高中數(shù)學(xué)北師大版必修1學(xué)案1-2集合的基本關(guān)系

§2集合的基本關(guān)系知識(shí)點(diǎn)一子集的有關(guān)概念[填一填]1．Venn圖通常用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合．用Venn圖表示集合的優(yōu)點(diǎn)：形象直觀．2．子集(1)自然語言：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A，B，如果集合A中任意一個(gè)元素都是集合B中的元素，我們就說這兩個(gè)集合有包含關(guān)系，稱集合A為集合B的子集．(2)符號(hào)語言：記作A?B(或B?A)，讀作“A含于B”(或“B包含A”)．(3)圖形語言：用Venn圖表示．3．真子集如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，我們稱集合A是集合B的真子集，記作AB(BA)．4．集合相等如果集合A是集合B的子集(A?B)，且集合B是集合A的子集(B?A)，此時(shí)，集合A與集合B中的元素是一樣的，因此集合A和集合B相等，記作A＝B.[答一答]1．若A?B，則A中的元素是B中的元素的一部分，對(duì)嗎？提示：不對(duì)，A中的元素是B的一部分或是B的全部．2．“∈”與“?”有什么區(qū)別？提示：“∈”表示元素與集合之間的關(guān)系，而“?”表示集合與集合之間的關(guān)系．3．“”與“<”一樣嗎？提示：不一樣，“”表示集合與集合之間的關(guān)系；“<”表示代數(shù)式間的關(guān)系．4．如何判斷兩個(gè)集合是否相等？提示：方法一：根據(jù)兩個(gè)集合中的元素是否完全相同進(jìn)行判斷；方法二：根據(jù)集合相等的定義，即是否同時(shí)滿足A?B且B?A.知識(shí)點(diǎn)二空集[填一填]不含任何元素的集合叫作空集，記為?，并規(guī)定：空集是任何集合的子集．[答一答]5．0，{0}，?，{?}有何區(qū)別？提示：?與0?與{0}?與{?}相同點(diǎn)都表示無的意思都是集合都是集合不同點(diǎn)?是集合；0是實(shí)數(shù)?不含任何元素；{0}含一個(gè)元素0?不含任何元素；{?}含一個(gè)元素，該元素是空集?關(guān)系0???{0}?{?}或?∈{?}知識(shí)點(diǎn)三子集、真子集的性質(zhì)[填一填]由子集、真子集和空集的概念可得：(1)空集是任何集合的子集，即??A；(2)任何一個(gè)集合是它自身的子集，即A?A；(3)空集只有一個(gè)子集，即它自身；(4)對(duì)于集合A，B，C，由A?B，B?C可得A?C；(5)對(duì)于集合A，B，C，由AB，BC可得AC.[答一答]6．對(duì)于集合A、B、C，如果A?B，B?C，則A?C，若AB，B?C呢？若AB，BC呢？提示：AC；AC.7．分別寫出集合{a}，{a，b}和{a，b，c}的所有子集，通過子集個(gè)數(shù)你能得出一個(gè)規(guī)律嗎？提示：集合{a}的所有子集是?，{a}，共有2個(gè)子集；集合{a，b}的所有子集是?，{a}，，{a，b}，共有4個(gè)，即22個(gè)子集；集合{a，b，c}的所有子集可以分成四類：即?；含一個(gè)元素的子集：{a}，，{c}；含兩個(gè)元素的子集{a，b}，{a，c}，{b，c}；含三個(gè)元素的子集{a，b，c}．共有8個(gè)，即23個(gè)子集．規(guī)律：集合{a1，a2，a3，…，an}的子集有2n個(gè)；真子集有(2n－1)個(gè)；非空真子集有(2n－2)個(gè)．1．對(duì)子集概念的解讀(1)“A是B的子集”的含義是：集合A中任何一個(gè)元素都是集合B中的元素，即若x∈A，則一定有x∈B.(2)注意誤區(qū)：不能把“A?B”理解成“A是B中部分元素組成的集合”，因?yàn)锳＝?時(shí)，A中不含任何元素，但有A?B；當(dāng)A＝B時(shí)，A中含有B中的所有元素，也有A?B.(3)當(dāng)A不是B的子集時(shí)，記作“A?B(或B?A)”．2．對(duì)真子集的理解(1)若A是B的真子集，則A一定是B的子集，且A≠B.(2)A是B的真子集，我們還可以理解為：A中所有元素都是B中的元素，但在B中至少存在一個(gè)元素不是A中的元素．3．關(guān)于空集的兩點(diǎn)說明(1)空集首先是集合，只不過空集中不含任何元素．注意?和{?}是有區(qū)別的，?是不含任何元素的集合，而{?}集合中含有一個(gè)元素?.(2)規(guī)定空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．因此遇到諸如A?B或AB的問題時(shí)，務(wù)必優(yōu)先考慮A＝?是否滿足題意．4．子集關(guān)系與其特征性質(zhì)之間的關(guān)系若A是B的子集，則由集合A中元素的特征性質(zhì)可以推出集合B中元素的特征性質(zhì)，反之，若由集合A中元素的特征性質(zhì)可以推出集合B中元素的特征性質(zhì)，則A是B的子集．類型一集合中子集個(gè)數(shù)的求解【例1】已知a是給定實(shí)數(shù)，那么集合A＝{x|x2－3x－a2＋2＝0，x∈R}的子集的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2C．4 D．不確定【思路探究】先確定集合A中的元素個(gè)數(shù)，再求其子集個(gè)數(shù)．【解析】方程x2－3x－a2＋2＝0的根的判別式Δ＝9－4(－a2＋2)＝1＋4a2>0，所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故集合A中有2個(gè)元素，所以集合A的子集共有22【答案】C規(guī)律方法1.當(dāng)一個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)較少時(shí)，可以用列舉法寫出它的全部子集、真子集，從而子集、真子集個(gè)數(shù)也可求出．2．當(dāng)一個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)較多時(shí)，它的子集、真子集的個(gè)數(shù)可以按以下結(jié)論計(jì)算：(后續(xù)可學(xué)習(xí)其推導(dǎo)方法)(1)含有n個(gè)元素的集合有2n個(gè)子集；(2)含有n個(gè)元素的集合有(2n－1)個(gè)真子集；(3)含有n個(gè)元素的集合有(2n－1)個(gè)非空子集；(4)含有n個(gè)元素的集合有(2n－2)個(gè)非空真子集．集合{－1,0,1}共有8個(gè)子集．解析：(方法一：列舉法)集合{－1,0,1}的子集有：?，{－1}，{0}，{1}，{－1,0}，{－1,1}，{0,1}，{－1,0,1}，共8個(gè)．(方法二：公式法)集合{－1,0,1}共有3個(gè)元素，故子集的個(gè)數(shù)為23＝8.類型二集合相等及應(yīng)用【例2】已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,9)2n＋1，n∈Z))))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4,9)n±\f(1,9)，n∈Z))))，則集合A，B之間的關(guān)系是()A．A?B B．B?AC．A＝B D．AB【思路探究】(1)若集合A，B都是非空的集合，則集合A與集合B相等所表達(dá)的意義是：集合A與集合B中的元素是完全相同的，與元素順序無關(guān)．(2)若A?B且B?A，則A＝B；反之，若A＝B，則A?B且B?A.【解析】設(shè)x1∈A，則存在n1∈Z，使x1＝eq\f(1,9)(2n1＋1)．當(dāng)n1＝2k，k∈Z時(shí)，x1＝eq\f(1,9)(2n1＋1)＝eq\f(1,9)(4k＋1)＝eq\f(4,9)k＋eq\f(1,9)，所以x1∈B；當(dāng)n1＝2k－1，k∈Z時(shí)，x1＝eq\f(1,9)(2n1＋1)＝eq\f(1,9)(4k－1)＝eq\f(4,9)k－eq\f(1,9)，所以x1∈B，所以A?B.設(shè)x2∈B，則存在n2∈Z，使x2＝eq\f(4,9)n2±eq\f(1,9)＝eq\f(1,9)(4n2±1)．因?yàn)?n2＋1＝2×2n2＋1,4n2－1＝2(2n2－1)＋1，且2n2(n2∈Z)表示所有的偶數(shù)，2n2－1(n2∈Z)表示所有的奇數(shù)，所以4n2±1(n2∈Z)與2n＋1(n∈Z)都可以表示任意奇數(shù)，故x2∈A，所以B?A.綜上所述，A＝B.【答案】C規(guī)律方法本題選項(xiàng)基本列出了集合A和集合B之間的四種關(guān)系，判斷集合A與集合B具體是哪一種關(guān)系，應(yīng)從集合中的元素入手．如本題，應(yīng)設(shè)x1∈A，由元素的特征得出x1∈B，故有A?B.進(jìn)一步，再判斷B中的元素是否滿足A中元素的特征．設(shè)a，b∈R，若集合{1，a＋b，a}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,a)，b))，則a2018＋b2018＝2.解析：由{1，a＋b，a}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,a)，b))易知a≠0，a≠1，故a＋b＝0，且b＝1或eq\f(b,a)＝1.若b＝1，由a＋b＝0得a＝－1，經(jīng)驗(yàn)證，符合題意；若eq\f(b,a)＝1，則a＝b，結(jié)合a＋b＝0，可知a＝b＝0，不符合題意．綜上知a＝－1，b＝1.所以a2018＋b2018＝(－1)2018＋12018＝2.類型三集合關(guān)系的判定【例3】指出下列各集合之間的關(guān)系．(1)A＝{x|－5<x<5}，B＝{x|1<x<5}；(2)A＝{(x，y)|xy>0}，B＝{(x，y)|x>0，y>0或x<0，y<0}；(3)A＝{x|x＝a2＋1，a∈R}，B＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈R(4)A＝{不大于5的自然數(shù)}，B＝{小于6的正整數(shù)}．【思路探究】(1)利用數(shù)軸直接判斷．(2)根據(jù)集合中元素的特征或集合的幾何意義進(jìn)行判斷．(3)先化簡(jiǎn)A，B，再進(jìn)行判斷．(4)用列舉法表示出A，B，再進(jìn)行判斷．【解】(1)A，B兩個(gè)集合在數(shù)軸上表示如下：由圖易知BA.(2)解法1：由xy>0得x>0，y>0或x<0，y<0；由x>0，y>0或x<0，y<0得xy>0，故A＝B.解法2：集合A中的元素是平面直角坐標(biāo)系中第一、三象限內(nèi)的點(diǎn)，集合B中的元素也是平面直角坐標(biāo)系中第一、三象限內(nèi)的點(diǎn)，故A＝B.(3)A＝{x|x＝a2＋1，a∈R}＝{x|x≥1}，B＝{x|x＝(a－2)2＋1，a∈R}＝{x|x≥1}，所以A＝B.(4)A＝{0,1,2,3,4,5}，B＝{1,2,3,4,5},0∈A，但0?B，其余元素相同，所以BA.規(guī)律方法本題考查了集合間基本關(guān)系的判斷方法，同時(shí)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．(1)下列關(guān)系正確的是(C)A．3∈{y|y＝x2＋π，x∈R}B．{(a，b)}＝{(b，a)}C．{(x，y)|x2－y2＝1}{(x，y)|(x2－y2)2＝1}D．{x∈R|x2－2＝0}＝?解析：A中，{y|y＝x2＋π，x∈R}＝{y|y≥π}，∵3<π，∴3?{y|y＝x2＋π，x∈R}，故A錯(cuò)誤；B中，∵a與b不一定相等，∴{(a，b)}與{(b，a)}的元素不一定相同，∴{(a，b)}與{(b，a)}不一定相等，故B錯(cuò)誤；C中，{(x，y)|(x2－y2)2＝1}＝{(x，y)|x2－y2＝1或x2－y2＝－1}，∴{(x，y)|x2－y2＝1}{(x，y)|(x2－y2)2＝1}，故C正確；D中，{x∈R|x2－2＝0}＝{eq\r(2)，－eq\r(2)}≠?，故D錯(cuò)誤．故選C.(2)設(shè)集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(n,2)，n∈Z))))，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(xx＝\f(1,2)＋n，n∈Z))，則集合M，N之間的關(guān)系是NM.解析：對(duì)于集合M，其組成元素是eq\f(n,2)，分子部分表示所有的整數(shù)；而對(duì)于集合N，其組成元素是eq\f(1,2)＋n＝eq\f(2n＋1,2)，分子部分表示所有的奇數(shù)．由真子集的概念知NM.類型四應(yīng)用集合間的關(guān)系求參數(shù)的值(或范圍)【例4】(1)已知集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|x<a}，若AB，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)已知集合A＝{x|x<－1或x>3}，B＝{x|4x＋a<0}，若B?A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【思路探究】因?yàn)锳，B兩個(gè)集合都是用不等式表示的數(shù)集，所以用數(shù)軸表示這兩個(gè)集合，更容易發(fā)現(xiàn)它們之間的關(guān)系．【解】(1)因?yàn)锳B，所以集合A，B之間的關(guān)系可用下圖表示．由圖可得a≥3，即a的取值范圍是a≥3.(2)由題意得B＝{x|4x＋a<0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－\f(a,4))))).因?yàn)锽?A，所以集合A，B之間的關(guān)系可用下圖表示．由圖可得－eq\f(a,4)≤－1，即a的取值范圍是a≥4.規(guī)律方法關(guān)于兩個(gè)數(shù)集之間的關(guān)系問題，常借助數(shù)軸，利用數(shù)形結(jié)合的方法來求解．寫結(jié)果時(shí)，要特別注意不等式的等號(hào)能否取到，端點(diǎn)的取舍需代入驗(yàn)證．設(shè)集合A＝{x|a－1<x<2a，a∈R}，集合B＝{x|1<x(1)當(dāng)a＝0時(shí)，求集合A；(2)當(dāng)A?B時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：(1)當(dāng)a＝0時(shí)，A＝{x|－1<x<0}．(2)①當(dāng)a－1≥2a，即a≤－1時(shí)，A＝?，滿足A?B，故a≤②當(dāng)a－1<2a，即a>－1時(shí)，由A?B得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1≥1，,2a≤6，))解得2≤a≤3.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≤－1或2≤a≤3.——易錯(cuò)警示系列——忽視空集導(dǎo)致漏解【例5】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B?A，求實(shí)數(shù)m【錯(cuò)解】欲使B?A，只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2≤m＋1，,2m－1≤5))?－3≤m≤3.∴m的取值范圍是－3≤m≤3.【正解】∵A＝{x|－2≤x≤5}，又B?A.(1)若B＝?，則m＋1>2m－1，即m<2，此時(shí)，總有B?A，故m(2)若B≠?，則m＋1≤2m－1，即m≥2，集合A、B在數(shù)軸上表示如圖．由B?A得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2≤m＋1，,2m－1≤5.))解得2≤m≤3.綜合(1)(2)可知m的取值范圍是(－∞，3]．【錯(cuò)因分析】空集是一個(gè)特殊的集合，是任何集合的子集，因此需要對(duì)B＝?與B≠?兩種情況分別討論確定m的取值范圍．若集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|x2＋x＋a＝0}，且B?A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：根據(jù)題意得A＝{－3,2}．而對(duì)于集合B中的x2＋x＋a＝0，由于B?A，故B＝?或B＝{－3}或B＝{2}或B＝{－3,2}．(1)當(dāng)B＝?時(shí)，Δ＝1－4a<0，即a>eq\f(1,4)時(shí)，B?A成立．(2)當(dāng)B＝{－3}時(shí)，Δ＝1－4a＝0，且(－3)2＋(－3)＋a＝0，此時(shí)a(3)當(dāng)B＝{2}時(shí)，Δ＝1－4a＝0，且22＋2＋a＝0，此時(shí)a(4)當(dāng)B＝{－3,2}時(shí)，Δ＝1－4a>0，且(－3)2＋(－3)＋a＝0,22＋2＋a＝0，解得a綜上所述，a的取值范圍為{a|a>eq\f(1,4)或a＝－6}．一、選擇題1．已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x<1}，則(C)A．A>BB