中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)重難點(diǎn)專項(xiàng)突破訓(xùn)練專題12 新定義型幾何圖形綜合問題（重點(diǎn)突圍）(教師版)

專題12新定義型幾何圖形綜合問題【中考考向?qū)Ш健磕夸汿OC\o"1-3"\h\u【直擊中考】 1【考向一與三角形有關(guān)的新定義型問題】 1【考向二與四角形有關(guān)的新定義型問題】 11【考向三三角形與圓綜合的新定義型問題】 23【考向四四角形與圓綜合的新定義型問題】 31【直擊中考】【考向一與三角形有關(guān)的新定義型問題】例題：（2022·江西撫州·統(tǒng)考一模）定義：從三角形（不是等腰三角形）的一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線與對(duì)邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)所連線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，如果其中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)與原三角形相似，我么就把這條線段叫做這個(gè)三角形的“華麗分割線”．例如：如圖1，AD把△ABC分成△ABD和△ADC，若△ABD是等腰三角形，且△ADC∽△BAC，那么AD就是△ABC的“華麗分割線”．【定義感知】(1)如圖1，在中，，AB=BD．求證：AD是的“華麗分割線”．【問題解決】(2)①如圖2，在中，，AD是的“華麗分割線”，且是等腰三角形，則的度數(shù)是________；②如圖3，在中，AB=2，AC=，AD是的“華麗分割線”，且是以AD為底邊的等腰三角形，求華麗分割線AD的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)①21°或者42°；②AD=【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出角的度數(shù)，進(jìn)而利用相似三角形的判定解答即可；（2）①分兩種情況討論，利用三角形內(nèi)角和解答即可；②根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】（1）證明：∵AB=AD，∴△ABD是等腰三角形，∵∠B=40°，∴∠ADB==70°，∴∠ADC=180°-∠BDA=110°=∠BAC，又∵∠C=∠C，∴△ADC∽△BAC，∴AD是△ABC的“華麗分割線”．（2）①當(dāng)AB＝BD時(shí)，得∠ADB＝67°，∴∠ADC＝180°?∠ADB＝113°．∵△ADC∽△BAC，∴∠BAC＝∠ADC＝113°．在△ABC中，由內(nèi)角和定理得∠C＝21°；當(dāng)AD＝BD時(shí)，∴∠ADC＝92°，∵△ADC∽△BAC，∴∠BAC＝∠ADC＝92°，在△ABC中，由內(nèi)角和定理得∠C＝42°；綜上分析可知，∠C的度數(shù)為21°或42°；故答案為：21°或42°；②∵AD是的“華麗分割線”，且△ABD是以AD為底邊的等腰三角形，∴△ADC∽△BAC，∴，即，解得：CD=1，∴，即，解得：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的綜合題，關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)解答．【變式訓(xùn)練】1．（2022·山東濟(jì)寧·三模）我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對(duì)（）．如圖，在中，AB=AC，頂角的正對(duì)記作，這時(shí)，容易知道一個(gè)角的大小與這個(gè)角的正對(duì)值也是相互唯一確定的．根據(jù)上述角的正對(duì)定義，解答下列問題：(1)___________，___________；(2)如圖，已知，其中為銳角，試求的值．【答案】(1)，；(2)．【分析】（1）根據(jù)正對(duì)的含義分別求解即可；（2）延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接，由題意可得：，求解即可．【詳解】（1）解：為等邊三角形，如下圖：則，，為等腰直角三角形，如下圖：則，，由勾股定理可得：，；故答案為：，；（2）解：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接，如圖：，設(shè)，由勾股定理可得：，則，由勾股定理可得：，由題意可得：，【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形，以及新定義三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握三角函數(shù)的定義．2．（2022春·福建龍巖·九年級(jí)?？计谥校┰谝粋€(gè)三角形中，如果有兩個(gè)內(nèi)角與滿足，那么我們稱這樣的三角形為“亞直角三角形”．根據(jù)這個(gè)定義，顯然，則這個(gè)三角形的第三個(gè)角為，這就是說“亞直角三角形”是特殊的鈍角三角形．(1)【嘗試運(yùn)用】:若某三角形是“亞直角三角形”，且一個(gè)內(nèi)角為，請(qǐng)求出它的兩個(gè)銳角的度數(shù)；(2)【嘗試運(yùn)用】:如圖1，在中，，，，點(diǎn)在邊上，連接，且不平分．若是“亞直角三角形”，求線段的長(zhǎng)；(3)【素養(yǎng)提升】:如圖2，在鈍角中，，，，的面積為15，求證：是“亞直角三角形”．【答案】(1)，(2)(3)證明見詳解【分析】（1）根據(jù)方程組求出α，β即可．（2）證明△ACD∽△BCA，推出，可得結(jié)論．（3）過點(diǎn)A作AD⊥BC，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．利用三角形面積求出AD，再利用勾股定理求出BD，再證明△ADB∽△CAD，可得結(jié)論．（1）解：由題意，，解得，∴它的兩個(gè)銳角的度數(shù)為，．（2）解：∵，∴，又∵，∴，∵是“亞直角三角形”，∴，∴，∴，∴，∴，在中，．（3）證明：過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．∵，，∴，在中，∵，∴，∴，∴，，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴是“亞直角三角形”．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，“亞直角三角形”的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．3．（2022秋·江蘇常州·九年級(jí)校考期中）【理解概念】定義：如果三角形有兩個(gè)內(nèi)角的差為，那么這樣的三角形叫做“準(zhǔn)直角三角形”．(1)已知△ABC是“準(zhǔn)直角三角形”，且．①若，則______；②若，則______；【鞏固新知】(2)如圖①，在中，，點(diǎn)D在邊上，若是“準(zhǔn)直角三角形”，求的長(zhǎng)；【解決問題】(3)如圖②，在四邊形中，，且是“準(zhǔn)直角三角形”，求的面積．【答案】(1)①15；②10或25(2)或(3)的面積為48或24【分析】（1）①根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解即可；②根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解即可；（2）根據(jù)題意可分為①當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)D作于H，結(jié)合勾股定理求解；②，結(jié)合相似三角形的判定和性質(zhì)求解即可；（3）過點(diǎn)C作于F，，交的延長(zhǎng)線于E，設(shè)，根據(jù)和可得，即可證明，可得，進(jìn)而分情況討論求解：當(dāng)時(shí)和當(dāng)．【詳解】（1）①當(dāng)時(shí)，則，∴（不合題意舍去），當(dāng)，則，∵，∴，∴，綜上所述：，故答案為：15；②當(dāng)時(shí)，則，∴，當(dāng)，則，∵，∴，∴，綜上所述：或，故答案為：10或25；（2）當(dāng)時(shí)，如圖①，過點(diǎn)D作于H，在中，，∴，∵，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，當(dāng)時(shí)，∵，，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，綜上所述：或；（3）如圖②，過點(diǎn)C作于F，，交的延長(zhǎng)線于E，設(shè)，∵，∴，又∵，∴，又∵，在和中，，∴，∴，當(dāng)時(shí)，又∵，∴，由（2）可知：，設(shè)，則，∴，∴，∴，當(dāng)，又∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，綜上所述：的面積為48或24．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理和三角形內(nèi)角和定理，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)求解是解決本題的關(guān)鍵．4．（2022·山東青島·統(tǒng)考中考真題）【圖形定義】有一條高線相等的兩個(gè)三角形稱為等高三角形．例如：如圖①．在和中，分別是和邊上的高線，且，則和是等高三角形．【性質(zhì)探究】如圖①，用，分別表示和的面積．則，∵∴．【性質(zhì)應(yīng)用】(1)如圖②，D是的邊上的一點(diǎn)．若，則__________；(2)如圖③，在中，D，E分別是和邊上的點(diǎn)．若，，，則__________，_________；(3)如圖③，在中，D，E分別是和邊上的點(diǎn)，若，，，則__________．【答案】(1)(2)；(3)【分析】（1）由圖可知和是等高三角形，然后根據(jù)等高三角形的性質(zhì)即可得到答案；（2）根據(jù)，和等高三角形的性質(zhì)可求得，然后根據(jù)和等高三角形的性質(zhì)可求得；（3）根據(jù)，和等高三角形的性質(zhì)可求得，然后根據(jù)，和等高三角形的性質(zhì)可求得．【詳解】（1）解：如圖，過點(diǎn)A作AE⊥BC，則，∵AE=AE，∴．（2）解：∵和是等高三角形，∴，∴；∵和是等高三角形，∴，∴．（3）解：∵和是等高三角形，∴，∴；∵和是等高三角形，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等高三角形的定義、性質(zhì)以及應(yīng)用性質(zhì)解題，熟練掌握等高三角形的性質(zhì)并能靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．【考向二與四角形有關(guān)的新定義型問題】例題：（2022·陜西西安·?？既＃┒x：兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做箏形．(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，箏形中，，，若，求箏形的面積的最大值；(2)問題解決：如圖2是一塊矩形鐵片，其中厘米，厘米，李優(yōu)想從這塊鐵片中裁出一個(gè)箏形，要求點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F、G、H分別在、、上（含端點(diǎn)），是否存在一種裁剪方案，使得箏形的面積最大？若存在，求出箏形的面積最大值，若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)18(2)存在，最大面積為3000平方厘米【分析】（1）由題意證明，則，，根據(jù)，求出面積的最值即可；（2）由題意可知，分兩種情況討論：①當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，如圖2，箏形中，，，，則厘米，厘米，由（1）可知，根據(jù)，求出箏形的面積；②當(dāng)與重合時(shí)，如圖3，箏形中，，，，在中，由勾股定理得，求出的值，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，即，求出的值，設(shè)，則，根據(jù)，可得，求出的值，如圖3，作于，則，在中，由勾股定理得，求出的值，根據(jù)，求出箏形的面積；然后比較①②的大小，進(jìn)而可得結(jié)論．(1)解：在和中，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴時(shí)，面積最大，值為18．(2)解：由題意可知，分兩種情況討論：①當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，如圖2，箏形中，，，，∴厘米，厘米，由（1）可知，平方厘米；②當(dāng)與重合時(shí)，如圖3，箏形中，，，，在中，由勾股定理得，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，即，解得，∴，設(shè)，則，∵，∴，解得，如圖3，作于，則，在中，由勾股定理得，∴平方厘米；∵，∴存在一種裁剪方案，使得箏形的面積最大，面積為3000平方厘米．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于明確箏形面積與對(duì)角線乘積的關(guān)系．【變式訓(xùn)練】1．（2022·吉林長(zhǎng)春·?？寄M預(yù)測(cè)）定義：如果一個(gè)四邊形的一組對(duì)角互余，我們稱這個(gè)四邊形為對(duì)角互余四邊形．(1)問題．利用下面哪組圖形可以得到一個(gè)對(duì)角互余四邊形（）①兩個(gè)等腰三角形；②兩個(gè)等邊三角形；③兩個(gè)直角三角形；④兩個(gè)全等三角形．(2)如圖①，在對(duì)角互余四邊形中，，且，．若，求四邊形的面積和周長(zhǎng)．(3)問題．如圖②，在對(duì)角互余四邊形中，，，，，，求四邊形的面積和周長(zhǎng)．(4)問題．如圖③，在對(duì)角互余四邊形中，，，，，求面積的最大值．【答案】(1)①③④(2)，四邊形的周長(zhǎng)(3)，四邊形的周長(zhǎng)(4)面積的最大值【分析】（1）結(jié)合定義來判斷，重點(diǎn)是拼成的四邊形一對(duì)對(duì)角互余．（2）因?yàn)?，，所以，所以在?duì)角互余四邊形中，只能．這樣利用含直角三角形三邊的特殊關(guān)系，就可以解決問題；（3）如圖，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，則，連接，作于H，作于G，作于F，這樣可以求，則可以得到的長(zhǎng)，進(jìn)而把四邊形的面積轉(zhuǎn)化為和的面積之和，和的面積容易算出來，則四邊形面積可求．再求出和的長(zhǎng)度，就可以得到和的長(zhǎng)，利用勾股定理可以求出的長(zhǎng)，四邊形的周長(zhǎng)可求．（4）構(gòu)造，根據(jù)，利用相似的性質(zhì)和勾股定理求出，然后根據(jù)對(duì)角互余四邊形的性質(zhì)得到，從而得到四點(diǎn)共圓，而與同底，高成比例，從而得出，根據(jù)面積最大值可求面積的最大值．【詳解】（1）解：①兩個(gè)等腰三角形底邊相等，頂角互余，就可以，故①可以得到一個(gè)對(duì)角互余四邊形；②等邊三角形不成，即使是全等的等邊三角形拼成四邊形對(duì)角和為120°或240°，故②得不到對(duì)角互余四邊形；③兩個(gè)全等的直角三角形或有一條直角邊相等的相似的兩個(gè)直角三角都可以，故③可以得到一個(gè)對(duì)角互余四邊形；④由③可知④可以得到一個(gè)對(duì)角互余四邊形；故答案為：①③④；（2）∵，，∴，∵對(duì)角互余四邊形中，，∴，在中，，，，∴，，在中，，，∴，，∵，，∴，四邊形的周長(zhǎng)；（3）如圖，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，則，連接，作于H，作于G，作于F．∴，∴四邊形是矩形，∴，，∵，∴，，，，∵；∴；∵，∴，∴在中，根據(jù)勾股定理可得，∵，，∴，∴根據(jù)勾股定理可得，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，在中，，根據(jù)勾股定理可得，∴，∴四邊形的周長(zhǎng)；（4）如圖：作，∴，，∴,∵，，∴，，過P點(diǎn)作，∵，∴，∴，，，∴連接，由作可得，由對(duì)角互余四邊形，可得，∴，∴，∴四點(diǎn)在以為直徑的圓上，作，設(shè)，∵，∴，∴，∴，，，∵面積最大時(shí)是以為斜邊的等腰直角三角形，如圖：故面積最大，所以面積的最大值．【點(diǎn)睛】此題是相似形綜合題，主要考查了新定義的理解和應(yīng)用，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解（2）的關(guān)鍵構(gòu)造，解（3）的關(guān)鍵是構(gòu)造作，將求面積的最大值轉(zhuǎn)化為求面積．2．（2023春·江西撫州·九年級(jí)金溪一中?？茧A段練習(xí)）【圖形定義】有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“等鄰邊四邊形”．【問題探究】(1)如圖①，已知矩形是“等鄰邊四邊形”，則矩形___________（填“一定”或“不一定”）是正方形；(2)如圖②，在菱形中，，，動(dòng)點(diǎn)、分別在、上（不含端點(diǎn)），若，試判斷四邊形是否為“等鄰邊四邊形”？如果是“等鄰邊四邊形”，請(qǐng)證明；如果不是，請(qǐng)說明理由；此時(shí)，四邊形的周長(zhǎng)的最小值為___________；【嘗試應(yīng)用】(3)現(xiàn)有一個(gè)平行四邊形材料，如圖③，在中，，，，點(diǎn)在上，且，在邊上有一點(diǎn)，使四邊形為“等鄰邊四邊形”，請(qǐng)直接寫出此時(shí)四邊形ABEP的面積可能為的值___________．【答案】(1)一定(2)四邊形是“等鄰邊四邊形”，理由見解析，四邊形的周長(zhǎng)最小值為(3)或或14【分析】（1）根據(jù)等鄰邊四邊形的定義和正方形的判定可得出結(jié)論；（2）如圖②中，結(jié)論：四邊形是等鄰四邊形，利用全等三角形的性質(zhì)證明即可；（3）如圖③中，過點(diǎn)作于，點(diǎn)作于N，則四邊形是矩形．分三種情形：①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，③當(dāng)時(shí)，分別求解即可．【詳解】（1）∵四邊形的鄰邊相等，∴矩形一定是正方形；故答案為：一定；（2）如圖②，四邊形是等鄰四邊形；理由：連接．∵四邊形是菱形，∴，，∴，都是等邊三角形，∴

，，∵，∴，∴，∴，，∴四邊形是等鄰四邊形，∴，∵，∴的值最小時(shí)，四邊形的周長(zhǎng)最小，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)時(shí)，的值最小，此時(shí)，，∴四邊形的周長(zhǎng)的最小值為．（3）如圖③中，過點(diǎn)作于，點(diǎn)作于N，則四邊形是矩形．∵，，∴，，∵，∴，①當(dāng)時(shí)，．②當(dāng)時(shí)，設(shè)，在中，∵，∴，∴，∴．③當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與重合，此時(shí)．．綜上：四邊形的面積為或或14．【點(diǎn)睛】本題考查了“等鄰邊四邊形”的定義，等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，梯形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)正確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題．3．（2022·江西贛州·統(tǒng)考二模）我們定義：有一組鄰角相等的凸四邊形叫做“等鄰角四邊形”．例如：如圖①，，則四邊形為“等鄰角四邊形”．(1)定義理解：以下平面圖形中，是等鄰角四邊形的是___________．①平行四邊形；②矩形；③菱形；④等腰梯形．(2)深入探究：①已知四邊形為“等鄰角四邊形”，且，則________．②如圖②，在五邊形中，，對(duì)角線平分，求證：四邊形為等鄰角四邊形．(3)拓展應(yīng)用：如圖③，在等鄰角四邊形中，，點(diǎn)P為邊BC上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作，垂足分別為M，N．在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，的值是否會(huì)發(fā)生變化？請(qǐng)說明理由．【答案】(1)②④(2)①或或；②見解析(3)不會(huì)發(fā)生變化，理由見解析【分析】（1）根據(jù)平行四邊形、矩形、菱形、等腰梯形的性質(zhì)即可解答；（2）①分當(dāng)和、時(shí)三種情況求解；②由得，根據(jù)對(duì)角線平分，得，故，即證得四邊形為等鄰角四邊形；（3）過C作于H，過P作于G，由，，得四邊形是矩形，得，可證明，得，即有，從而說明在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，的值總等于C到的距離，不會(huì)變化．（1）解：①平行四邊形的鄰角互補(bǔ)，不是等鄰角四邊形；②矩形四個(gè)角都是直角，則鄰角相等，是等鄰角四邊形；③菱形的鄰角互補(bǔ)，不是等鄰角四邊形；④等腰梯形的兩個(gè)底角相等，是等鄰角四邊形．綜上，②④是等鄰角四邊形．故答案為：②④；（2）解：①當(dāng)時(shí)，四邊形為“等鄰角四邊形”，∵，∴；當(dāng)時(shí)，四邊形為“等鄰角四邊形”，當(dāng)時(shí)，四邊形為“等鄰角四邊形”，；故答案為：或或；②∵，∴，∵對(duì)角線平分，∴，∴，∴四邊形為等鄰角四邊形；（3）解：在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，的值不會(huì)發(fā)生變化，理由如下：過C作于H，過P作于G，如圖：∵，，∴，∴四邊形是矩形，∴，，即，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴（），∴，∴，即在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，的值總等于C到AB的距離，是定值．【點(diǎn)睛】本題考查多邊形綜合應(yīng)用，涉及新定義、多邊形內(nèi)角和、三角形全等的判定及性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．【考向三三角形與圓綜合的新定義型問題】例題：（2022·江西上饒·統(tǒng)考一模）定義：如果一個(gè)三角形有一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊的夾角是，那么稱該三角形為“特異角平分三角形”，這條角平分線稱為“特異角平分線”．(1)如圖1，是一個(gè)“特異角平分三角形”，是一條“特異角平分線”①當(dāng)時(shí)，試求的值．②在中，過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，延長(zhǎng)至點(diǎn)H，，若，證明：．(2)如圖2．是的直徑，是的切線，點(diǎn)C為切點(diǎn)，于點(diǎn)A且交于點(diǎn)H，連接交于點(diǎn)E，，．試證明是一個(gè)“特異角平分三角形”．【答案】(1)①1：1；②見解析(2)見解析【分析】（1）①由直角三角形兩銳角互余得，故可得，繼而得從而可得結(jié)論；②根據(jù)角一部分線的性質(zhì)得，．運(yùn)用可證明；（2）連接，．分別證明，平分即可．（1）①當(dāng)時(shí)．如圖1①，∵，∴，∵平分，∴，在中，，∴，∴，∴；②如圖1②∵，，∴，∴，∴．∵是一條“特異角平分線”，是一個(gè)“特異角平分三角形”．∵，∴．∴∵，平分∴，．在與中，∴．（2）連接，．∵是的切線，是的半徑，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即平分．∵是的直徑，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴．∴，∴，∵，∴，又平分，符合定義．即是一個(gè)“特異角平分三角形”．【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義推理，正確理解“特異角平分三角形”是解答本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）定義：三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線和與另一個(gè)內(nèi)角相鄰的外角平分線相交所成的銳角稱為該三角形第三個(gè)內(nèi)角的“好角”．(1)如圖1，∠E是中∠A的“好角”，若，則______；（用含的代數(shù)式表示）(2)如圖2，四邊形ABCD內(nèi)接于，點(diǎn)D是優(yōu)弧ACB的中點(diǎn)，直徑弦AC，BF、CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)E．求證：∠BGC是中∠BAC的“好角”．(3)如圖3，內(nèi)接于，∠BGC是中∠A的“好角”，BG過圓心O交于點(diǎn)F，的直徑為8，，求FG．【答案】(1)α(2)見解析(3)FG＝4【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)以及三角形外角定理，可知∠A=∠ACD-∠ABC，∠E=∠ECD-∠EBC=-，由此可知∠E==α；（2）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可知∠DCB＋∠BAD＝180°，可知∠BAD＝∠DCE，根據(jù)圓周角的定理可知∠ACD＝∠DCE，進(jìn)而證得∠ABF＝∠CBF，根據(jù)“好角”的定義即可得出結(jié)論；（3）連接CF，根據(jù)“好角”的定義可知∠G＝∠A，即∠G＝∠BFC，由外角定理可知∠G＝∠GCF，可知FG＝CF，利用三角函數(shù)求得CF即可求得結(jié)果．【詳解】（1）解：由題意得，∠ABE=∠CBE=，∠ACE=∠ECD=，∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠ECD=∠E+∠EBC，∴∠A=∠ACD-∠ABC，∠E=∠ECD-∠EBC=-，∴∠E==α；（2）如圖，∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠DCB＋∠BAD＝180°，又∵∠DCB＋∠DCE＝180°，∴∠BAD＝∠DCE，∵點(diǎn)D是優(yōu)弧ACB的中點(diǎn)，∴，∴∠ACD＝∠BAD，∴∠ACD＝∠DCE，∴CG是△ABC的外角平分線，∵直徑BF⊥弦AC，∴，∴∠ABF＝∠CBF，∴BG是∠ABC的平分線，∴∠BGC是△ABC中∠BAC的“好角”；（3）如圖3，連接CF，∵∠A＝45°

，

∴∠BFC＝45°．∵BG過圓心O

，∴∠BCF＝90°．∵∠BGC是△ABC中∠A的“好角”

，

∴∠G＝∠A，

∵∠A＝∠BFC；∴∠G＝∠BFC，∴∠G＝∠GCF，∴FG＝CF，∵cos∠BFC＝，∴CF＝cos45°×BF＝×8＝4，∴FG＝4．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓的有關(guān)知識(shí)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握?qǐng)A周角定理、三角形外角性質(zhì)、全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．2．（2022·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？家荒＃┪覀儾环炼x：有兩邊之比為1：的三角形叫敬“勤業(yè)三角形”．(1)下列各三角形中，一定是“勤業(yè)三角形”的是________；（填序號(hào)）①等邊三角形；②等腰直角三角形；③含角的直角三角形；④含角的等腰三角形．(2)如圖1，△是⊙O的內(nèi)接三角形，為直徑，為上一點(diǎn)，且，作，交線段于點(diǎn)，交⊙O于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．試判斷△和△是否是“勤業(yè)三角形”？如果是，請(qǐng)給出證明，并求出的值；如果不是，請(qǐng)說明理由；(3)如圖2，在（2）的條件下，當(dāng)AF：FG＝2：3時(shí)，求的余弦值．【答案】(1)③④(2)都是，(3)【分析】(1)根據(jù)“勤業(yè)三角形”的定義進(jìn)行計(jì)算，即可一一判定；(2)如圖，連結(jié)OE，設(shè)∠ABE=α，可證得∠AED=∠ABE=α，△ADE∽△AEB，可得，結(jié)合AD=AB，可得，即可判定△和△都是“勤業(yè)三角形”，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得的值；(3)如圖，過點(diǎn)G作交DE于點(diǎn)I，可得△FGI∽△FAD，△EIG∽△EDB，可證得，設(shè)EG=3a，則BE=4a，利用，可求得，，從而可得答案．(1)解：①等邊三角形各邊的比值為1，故等邊三角形不是“勤業(yè)三角形”；②等腰直角三角形兩直角邊的比值為1，直角邊與斜邊的比為，故等腰直角三角形不是“勤業(yè)三角形”；③設(shè)含角的直角三角形的最短邊長(zhǎng)為a，則斜邊長(zhǎng)為2a，另一條直角邊長(zhǎng)為，，故含角的直角三角形是“勤業(yè)三角形”；④如圖：中，AB=AC，，過點(diǎn)A作于點(diǎn)D，，設(shè)AD=a，則AB=AC=2a，，，，含角的等腰三角形是“勤業(yè)三角形”；故答案為：③④；(2)解：△和△都是“勤業(yè)三角形”，證明如下：如圖：連接OE，設(shè)，，，，又，，即，，又，，，，，，，，，，△和△都是“勤業(yè)三角形”，；(3)解：如圖：過點(diǎn)G作交DE于點(diǎn)I，，，，，，，，，設(shè)EG=3a，EB=4a，由(2)知，，，，，，，在中，，即．【點(diǎn)睛】本題考查的是新定義問題，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，圓周角定理，銳角三角函數(shù)的定義等有關(guān)知識(shí)，作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵．【考向四四角形與圓綜合的新定義型問題】例題：（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）定義：有一個(gè)角為45°的平行四邊形稱為半矩形．(1)如圖1，若?ABCD的一組鄰邊AB＝4，AD＝7，且它的面積為14．求證：?ABCD為半矩形．(2)如圖2，半矩形ABCD中，△ABD的外心O（外心O在△ABD內(nèi)）到AB的距離為1，⊙O的半徑＝5，求AD的長(zhǎng)．(3)如圖3，半矩形ABCD中，∠A＝45°①求證：CD是△ABD外接圓的切線；②求出圖中陰影部分的面積．【答案】(1)見解析(2)(3)①見解析，②12﹣2π【分析】（1）由S?ABCD＝AB?DH＝4×DH＝14，解得DH＝，進(jìn)而求解；（2）連接OD、OB、BD，則∠BDO＝2∠DAB＝90°，則BD＝BO＝5，進(jìn)而求解；（3）①證明△ABD為等腰直角三角形，得到OD是圓的半徑且OD⊥CD，即可求解；②由陰影部分的面積＝S?ABCD﹣S△ADO﹣S扇形ODB，即可求解．（1）解：過點(diǎn)D作DH⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，∵S?ABCD＝AB?DH＝4×DH＝14，解得DH＝，則AH＝＝DH，∴∠A＝45°，∴?ABCD為半矩形；（2）解：連接OD、OB、BD，則∠BDO＝2∠DAB＝90°，則BD=BO＝5，過點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H，則BH＝＝AB，則AB＝4，過點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)E，則BE＝AB＝4=AE，在Rt△BDE中，DE＝，∴AD＝AE+DE＝4+；（3）解：①過點(diǎn)D作DO⊥AB于點(diǎn)O，∵∠A＝45°，AD＝BD＝4，故AB＝4，則△ABD為等腰直角三角形，則OD＝AB＝2，∵ABCD，DO⊥AB，∴OD⊥CD，∴CD是△ABD外接圓的切線；②陰影部分的面積＝S?ABCD﹣S△ADO﹣S扇形ODB＝4×2﹣×2×2﹣×π×（2）2＝12﹣2π．【點(diǎn)睛】本題為圓的綜合題，主要圓切線的判定與性質(zhì)、新定義、平行四邊形的性質(zhì)、解直角三角形、面積的計(jì)算等，有一定的綜合性，難度適中．【變式訓(xùn)練】1．（2022·浙江寧波·?？寄M預(yù)測(cè)）定義：如果一個(gè)四邊形的一組對(duì)角互余，那么我們稱這個(gè)四邊形為“對(duì)角互余四邊形”．(1)如圖1，在“對(duì)角互余四邊形”中，，，求四邊形的面積．(2)如圖2，在四邊形中，連接，，點(diǎn)O是外接圓的圓心，連接，．求證：四邊形是“對(duì)角互余四邊形”；(3)在（2）的條件下，如圖3，已知，連接，求的值．（結(jié)果用帶有a，b的代數(shù)式表示）【答案】(1)9(2)見解析(3)【分析】（1）作，使，且點(diǎn)E、A在直線異側(cè)，連接，則，先由，根據(jù)勾股定理求得，再證明，得，作于點(diǎn)F，則，根據(jù)勾股定理求得，即可由求得四邊形的面積是9；（2）連接，則，所以，而，可推導(dǎo)出，則，即可證明四邊形是“對(duì)角互余四邊形”；（3）在下方作，作于點(diǎn)G，連接，則先證明，，所以由，根據(jù)勾股定理得，由，得，則，所以，再證明，得，所以，則．【詳解】（1）解：如圖1，作，使點(diǎn)，且點(diǎn)E、A在直線異側(cè)，連接，則，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，作于點(diǎn)F，則，∴，∵，∴四邊形的面積是9．（2）證明：如圖2，連接，則，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴四邊形是“對(duì)角互余四邊形”．（3）解：如圖3，在下方作，作于點(diǎn)G，連接，則∴，∴，∴∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，且，∴，∴，∴，∴，∴，∴的值為．【點(diǎn)睛】此題考查