2022-2023學(xué)年江西省宜春市大城中學(xué)高二數(shù)學(xué)理摸底試卷含解析

2022-2023學(xué)年江西省宜春市大城中學(xué)高二數(shù)學(xué)理摸底試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.由數(shù)字2，3，4，5，6所組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中5，6相鄰的奇數(shù)共有

（

）A．10個

B．14個

C．16個

D．18個參考答案：B2.已知，且則一定成立的是（

）A、

B、

C、

D、參考答案：D3.有5件產(chǎn)品．其中有3件一級品和2件二級品．從中任取兩件，則以0.7為概率的是（）A．至多有1件一級品

B．恰有l(wèi)件一級品

C．至少有1件一級品

D．都不是一級品參考答案：A4.下列說法正確的個數(shù)有（

）①用刻畫回歸效果，當(dāng)R2越大時，模型的擬合效果越差；反之，則越好；②命題“，”的否定是“，”；③若回歸直線的斜率估計(jì)值是2.25，樣本點(diǎn)的中心為(4,5)，則回歸直線方程是；④綜合法證明數(shù)學(xué)問題是“由因索果”，分析法證明數(shù)學(xué)問題是“執(zhí)果索因”。A．1個

B．2個

C.3個

D．4個參考答案：C①為相關(guān)系數(shù)，相關(guān)系數(shù)的結(jié)論是：越大表明模擬效果越好，反之越差，故①錯誤；②命題“，”的否定是“，”；正確；③若回歸直線的斜率估計(jì)值是，樣本點(diǎn)的中心為，則回歸直線方程是；根據(jù)回歸方程必過樣本中心點(diǎn)的結(jié)論可得③正確；④綜合法證明數(shù)學(xué)問題是“由因索果”，分析法證明數(shù)學(xué)問題是“執(zhí)果索因”。根據(jù)綜合法和分析法定義可得④的描述正確；故正確的為：②③④

5.垂直于同一條直線的兩條直線一定（

）A．平行

B.相交

C.異面

D.

以上都有可能參考答案：D略6.已知函數(shù)，若，則a的取值范圍是（

）A．(－∞,0]

B．(－∞,1]

C．[－2,1]

D．[－2,0]參考答案：D本題主要考查函數(shù)方程與絕對值不等式的求解。根據(jù)函數(shù)解析式可得，故的圖象如下所示：①當(dāng)時，恒成立，所以，時滿足條件；②當(dāng)時，在時，恒成立，所以只需在時，恒成立即可。對比對數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的增長速度，在時，一定會存在的時刻，所以，時，不滿足條件；③當(dāng)時，在時，恒成立，所以只需在時，恒成立即可，即恒成立，所以。綜上可知的取值范圍為。故本題正確答案為D。7.拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的左焦點(diǎn)重合，則p的值為（）

A．6 B．-6 C．－4 D．4參考答案：B略8.下列命題①命題“若，則”的逆否命題是“若，則”.②命題③若為真命題，則p,q均為真命題.④“”是“”的充分不必要條件。其中真命題的個數(shù)有（

）A.4個

B.3個

C.2個

D.1個參考答案：B略9.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是()A.

B．C．

D．6

參考答案：C略10.設(shè)是偶函數(shù)，且當(dāng)時是單調(diào)函數(shù)，則滿足的所有的和為

(

)

A.

B.

C.

D.參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.過雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)F作與x軸垂直的直線，分別與雙曲線、雙曲線的漸近線交于點(diǎn)M、N（均在第一象限內(nèi)），若=4，則雙曲線的離心率為．參考答案：【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】取雙曲線雙曲線﹣=1的一條漸近線其方程為，將x=c代入漸近線方程，利用=4，結(jié)點(diǎn)M在雙曲線上，可得，從而得出b，c之間的關(guān)系：5b=4c，最后利用率心率公式即可得出雙曲線的離心率．【解答】解：取雙曲線雙曲線﹣=1的一條漸近線其方程為，設(shè)，=4，則①點(diǎn)M在雙曲線上，∴②由①②及c2=a2+b2得9c2=25a2，∴．故答案為：．12.已知定義在復(fù)數(shù)集C上的函數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第________象限，

參考答案：一

13.當(dāng)x∈（0，1]時，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．參考答案：[﹣6，+∞）【考點(diǎn)】3R：函數(shù)恒成立問題．【分析】當(dāng)x=0時，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，可得a∈R；當(dāng)x＞0時，分離參數(shù)a，得a≥恒成立．令=t換元后利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值，求出a的范圍，取交集得答案．【解答】解：當(dāng)x=0時，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，∴a∈R；當(dāng)x＞0時，分離參數(shù)a，得a≥恒成立．令=t，x∈（0，1]，∴t≥1．∴a≥t﹣4t2﹣3t3恒成立．令g（t）=t﹣4t2﹣3t3，則g′（t）=1﹣8t﹣9t2=（t+1）（﹣9t+1），當(dāng)t≥1時，g′（t）＜0，函數(shù)g（t）為[1，+∞）上的減函數(shù)，則g（t）≤g（1）=﹣6．∴a≥﹣6．取交集得a≥﹣6．∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[﹣6，+∞）．故答案為：[﹣6，+∞）．14.若雙曲線E：=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線E上，且|PF1|=3，則|PF2|等于．參考答案：9【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；方程思想；定義法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】設(shè)|PF2|=x，由雙曲線的定義及性質(zhì)得|x﹣3|=6，由此能求出|PF2|．【解答】解：設(shè)|PF2|=x，∵雙曲線E：=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線E上，且|PF1|=3，∴a=3，b=4．c=5，∴|x﹣3|=6，解得x=9或x=﹣3（舍）．∴|PF2|=9．故答案為：9．【點(diǎn)評】本題考查雙曲線中線段長的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要注意雙曲線定義及簡單性質(zhì)的合理運(yùn)用．15.已知、是橢圓（＞＞0）的兩個焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且.若的面積為9，則=____________．參考答案：316.一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是3，將這組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都乘以2，所得到的一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是

▲

.參考答案：6略17.楊輝三角，又稱帕斯卡三角，是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列.在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》一書中用如圖所示的三角形解釋二項(xiàng)展開式的系數(shù)規(guī)律.現(xiàn)把楊輝三角中的數(shù)從上到下，從左到右依次排列，得數(shù)列：.記作數(shù)列{an}，若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則___.參考答案：2059【分析】將數(shù)列排列成楊輝三角數(shù)陣，使得每行的項(xiàng)數(shù)與行的相等，并計(jì)算出每行的各項(xiàng)之和，然后確定數(shù)列第所處的行數(shù)與項(xiàng)的序數(shù)，然后利用規(guī)律將這些項(xiàng)全部相加可得答案?！驹斀狻繉?shù)列中的項(xiàng)從上到下，從左到右排成楊輝三角形數(shù)陣，如下所示：使得每行的序數(shù)與該行的項(xiàng)數(shù)相等，則第行最后項(xiàng)在數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)為，設(shè)位于第，則，所以，，且第行最后一項(xiàng)在數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)為，所以，位于楊輝三角數(shù)陣的第行第個，第一行各項(xiàng)和為，第二行各項(xiàng)和為，第三行各項(xiàng)的和為，依此類推，第行各項(xiàng)的和為，因此，

，故答案為：?！军c(diǎn)睛】本題考查合情推理，考查二項(xiàng)式系數(shù)與楊輝三角，解決這類問題關(guān)鍵在于確定所找的項(xiàng)所在楊輝三角所處的位置，并利用規(guī)律來解題，考查推理論證能力與計(jì)算能力，屬于難題。

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，直線y=x被橢圓C截得的線段長為．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）過原點(diǎn)的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)（A，B不是橢圓C的頂點(diǎn)）．點(diǎn)D在橢圓C上，且AD⊥AB，直線BD與x軸、y軸分別交于M，N兩點(diǎn)．（i）設(shè)直線BD，AM的斜率分別為k1，k2，證明存在常數(shù)λ使得k1=λk2，并求出λ的值；（ii）求△OMN面積的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題．【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；圓錐曲線中的最值與范圍問題．【分析】（Ⅰ）由橢圓離心率得到a，b的關(guān)系，化簡橢圓方程，和直線方程聯(lián)立后求出交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，把弦長用交點(diǎn)橫坐標(biāo)表示，則a的值可求，進(jìn)一步得到b的值，則橢圓方程可求；（Ⅱ）（i）設(shè)出A，D的坐標(biāo)分別為（x1，y1）（x1y1≠0），（x2，y2），用A的坐標(biāo)表示B的坐標(biāo)，把AB和AD的斜率都用A的坐標(biāo)表示，寫出直線AD的方程，和橢圓方程聯(lián)立后利用根與系數(shù)關(guān)系得到AD橫縱坐標(biāo)的和，求出AD中點(diǎn)坐標(biāo)，則BD斜率可求，再寫出BD所在直線方程，取y=0得到M點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)求斜率得到AM的斜率，由兩直線斜率的關(guān)系得到λ的值；（ii）由BD方程求出N點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合（i）中求得的M的坐標(biāo)得到△OMN的面積，然后結(jié)合橢圓方程利用基本不等式求最值．【解答】解：（Ⅰ）由題意知，，則a2=4b2．∴橢圓C的方程可化為x2+4y2=a2．將y=x代入可得，因此，解得a=2．則b=1．∴橢圓C的方程為；（Ⅱ）（i）設(shè)A（x1，y1）（x1y1≠0），D（x2，y2），則B（﹣x1，﹣y1）．∵直線AB的斜率，又AB⊥AD，∴直線AD的斜率．設(shè)AD方程為y=kx+m，由題意知k≠0，m≠0．聯(lián)立，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0．∴．因此．由題意可得．∴直線BD的方程為．令y=0，得x=3x1，即M（3x1，0）．可得．∴，即．因此存在常數(shù)使得結(jié)論成立．（ii）直線BD方程為，令x=0，得，即N（）．由（i）知M（3x1，0），可得△OMN的面積為S==．當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．∴△OMN面積的最大值為．【點(diǎn)評】本題考查橢圓方程的求法，主要考查了直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，直線與曲線聯(lián)立，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系解題，是處理這類問題的最為常用的方法，但圓錐曲線的特點(diǎn)是計(jì)算量比較大，要求考試具備較強(qiáng)的運(yùn)算推理的能力，是壓軸題．19.已知方程x2+y2﹣2mx﹣4y+5m=0的曲線是圓C（1）求m的取值范圍；（2）當(dāng)m=﹣2時，求圓C截直線l：2x﹣y+1=0所得弦長．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓相交的性質(zhì)；二元二次方程表示圓的條件．【分析】（1）化簡方程為圓的標(biāo)準(zhǔn)形式，然后求解m的取值范圍；（2）當(dāng)m=﹣2時，求出圓的圓心與半徑利用圓心到直線的距離，半徑，半弦長滿足的勾股定理，求圓C截直線l：2x﹣y+1=0所得弦長．【解答】解：（1）（x﹣m）2+（y﹣2）2=m2﹣5m+4，方程x2+y2﹣2mx﹣4y+5m=0的曲線是圓，∴m2﹣5m+4＞0．

m＜1或m＞4．（2）設(shè)m=﹣2時，圓心C（﹣2，2），半徑，圓心到直線的距離為，圓C截直線l：2x﹣y+1=0所得弦長為：．20.在某城市氣象部門的數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽取了100天的空氣質(zhì)量指數(shù)的監(jiān)測數(shù)據(jù)如表：空氣質(zhì)量指數(shù)t（0，50]（50，100]（100，150]（150，200]（200，300]

質(zhì)量等級優(yōu)良輕微污染輕度污染中度污染嚴(yán)重污染天數(shù)K52322251510（1）在該城市各醫(yī)院每天收治上呼吸道病癥總?cè)藬?shù)y與當(dāng)天的空氣質(zhì)量t（t取整數(shù)）存在如下關(guān)系y=，且當(dāng)t＞300時，y＞500估計(jì)在某一醫(yī)院收治此類病癥人數(shù)超過200人的概率；（2）若在（1）中，當(dāng)t＞300時，y與t的關(guān)系擬合于曲線，現(xiàn)已取出了10對樣本數(shù)據(jù)（ti，yi）（i=1，2，3，…，10），且=42500，=500，求擬合曲線方程．（附：線性回歸方程=a+bx中，b=，a=﹣b）參考答案：【考點(diǎn)】BK：線性回歸方程．【分析】（1）令y＞200解出t的取值范圍，根據(jù)頻數(shù)分布表計(jì)算此范圍內(nèi)的頻率，則此頻率近似等于所求的概率；（2）令x=lnt，利用回歸系數(shù)公式求出y關(guān)于x的回歸方程，再得出y關(guān)于t的擬合曲線．【解答】解：（1）令y＞200得2t﹣100＞200，解得t＞150，∴當(dāng)t＞150時，病人數(shù)超過200人．由頻數(shù)分布表可知100天內(nèi)空氣指數(shù)t＞150的天數(shù)為25+15+10=50．∴病人數(shù)超過200人的概率P==．（2）令x=lnt，則y與x線性相關(guān)，=7，=600，∴b==50，a=600﹣50×7=250．∴擬合曲線方程為y=50x+250=50lnt+250．21.已知函數(shù)(1)當(dāng)時，證明：函數(shù)不是奇函數(shù)；(2)若函數(shù)是奇函數(shù)，求m，n的值；(3)在(2)的條件下，解不等式參考答案：（1）證明見解析；（2）；（3）.試題分析：（1）證明函數(shù)不是奇函數(shù)，只要找出關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個點(diǎn)的函數(shù)值不等即可；（2）方法一：由奇函數(shù)的定義，，代入進(jìn)行化簡，對恒成立即可得出m，n的值；方法二：由奇函數(shù)的性質(zhì)知，代入函數(shù)解析式解得，函數(shù)解析式可化為，又由得，將m，n的值代入解析式，再利用奇函數(shù)的定義檢驗(yàn)即可；（3）由（2）可知的關(guān)系式，由在R上是單調(diào)減函數(shù)，且函數(shù)為奇函數(shù)，由，得，即可解得不等式.試題解析：解:（1）當(dāng)時，，函數(shù)不是奇函數(shù)。（2）方法一：由定義在R上的函數(shù)是奇函數(shù)得對一切恒成立即，整理得對