復(fù)習06對數(shù)運算與對數(shù)函數(shù)（十二大考點）（原卷版）

復(fù)習06對數(shù)運算與對數(shù)函數(shù)一、對數(shù)與對數(shù)運算1．對數(shù)的概念（1）對數(shù)：一般地，如果，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).（2）對數(shù)式與指數(shù)式的互化：.（3）兩個重要對數(shù)：常用對數(shù)，以10為底的對數(shù)lgN；自然對數(shù)，以無理數(shù)e=2.71828…為底數(shù)的對數(shù)lnN.2．對數(shù)的性質(zhì)（1）1的對數(shù)等于0，即；（2）底數(shù)的對數(shù)等于1，即；（3）對數(shù)恒等式.3．對數(shù)的運算性質(zhì)如果，那么：（1）；（2）；（3）.4．對數(shù)的換底公式對數(shù)的換底公式：.換底公式的變形及推廣：（1）；（2）；二、對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1．對數(shù)函數(shù)的概念一般地，我們把函數(shù)叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是.2．對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)一般地，對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)如下表所示：圖象定義域值域性質(zhì)過定點，即時，在上是減函數(shù)在上是增函數(shù)當x＞1時，y＜0；當0＜x＜1時，y＞0當x＞1時，y＞0；當0＜x＜1時，y＜0在直線的右側(cè)，當時，底數(shù)越大，圖象越靠近x軸；當時，底數(shù)越小，圖象越靠近x軸，即“底大圖低”．3．對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系指數(shù)函數(shù)且）與對數(shù)函數(shù)且）互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對稱.考點01指對數(shù)的互化及對數(shù)運算【方法點撥】根據(jù)定義進行指數(shù)與對數(shù)的互化，利用對數(shù)的性質(zhì)和運算性質(zhì)進行對數(shù)運算【例1】在科技史上，對數(shù)的發(fā)明大大縮短了計算時間，為人類研究科學(xué)和了解自然起了重大作用，對數(shù)對估算“天文數(shù)字”具有獨特優(yōu)勢.已知，，則（

）A． B． C． D．【例2】（1）;（2）.【變式11】已知，，則．（用數(shù)字作答）【變式12】.【變式13】（1）若，，求的值；（2）求的值.考點02換底公式的運用【方法點撥】（1）化成同底的對數(shù)時，要注意換底公式的正用、逆用以及變形應(yīng)用．（2）題目中有指數(shù)式和對數(shù)式時，要注意將指數(shù)式與對數(shù)式統(tǒng)一成一種形式．【例3】化簡的值為（

）A． B． C． D．【例4】已知，，則用，表示.【變式21】記，那么．【變式22】若，則.【變式23】求下列各式的值.(1)(2)已知試用表示考點03識別對數(shù)(型)函數(shù)圖象及定點問題【方法點撥】處理對數(shù)函數(shù)圖象問題的3個策略：（1）抓住特殊點：對數(shù)函數(shù)的圖象過定點，求對數(shù)型函數(shù)圖象所過的定點時，只要令真數(shù)為1，求出對應(yīng)的的值，即可得函數(shù)圖象所過的定點．（2）巧用圖象變換：函數(shù)圖象的平移變換(左右平移、上下平移)．（3）利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性：奇偶性確定函數(shù)圖象的對稱情況，單調(diào)性決定函數(shù)圖象的走勢．【例5】函數(shù)的圖象是（

）A．

B．

C．

D．

【例6】已知當時，函數(shù)的圖象恒過定點，其中為常數(shù)，則不等式的解集為.【變式31】已知，則函數(shù)與函數(shù)的圖象可能是（

）A．① B．② C．③ D．④【變式32】函數(shù)的圖象大致是（

）A． B．C． D．【變式33】（多選）已知函數(shù)（且）恒過定點，則函數(shù)的圖象不經(jīng)過不經(jīng)過（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限考點04根據(jù)對數(shù)型函數(shù)圖象求參數(shù)【例7】已知m，n∈R，函數(shù)f(x)＝m＋lognx的圖象如圖，則m，n的取值范圍分別是（

）A．m>0，0<n<1 B．m<0，0<n<1C．m>0，n>1 D．m<0，n>1【例8】如圖所示的曲線分別是對數(shù)函數(shù)，，，的圖象，則，，，，1，0的大小關(guān)系為（用“＞”號連接）．【變式41】若函數(shù)的圖象不過第四象限，則實數(shù)a的取值范圍為．【變式42】已知函數(shù)，若且，則的取值范圍為.【變式43】已知函數(shù)且關(guān)于的方程有四個不等實根，寫出一個滿足條件的值．考點05求對數(shù)(型)函數(shù)的值域【方法點撥】（1）求對數(shù)型函數(shù)的值域，一般需根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及真數(shù)的取值范圍求解．（2）形如型的函數(shù)值域求解常用換元法、配方法等解題技巧．【例9】設(shè)全集，集合，，則（

）A． B． C． D．【例10】函數(shù)的最小值為．【變式51】若定義運算，則函數(shù)的值域是.【變式52】已知（且）的圖象過點.(1)求的值；(2)當時，求的值域．(3)若，判斷的奇偶性.【變式53】已知函數(shù).(1)求方程的根；(2)求在上的值域.考點06對數(shù)(型)函數(shù)的單調(diào)性問題【方法點撥】（1）求形如的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，一定樹立定義域優(yōu)先意識，即由，先求定義域．（2）求此類型函數(shù)單調(diào)區(qū)間的兩種思路：①利用定義求解；②借助函數(shù)的性質(zhì)，研究函數(shù)和在定義域上的單調(diào)性，利用“同增異減”的結(jié)論，從而判定的單調(diào)性．【例11】下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞增的函數(shù)（

）A． B． C． D．【例12】設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式61】已知.（1）求函數(shù)的解析式及其定義域;（2）求的單調(diào)區(qū)間.【變式62】已知在上是關(guān)于的減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是.【變式63】已知函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是.考點07比較指對冪的大小【方法點撥】比較對數(shù)值大小的方法：（1）同底的利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；（2）同真的利用對數(shù)函數(shù)的圖象或用換底公式轉(zhuǎn)化；（3）底數(shù)和真數(shù)都不同，找中間量；（4）若底數(shù)為同一參數(shù)，則根據(jù)底數(shù)對對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的影響，對底數(shù)進行分類討論【例13】已知，則（

）A． B．C． D．【例14】已知奇函數(shù)在R上是增函數(shù)，若，，，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【變式71】已知，，，則（

）A． B． C． D．【變式72】定義在上的偶函數(shù)，記，，，則（

）A． B． C． D．【變式73】（多選）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且對任意的，總有，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．考點08解不等式【方法點撥】（1）形如的不等式，借助的單調(diào)性求解，如果的取值不確定，需分和兩種情況討論；（2）形如的不等式，應(yīng)將化為以為底數(shù)的對數(shù)式的形式，再借助的單調(diào)性求解.【例15】已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【例16】設(shè)函數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A． B． C． D．【變式81】已知函數(shù)，且.(1)求的值及的定義域；(2)求不等式的解集.【變式82】已知定義在實數(shù)集R上的偶函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則不等式的解集是【變式83】已知函數(shù)（且），.(1)求使成立的的值；(2)若，求實數(shù)的取值范圍.考點09反函數(shù)的應(yīng)用【方法點撥】反函數(shù)的性質(zhì)：（1）互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱；（2）一個函數(shù)與它的反函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上單調(diào)性一致；（3）函數(shù)的定義域是其反函數(shù)的值域:函數(shù)的值域是其反函數(shù)的定義域【例17】函數(shù)的反函數(shù)為.【例18】函數(shù)反函數(shù)的定義域為.【變式91】若是函數(shù)的零點，是函數(shù)的零點，則的值為（

）A．1 B．2023 C． D．4046【變式92】若的反函數(shù)為，且，則的最小值為.【變式93】函數(shù)（且）的反函數(shù)過定點．考點10根據(jù)值域(最值)求參數(shù)【例19】已知函數(shù)的值域為，的值域為，則（

）A．0 B．1 C．3 D．5【例20】（多選）已知函數(shù)，若的值域為，則的取值可以是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【變式101】已知對數(shù)函數(shù)在區(qū)間上的最大值比最小值大1，則．【變式102】已知函數(shù)（）的最大值與最小值分別為3和．求a的取值范圍．【變式103】若函數(shù)（且）的最小值為－4，則實數(shù)a的值為.考點11恒成立問題【方法點撥】（1）若在集合中恒成立,即集合是不等式的解集的子集,可以先求解集,再由子集的含義求解參數(shù)的值(或范圍);（2）轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題,即已知函數(shù)的值域為,則恒成立,即;恒成立,即.【例21】若不等式對于任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是．【例22】已知是偶函數(shù).(1)求m的值；(2)若不等式對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【變式111】已知函數(shù).(1)求的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若對任意的恒成立，求的取值范圍.【變式112】已知函數(shù)．(1)若的值域為，求的取值范圍；(2)設(shè)對恒成立，求的取值范圍．【變式113】已知函數(shù).(1)當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)，恒成立，求的取值范圍.考點12對數(shù)函數(shù)的實際問題【例23】生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一個新的環(huán)境，從而對入侵地的生態(tài)系統(tǒng)造成危害的現(xiàn)象，若某入侵物種的個體平均繁殖數(shù)量為，一年四季均可繁殖，繁殖間隔為相鄰兩代間繁殖所需的平均時間．在物種入侵初期，可用對數(shù)模型（為常數(shù)）來描述該物種累計繁殖數(shù)量與入侵時間（單位：天）之間的對應(yīng)關(guān)系，且，在物種入侵初期，基于現(xiàn)有數(shù)據(jù)得出．據(jù)此估計該物種累計繁殖數(shù)量是初始累計繁殖數(shù)量的倍所需要的時間為（

）天．（結(jié)果保留一位小數(shù)．參考數(shù)據(jù)：）A．19.5 B．20.5 C．18.5 D．19【例24】2023年11月，大批紅嘴鷗從西伯利亞飛越數(shù)千公里抵達云南昆明過冬，昆明已開啟觀鷗季．科學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)候鳥的飛行速度（單位：）可以表示為，其中表示候鳥的耗氧量的單位數(shù)，表示測量過程中候鳥的耗氧偏差的單位數(shù)．（參考數(shù)據(jù)：）．(1)當時，計算海鷗靜止時耗氧量的單位數(shù)；(2)若雄性海鷗的飛行速度為，雌性海鷗的飛行速度為，那么此時雄性海鷗的耗氧量是雌性海鷗的耗氧量的多少倍．【變式121】中國的5G技術(shù)領(lǐng)先世界，5G技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一便是著名的香農(nóng)公式：．它表示在受噪音干擾的信道中，最大信息傳遞速度C取決于信道帶寬W，信道內(nèi)信號的平均功率S，信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的大小，其中叫作信噪比．當信噪比比較大時，公式中真數(shù)里面的1可以忽略不計．按照香農(nóng)公式，若帶寬W不變，信噪比從1000提升到12000，則C比原來大約增加了（

）．(附：)A．32% B．43% C．36% D．68%【變式122】西洋鮭魚每年都要逆流而上，游回產(chǎn)地產(chǎn)卵，研究鮭魚的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)，鮭魚的游速v（單位：）可以表示為，其中M表示魚的耗氧的單位數(shù).當一條大西洋鮭魚的耗氧量的單位數(shù)是其靜止時耗氧量的單位數(shù)的27倍時，它的游速是.【變式123】學(xué)校鼓勵學(xué)生課余時間積極參加體育鍛煉，現(xiàn)需要制定一個課余鍛煉考核評分制度，建立一個每天得分y與當天鍛煉時間x（單位：分鐘）的函數(shù)關(guān)系，要求如下：（i）函數(shù)的圖象接近圖示；（ii）每天運動時間為0分鐘時，當天得分為0分；（iii）每天運動時間為30分鐘時，當天得分為3分；（iiii）每天最多得分不超過6分.現(xiàn)有以下三個函數(shù)模型供選擇：①；②；③.(1)請根據(jù)函數(shù)圖像性質(zhì)你從中選擇一個合適的函數(shù)模型不需要說明理由；(2)根據(jù)你對（1）的判斷以及所給信息完善你的模型并給出函數(shù)的解析式；(3)已知學(xué)校要求每天的分數(shù)不少于4.5分，求每天至少運動多少分鐘（結(jié)果保留整數(shù)）.一、單選題1．計算的值為（

）A．5 B．6 C．7 D．82．已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（

）A． B．C． D．3．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．若函數(shù)的大致圖象如圖，其中為常數(shù)，則函數(shù)的大致圖象是（

）A． B．C． D．5．函數(shù)，且與函數(shù)在同一坐標系內(nèi)的圖象不可能的是（

）A． B．C． D．6．若關(guān)于的不等式在區(qū)間上有解，則實數(shù)的取值范圍為(

)A． B． C． D．二、多選題7．已知，則下列關(guān)系中正確的是（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是 B．函數(shù)的值域是RC．函數(shù)的圖象關(guān)于對稱 D．不等式的解集是9．已知函數(shù)（a＞0，且）的定義域為，值域為．若的最小值為，則實數(shù)a的值可以是（

）A． B． C． D．三、填空題10．設(shè)常