山西省呂梁市2024屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山西省呂梁市2024屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由解得，所以，，所以，，故選：A.2.已知復(fù)數(shù)，則（）A.1 B. C.2 D.4〖答案〗A〖解析〗，故選：A3.雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C.2 D.〖答案〗A〖解析〗依題意，，所以該雙曲線的離心率.故選：A.4.寬與長的比為的矩形叫做黃金矩形，它廣泛的出現(xiàn)在藝術(shù)、建筑、人體和自然界中，令人賞心悅目．在黃金矩形中，中點(diǎn)為，則的值為（）A. B. C.4 D.2〖答案〗D〖解析〗因?yàn)樵邳S金矩形中，，所以，故，而，，所以.故選：D.5.的值為（）A. B. C.2 D.4〖答案〗D〖解析〗，則，故選：D6.如圖，“蒸茶器”外形為圓臺狀，上、下底面直徑（內(nèi)部）分別為，高為（內(nèi)部），上口內(nèi)置一個(gè)直徑為，高為的圓柱形空心金屬器皿（厚度不計(jì)，用來放置茶葉）．根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，一般水面至茶葉（圓柱下底面）下方的距離大于等于時(shí)茶葉不會(huì)外溢．用此“蒸茶器”蒸茶時(shí)為防止茶葉外溢，水的最大容積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖，作出圓臺的軸截面，設(shè)截面上部延長部分三角形的高為，由相似三角形性質(zhì)，得，解得，設(shè)水到達(dá)最大容量時(shí)水面的圓面半徑為，則，解得，水的最大容量為.故選：C.7.已知圓，點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，以為直徑的圓與圓相交于兩點(diǎn)，則四邊形面積的最小值為（）A. B. C.2 D.4〖答案〗B〖解析〗由題意得，，，，當(dāng)垂直直線時(shí)，，，故選：B.8.已知函數(shù)滿足，則下列結(jié)論不正確的是（）A. B.函數(shù)關(guān)于直線對稱C. D.的周期為3〖答案〗D〖解析〗解法一：令，，則，解得，A正確；令，則，所以，即是偶函數(shù)，所以，所以函數(shù)關(guān)于直線對稱，B正確；令，則，令，則，所以，C正確；令，則①，所以②，①②聯(lián)立得，所以，，即的周期為，D錯(cuò)誤；解法二：構(gòu)造函數(shù)，滿足，且，，A正確；，因?yàn)楸硎镜膱D象向右平移個(gè)單位，且的圖象關(guān)于軸對稱，所以關(guān)于直線對稱，B正確；由余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知，C正確；的周期，D錯(cuò)誤；故選：D.二、選擇題9.下列說法正確的是（）A.命題“”的否定是“”B.“”是“”的充分不必要條件C.若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)镈.記為函數(shù)圖象上的任意兩點(diǎn)，則〖答案〗BCD〖解析〗對于A選項(xiàng)，“，”的否定為“”，故A錯(cuò)誤；對于B選項(xiàng)，由，得，故或，因此是的充分不必要條件，故B正確；對于C選項(xiàng)，中，，中，，即，故C正確；對于D選項(xiàng)，,，，故D正確.故選：BCD.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，將函數(shù)的圖象先關(guān)于軸對稱，然后再向左平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是（）A. B.C.函數(shù)為奇函數(shù) D.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增〖答案〗AD〖解析〗根據(jù)函數(shù)的部分圖象，可得A＝2，，∴ω＝2，對于A選項(xiàng)，結(jié)合五點(diǎn)法作圖，可得，故A正確，，將函數(shù)的圖象平移后得到函數(shù)的圖象，則，對于B選項(xiàng)，由，得到的對稱軸為，顯然不是其對稱軸，故，故B錯(cuò)誤，對于C選項(xiàng)，函數(shù)顯然不是奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤，對于D選項(xiàng)，，的遞增區(qū)間即的遞減區(qū)間，令，解得，故的遞增區(qū)間是，當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間是，故D正確，故選：AD．11.已知正方體的棱長為1，點(diǎn)滿足，（與三點(diǎn)不重合），則下列說法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，平面B.當(dāng)時(shí)，平面C.當(dāng)時(shí)，平面平面D.當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角的正切值的最大值為〖答案〗ABD〖解析〗A，當(dāng)時(shí)，即，則，可得，則，所以點(diǎn)在平面內(nèi)，如圖，因?yàn)椋?，面，面，故面，面，面，故面，，面，所以面面，又面，所以平?故A正確；B，當(dāng)時(shí)，，則，故點(diǎn)在直線上，直線與直線共線，如圖，，，，平面，所以平面，即平面，故B正確；C，當(dāng)當(dāng)時(shí)，，所以，故為的中點(diǎn)，如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體邊長為，則，，，，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，則，所以平面與平面不垂直，故C錯(cuò)誤；D，當(dāng)，時(shí)，則，可知點(diǎn)在平面內(nèi)，因?yàn)槊婷?，則直線與面所成角即為直線與面所成的角，因?yàn)槊?，則直線與面所成的角為，得，又，即，則，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，知的最小值為，則的最大值，所以直線與平面所成角的正切值的最大值為，故D正確.故選：ABD.12.畫法幾何的創(chuàng)始人——法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：橢圓的兩條切線互相垂直，則兩切線的交點(diǎn)位于一個(gè)與橢圓同中心的圓上，稱此圓為該橢圓的蒙日圓．已知橢圓分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，，其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到的距離為，點(diǎn)在橢圓上，直線，則（）A.直線與蒙日圓相切B.橢圓的蒙日圓方程為C.若點(diǎn)是橢圓的蒙日圓上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的兩條切線，分別交蒙日圓于兩點(diǎn)，則的長恒為4D.記點(diǎn)到直線的距離為，則的最小值為〖答案〗AC〖解析〗當(dāng)兩切線分別與兩坐標(biāo)軸垂直時(shí)，兩切線的方程分別為、，所以點(diǎn)在蒙日圓上，故蒙日圓的方程為，又由題意可得，，結(jié)合解得，，對于A選項(xiàng)，蒙日圓圓心到直線的距離為，所以，直線與蒙日圓相切，故A正確；對于B選項(xiàng)，的蒙日圓的方程為，故B錯(cuò)誤；對于C選項(xiàng)，由題意可知，，所以為蒙日圓的直徑，，故C正確；對于D選項(xiàng)，由橢圓的定義可得，，所以，，直線的方程為，點(diǎn)到直線的距離為，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故D錯(cuò)誤；故選：AC.三、填空題13.的展開式中的系數(shù)為______．（用數(shù)字作答）〖答案〗20〖解析〗的第項(xiàng)為，令，解得，令，得，代入通項(xiàng)可得展開式中的和項(xiàng)分別為：，分別與和相乘，得的展開式中項(xiàng)為，故的系數(shù)為20.故〖答案〗為：20.14.某市2018年至2022年新能源汽車年銷量（單位：百臺）與年份代號的數(shù)據(jù)如下表：年份20182019202020212022年份代號01234年銷量1015203035若根據(jù)表中的數(shù)據(jù)用最小二乘法求得關(guān)于的回歸直線方程為，據(jù)此計(jì)算相應(yīng)于樣本點(diǎn)的殘差為______．〖答案〗〖解析〗依題意，，，代入回歸直線，解得所以回歸直線為當(dāng)時(shí)，，因此殘差，故〖答案〗為：15.設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，若，則______．〖答案〗〖解析〗由得即是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.故〖答案〗為：16.已知分別是函數(shù)和圖象上的動(dòng)點(diǎn)，若對任意的，都有恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為______．〖答案〗〖解析〗點(diǎn)到直線的距離，則，又，由知，和在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，其值域?yàn)椋?，令，令，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，因?yàn)閷θ我獾模加泻愠闪?，所以，所以?shí)數(shù)的最大值為.故〖答案〗為：.四、解答題17.已知數(shù)列滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）由題意，得當(dāng)當(dāng)，適合上式.（2）所以.18.設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為，已知．（1）求；（2）設(shè)的角平分線交于點(diǎn)，求的最小值．解：（1）.由正弦定理，得，即，即（2）由題意可得，即當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以的最小值為9.19.如圖，在四棱錐中，已知平面，且四邊形為直角梯形，．（1）線段上是否存在一點(diǎn)使得，若存在，求出的長，若不存在，說明理由；（2）定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線距離的最小值，求異面直線與之間的距離．解：（1）以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，設(shè)為直線PB上一點(diǎn)，且，,又，所以存在點(diǎn)，滿足，此時(shí).（2）由（1）可得，則點(diǎn)到直線的距離∵∴所以異面直線PB與CD之間的距離為20.呂梁市舉辦中式廚師技能大賽，大賽分初賽和決賽，初賽共進(jìn)行3輪比賽，每輪比賽結(jié)果互不影響．比賽規(guī)則如下：每一輪比賽，參賽選手要在規(guī)定的時(shí)間和范圍內(nèi)，制作中式面點(diǎn)和中式熱菜各2道，若有不少于3道得到評委認(rèn)可，將獲得一張通關(guān)卡，3輪比賽中，至少獲得2張通關(guān)卡的選手將進(jìn)入決賽．為能進(jìn)入決賽，小李賽前在師傅的指導(dǎo)下多次進(jìn)行訓(xùn)練，師傅從小李訓(xùn)練中所做的菜品中隨機(jī)抽取了中式面點(diǎn)和中式熱菜各4道，其中有3道中式面點(diǎn)和2道中式熱菜得到認(rèn)可．（1）若從小李訓(xùn)練中所抽取的8道菜品中，隨機(jī)抽取中式面點(diǎn)、中式熱菜各2道，由此來估計(jì)小李在一輪比賽中的通關(guān)情況，試預(yù)測小李在一輪比賽中通關(guān)的概率；（2）若以小李訓(xùn)練中所抽取的8道菜品中兩類菜品各自被師傅認(rèn)可的頻率作為該類菜品被評委認(rèn)可的概率，經(jīng)師傅對小李進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練后，每道中式面點(diǎn)被評委認(rèn)可的概率不變，每道中式熱菜被評委認(rèn)可的概率增加了，以獲得通關(guān)卡次數(shù)的期望作為判斷依據(jù)，試預(yù)測小李能否進(jìn)入決賽？解：（1）設(shè)“在一輪比賽中，小李獲得通關(guān)卡”，則事件A發(fā)生的所有情況有：①得到認(rèn)可的中式面點(diǎn)入選1道，中式熱菜入選2道的概率為②得到認(rèn)可的中式面點(diǎn)入選2道，中式熱菜入選1道的概率為③得到認(rèn)可中式面點(diǎn)和中式熱菜各入選2道的概率為所以；（2）由題知，強(qiáng)化訓(xùn)練后，每道中式面點(diǎn)被評委認(rèn)可的概率為，每道中式熱菜被評委認(rèn)可的概率為，則強(qiáng)化訓(xùn)練后，在一輪比賽中，小李獲得通關(guān)卡的概率為，因?yàn)槊枯啽荣惤Y(jié)果互不影響，所以進(jìn)行3輪比賽可看作3重伯努利試驗(yàn)．用X表示小李在3輪比賽中獲得通關(guān)卡的次數(shù)，則，∴，∴小李能進(jìn)入決賽.21.已知直線與拋物線相切于點(diǎn)，動(dòng)直線與拋物線交于不同兩點(diǎn)異于點(diǎn)，且以為直徑的圓過點(diǎn)．（1）求拋物線的方程及點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）當(dāng)最小時(shí)，求直線的方程．解：（1）聯(lián)立，消得，因?yàn)橹本€與拋物線相切，所以，解得或（舍去），當(dāng)時(shí)，，解得，所以，所以拋物線C的方程為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為；（2）顯然直線的斜率存在，可設(shè)為，由，消得，則，，且，因?yàn)橐訫N為直徑的圓過點(diǎn)A，所以，即，整理可得，所以，化簡得，所以，所以或，即或，當(dāng)時(shí)，直線，即，所以直線過定點(diǎn)（舍去），當(dāng)時(shí)，直線，滿足，即，所以直線過定點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則當(dāng)直線與垂直時(shí)，最大，又，所以，所以直線的方程為.22.已知函數(shù)．（1）求在處的切線方程