2021-2022學年北京市高二年級下冊學期期末數學試題【含答案】

2021-2022學年北京市第二中學高二下學期期末數學試題一、單選題1．已知橢圓與雙曲線焦點相同，且橢圓上任意一點到兩焦點距離和為10，則橢圓的短軸長為（

）A．3 B．6 C． D．【答案】B【分析】根據條件求出，,應用關系計算即可．【詳解】因為橢圓上任意一點到兩焦點的距離之和為10，所以，即，因為橢圓與雙曲線的焦點相同，，即，，則橢圓的短軸長為．故選：．2．等差數列的前項和為，已知，則（

）A．9 B．45 C．81 D．162【答案】C【分析】根據等差數列求和公式及等差中項性質即可求值．【詳解】因為等差數列中，所以．故選：C．3．若數列的前項和，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據給定條件，利用數列的前項和求出該數列的通項，再利用裂項相消法求和作答.【詳解】當時，，而滿足上式，則，因此，所以.故選：A4．橢圓的焦距為4，則的值為（

）A．或 B．或 C． D．【答案】D【分析】先把橢圓化為標準形式，分焦點在，軸上兩種情況進行分類討論，能求出的值．【詳解】由橢圓化為標準形式得：，且橢圓的焦距，當橢圓焦點在軸上時，，，則由，所以，此時方程為：不是橢圓，所以不滿足題意，當橢圓焦點在軸上時，，，，解得，此時方程為：，滿足題意綜上所述，的值為．故選：D．5．已知公比為的等比數列前項和為，則“”是“為遞增數列”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要【答案】D【分析】根據充分條件和必要條件的定義，結合等比數列的性質即可得到結論.【詳解】解：①在等比數列中，若時，，當時，，則，此時為遞減數列，即充分性不成立；②若“為遞增數列”，即時，，則有，而并不能推得，如，故必要性不成立，故“”是“為遞增數列”的既不充分也不必要條件，故選：D.6．已知函數在處有極值10，則（

）A．0或－7 B．0 C．－7 D．1或－6【答案】C【分析】求出，由，可得．【詳解】解：由，得，，即，解得或（經檢驗應舍去），，故選：C．7．雙曲線的漸近線與拋物線相切，則該雙曲線的離心率等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將雙曲線漸近線方程代入拋物線方程，由可求得，根據可求得結果.【詳解】由雙曲線方程可得其漸近線方程為：，將代入拋物線方程得：，，解得：，雙曲線的離心率.故選：A.8．函數，正確的命題是A．值域為 B．在是增函數C．有兩個不同的零點 D．過點的切線有兩條【答案】B【分析】利用導數研究函數值域、單調性、零點與切線.【詳解】因為，所以，因此當時在上是增函數，即在上是增函數；當時在上是減函數，因此；值域不為R;當時,當時只有一個零點，即只有一個零點；設切點為，則，所以過點的切線只有一條；綜上選B.【點睛】本題考查利用導數研究函數值域、單調性、零點與切線，考查基本分析求解能力，屬中檔題.9．，是拋物線上的兩個動點，為坐標原點，當時，的最小值為（

）A． B．4 C．8 D．64【答案】C【分析】聯立直線，的方程和拋物線方程，求出點，的坐標，再求出，，根據基本不等式即可求出最小值．【詳解】解：設直線的方程為，，，直線的方程為，由，解得，即，，則，由，解得，即，則，，當且僅當時取等號，的最小值為8．故選：C．10．設函數，，若曲線上存在一點，使得點關于原點的對稱點在曲線上，則（

）A．有最小值 B．有最小值C．有最大值 D．有最大值【答案】A【分析】設，則點關于原點的對稱點為，則，即有解，即可得出答案．【詳解】設，則點關于原點的對稱點為，所以，因為存在這樣的點使得點關于原點的對稱點在曲線上，所以有解，所以，所以，令，所以在處取得最小值，且，令，，當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以在取得最大值，因為方程有解，所以，即，所以，所以的最小值為．故選：A．二、填空題11．已知二項式，則__．【答案】【分析】根據二項展開式，利用賦值法，即可解出．【詳解】解：令得，①，令得，②①②得，．故答案為：．12．已知點是拋物線上的動點，點在軸上的射影是，點，則的最小值為_____．【答案】##4.5【分析】先根據拋物線方程求得焦點和準線方程，可把問題轉化為到準線與到點距離之和最小，進而根據拋物線的定義可知拋物線中到準線的距離等于到焦點的距離，進而推斷出、、三點共線時距離之和最小，利用兩點間距離公式求得，則可求．【詳解】解：依題意可知，拋物線即拋物線焦點為，準線方程為，只需直接考慮到準線與到點距離之和最小即可，（因為軸與準線間距離為定值不會影響討論結果），如圖所示：由于在拋物線中到準線的距離等于到焦點的距離，此時問題進一步轉化為距離之和最小即可為曲線焦點），顯然當、、三點共線時距離之和最小，為，由兩點間距離公式得，那么到的距離與到軸距離之和的最小值為．故答案為：．13．等差數列中，且，，成等比數列，數列前20項的和____【答案】200或330【分析】根據等差數列中，且，，成等比數列，列出關于首項、公差的方程，解方程可得與的值，再利用等差數列的求和公式可得結果.【詳解】設數列的公差為，則，，由成等比數列，得，即，整理得，解得或，當時，；當時，，于是，故答案為200或330.【點睛】本題主要考查等差數列的通項公式、等差數列的前項和公式，屬于中檔題.等差數列基本量的運算是等差數列的一類基本題型，數列中的五個基本量一般可以“知二求三”，通過列方程組所求問題可以迎刃而解.14．現有甲、乙、丙、丁在內的6名同學在比賽后合影留念，若甲、乙二人必須相鄰，且丙、丁二人不能相鄰，則符合要求的排列方法共有__種．（用數字作答）【答案】144【分析】根據題意，分2步進行分析：①將甲乙看成一個整體，與甲、乙、丙、丁之外的兩人全排列，②排好后，有4個空位，在其中任選2個，安排丙、丁，由分步計數原理計算可得答案．【詳解】根據題意，分2步進行分析：①將甲乙看成一個整體，與甲、乙、丙、丁之外的兩人全排列，有種情況，②排好后，有4個空位，在其中任選2個，安排丙、丁，有種情況，則有種排法，故答案為：144．15．設函數圖像上不同兩點，處的切線的斜率分別是，規(guī)定，（為線段的長度）稱為曲線在點與點之間的“彎曲度”，給出以下命題，其中所有真命題的序號為__．①函數圖像上兩點與的橫坐標分別為1和，則；②存在這樣的函數，其圖像上任意不同兩點之間的“彎曲度”為常數；③，是拋物線上任意不同的兩點，都有；④曲線是自然對數的底數）上存在不同的兩點，，使．【答案】①②③【分析】由新定義，利用導數逐一求出函數，在點與點之間的“彎曲度”判斷①、③；舉例說明②正確；求出曲線上兩點，的“彎曲度”，然后結合不等式的性質，即可判斷④．【詳解】對于①：因為，所以，所以，，所以，故①正確；對于②：例如，，即曲線上任意一點，都有，所以為常數，故②正確；對于③：，，所以，因為，，所以，故③正確；對于④：，，，因為，為不同的兩點，所以，所以，故④錯誤．故答案為：①②③．三、解答題16．已知數列為等差數列，各項為正的等比數列的前項和為，且，，_____．現有條件：①；②；③．(1)求數列的通項公式；(2)條件①②③中有一個不符合題干要求，請直接指出（無需過程）；(3)從剩余的兩個條件中任選一個作為條件（在答題紙中注明你選擇的條件），求數列的前項和．【答案】(1)(2)③(3)答案見解析【分析】（1）直接利用等差數列的性質，建立關系式，進一步求出數列的通項公式；（2）直接利用已知條件求出結果；（3）先算得公比為2，再利用分組法的應用求出數列的和．【詳解】解：（1）由于數列為等差數列，各項為正的等比數列的前項和為，且，，故，整理得，；故；（2）選項③不符合題干，由于，，整理得，所以，與數列為等比數列相矛盾，故③錯誤．（3）選①時，，①，當時，整理得，解得；所以，當時，，②，①②得：（常數），故數列是以2為首項，2為公比的等比數列；故；選條件②時，；設等比數列的公比為，所以，解得舍去）；所以；故，所以．17．根據國家高考改革方案，普通高中學業(yè)水平等級性考試科目包括政治、歷史、地理、物理、化學、生物6門，考生可根據報考高校要求和自身特長，從6門等級性考試科目中自主選擇3門科目參加考試，在一個學生選擇的三個科目中，若有兩個或三個是文史類（政治、歷史、地理）科目，則稱這個學生選擇科目是“偏文”的，若有兩個或三個是理工類（物理、化學、生物）科目，則稱這個學生選擇科目是“偏理”的．為了了解同學們的選課意向，從北京二中高一年級中隨機選取了20名同學（記為，，2，，19，20其中是男生，是女生），每位同學都各自獨立的填寫了擬選課程意向表，所選課程統(tǒng)計記錄如表：學生科目政治111111111歷史1111111111地理1111111111物理1111111111111化學111111111生物111111111(1)從上述20名同學中隨機選取3名同學，求恰有2名同學選擇科目是“偏理”的概率；(2)從北京二中高一年級中任選兩位同學，以頻率估計概率，記為“偏文”女生的人數，求的分布列和數學期望；(3)記隨機變量，樣本中男生的期望為，方差為；女生的期望為，方差為，試比較與；與的大小（只需寫出結論）．【答案】(1)(2)分布列見解析，(3)，【分析】（1）根據表格計算出20人中偏理的人數，再利用古典概型的概率公式求解即可．（2）由表格可知取一名學生，這個學生是偏文女生的概率為，的所有可能取值為0，1，2，結合二項分布的概率公式求出相應的概率，得到的分布列，進而求出即可．（3）由男生中偏理有7人，偏文有3人，女生中偏理有4人，偏文有6人，可知，．【詳解】（1）由表格可知，男生中偏理有7人，偏文有3人，女生中偏理有4人，偏文有6人，則偏理共有11人，偏文共有9人，設恰有2名同學選擇科目是“偏理”為事件，則（A）．（2）由表格可知，抽取的20人中，偏文女生有6人，所以抽取一名學生，這個學生是偏文女生的概率為，則，1，2，，，，所以的分布列為：012．（3）男生中偏理有7人，偏文有3人，女生中偏理有4人，偏文有6人，則，，故，．18．已知函數．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)若函數在上有兩個零點，求實數a的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】(1)利用導數的幾何意義求出切線的斜率，再由點斜式求切線方程；(2)利用導數判斷函數的單調性，數形結合即可得到答案.【詳解】（1）由題意得，，則，又，故所求切線方程為y＝－7．（2）函數的定義域為，由（1）知，，注意到，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，∴函數的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為，∴在x＝1時取得極大值．而，，則，即．作出函數在上的大致圖象，由題意只需y=a與y=f(x)有兩個交點觀察圖象可知，實數a的取值范圍為．【點睛】利用導數分析函數的單調性，結合單調性作函數的圖象，利用函數圖象研究方程的解是問題解決的關鍵.19．已知橢圓的右焦點為，且經過點.（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設O為原點，直線與橢圓C交于兩個不同點P，Q，直線AP與x軸交于點M，直線AQ與x軸交于點N，若|OM|·|ON|=2，求證：直線l經過定點.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析.【分析】(Ⅰ)由題意確定a,b的值即可確定橢圓方程；(Ⅱ)設出直線方程，聯立直線方程與橢圓方程確定OM,ON的表達式，結合韋達定理確定t的值即可證明直線恒過定點.【詳解】（Ⅰ）因為橢圓的右焦點為，所以；因為橢圓經過點,所以，所以，故橢圓的方程為.（Ⅱ）設聯立得，，，.直線，令得，即；同理可得.因為,所以；，解之得，所以直線方程為，所以直線恒過定點.【點睛】解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：(1)注意觀察應用題設中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強化有關直線與橢圓聯立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數之間的關系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．20．已知函數．（1）若函數在上是減函數，求實數的取值范圍；（2）令，是否存在實數，使得當時，函數的最小值是3？若存在，求出實數的值；若不存在，說明理由；（3）當時，證明.【答案】（1）（2）存在，（3）見解析【分析】（1）先求導可得,則可將問題轉化為在上恒成立,即在上恒成立,設,求得,即可求解；（2）先對求導,再分別討論,,時的情況,由最小值為3,進而求解；（3）令,結合（2）中知的最小值為3.再令并求導,再由導函數在大于等于0可判斷出函數在上單調遞增,從而可求得最大值也為3,即有成,，即成立,即可得證.【詳解】（1）解:在上恒成立,即在上恒成立,所以在上恒成立,設,則在上單調遞減,所以所以（2）解:存在,假設存在實數,使有最小值3,①當時,,則在上單調遞減,所以,解得（舍去）；②當時,當,則；當,則,所以在上單調遞減,在上單調遞增,∴,解得,滿足條件；③當時,,則在上單調遞減,所以,解得（舍去）,綜上,存在實數,使得當時有最小值3.（3）證明:令,由（2）知,,令,則,當時,,則在上單調遞增,∴∴,即．【點睛】本題考查利用導函數由函數單調性求參問題,考查利用導函數求最值問題,考查構造函數處理不等式恒成立的證明問題.21．已知數列，，，滿足且，2，，，數列，，，滿足，2，，，其中，，2，，表示，，，中與不相等的項的個數．(1)數列，1，2，3，4，請直接寫出數列；(2)證明：，2，，(3)若數列A相鄰兩項均不相等，且與A為同一個數列，證明：，2，，．【答案】(1)1，1，3，4，5(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）根據新定義計算即可；（2）分類證明，時，；時，