5.3.3古典概型（原卷版）

5.3.3古典概型TOC\o"13"\h\z\u題型1古典概型的判斷 3題型2古典概型的概率 4題型3有放回、無放回的概率模型的求法 5◆類型1無放回 5◆類型2有放回 6◆類型3有無放回 7題型4根據(jù)古典概型的概率求參數(shù)問題 8知識點(diǎn)一.古典概型的概念1.定義：一般地，如果隨機(jī)試驗的樣本空間所包含的樣本點(diǎn)個數(shù)是有限的（簡稱為有限性），而且可以認(rèn)為每個只包含一個樣本點(diǎn)的事件（即基本事件）發(fā)生的可能性大小都相等（簡稱為等可能性）則稱這樣的隨機(jī)試驗為古典概率模型，簡稱為古典概型.2.古典概型的判斷標(biāo)準(zhǔn)：一個隨機(jī)試驗是否能歸結(jié)為古典概型，在于這個試驗是否具有古典概型的兩個特征——有限性與等可能性．因此，并不是所有的試驗都能歸結(jié)為古典概型．下列三類試驗都不是古典概型∶樣本點(diǎn)個數(shù)有限，但非等可能；樣本點(diǎn)個數(shù)無限，但等可能樣本點(diǎn)個數(shù)無限，但非等可能.知識點(diǎn)二.古典概型的概率公式1.公式：古典概型中，事件發(fā)生的概率可以通過下述方式得到∶假設(shè)樣本空間含有n個樣本點(diǎn)，由古典概型的定義可知，每個基本事件發(fā)生的可能性大小都相等，又因為必然事件發(fā)生的概率為1，因此由互斥事件的概率加法公式可知每個基本事件發(fā)生的概率均為1n包含有m個樣本點(diǎn)，則再由互斥事件的概率加法公式可知P（C）=mn注意：(1)若試驗不是古典概型，則不能用古典概型的概率公式計算某事件發(fā)生的概率.(2)計算古典概型概率的關(guān)鍵是求樣本點(diǎn)總個數(shù)n和所求事件包含的樣本點(diǎn)個數(shù)m.這種計算方式避免了大量重復(fù)試驗，通過分析樣本點(diǎn)的個數(shù)就可以計算隨機(jī)事件發(fā)生的概率，而且得到的概率是精確值.說明∶注意一個樣本點(diǎn)是某一次試驗出現(xiàn)的結(jié)果，不是幾次試驗的結(jié)果，即保證m，n均為等可能樣本點(diǎn)的個數(shù).2.從集合的角度理解古典概型的概率計算公式用集合的觀點(diǎn)來考察事件C的概率，有利于幫助我們生動、形象地理解事件C與樣本點(diǎn)的關(guān)系，有利于理解公式P（C）=mn把一次試驗中等可能出現(xiàn)的n個樣本點(diǎn)組成一個集合I，其中每一個樣本點(diǎn)就是I中的一個元素，把含m個樣本點(diǎn)的事件C看作含有m個元素的集合，則集合C是集合I的一個子集，故有P（C）=mn知識點(diǎn)三.較復(fù)雜的古典概型問題設(shè)事件A，B是Ω中的兩個事件，如圖所示，設(shè)樣本空間Ω的樣本點(diǎn)總數(shù)為n，事件A，B包含的樣本點(diǎn)的個數(shù)分別為m1，m2，事件A∩B包含的樣本點(diǎn)數(shù)為m，易知A∪B中包含的樣本點(diǎn)數(shù)為m1+m2m,注意：1.P（A）=事件A包含的樣本點(diǎn)的個數(shù)Ω2.P（AB）=AB中包含的樣本點(diǎn)的個數(shù)Ω中包含的樣本點(diǎn)的個數(shù)3.P（A＋B）==A+B中包含的樣本點(diǎn)的個數(shù)Ω中包含的樣本點(diǎn)的個數(shù)=注意：設(shè)A，B是Ω的兩個事件，則P（A+B）=P（A）+P（B）P（AB），這就是概率的一般加法公式，該公式也適合A，B為互斥事件的情況，因為P（AB）=0。題型1古典概型的判斷【方法總結(jié)】古典概型的判斷1.有限性∶判斷試驗的樣本空間包含的樣本點(diǎn)是否是有限個，若樣本點(diǎn)無限個，即不可數(shù)，則不是古典概型.2.等可能性∶考查基本事件的發(fā)生是不是等可能的，若基本事件發(fā)生的可能性不一樣，則不是古典概型.只有同時具備了上述兩個特征，才是古典概型.【例題1】（2023下·新疆·高一校考期末）下列實(shí)驗中，是古典概型的有（

）A．某人射擊中靶或不中靶B．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，從橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都為整數(shù)的所有點(diǎn)中任取一個C．四名同學(xué)用抽簽法選一人參加會議D．從區(qū)間1,10上任取一個實(shí)數(shù)，求取到1的概率【變式11】1．（2022·高一課時練習(xí)）下列試驗是古典概型的是（

）A．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，從橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)的所有點(diǎn)中任取一點(diǎn)B．某射手射擊一次，可能命中0環(huán)，1環(huán)，2環(huán)，…，10環(huán)C．某小組有男生5人，女生3人，從中任選1人做演講D．在適宜的條件下，種下一粒種子，觀察它是否發(fā)芽【變式11】2．（多選）（2023上·高一課時練習(xí)）下列試驗不是古典概型的是（

）A．任意拋擲兩枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和作為樣本點(diǎn)時B．求任意的一個正整數(shù)平方的個位數(shù)字是1的概率，將取出的正整數(shù)作為樣本點(diǎn)時C．從甲地到乙地共n條路線，求某人正好選中最短路線的概率D．拋擲一枚均勻硬幣首次擲出正面為止【變式11】3．（多選）（2022上·高一課時練習(xí)）下列是古典概型的有（

）A．從6名同學(xué)中，選出4人參加數(shù)學(xué)競賽，每人被選中的可能性的大小B．同時擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子，點(diǎn)數(shù)和為7的概率C．近三天中有一天降雨的概率D．10個人站成一排，其中甲、乙相鄰的概率【變式11】4．（2022上·高一課時練習(xí)）下列關(guān)于古典概型的說法正確的是（

）①試驗中所有可能出現(xiàn)的樣本點(diǎn)只有有限個；②每個事件出現(xiàn)的可能性相等；③每個樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等；④樣本點(diǎn)的總數(shù)為n，隨機(jī)事件A若包含k個樣本點(diǎn)，則P(A)=kA．②④ B．②③④ C．①②④ D．①③④題型2古典概型的概率【方法總結(jié)】應(yīng)用公式計算概率的步驟（1）判斷試驗是否是古典概型；（2）求出試驗的樣本空間包含的樣本點(diǎn)總數(shù)n；（3）求出事件A所包含的樣本點(diǎn)個數(shù)m；（4）代入公式∶P（A）=mn【例題2】（2023上·云南昆明·高一?？计谥校┐又醒b有4個大小質(zhì)地完全相同的球，其中1個紅球、1個黃球、2個藍(lán)球．從中任取2個小球，則這兩個小球的顏色不同的概率為（

）A．13 B．23 C．1【變式21】1．（2020下·北京通州·高一統(tǒng)考期末）甲、乙、丙三人各自擁有一把鑰匙，這三把鑰匙混在了一起，他們每人從中無放回地任取一把，則甲、乙二人中恰有一人取到自己鑰匙的概率是（

）A．16 B．13 C．1【變式21】2．（2023下·廣東廣州·高一統(tǒng)考期末）從3名男生和3名女生中任意抽取兩人，設(shè)事件A=“抽到的兩人都是男生”，事件B=“抽到1名男生與1名女生”，則（

）A．在有放回簡單隨機(jī)抽樣方式下，PB．在不放回簡單隨機(jī)抽樣方式下，PC．在按性別等比例分層抽樣方式下，PD．在按性別等比例分層抽樣方式下，P【變式21】3．（2024上·遼寧朝陽·高一統(tǒng)考期末）從2,4,5,7這4個數(shù)中一次隨機(jī)抽取兩個數(shù)，則所取兩個數(shù)之和為9的概率是.【變式21】4．（2023上·浙江·高一階段練習(xí)）有一枚均勻的正方體骰子，骰子各個面上的點(diǎn)數(shù)分別為1，2，3，4，5，6，若任意拋擲一次骰子，朝上的面的點(diǎn)數(shù)記為x，計算x-4，則其結(jié)果恰為2的概率是．題型3有放回、無放回的概率模型的求法◆類型1無放回【例題31】（2023下·江蘇南京·高一南京市江寧高級中學(xué)校聯(lián)考期末）從數(shù)字1，2，3，4中，無放回地抽取2個數(shù)字組成一個兩位數(shù)，其各位數(shù)字之和等于5的概率為（

）A．13 B．316 C．5【變式31】1．（2020下·天津濱海新·高一?？计谀┐杏写笮∠嗤|(zhì)地均勻的2個紅球和3個黃球，從中無放回的先后取兩個球，取到紅球的概率為（

）A．110 B．12 C．7【變式31】2．（2023下·湖南長沙·高一湖南師大附中?？计谀┮粋€袋子中有大小和質(zhì)地相同的5個小球，其中有3個紅色球、2個綠色球，從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個球，則兩個球顏色相同的概率為.【變式31】3．（2020下·遼寧阜新·高一?？茧A段練習(xí)）某人做試驗，從一個裝有標(biāo)號為1，2，3，4的小球的盒子中，無放回地取兩個小球，每次取一個，先取的小球的標(biāo)號為x，后取的小球的標(biāo)號為y，這樣構(gòu)成有序?qū)崝?shù)對x,y（1）寫出這個試驗的所有結(jié)果；（2）求“第一次取出的小球上的標(biāo)號為2”的概率.【變式31】4．（2021下·河北張家口·高一統(tǒng)考期末）已知袋子內(nèi)裝有大小質(zhì)地完全相同的小球，其中2個紅球，m個黃球，1個白球，若從中隨機(jī)抽取一個小球，抽到每個小球的概率為15（1）求m的值；（2）若從中不放回地隨機(jī)取出兩個小球，求只有一個黃球的概率.◆類型2有放回【例題32】（2022·高一課時練習(xí)）現(xiàn)將三張分別印有數(shù)字“1”“2”“3”的卡片（卡片的形狀、大小和質(zhì)地完全相同）放入一個盒子中．若從盒子中依次有放回地取出兩張卡片，則一張為“1”，一張為“2”的概率是（

）A．23 B．13 C．2【變式32】1．（2023下·天津河西·高一統(tǒng)考期末）一個袋中裝有6個形狀大小完全相同的小球，球的編號分別為1，2，3，4，5，6.(1)若從袋中隨機(jī)抽取1個球，求取出的球編號為質(zhì)數(shù)的概率；(2)若從袋中每次隨機(jī)抽取1個球，有放回地抽取2次，求取出的兩個球編號之和為6的概率；(3)若一次從袋中隨機(jī)抽取3個球，求取出的球最大編號為4的概率.【變式32】2．（2021上·四川·高一校聯(lián)考開學(xué)考試）學(xué)校為慶祝建黨100周年，舉行了班級合唱比賽，歌曲有：《中國夢，我們的夢》，《國家》，《我和我的祖國》（分別用字母A，B，C依次表示這三首歌曲）．比賽時，將A，B，C這三個字母分別寫在3張無差別不透明的卡片正面上，洗勻后正面向下放在桌面上，（1）班班長先從中隨機(jī)抽取一張卡片，放回后洗勻，再由（2）班班長從中隨機(jī)抽取一張卡片，進(jìn)行歌詠比賽．(1)《中國夢，我們的夢》被（1）班班長抽中的概率是______．(2)試用樹狀圖或列表的方法表示所有可能的結(jié)果，并求出（1）班和（2）班抽中不同歌曲的概率．【變式32】3．（2022下·河南濮陽·高一統(tǒng)考期末）一個袋子中裝有標(biāo)號分別是1，2，3，4的4個球，除標(biāo)號外沒有其他差異，采用有放回方式從袋中依次任意摸出兩球.設(shè)A=“第一次摸到球的標(biāo)號小于3”，B=“第二次摸到球的標(biāo)號小于3”，分別計算PA，PB，【變式32】4．（2021下·河南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）個袋子中裝有5個形狀?大小完全相同的球，其中紅球1個?白球3個?黑球1個，現(xiàn)在從袋子中抽取球，每次隨機(jī)取出一個，抽取這些球的時候，無法看到球的顏色．（1）現(xiàn)從袋子中無放回地取球兩次，求取出的球一個紅色一個白色的概率；（2）現(xiàn)在有放回地取球兩次，規(guī)定取出一個紅球記2分，取出一個白球記1分，取出一個黑球記-1分，求取出兩球后得分之和為3分的概率．◆類型3有無放回【例題33】（2023下·天津西青·高一統(tǒng)考期末）從兩名男生和兩名女生中任意抽取兩人，分別采取有放回簡單隨機(jī)抽樣和不放回簡單隨機(jī)抽樣，在以上兩種抽樣方式下，抽到的兩人都是女生的概率分別為（

）A．14，12 B．12，16 C．14，【變式33】1．（2023下·廣東廣州·高一統(tǒng)考期末）在一個盒子中有5個大小質(zhì)地完全相同的球，其中藍(lán)球、紅球各2個，黃球1個，從中隨機(jī)摸出2個球.(1)若采用有放回簡單隨機(jī)抽樣，求恰好摸到一個紅球的概率；(2)若采用無放回簡單隨機(jī)抽樣，求取出的球顏色相同的概率.【變式33】2．（2023·高一課時練習(xí)）從一個裝有2黃2綠的袋子里，(1)有放回的摸球兩次,兩次摸到的都是綠球的概率是多少？(2)不放回的摸球兩次,兩次摸到的都是綠球的概率是多少？【變式33】3．（2022·高一課時練習(xí)）班級新年晚會設(shè)置抽獎環(huán)節(jié)．不透明紙箱中有大小、質(zhì)地相同的紅球3個(編號為1，2，3)，黃球2個(編號為4，5)，有如下兩種方案可供選擇：方案一：一次性抽取2個球，若顏色相同，則獲得獎品；方案二：依次無放回地抽取2個球，若顏色相同，則獲得獎品；方案三：依次有放回地抽取2個球，若編號的數(shù)字之和大于5，則獲得獎品．(1)分別寫出按方案一和方案二抽獎的所有樣本點(diǎn)；(2)哪種方案獲得獎品的可能性更大？并說明理由．【變式33】4.（2023下·北京通州·高一統(tǒng)考期中）袋子中有5個大小質(zhì)地完全相同的球，其中紅球3個，白球2個．(1)從中有放回地依次隨機(jī)摸出2個球，求第一次摸到白球的概率；(2)從中無放回地依次隨機(jī)摸出2個球，求第二次摸到白球的概率；(3)若同時隨機(jī)摸出2個球，求至少摸到一個白球的概率．題型4根據(jù)古典概型的概率求參數(shù)問題【例題4】（2023下·重慶·高一統(tǒng)考期末）在一個不透明的袋中有4個紅球和n個黑球，現(xiàn)從袋中有放回地隨機(jī)摸出2個球，已知取出的球中至少有一個紅球的概率為89，則n=A．1 B．2 C．3 D．4【變式41】1（2022下·新疆烏魯木齊·高一烏魯木齊市第四中學(xué)校考期末）從n個正整數(shù)1，2，…，n任意取出兩個不同的數(shù)，若取出的兩數(shù)之和等于5的概率為114，則n=A．28 B．14 C．10 D．8【變式41】2．（2022下·北京朝陽·高一統(tǒng)考期末）一個袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個紅球和n個綠球，采用有放回方式從