shè)球。的半徑為尺oq的半徑為廣,

因?yàn)?。Q的面積為4n,所以4n=nr2,解得尸2,XAFBO

AOOOy,所以號(hào)二2廠,解得4尻2百，故00戶2行，所以

sin60

竹00好2二(2V3)2+22=16,所以球。的表面積84n不二

64n.故選A.

(2)所給直三棱柱的底面積為6#,側(cè)面面積分別為6,8,10.當(dāng)拼成三棱柱時(shí)

有三種情況，如圖①②③所示，其表面積分別為

用二2X6/+2X(10+8+6)=12#+48,

考向3求空間幾何體的表面積（側(cè)面積）

2

S2=4X6a+2X(10+8)=24聲36,

22

S3=4X6a+2X(10+6)=24a+32.

當(dāng)拼成四棱柱時(shí)有三種情況，

如圖④⑤⑥所示，表面積分別為

&二4義6聲2X(8+6)=24聲28,

星二4X6/+2X(10+8)=24聲36,

2

S6=4X6a+2X(10+6)=24聲32.

考向4求空間幾何體的體積

角度1求空間幾何體的體積

8.典例［2018天津高考］［文］如圖，已知正方體力80。-4統(tǒng)G&

1

的棱長(zhǎng)為L(zhǎng)則四棱錐4-BB1D1戊勺體積為§.

解析解法一（直接法）連接4G交8闋于點(diǎn)E則4￡，8闋，4￡，8%則平面

BByDyD,所以4E為四棱錐4-仍10為勺高，且4良也,矩形88Ml。的長(zhǎng)和寬分別為魚,1,故

2

匕41-BBMM=1XV2Xy=1

解法二（割補(bǔ)法）連接84,則四棱錐4-88MM分成兩個(gè)三棱錐8-4與B-

11111

4BB,VA1-BB1D1D=VB-A1DD1+VB-A1B1D1=-x-X1X1X1+-x-X1X1X1=?

考向4求空間幾何體的體積

方法技巧求空間幾何體體積的常用方法

直接法對(duì)于規(guī)則的幾何體，利用相關(guān)公式直接計(jì)算.

把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，然后進(jìn)行體積計(jì)算；或者

割補(bǔ)法把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體，不熟悉的幾何體補(bǔ)成熟悉

的幾何體，便于計(jì)算.

通過轉(zhuǎn)換底面和高來求幾何體的體積，即通過將原來不容易求面

等體

積的底面轉(zhuǎn)換為容易求面積的底面，或?qū)⒃瓉聿蝗菀卓闯龅母咿D(zhuǎn)

積法

換為容易看出并容易求解的高進(jìn)行求解.常用于求三棱錐的體積.

說明正四面體的體積是四53s是正四面體的棱長(zhǎng)）.

考向4求空間幾何體的體積

角度2體積的最值問題

9.典例在三棱錐2/比中，平面P8d平面/BCN/390°IBC=PC=2I

若/金戶氏則三棱錐P-/8Q本積的最大值為(D)

4V2D16百G16V332V3P

AA.D.--------U.-------nD.-------A

392727/\

解析如圖,取陽的中點(diǎn)〃連接成因?yàn)?君

平面PBC.L平面ABC,平面PBCC平面ABC^BC,ACU平面ABC,"'B

ACJLBC,所以平面"8c貝I點(diǎn)4至U平面陽仍勺距離為力G設(shè)432x,由于

BG^P32,眸2x(0<x<2),〃為硒勺中點(diǎn)，所以CM1PB,眼魚一婷.

考向4求空間幾何體的體積

可得麋％尸;?2x?6-/=*?，4r2,分尸。陽尸g、（x,V4-%2）?2盡，；好.（等

體積轉(zhuǎn)換）

設(shè)04—%2（o<K2）,則/二4-修

所以匕-如尸型3=三”（0〈k2）,（換元化簡(jiǎn)）

亍己1/（力二%二空（0〈亡〈2）,貝u/，（"二巨士.

33

令/'㈤=0,解得夕亭.

由1/'㈤>0得0<伙言，所以卜㈤在（0,竽）上單調(diào)遞增；

由1/'（力<0得學(xué)〈K2,所以|/（七）在（學(xué),2）上單調(diào)遞減.

?3O

所以當(dāng)仁野時(shí)，匕一戶比取得最大值甯.（利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值）

J4/

考向4求空間幾何體的體積

方法技巧求解體積的最值問題的方法

⑴幾何法:根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，先確定體積表達(dá)式中的常量與變量,

然后利用幾何知識(shí)判斷變量什么情況下取得最值，從而確定體積的最值.

⑵代數(shù)法:先設(shè)變量，求出幾何體的體積表達(dá)式，然后轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問

題求解即可.

考向4求空間幾何體的體積

10.變式⑴[2021全國卷甲]已知48提半徑為1的球優(yōu)勺球面上的三個(gè)

點(diǎn)且/UL6C/G8GL則三棱錐。/比的體積為(A)

A噂B噂C.-D.-

44

(2)[2018全國卷O][文]設(shè)庭同一個(gè)半徑為4的球的球面上四

點(diǎn)△/比為等邊三角形且其面積為9區(qū)則三棱錐。/6Q本積的最大值為

(B)

A.12V3B.18V3C.24V3D.54V3

考向4求空間幾何體的體積

解析⑴如圖所示，因?yàn)锳C-LBC,所以AB為截面圓q的直徑，且4斤VI

連接。禽貝面物00產(chǎn)21—作)2=幕所以三棱

l-(y)乙乙

錐0T8a勺體積匕二義S^ABK00=xlxiX1X—=—.

332212

考向4求空間幾何體的體積

D

(2)如圖所示，因?yàn)椤?成?是正三角形，所以該三角形的外接I

圓心就是三角形的中心M.連接球心0與點(diǎn)〃則OM-L平面胸.

所以點(diǎn)。到平面486的距離最大時(shí)，。為射線的與球面的交點(diǎn)，

此時(shí)加小平面48C由題意知除除4,S△他^48二98,所以4合6.

4

連接8僻延長(zhǎng)交4?于點(diǎn)￡因?yàn)辄c(diǎn)M為L(zhǎng)AB讖重心,所以B啟BF2W,則在

3

Rt△明仲，。俯7OB2-BM2a所以哪ax=姓。除4+2=6,所以三棱錐。T8C

體積的最大值為工X9舊義6=18g.故選B.

3

考向5與球有關(guān)的切、接問題

角度1外接球問題

解決外接球問題的關(guān)鍵是抓住外接球的特點(diǎn)即球心到多面體的頂點(diǎn)的

距離等于球的半徑.

1L典例［2019全國卷I］已知三棱錐2/比的四個(gè)頂點(diǎn)在球仇勺球面上

，以二戶8=提邊長(zhǎng)為2的正三角形工吩別是外明邸中點(diǎn)，

NCFG90：貝旺求優(yōu)勺體積為（D）

A.8V6nB.4V6TTC.2V6TID.V6TT

考向5與球有關(guān)的切、接問題

解析（補(bǔ)形法）因?yàn)辄c(diǎn)￡啰?jiǎng)e為以"8的中點(diǎn)，所以）〃咫因?yàn)?/p>

NCEF900,所以￡FJ_CE,所以28,GE.取/劣勺中點(diǎn)僅連接8。PD,易證4c_L

平面燈火所以PB1AC,又ACCC曰C"C,CEU平面必C,所以用_L平面必G所

以PB.LPA,PBS.PC,因?yàn)镻忙PAPC,AABC為正三角形，

所以〃_LPC,即PA,PB,PC兩兩垂直.將三棱錐P-ABC^攵在正方體中,

如圖所示.因?yàn)?后2,所以該正方體的棱長(zhǎng)為遮，所以該

正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為V6,所以三棱錐PT燈?的外接球的

半徑后理,所以球。的體積以n陽二士nX（―）3=V6n.

2332

考向5與球有關(guān)的切、接問題

方法技巧1.求幾何體外接球半徑的思路

⑴利用球的截面性質(zhì)求解.如圖所示，設(shè)球。的半徑為兄截面

圓。'的半徑為T,〃為截面圓上任一點(diǎn)，球心。到截面圓的距離

為d,貝《在中，殿=。。'2+。'摩，即用=

⑵將幾何體補(bǔ)形成長(zhǎng)方體（或正方體），利用幾何體與長(zhǎng)方體（或正方體）

共有外接球的特征，由外接球的直徑等于長(zhǎng)方體（或正方體）的體對(duì)角線長(zhǎng)

求解.如三條側(cè)棱互相垂直的三棱錐，當(dāng)側(cè)棱長(zhǎng)相等時(shí)可補(bǔ)形成正方體，當(dāng)

側(cè)棱長(zhǎng)不相等時(shí)可補(bǔ)形成長(zhǎng)方體、：：二

考向5與球有關(guān)的切、接問題

2.確定幾何體外接球球心的常用結(jié)論

⑴長(zhǎng)方體或正方體的外接球的球心是其體對(duì)角線的中點(diǎn)；

(2)直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心連線的中點(diǎn)；

⑶正棱錐的外接球的球心在其高上，具體位置可通過建立直角三角形運(yùn)

用勾股定理計(jì)算得到.

考向5與球有關(guān)的切、接問題

角度2內(nèi)切球問題

求解多面體的內(nèi)切球問題，一般是將多面體分割為以內(nèi)切球球心為頂點(diǎn)，多

面體的各側(cè)面為底面的棱錐，利用多面體的體積等于分割后各棱錐的體積

之和，求內(nèi)切球的半徑.

12典例［2020全國卷O］［文］已知圓錐的底面半徑為L(zhǎng)母線長(zhǎng)為3,則該圓

錐內(nèi)半徑最大的球的體積為冬.

考向5與球有關(guān)的切、接問題

解析易知半徑最大的球即為該圓錐的內(nèi)切球.

圓錐上及其內(nèi)切球以口圖所示，設(shè)內(nèi)切球的半徑為尺

則sinN8唱二=毀=；所以循3尺所以唱4廬

OPPB3

7PB2—BE2=V32-12=2V2,所以廬上所以內(nèi)切球的

2

體積1^-na巫n,即該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為包n

333

考向5與球有關(guān)的切、接問題

方法技巧1.解與球有關(guān)的切、接問題的思維流程

通法是作截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解,其解題的思維

流程如下：

I--------I如果是內(nèi)切球，則球心到切點(diǎn)的距離相等且

定球心一為半徑；如果是外接球，則球心到接點(diǎn)的距

—~離相等且為半徑________________________

——_選準(zhǔn)最佳角度作出截面（要使這個(gè)截面盡可能

作截面一包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素

-T~，司的關(guān)系），達(dá)到空間問題平面化的目的

求工徑、根據(jù)作出的截面中的幾何元素，建立關(guān)于球

下結(jié)論一半徑的方程，并求解

考向5與球有關(guān)的切、接問題

2.有關(guān)幾何體外接球、內(nèi)切球計(jì)算問題的常用結(jié)論

(1)球(半徑為曲與正方體(棱長(zhǎng)為之)有以下三種特殊情形：

①球內(nèi)切于正方體，此時(shí)2廬a；

②球與正方體的棱相切，此時(shí)2廬魚H；

③球外接于正方體，此時(shí)2廬

(2)長(zhǎng)、寬、高分別為a,的長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于其外接球的直徑,

即Va2+h2+c2-2R.

⑶棱長(zhǎng)為弼正四面體，斜高為鼻,高為B，其外接球的半徑為容，內(nèi)切

_L34

球的半徑為

12

考向5與球有關(guān)的切、接問題

13.變式⑴［2021安徽宿州5月三模］在《九章算術(shù)》中,將四個(gè)面都為

直角三角形的三棱錐稱為鱉月需.已知在鱉月需48。中平面8。?,且

8。=。二4,當(dāng)該鱉月需的內(nèi)切球的半徑為2(直-1)時(shí),它的外接球的體積為

—.32V3TI

(2)如圖，在三棱錐2/8。中，幺1=4,/G2近，

PB=BC=2百,PA±平面06c貝!］三棱錐P-/8U

的內(nèi)切球的表面積為巴.

考向5與球有關(guān)的切、接問題

解析⑴設(shè)鱉月需的內(nèi)切球的球心為0"反x,連接",08,OC,0D.

1

易知VA-BC而%T8c+VO.BW^O-ACEb即

工義dx4X4)XA=i(ix4XA+ix4X4+ix4V2X^-ix4XV16+%2)X2(魚一1),解得產(chǎn)4,

3232222

所以4后4.

解法一(直接法)如圖，取8。中點(diǎn)E作方二交4?于￡連接用

易知E為鱉月需的外接球的球心.

設(shè)鱉臆的外接球的半徑為凡因?yàn)榘兹?尺2,8月為廬2夜，

乙乙

所以1E%/EF2+BF2=V22+(2V2)2=2V3,

所以鱉月需的外接球體積仁打不二包?(2V3)3=32V3n.

33

考向5與球有關(guān)的切、接問題

解法二（補(bǔ)形法）如圖，可與鱉月需補(bǔ)形成長(zhǎng)方體，

易知鱉月需與此長(zhǎng)方體有相同的外接球.

易^A^AB2+BC2+CD2=V16+16+16=4V3,

所以鱉月需的外接球半徑盾9大2百.（長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于其外接球

2

的直徑）

所以鱉月需的外接球體積片如不二好?（2V3）3=32V3n.

33

考向5與球有關(guān)的切、接問題

(2)由必_L平面陽?且左4,眸2迎"用2/7,得4后2b，戶忙2行，所以

△分。為等邊三角形,叢ABC為等腰三角形.

匕棱錐PT8尸V三橫鋒A-PB尸aS叢PBC><P^~~X丁X(2V3)2X4=4^^(等體積轉(zhuǎn)換)

534

易知三棱錐PT8/勺表面積

S=|x2V3X4X2+yX(2V3)2+|X2V3X5=16V3.

設(shè)內(nèi)切球半徑為，，則匕棱錐PT酎=XSXr,即4百=2X16百X/，(三棱錐

JJ

的體積」X三棱錐的表面積X內(nèi)切球半徑)

3

解得尸

4

所以三棱錐PT比的內(nèi)切球的表面積為4nX(-)2=^.

44

攻堅(jiān)克難

數(shù)學(xué)應(yīng)用立體幾何的應(yīng)用

14.典例［2019全國卷m］［文］學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，

利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為長(zhǎng)方體

/BCDA81G2挖去四棱錐。-必GH后所得的幾何體，

其中。為長(zhǎng)方體的中心,￡￡GH分別為所在棱的中點(diǎn)二

BC=6cm,44F4cm.3D打印所用原料密度為0.9g/cm3.

不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為二g.

數(shù)學(xué)應(yīng)用立體幾何的應(yīng)用

解析由題易得長(zhǎng)方體48處481G4的體積為6X6X4=144(cm3),四邊形

1

￡FG//為菱形，如圖所示，連接比HF.易知菱形￡FG陰勺面積為5><6X4=12(cm2),

1

所以%棱錐+EFGf*X12X3=12(cm3),所以該模型的體積為144-12=132(cm'

所以制作該模型所需原料的質(zhì)量為132X0.9=118.8(g).

數(shù)學(xué)應(yīng)用立體幾何的應(yīng)用

15.變式［2020江蘇高考］如圖，六角螺帽毛坯是

由一個(gè)正六棱柱挖去一個(gè)圓柱所構(gòu)成的.已知

螺帽的底面正六邊形邊長(zhǎng)為2cm,高為2cm,

內(nèi)孔半徑為0.5cm,則此六角螺帽毛坯的

體積是.cm3.

解析正六棱柱的體積為6X返X22X2=12B(cm3),圓柱的體積為

4

nX0.52X2』(cm3),則該六角螺帽毛坯的體積為(12V3-)cm3.

22

數(shù)學(xué)文化立體幾何與數(shù)學(xué)文化

16.典例［2019全國卷H］［文］中國有悠久的金石文化,印信是金石文化的代

表之一.E|］信的形狀多為長(zhǎng)方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤

信的印信形狀是〃半正多面體〃（如左圖）.半正多面體是由兩種或兩種以上

的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美,右圖是一個(gè)棱數(shù)

為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上,且此正方體的

棱長(zhǎng)為1.則該半正多面體共有26個(gè)面，其棱長(zhǎng)為g.

數(shù)學(xué)文化立體幾何與數(shù)學(xué)文化

解析依題意知，題中的半正多面體的上、下、左、右、前、后6個(gè)面都在

正方體的表面上，且該半正多面體的表面由18個(gè)正方形，8個(gè)正三角形組成，

因此題中的半正多面體共有26個(gè)面.

注意到該半正多面體的俯視圖的輪廓是一個(gè)正八邊形，設(shè)題中的半正多面體

的棱長(zhǎng)為x,則某+/4產(chǎn)1,解得產(chǎn)悟1,故題中的半正多面體的棱長(zhǎng)為夜-

1.

數(shù)學(xué)文化立體幾何與數(shù)學(xué)文化

17.變式［2020全國卷I］［文］埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一,

它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐.以該四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形面積等于

該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方

形的邊長(zhǎng)的比值為（C）

AV5-lRV5-1rV5+1nV5+1

解析設(shè)正四棱錐的高為啟底面正方形的邊長(zhǎng)為22斜高為勿，依題意得

加二工X2HX/77,即/?2二3勿①，易次口〃+32二序②，由①②得姓竽劣所以：=

22a

1+君廣

==此2故選C.

2a4

數(shù)學(xué)探索立體幾何中的截面問題

18.典例［2018全國卷I］已知正方體的棱長(zhǎng)為L(zhǎng)每條棱所在直線與平面晰

成的角都相等，則。截此正方體所得截面面積的最大值為（A）

A3V302VTr3V2nV3

A?丁0?丁DT

思維導(dǎo)江方體的結(jié)構(gòu)特征J

數(shù)學(xué)r平面a與正方體直觀

抽象的體對(duì)角線垂直想象

每條棱所在直線與平

面a所成的角都相等

利用函數(shù)I教學(xué)I設(shè)出變量.得由I婺學(xué)I作出與體對(duì)角線垂直的特殊平

思想求解運(yùn)算面積表達(dá)式抽象面-，-則--平---面a與.?其?平?行?或一重.合

數(shù)學(xué)探索立體幾何中的截面問題

解析如圖，記該正方體為48如481G4,要使

正方體的每條棱所在直線與平面a所成的角都相等，

那么平面a必須與正方體的體對(duì)角線4G垂直.

連接81GByDy,CD1,易知平面a與平面月由平行或重合.

設(shè)截面與棱44,44,8月，8&的交點(diǎn)分別為G,H,/,J.

不妨設(shè)4斤x(0WxW1),則好X,延長(zhǎng)交于點(diǎn)〃則的￡直線47,顯然

△陽/是邊長(zhǎng)為魚的正三角形，△的〃是邊長(zhǎng)為四x的正三角形，

數(shù)學(xué)探索立體幾何中的截面問題

所以S四邊形/S△陽/-S△板尸1（2-2爐），同理可得S四邊形函k1“一？（1

4,4

X）2]￥（4.2x2）,

4

所以截面面積5=—（2+4尸44）―[3-（1-2x）2]^―,

444

當(dāng)且僅當(dāng)產(chǎn)工時(shí)等號(hào)成立.

2

即當(dāng)產(chǎn);時(shí)，截面面積取得最大值，最大值為雙I

24

數(shù)學(xué)探索立體幾何中的截面問題

方法技巧作截面的三種常用方法

一是直接法，解題關(guān)鍵是截面上的點(diǎn)在幾何體的棱上，且兩兩在一