【2023小升初】差不變原理（思維提高）-小升初數(shù)學思維拓展卷（通用版）

差不變原理

選擇題（共3小題）

1.如圖，四邊形ABC。為長方形，四邊形COE尸為平行四邊形.下面四種說法中正確的是

()

A.甲的面積比乙的面積大

B.甲的面積比乙的面積小

C.只有當丙、丁兩部分面積相等時，甲、乙兩部分面積才相等

D.甲、乙兩部分面積總是相等的，與丙、丁兩部分面積的大小無關

2.如圖，正方形ABCO的邊長是10厘米，長方形EFGH的長為8厘米，寬為5厘米.則

陰影部分的甲與陰影部分乙面積的差是（）平方厘米.

A.40B.50C.60D.80

3.如圖，線段BE將長方形ABCD分成M、N兩個部分，如果M部分比N部分的面積小

180平方厘米，那么AE的長是（）

C.20厘米D.14厘米

二.填空題（共25小題）

4.三角形ABC是直角邊長為4厘米的等腰直角三角形，將三角形ABC向左平移1厘米得

到三角形。EF,那么，圖中兩塊陰影部分的面積差______平方厘米.

B

5.如圖，長方形ABCD中，E,F分別是A。，BC上的點，滿足AE=BF=13AO,AB=9

厘米，AD的長度是整數(shù)。4CG尸與AAEG的面積之差的值也是整數(shù)，并且是5的倍數(shù)。

則AD的最小值為______厘米。

6.圖中給出了一個頂角120度，邊長為6c機的等腰三角形，先以其頂點為圓心，腰長為半

徑做出一個扇形，又以其底邊為直徑作出一個半圓，那么圖中陰影部分面積之差為

C∕M2O（π=3.14）

7.圖中給出了一個邊長為6a”的正三角形，以其一頂點為圓心做出一個扇形，又以其一邊

為直徑作出一個半圓，那么圖中兩個陰影面積之差為Cm2。（π=3?14）

8.邊長為α+〃的正方形紙片有以下兩種剪裁方法，按照“等量減等量差相等”的原則，陰

影部分所表示的三個小正方形的面積之間的關系可以用b.C表示為.

9.如圖，邊長為12c,"的正方形與直徑為16CTO的圓部分重疊（圓心是正方形的一個頂點）,

用Si，S2分別表示兩塊空白部分的面積，則S1-S2=切,（圓周率11取3）.

10.如圖，四個相疊的正方形，邊長分別是9厘米、7厘米、5厘米、3厘米，灰色區(qū)與黑

色區(qū)的面積差是平方厘米.

11.圖中，A8是圓。的直徑，長6厘米，正方形BCZ）E的一個頂點E在圓周上，ZABE=

45°.那么圓。中非陰影部分的面積與正方形BCDE中非陰影部分面積的差等于

平方厘米（取π=3.14）

D

12.如圖，已知正方形ABCQ的邊長是8厘米，AAO尸的面積比aCEF的面積大12平方厘

13.小張有200支鉛筆，小李有20支鋼筆.每次小張給小李6支鉛筆，小李還給小張1支

鋼筆.經過次這樣的交換后，小張手中鉛筆的數(shù)量是小李手中鋼筆數(shù)量的11倍.

14.如圖，三角形ABC和三角形QEF分別是等腰直角三角形.已知。F=6,AB=5,EB

=2.6,則陰影部分的面積是.

D

/Me

15.如圖,ABCQ是長方形，圖中的數(shù)是各部分的面積數(shù)，則圖中陰影部分的面積為.

D

!!

16.如圖，ABCG是4X7的長方形，QEFG是2X10的長方形，那么三角形BCM的面積與

三角形DEM的面積之差是

17.如圖，圖中陰影的面積是

18.如圖，大、小兩個正方形拼在一起，比較圖中兩塊陰影部分面積的大?。篠AABES

&CDE-

19.圖中，大正方形面積比小正方形面積多24平方米，求：小正方形的面積是平方

米.

M--M

2米

20.如圖，以直角三角形的直角邊長20厘米為直徑畫一個半圓，陰影部分①的面積比②的

面積小16平方厘米，則BC=______厘米.

C

(2)

AB

21.如圖所示，扇形ABQ的半徑是8厘米，陰影部分甲比陰影部分乙大26.24平方厘米,

則直角梯形ABCD的面積是平方厘米.

22.如圖，甲三角形的面積比乙三角形的面積大6〃廣，則α=

23.如圖所示，直角三角形直角邊AB=20厘米，陰影面積I比陰影面積∏少7平方厘米,

則BC的長是____厘米。

24.有兩根木條，第一根木條長28厘米，第二根木條長20厘米，兩根木條都剪去同樣長的

一段以后，第二根剩下的長度是第一根剩下的59,剪去一段的長度是___厘米.

25.兩捆鐵絲的長度相等，在第一捆用去30米后，第二捆用去64米后，第一捆余下的正好

是第二捆余下的5倍多2米.這兩捆鐵絲每捆原來長米.

26.如圖所示，已知SAABC=1,FE=EC,AF=13AB,則陰影部分的面積為.

27.如圖,大正方形比小正方形的面積大40平方厘米,大正方形的面積是平方厘米.

BE=70m,S陰-SMFH=I20〃/,則//B=

≡.解答題（共32小題）

29.如圖，正方形ABCQ邊長是6厘米，三角形AFO是正方形的一部分，三角形FCE的面

積比三角形AFO大6平方厘米，求CE長多少厘米.

30.如圖，已知等腰aABC中，AB=AC=25厘米，AD±BC,P為底邊BC延長線上的任

意一點，PElAC,PFA.AB,AO=24厘米，BC=14厘米，問PF與PE的差是否不變？

若差不變請求出這個差；若不是請說明理由.

31.如圖，BQ是梯形ABC。的一條對角線，線段AE與梯形的一條腰。C平行，AE與BD

相交于0點.已知三角形BOE的面積比三角形AOD的面積大4平方米，并且

EC=25BC.求梯形ABCQ的面積.

32.水桶中裝有水，水中插有A、B、C三根竹竿，露出水面的部分依次是總長的13,14,

15.三根竹竿長度總和為98厘米，求水深.

33.有兩條紙帶，一條長21厘米，另一條長13厘米，把兩條紙帶都剪下同樣長的一段后,

發(fā)現(xiàn)短紙帶剩下的長度是長紙帶剩下的813,剪下的一段有多少厘米?

34.柳樹的棵數(shù)是楊樹的5倍，如果兩種樹再各利I4棵，那么柳樹的棵數(shù)是楊樹的3倍.柳

樹和楊樹原來各有多少棵?

35.甲、乙兩堆煤，甲堆有120噸，乙堆有90噸，兩堆都賣出同樣多的煤以后，乙堆剩下

的是甲堆剩下的14,甲堆賣出多少噸？

36.如圖，求陰影部分面積之差.（單位：Cm）

37.如右圖，正方形ABCD的邊長是8厘米，三角形AoF的面積比三角形CEF的面積小6

平方厘米.求CE的長.

38.有兩根繩子，第一根長35米，第二根長75米，各用去同樣長的一段后，第二根剩下的

長度是第一根剩下長度的5倍，兩根繩子各剩下多少米？

39.如圖中，甲三角形的面積比乙三角形的面積大多少平方厘米？

6厘米

40.甲、乙兩人分別帶150元、70元去買東西，兩人買了同樣的東西后，剩下的錢數(shù)甲是

乙的5倍，問：甲、乙兩人身上各剩多少錢？每人花了多少錢?

41.已知下圖大圓的半徑為4C〃7,小圓的半徑為3c〃?，求兩個圓陰影部分的面積的差.

42.計算圖中BE的長度.

43.如圖：以AB為直徑作半圓，三角形A8C是直角三角形，陰影部分①比陰影部分②的

面積小28平方厘米，AB長40厘米.求BC的長度.（π取3.14）

44.如圖，平行四邊形BCE尸中，BC=8厘米，直角三角形中，4C=10厘米，陰影部分面

積比三角形AO”的面積大8平方厘米.求A”長多少厘米?

45.甲廠人數(shù)比乙廠少540人，若從兩廠各走600人，乙廠人數(shù)恰好是甲廠人數(shù)的4倍，求

甲廠原有多少人?

46.佳佳和樂樂有一些錢，佳佳的錢數(shù)是樂樂的5倍，現(xiàn)在給佳佳和樂樂每人各90元，現(xiàn)

在佳佳的錢數(shù)就是樂樂的3倍，請問現(xiàn)在佳佳和樂樂各有多少錢?

47.小明的童話書的數(shù)量是小敏的3倍，當兩人再各買5本，則小明的童話書就是小敏的2

倍，原來兩人各有多少本童話書？

48.兩根繩子，第一根長24米，第二根長30米.當兩根繩子剪去同樣長的一段后，第一根

剩下的長度是第二根剩下的58,每根剪去多少米？

49.如圖所示，甲三角形的面積比乙三角形的面積大6平方厘米，求CE的長度.

50.小張所有的鉛筆支數(shù)是小李的6倍，如果兩人各再買2支，那么小張所有的支數(shù)是小李

的4倍，兩人原來各有鉛筆多少支？

51.甲、乙兩種商品原價比是5：4,如果兩種商品都降價20元，這時甲、乙兩種商品現(xiàn)價

比是9：7,求現(xiàn)在甲、乙兩種商品的價格是多少？

52.有大、小兩桶酒，大桶有酒120千克，小桶有酒90千克，兩桶賣出同樣多的酒后，大

桶剩下的酒正好是小桶剩下的酒的4倍，兩桶各剩下多少千克酒，各賣出多少千克酒？

53.圖中ABCD是長方形,三角形EFD的面積比三角形48尸的面積大6cv∏2,其中BC=6cm,

AB=4cm,求EQ的長.

54.甲倉庫存糧840千克，乙倉庫存糧640千克，當兩倉庫運出同樣多后，甲倉庫剩下的存

糧是乙倉庫存糧的3倍，兩倉庫各運出多少千克？

55.如圖所示，陰影①的面積比陰影②的面積大28平方厘米，AB=40厘米，求BC的長。

56.今年小亮的年齡是小英的2倍，6年前小亮的年齡是小英的5倍.小英和小亮今年各多

少歲？

57.兩根繩子，第一根長40米，第二根長30米，兩根繩子各剪去同樣長的一段后，發(fā)現(xiàn)第

二根繩子剩下的長度是第一根剩下長度的35,兩根繩子各剪去多少米？

58.如圖，長方形的長為12厘米，寬為5厘米.陰影部分甲的面積比乙的面積大15平方厘

米.求Ez）的長.

59.原來學校書法組的人數(shù)是美術組人數(shù)的23,這學期書法組和美術組各增加了5人，現(xiàn)

在書法組的人數(shù)是美術組的57.原來書法組和美術組各多少人？

60.哥哥所有的鉛筆的支數(shù)是弟弟的7倍，如果兩人各再買2支，那么哥哥所有的支數(shù)是弟

弟的5倍，兩人原來各有鉛筆多少支？

差不變原理

參考答案與試題解析

一.選擇題（共3小題）

1.如圖，四邊形ABCQ為長方形，四邊形CZ）EF為平行四邊形.下面四種說法中正確的是

（）

CD

FEBA

A.甲的面積比乙的面積大

B.甲的面積比乙的面積小

C.只有當丙、丁兩部分面積相等時，甲、乙兩部分面積才相等

D.甲、乙兩部分面積總是相等的，與丙、丁兩部分面積的大小無關

【分析】因為四邊形ABC。為長方形，所以BC=A。，AB=CD,因為四邊形CQEF為平

行四邊形，所以CO=EF所以AB=E凡兩邊同時加上BE,所以BF=AE;根據等底等

高的三角形的面積相等，所以得出三角形CBF的面積=三角形DAE的面積，因為丁是

公共部分，所以甲、乙兩部分面積總是相等的，與丙、丁兩部分面積的大小無關；由此

即可判斷.

【解答】解：四邊形ABCo為長方形，所以8C=AO,AB=CD,

因為四邊形CZ）EF為平行四邊形，所以CD=EF,所以AB=EF,

兩邊同時加上BE,所以BF=AE;根據等底等高的三角形的面積相等，

所以得出三角形CBF的面積=三角形DAE的面積，

則：三角形CBF的面積-丁的面積=三角形D4E的面積-丁的面積，

所以甲、乙兩部分面積總是相等，與丙、丁兩部分面積的大小無關；

故選：Do

【點評】明確等底等高的三角形的面積相等，是解答此題的關鍵.

2.如圖，正方形ABe。的邊長是10厘米，長方形EFGH的長為8厘米，寬為5厘米.則

陰影部分的甲與陰影部分乙面積的差是（）平方厘米.

A.40B.50C.60D.80

【分析】甲-乙=（甲+空白）-（乙+空白）=正方形ABC。的面積-長方形EFGH的

面積

【解答】解：

10×10-8×5=60（平方厘米）

故選：Co

【點評】此題運用的是差不變原理，被減數(shù)和減數(shù)同時加上或減去同一個數(shù)，差不變.

3.如圖，線段BE將長方形A8CZ）分成M、N兩個部分，如果M部分比N部分的面積小

180平方厘米，那么AE的長是（）

At-----十——

yN20厘米

B^—————IC

30厘米

A.24厘米B.21厘米C.20厘米D.14厘米

【分析】根據題意可得到等量關系式：N部分的面積加上歷部分的面積等于長方形的面

積，可設N部分的面積為X,那么M部分的面積為X-180,將未知數(shù)代入等量關系式進

行解答即可得到N部分的面積；再根據梯形的面積公式求出ED的長，最后用AD-ED

=AE.

【解答】解：設N部分的面積為X,那么〃部分的面積為X-180,

x+（χ-180）=30X20

Zr-180=600

2x=600+180

2x=780

x=390;

N部分的面積是390平方厘米.

設梯形的上底為y,

（y+30）×20×12=390

Ioy+300=390

Ioy=90

y=9；

AE=30-9=21（厘米）；

故選：B。

【點評】解答此題的關鍵是根據M部分與N部分和長方形的面積之間的關系，求出N部

分的面積，進一步求解即可.

二.填空題（共25小題）

4.三角形A8C是直角邊長為4厘米的等腰直角三角形，將三角形A8C向左平移1厘米得

到三角形。ER那么，圖中兩塊陰影部分的面積差上一平方厘米.

【分析】左側空白部分是公共部分，所以圖中兩塊陰影部分的面積差就等于長方形4BEZ）

與三角形EFD的面積差，據此求出兩者的面積再作差即可.

【解答】解：4×4÷2-4×l

=8-4

=4（平方厘米）

故答案為：4.

【點評】本題考查差不變原理的靈活應用，這種類型的問題常常轉化為其它兩個容易求

出的圖形的面積差.

5.如圖，長方形ABCD中，E,F分別是A。，BC上的點，滿足AE=BF=13A。，AB=9

厘米，AQ的長度是整數(shù)。^CGF與AAEG的面積之差的值也是整數(shù)，并且是5的倍數(shù)。

則AD的最小值為10厘米。

【分析】利用差不變的原理，將ACGF的面積減去aAEG的面積轉化成與已知條件A3、

AO相關的式子，然后根據差值是5的倍數(shù)求出答案。

【解答】解：利用差不變原理，我們有：

SΔCGF-SΔAEG

=SWii?CDEF~S∕?ADC

=23s長方形ABC￡>-12S長方形ABCD

=I6s長方形ABCD

=16×AB×AD

=32Ao

由于這個差值是5的倍數(shù)，并且是整數(shù),

所以3A。是10的倍數(shù)，

則AO的最小值為10厘米。

故答案為：10。

【點評】解答本題的關鍵是掌握差不變原理，將兩個三角形的面積差轉化為易求面積的

圖形的面積差是本題解題的關鍵。

6.圖中給出了一個頂角120度，邊長為6a”的等腰三角形，先以其頂點為圓心，腰長為半

徑做出一個扇形,又以其底邊為直徑作出一個半圓,那么圖中陰影部分面積之差為4.71

2

CWo（π=3.14）

【分析】中間空白部分是兩個陰影部分的公共部分，所以圖中兩個陰影面積之差就等于

扇形的面積與半圓的面積差，據此根據圓和扇形的面積公式解答即可。

【解答】解：扇形的面積：62π×120360=12π（平方厘米）

半圓的面積：（62-32）π÷2≈13.5π（平方厘米）

面積差：13.5π-1如=4.71（平方厘米）

答：圖中兩個陰影面積之差為4.71sΛ

故答案為：4.7k

【點評】本題考查了差不變原理的靈活運用，關鍵是轉化為求扇形的面積與半圓的面積

差。

7.圖中給出了一個邊長為6C7〃的正三角形，以其一頂點為圓心做出一個扇形，又以其一邊

為直徑作出一個半圓，那么圖中兩個陰影面積之差為4.71Cm2。（π=3.14）

【分析】中間空白部分是兩個陰影部分的公共部分，所以圖中兩個陰影面積之差就等于

半圓的面積與扇形的面積差，據此根據圓和扇形的面積公式解答即可。

【解答】解：扇形的面積：62π×60360=6π（平方厘米）

半圓的面積：32π÷2=4.5π（平方厘米）

面積差:6π-4.5π=4.71（平方厘米）

答：圖中兩個陰影面積之差為4.71C7"20

故答案為：4.71?

【點評】本題考查了差不變原理的靈活運用，關鍵是轉化為求半圓的面積與扇形的面積

差。

8.邊長為α+6的正方形紙片有以下兩種剪裁方法，按照“等量減等量差相等”的原則，陰

影部分所表示的三個小正方形的面積之間的關系可以用α,b.C表示為亦=/+層.

【分析】按照“等量減等量差相等”的原則，兩個圖的面積相減為0,故可以把所有圖形

的面積加起來，算出總面積，再列出關系式.

【解答】解：根據分析，大正方形的面積=（α+b）2,第1個圖中，有：（a+b）2=12x

a×b×4+c2=2ab+c2↑

第2個圖中，有：（.a+h）2=a×b×2+al-+b1=2ab+a2'+b1,

根據“等量減等量差相等”的原則，有一：（4+6）2-（α+?）2=2ab+c2--（2α?+αW）

=O=C2-a2-b2,

故:c1=a2+b2

故答案是：J=/+。？

【點評】本題考查了差不變原理，本題突破點是：運用等量減等量差相等的原則，不難

求得a,氏c的關系式.

9.如圖，邊長為12cm的正方形與直徑為16Cm的圓部分重疊（圓心是正方形的一個頂點），

用S1,S2分別表示兩塊空白部分的面積，則SLS?=485?（圓周率π取3）.

【分析】根據圖意可得：Si-52=（Sι+S陰）-（S2+S陰）=S固-5正=3X（16÷2）2-

122=192-144=48（平方厘米）；據此解答.

【解答】解：3×（16÷2）2-122

=192-144,

=48（平方厘米）；

答:Si-S2=48cm2.

故答案為：48.

【點評】本題考查了差不變面積問題和重疊問題的靈活應用，重點是明確把重疊部分從

整體上去考慮.

10.如圖，四個相疊的正方形，邊長分別是9厘米、7厘米、5厘米、3厘米，灰色區(qū)與黑

色區(qū)的面積差是48平方厘米.

【分析】空白部分是兩個相鄰正方形的公共部分，所以兩個相鄰正方形的面積差不變，

所以根據正方形的面積公式求出面積再求出面積差即可.

【解答】解：（9X9-7X7）+（5X5-3X3）

=32+16

=48（平方厘米）

故答案為：48.

【點評】本題考查了差不變原理的靈活應用，關鍵是明確數(shù)量之間的關系.

11.圖中，AB是圓。的直徑，長6厘米，正方形BCz）E的一個頂點E在圓周上，ZABE=

45°.那么圓O中非陰影部分的面積與正方形BCDE中非陰影部分面積的差等于10.26

平方厘米（取n=3.14）

【分析】連接EO,圓O中非陰影部分的面積-正方形BCDE中非陰影部分面積=（圓

O中非陰影部分的面積+陰影部分面積）-（正方形BsE中非陰影部分面積+陰影部分

o

面積）=S∣∕-SiE.然后，根據，ZABE=45可得正方形的邊長等于圓的半徑，進而推

導出BE?=/=（6÷2）2義2,再根據前面的關系式代入數(shù)據解答即可.

【解答】解：

如圖，連接EO,S,E=EB×EB=EO2+BO2=(6÷2)2×2=18C∕M2

所以圓O中非陰影部分的面積與正方形BCDE中非陰影部分面積的差：

π×（6÷2）2-18=10.26（平方厘米）；

答：圓O中非陰影部分的面積與正方形BCDE中非陰影部分面積的差等于10.26平方厘

米.

故答案為：10.26.

【點評】本題考查了圖形面積中差不變問題，關鍵是求正方形的面積.

12.如圖，已知正方形ABC。的邊長是8厘米，廠的面積比ACEP的面積大12平方厘

【分析】根據AAOF的面積比ACE尸的面積大12平方厘米，因為梯形ABCF是公共部

分，所以正方形ABCD的面積比aABE的面積大12平方厘米，求出正方形ABCD的面

積，即可求出aABE的面積，然后根據直角三角形的面積公式求出BE的長，進而求出

CE的長.

【解答】解：XADF的面積比的面積大12平方厘米，正方形ABCD的面積比4

ABE的面積大12平方厘米；

正方形ABC。的面積是：8X8=64（平方厘米）

所以AABE的面積是：64-12=52（平方厘米）

又SAABE=ABXBE+2,所以BE的長是：

52×2÷8=13（厘米）

CE的長是：13-8=5（厘米）

故答案為：5.

【點評】本題考查差不變原理的靈活應用，本題解決的關鍵是找出圖中正方形和直角三

角形的面積之間的關系求出三角形形的面積.

13.小張有200支鉛筆，小李有20支鋼筆.每次小張給小李6支鉛筆，小李還給小張1支

鋼筆.經過四次這樣的交換后,小張手中鉛筆的數(shù)量是小李手中鋼筆數(shù)量的11倍.

【分析】首先根據200和20的數(shù)量是10倍，枚舉法即可找到符合題意的次數(shù).

【解答】解：依題意可知：

當?shù)谝淮芜^后，小張剩余194只鉛筆，小李剩余19只鋼筆.

當?shù)诙芜^后，小張剩余188只鉛筆，小李剩余18只鋼筆.

當?shù)谌芜^后，小張剩余182只鉛筆，小李剩余17只鋼筆.

當?shù)谒拇芜^后，小張剩余176只鉛筆，小李剩余16只鋼筆.正好是11倍.

故答案為：四

【點評】本題考查對差不變的理解和運用，關鍵問題是枚舉過程次數(shù)較少，簡單易懂,

問題解決.

14.如圖，三角形ABC和三角形。EF分別是等腰直角三角形.已知。F=6,AB=5,EB

=2.6,則陰影部分的面積是9.78.

Λc

ZBPC

【分析】因為aABC和ADE尸都是等腰三角形，所以有EF=O尸=6,BC=A8=5,又因

為NE=NC=45°,所以∕EHC=90°,由此∕AGH=45°,又NEGB=NAGH=45°,

因此，三角形EBG也是等腰直角三角形，同理三角形4G”、E/C都是等腰直角三角形，

有EB=BG=2.6,AG=IA,由此可以求陰影部分的面積.

【解答】解：S?AGH=12×2.4X2.4×12=1.44；

又因為BF=EF-E8=3.4,所以FC=BC-BF=5-34=1.6；

S?FC∕=12×1.6×1.6=1.28；

所以陰影的面積為：

S陰影=SZXABC-S∕?AGH-SXFCl

=12×5×5-1.44-1.28

=12.5-1.44-1.28

=9.78；

答：陰影部分的面積是9.78.

故此題答案為：9.78.

【點評】此題主要考查等腰直角三角形的特點，進行合理的圖形拼組是解決此題的關鍵.

15.如圖，ABCD是長方形，圖中的數(shù)是各部分的面積數(shù)，則圖中陰影部分的面積為85.

【分析】(1)如圖所示，由題意可知：①+②+70=①+③+65,從而得出：③-②=5,

即③=②+5(1)；又因20+②+50+15+70=65+①+③，可得到：①+③-②=90(2),將

(1)代入(2),就能求出①，也就是陰影部分的面積.

υ

H

【解答】解：由題意可知：①+②+70=①+③+65,

從而得出：③-②=5,即③=②+5(1)；

又因20+②+50+15+70=65+①+③，

可得到：①+③-②=90(2),

將(1)代入(2)得：

①+②+5-②=90,

①+5=90,

①=85；

答：陰影部分的面積是85.

故答案為：85.

【點評】解答此題的主要依據是：三角形的面積是與其等底等高的平行四邊形面積的一

半，從而推論得解.

16.如圖，ABCG是4X7的長方形，Z)EFG是2X10的長方形，那么三角形8CM的面積與

三角形DEM的面積之差是

【分析】如下圖：延長BC交EF于N.三角形BCM與三角形。EM的面積差=三角形

BNE與長方形EDCN的面積差；由此根據三角形的面積公式與長方形的面積公式解答即

可.

【解答】解：延長BC交EF于N.

三角形BCM與三角形DEM的面積差=三角形BNE與長方形EDCN的面積差

12×(10-7)×(4+2)-(10-7)×2

=12×3×6-3×2

=9-6

=3；

答：三角形BCM的面積與三角形力EM的面積之差是3.

故答案為：3.

【點評】關鍵是添加輔助線，得出三角形BCM與三角形DEM的面積差=三角形BNE與

長方形EnaV的面積差.

17.如圖，圖中陰影的面積是3.

【分析】觀察圖形可知，陰影部分的面積等于兩個正方形的面積之差，再減去2個直角

邊長是4和1的直角三角形的面積，據此計算即可解答問題.

【解答】解：4×4-3×3-4×l÷2×2

=16-9-4

=3

答：圖中陰影的面積是3.

故答案為：3.

【點評】解答此題的關鍵是：弄清楚陰影部分的面積可以由哪些圖形的面積和或差求出.

18.如圖，大、小兩個正方形拼在一起，比較圖中兩塊陰影部分面積的大?。篠MRE=S

4CDE?

【分析】如圖所示，三角形CD4和三角形BD4等底等高，則它們的面積相等，分別去

掉公共部分（三角形AEZ））,則剩余部分的面積相等，即三角形ABE和三角形CDE的面

積相等；據此解答.

【解答】解：如圖：

CD

連接A。，則可以得出：

三角形CD4和三角形BDA等底等高，則它們的面積相等，分別去掉公共部分（三角形

AE。），則剩余部分的面積相等，即三角形ABE和三角形COE的面積相等；

故答案為：—.

【點評】由題意推出：三角形CQA和三角形BD4等底等高，則它們的面積相等，是解

答本題的關鍵.

19.圖中，大正方形面積比小正方形面積多24平方米，求：小正方形的面積是平方

H--M

2米

【分析】由圖可知，設小正方形的邊長為X米，則大正方形的邊長為（X+2）米，根據大

正方形的面積減去小正方形的面積等于24平方米，求出小正方形的邊長，從而求出小正

方形的面積.

【解答】解：設小正方形的邊長為X米，則大正方形的邊長為（Λ+2）米，

（X+2）2-X2-24,

X2+4+2×2X-X2=24,

4x+4=24,

4x=20,

x—5,

5×5=25（平方米），

答：小正方形的面積是25平方米.

故答案為：25.

【點評】此題的關鍵是設小正方形的邊長為X米，大正方形的邊長用含有X的式子來表

示，然后根據等量關系列出方程求解即可.

20.如圖，以直角三角形的直角邊長20厘米為直徑畫一個半圓，陰影部分①的面積比②的

面積小16平方厘米，則BC=17.3厘米.

C

(2)

（p??

AB

【分析】根據差不變原理，從圖中可以看出陰影部分①加上空白部分的面積是半圓的面

積，陰影部分②加上空白部分的面積是三角形ABC的面積.又己知①的面積比②的面積

小16平方厘米，故半圓面積比三角形ABC的面積小16平方厘米.半圓面積為3.14×（20

÷2）2÷2=157（平方厘米），三角形ABC的面積為157+16=173（平方厘米）.然后根

據三角形的面積公式解答即可.

【解答】解：半圓面積為3.14X（20÷2）2÷2=157（平方厘米），

三角形ABC的面積為：157+16=173（平方厘米）.

BC的長為：173X2÷20=17.3（厘米）.

故答案為：17.3.

【點評】此題考查了差不變原理的靈活應用，以及三角形以及圓的面積公式及其應用，

同時考查了學生觀察圖形的能力.

21.如圖所示，扇形ABD的半徑是8厘米，陰影部分甲比陰影部分乙大26.24平方厘米，

則直角梯形ABCD的面積是56平方厘米.

【分析】陰影部分甲比陰影部分乙大26.24平方厘米，即扇形的面積比三角形ABC的面

積大26.24平方厘米，先求出扇形的面積，再求出三角形ABC的面積，進而求出三角形

的底8C,再根據梯形的面積公式解答即可.

【解答】解：3.14×82÷4-26.24=24（平方厘米）

24X2÷8=6（厘米）

（8+6）×8÷2=56（平方厘米）

故答案為：56.

【點評】本題關鍵是根據差不變原理，把不規(guī)則圖形面積時，轉化成一個容易求得的圖

形進行解答.

22.如圖，甲三角形的面積比乙三角形的面積大6m2,則α=1cm.

4cm

【分析】由題意可知：三角形甲比三角形乙面積大6平方厘米，實際上也是正方形ABCo

的面積比三角形ABE的面積大6平方厘米，依據三角形和正方形的面積公式，列式即可

求解.

【解答】解：4X4=16（平方厘米）

16-6=10（平方厘米）

10×2÷4-4

=5-4

=1（厘米）

答：“的長度是1厘米.

故答案為：1.

【點評】此題主要考查差不變原理，關鍵是通過轉化得出正方形A8C。的面積比三角形

ABE的面積大6平方厘米.

23.如圖所示，直角三角形直角邊AB=20厘米，陰影面積I比陰影面積∏少7平方厘米,

則BC的長是15厘米。

【分析】由“陰影I的面積比陰影∏的面積少7平方厘米”，根據差不變原理可知：半圓

的面積就比三角形ABC的面積大7平方厘米，求出圓的三角形的面積，再求出BC的即

可。

【解答】解：3.14×（20÷2）2÷2

=3.14×100÷2

=157（平方厘米）

（157-7）×2÷20

=15O÷1O

=15（厘米）

答：BC的長度是15厘米.

故答案為：15。

【點評】分析題意，得出“半圓的面積比三角形ABC的面積大7平方厘米”是解答本題

的關鍵。

24.有兩根木條，第一根木條長28厘米，第二根木條長20厘米，兩根木條都剪去同樣長的

一段以后，第二根剩下的長度是第一根剩下的59,剪去一段的長度是厘米.

【分析】兩根木條都剪去同樣長的一段以后，長度差不變，即28-20=8厘米，相當于

第一根剩下的1-59=49,用8除以49求出第一根剩下的長度，再與28作差即可.

【解答】解：（28-20）÷（1-59）=18（厘米）

28-18=10（厘米）

故答案為：10.

【點評】解決此題利用差不變原理和剩下的長度關系，求出剪下后第一根剩下的長度是

解決問題的關鍵.

25.兩捆鐵絲的長度相等，在第一捆用去30米后，第二捆用去64米后，第一捆余下的正好

是第二捆余下的5倍多2米.這兩捆鐵絲每捆原來長72米.

【分析】第一捆再多用去2米，則余下的正好是第二捆余下的5倍，這時兩捆鐵絲的長

度的差是64-（30+2）=32米，相當于第二捆余下的5-1倍，根據差倍公式即可求出

現(xiàn)在第二捆的長度，然后再加上64即可解決問題.

【解答】解：64-（30+2）=32（米）

32÷（5-1）=8（米）

8+64=72（米）

故答案為：72.

【點評】此題屬于差不變原理和差倍問題的綜合應用，運用關系式：和÷（倍數(shù)+1）=1

倍數(shù)（較小數(shù)），1倍數(shù)（較小數(shù)）X倍數(shù)=幾倍數(shù)（較大數(shù)）.關鍵是找到數(shù)量和與它對

應的倍數(shù)和.

26.如圖所示，已知SAABC=1,FE=EC,AF=13AB,則陰影部分的面積為14.

√4

BDC

(分析］先過E點作AB的平行線，GH交AC于“點，G"交BC于G點，再根據SAEDC

=SAECH=SAAEH,從把要求的陰影部分的面積轉化到了一個大的梯形AFEH中，然后根

據梯形的面積公式進行計算，計算過程中是用字母表示長度的，從而找出了梯形面積和

大三角形A8C的關系，最后根據SMBC=I整體代入，從而求出陰影部分的面積.

【解答】解：過E點作AB的平行線，GH交AC于H點、,GH交BC于G點、,如下圖所

示：

因為G//平行于A3,且FE=EC,所以EH=I2AF,AH=12AC,

可見：SAEDC=SQECH=S/MEH，

所以陰影部分的面積等于梯形AFEH的面積，

根據題意知SAABC=I,所以：ABX￡2=1,

SM=S抑AFEH=(13AB+13AB÷2)×12Λ÷2,

=12ABX12∕z÷?2,

=14(ΛB×Λ÷2),

=14×1>

=14,

故答案為：14.

【點評】此題的關鍵一是作輔助線后，用字母代入公式計算，二是把SOBC=I整體代入，

這是本題的兩個難點.

27.如圖,大正方形比小正方形的面積大40平方厘米，大正方形的面積是42.25平方厘米、

121平方厘米或110.25平方厘米.平方厘米.

【分析】據題意可知，大正方形的面積-小正方形的面積=40平方厘米，由此可設大正

方形的邊長為X厘米，小正方形的邊長為y厘米，則根據正方形的面積公式可得等量關

2

系式：Λ-y2=4o.然后根據公式廿=(K-×(α-?)推出大小正方形的邊長后

即能求出大正方形的面積是多少平方厘米.

【解答】解：設大正方形的邊長為X厘米，小正方形的邊長為y厘米，可得方程：

X2-y2=40

(x+y)(X-y)=40

據此可知：

由于40=5X8=2X20=1X40,因此可從三個方面進行分析：

φ5×8=40,

x+y=8,X-y=5.則：

(x+y)+(χ-y)=8+5=13,

2x=13

x=6.5

所以，大正方形的面積為：6.5×6.5=42.25(平方厘米).

②2X20=40,

則x+y=20,X-y—2,

x=lby=9,

所以大正方形的面積為：11X11=121(平方厘米).

③1×40=40,

貝!∣x+y=20,X-y—\,

x=10.5,y=9.5.

所以大正方形的面積為：10.5X10.5=110.25(平方厘米).

此是X+)，、X為整數(shù)時的情況，其實只要符合(x+y)(χ-y)=40都成立，

即x、y的取值可有無數(shù)個.

答：根據其邊長的不同，大正方形有面積可為42.25平方厘米、121平方厘米、110.25平

方厘米.

故答案為：42.25平方厘米、121平方厘米、110.25平方厘米.

【點評】完成本題要在了解公式序=(α+?)X(a-b)及簡單的二元一次方程解法

的基礎上進行.

2

28.如圖所示，已知A8=80m,BE=70m,Sm-SΔEFW=120∕M,則HB=36.5厘米.

【分析】因為SM-SMFH=120〃，，又因為圖形中空白的梯形，是三角形A8E和平行四

邊形ABCD的公共部分，根據差不變原理，那么平行四邊形ABCD的面積-三角形ABE

的面積=120WJ2;三角形ABE的面積=80X70÷2=2800平方厘米，則平行四邊形ABCO

的面積=三角形ABE的面積+120=2800+120=2920平方厘米；那么平行四邊形ABCD

的高HB=2820÷80=36.5厘米，據此解答即可.

【解答】解：因為S陰-SAEFH=120,"2,又因為圖形中空白的梯形，是三角形ABE和平

行四邊形ABCO的公共部分，

所以，平行四邊形ABCD的面積-三角形ABE的面積=120,J;

三角形ABE的面積：80X70÷2=2800（平方厘米），

所以，平行四邊形ABC。的面積是：2800+120=2920（平方厘米）；

所以，平行四邊形ABCD的高”8是：2820÷80=36.5（厘米）.

答：的長度是36.5厘米.

【點評】本題考查了差不變原理在組合圖形面積問題中的綜合應用，本題關鍵是根據差

不變原理得出平行四邊形ABCD的面積與三角形ABE的面積差不變還是120平方厘米，

然后根據三角形和平行四邊形的面積公式解答即可.

Ξ.解答題（共32小題）

29.如圖，正方形ABCQ邊長是6厘米，三角形4下￡＞是正方形的一部分，三角形FCE的面

積比三角形A/7）大6平方厘米，求CE長多少厘米.

【分析】根據三角形乙的面積比三角形甲的面積大6平方厘米，則根據圖形可得：三角

形ABE的面積比正方形ABCD的面積大6平方厘米，由此可得三角形ABE的面積等于

正方形的面積加上6平方厘米，求得三角形4BE的面積后，再利用三角形的面積公式求

出BE的長后即可求得CE的長.

【解答】解：三角形乙的面積比三角形甲的面積大6平方厘米，

根據圖形可得：三角形ABE的面積比正方形ABC。的面積大6平方厘米，

所以三角形ABE的面積為：6×6+6=42（平方厘米），

又因為A8=6厘米，

所以BE的長度是：42X2+6=14（厘米），

所以CE的長度為：14-6=8（厘米），

答：CE的長度是8厘米.

【點評】此題考查了差不變原理的靈活應用，這里根據題干得出三角形ABE與正方形的

面積之差是6平方厘米是解決問題的關鍵.

30.如圖，已知等腰aABC中，AB=AC=25厘米，ADlBC,尸為底邊BC延長線上的任

意一點，PElAC,PFLAB,AO=24厘米，BC=14厘米，問PF與PE的差是否不變？

若差不變請求出這個差；若不是請說明理由.

【分析】由三角形全等求得尸E=PM,再根據四邊形FNCM是矩形得到eW=CN,最后

根據三角形的面積可得PF-PE=CN=33625.

【解答】解：過點C作CMLQ,CNLAB,

,:PFA.AB,

：.AB//CM.

：.ZMCP^ZB.

'：AB=AC,

：./ACB=NB.

又,：ZACB=ZECP,

：.NMCP=NECP.

又,：ZCMP=4E,PC=PC,

：.4CMP9XCEP.

：.PE=PM.

又,.?NFNC=/NFM=ZFMC=90°,

???四邊形EVCM是矩形.

.'.FM=CN.

S.ABC=12*BCXAD=12義AB義CN,

,CN=33625.

:.PF-PE=CN=3362S.

【點評】本題考查了全等三角形、矩形的判定與性質以及三角形的面積公式，綜合性較

強.

31.如圖，BO是梯形的一條對角線，線段AE與梯形的一條腰。C平行，AE與8。

相交于0點.已知三角形BOE的面積比三角形AOD的面積大4平方米，并且

EC=25BC.求梯形48C。的面積.

【分析】先由SABOE-SΔAOD=4平萬米，得至I」SΛABE-S^ABD=4平萬米，再把EC=25BC

轉化為AD=23BE,得到SAABD=8平方米，SAABE=12平方米即可得解.

【解答】解：因為SABOE-SzsA0D=4平萬米，所以SAABE-S?MBD=4平萬米.

因為EC=25BC,ΛD=EC,所以AD=23BE.

因為aABE與AABD對應于BE、Ao邊上的高相等，所以AABO的面積占BE面積的

23.于是有

SΔΛBD=4÷（32-1）=8（平方米），SΔΛBE=8X32=12（平方米）.

所以梯形ABC。的面積為12+8X2=28（平方米）.

答：梯形面積是28平方米.

【點評】解答本題的關鍵是進行兩次轉化：（1）轉化面積差：把已知條件“a80E的面

積比AAOO的面積大4平方米”，轉化為“AABF的面積比