2022-2023學(xué)年安徽省合肥市高一年級(jí)下冊(cè)期末考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年安徽省合肥市高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足z=(3-2i)(l+2i),i為虛數(shù)單位，則口()

A.7+4iB.7-4iC.-l+4iD.-l-4i

【答案】B

【分析】由復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，先化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z,再結(jié)合共軌復(fù)數(shù)的定義可得出答案.

【詳解】由z=(3-2i)(l+2i),可得z=3+4+4i=7+4i

所以』=7-4i

故選：B

2.某班有30位同學(xué)，他們依次編號(hào)為01,02,....29,30,現(xiàn)利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取5位同學(xué)組

建“文明校園督查組'’.選取方法是從隨機(jī)數(shù)表的第1行的第5列數(shù)字開(kāi)始，由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)

字，則選出來(lái)的第5位同學(xué)的編號(hào)為()

417927351686081621579562394159495427

495512835983788351347870207993212241

A.20B.21C.27D.12

【答案】D

【分析】利用隨機(jī)數(shù)表法直接求解.

【詳解】依次從數(shù)表中讀出的有效編號(hào)為：27,16,08,16,21,27,12,

去掉重復(fù)的，得到選出來(lái)的第5位同學(xué)的編號(hào)為12.

故選：D.

3.在A48C中，點(diǎn)O是線段4C上一點(diǎn)，點(diǎn)P是線段8。上一點(diǎn)，且歷=麗萬(wàn)=4而+，式，貝1/1=

6

()

1125

A.[B.-C.-D--

6336

【答案】C

【分析】設(shè)麗=x麗，由"=方+方＞=1豆+x歷5=(1-x)益+xNE=(l-x)荔+祝，結(jié)合題

干條件和平面向量基本定理，即得解

【詳解】根據(jù)題意畫(huà)出草圖，如圖：

A

??,點(diǎn)P是線段8。上一點(diǎn),

設(shè)麗=痂,

???AP=AB+BP=AB+xBD=4B+乂AD-AB)

=(\-x)AB+xAb=(\-x)AB+x-^AC

=(\-x)AB+^AC=XAB+-^AC.

\-x=A.2=-

由平面向量基本定理可得解得，3

1

2-6x=-

3

故選：C

4.木楔子在傳統(tǒng)木工中運(yùn)用廣泛，它使得柳卯配合的牢度得到最大化滿(mǎn)足，是一種簡(jiǎn)單的機(jī)械工具,

是用于填充器物的空隙使其牢固的木檄、木片等.如圖為一個(gè)木楔子的直觀圖，其中四邊形是

邊長(zhǎng)為1的正方形，且△43E,△8CF均為正三角形，EF//CD,EF=2,則該木楔子的體積為（）

A.逑B.④C.逑D.也

333

【答案】D

【分析】如圖，分別過(guò)點(diǎn)48作EF的垂線，垂足分別為G,H,連接。G,CH,取的中點(diǎn)0,

連接GO,求出S4A味UG=SaBLCJ『i—4，結(jié)合三棱錐和三棱柱的體積公式計(jì)算即可.

【詳解】如圖，分別過(guò)點(diǎn)/,8作EF的垂線，垂足分別為G,H,連接。G,C”，

則由題意等腰梯形48E尸全等于等腰梯形CDEF,

取/。的中點(diǎn)。，連接G。，因?yàn)?G=GO,所以G0_L4。，

則G。1用心咚

,??1V2.V2

Xxl

,?S.ADG=S.BCH=-~^~=彳-

因?yàn)?B//EF,AG1EF,所以N51/G,因?yàn)樗倪呅?88為正方形，

所以48_L4D,又因?yàn)椤啊?gt;n/G=/,/。,/6<=平面4。6,所以平面/OG,

所以EF工平面4G。，同理可證E戶(hù)工平面8CH,

,,多面體的體積"=々棱鉞￡TDG+G校iffiF-BC〃+G梭柱/G0-BHC=2g校儺￡_皿；+"三楂彬IG0-BHC

1V2

—X-------

34243

故選：D.

5.先后拋擲兩枚骰子，甲表示事件“第一次擲出正面向上的點(diǎn)數(shù)是1"，乙表示事件“第二次擲出正面

向上的點(diǎn)數(shù)是2”，丙表示事件“兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和是7”，丁表示事件“兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和是8”,

則（）

A.甲與丙相互獨(dú)立B.甲與丁相互獨(dú)立

C.乙與丁相互獨(dú)立D.丙與丁相互獨(dú)立

【答案】A

【分析】根據(jù)事件獨(dú)立性的定義：P（Z8）=P（/）P（8）判斷各選項(xiàng)的正誤.

【詳解】丙事件的{第一次，第二次}點(diǎn)數(shù)組合為{1,6},{6,1},{2,5},{5,2},{3,4},{4,3},則尸（丙）=??；

6

丁事件的{第一次，第二次}點(diǎn)數(shù)組合為{2,6},{6,2},{3,5},{5,3},{4,4},則尸（?。?己；

36

尸（甲）=尸（乙）

6

...I、P（甲丙）=。（甲）尸（丙）=上，故甲與丙相互獨(dú)立.

36

2、尸（甲?。?0二尸（甲）尸（?。?息，故甲與丙不相互獨(dú)立.

216

3、P（乙?。?3二P（乙）P（?。?盤(pán)，故乙與丁不相互獨(dú)立；

36216

4、顯然，丙與丁為互斥事件，尸（丙?。?0二尸（丙）尸（?。?三，故不相互獨(dú)立.

故選：A

6.某地一年之內(nèi)12個(gè)月的降水量分別為：71,66.64,58,56,56.56,53,53,51,48,46,

則該地區(qū)的月降水量75%分位數(shù)（）

A.61B.53C.58D.64

【答案】A

【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義求解.

【詳解】將降水量從小到大排列：46,48,51,53,53,56,56,56,58,64,66,71,

j=12x75%=9,

該地區(qū)的月降水量75%分位數(shù)為處獸=61.

故選：A

7.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體初co-44cA中，。為4。的中點(diǎn)，P為正方體內(nèi)部及其表面上的

一動(dòng)點(diǎn)，且則滿(mǎn)足條件的所有點(diǎn)P構(gòu)成的平面圖形的周長(zhǎng)是（）

C.6近D.4+40

【答案】C

【分析】證明出8。上平面"C，平面4G。，確定過(guò)點(diǎn)。的截面與正方體各棱的交點(diǎn)，可知

截面圖形是邊長(zhǎng)為近的正六邊形，進(jìn)而可求得結(jié)果.

【詳解】連接4。、G。、4G、AC./瓦、BQ、BD,如下圖所示:

因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，則/C人8。，

：DD}ABCD,ACcz^^ABCD,AC1DD{,

???DD.nBD=D,/Cl平面BOR,

?/BD、u平面BDD、,BD、1AC,同理可得BD、1ABX,

VAC[}AB{=A,8R_L平面/qc,同理可證_L平面&CQ,

設(shè)過(guò)點(diǎn)。且垂直于8R的平面為平面a,則a與平面NBC、平面4G。都平行,

〃平面4cM，平面NBCDc平面a=0N,平面為8CDc平面/C81=/C,

：.QNHAC,為“。的中點(diǎn)，則N為CO的中點(diǎn)，

同理可知，平面a分別與棱C￡、8￡、4月、N4交于中點(diǎn)，

易知六邊形EFGHNQ為正六邊形,且其邊長(zhǎng)為:/C=應(yīng)，

因此，滿(mǎn)足條件的所有點(diǎn)P構(gòu)成的平面圖形的周長(zhǎng)是6立.

故選：C.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查正方體截面周長(zhǎng)的計(jì)算，解題的關(guān)鍵在于利用正方體的幾何性質(zhì)，

找出體對(duì)角線的垂面，進(jìn)而確定截面與垂面平行，并以此作出截面.

8.為了普及黨史知識(shí)，某校舉行了黨史知識(shí)考試，試卷中只有兩道題目，已知甲同學(xué)答對(duì)每題的概

率都為p,乙同學(xué)答對(duì)卷題的概率都為4(P>?),且在考試中每人各題答題結(jié)果互不影響.已知每題

甲、乙兩人同時(shí)答對(duì)的概率為恰有一人答對(duì)的概率為卷.則甲、乙兩人共答對(duì)至少3道題的概率

是()

A.—B.gC.1D.-

12934

【答案】C

【分析】利用相互獨(dú)立事件、互斥事件概率公式求出P，%再利用利用相互獨(dú)立事件、互斥事件求

解作答.

-1

pq=332

【詳解】依題意，，而P>q,解得P=；,q=9,

p(\-q]+q{y-p)=—!

設(shè)4="甲同學(xué)答對(duì)了i題，，，瓦="乙同學(xué)答對(duì)了i題“，(/=0,1,2),

13313、33921124/、224

則尸（4）=_x_+_x_=_,P（A）=-x-=—,P（5.）=-x-4--x-=-,P（5）=-x-=-,

'"44448'“441633339v273?39

甲、乙兩人共答對(duì)至少3道題的事件。=4與+44+4層,

3494942

因此P（E）=P（4星）+/44）+。（4%）=「大+。x-+-x-=一，

891691693

所以甲、乙兩人共答對(duì)至少3道題的概率是;7.

故選：C

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率,把要求概率的事件分拆成兩兩互斥事件

的和，相互獨(dú)立事件的積是解題的關(guān)鍵.

二、多選題

9.下列說(shuō)法正確的是()

A.甲乙兩人獨(dú)立地解題，已知各人能解出的概率分別是0.5,0.25,則題被解出的概率是0.625

B.若A,8是互斥事件，則P(/8)=尸(/)P(8)

C.某校200名教師的職稱(chēng)分布情況如下：高級(jí)占比20%,中級(jí)占比50%,初級(jí)占比30%,現(xiàn)從

中抽取50名教師做樣本，若采用分層抽樣方法，則初級(jí)教師應(yīng)抽取15人

D.一位男生和兩位女生隨機(jī)排成一列，則兩位女生相鄰的概率是:

4

【答案】AC

【分析】先求此題不能解出的概率，再利用對(duì)立事件可得此題能解出的概率可判斷A；由

P(，U8)=尸(/)+尸①)，尸(48)=0可判斷B；計(jì)算出初級(jí)教師應(yīng)抽取的人數(shù)可判斷C；由列舉法

得出兩位女生相鄰的概率可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,?.?他們各自解出的概率分別是!，則此題不能解出的概率為

則此題能解出的概率為故A對(duì)；

V2JV47888

對(duì)于B,若A,B是互斥事件，則尸(4UB)=P(⑷+P(B),P(AB)=G,故B錯(cuò);

對(duì)于C,初級(jí)教師應(yīng)抽取50x30%=15人，故C正確；

對(duì)于D,由列舉法可知，用1、2表示兩名女生，。表示男生，

則樣本空間。={12a,1〃2,21a,2alM12M21}

兩位女生相鄰的概率是4?=；2,故D錯(cuò).

63

故選：AC.

10.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早1000多年，在《九章算術(shù)》

中，將底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱(chēng)為塹堵，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面

的四棱錐稱(chēng)為陽(yáng)馬，將四個(gè)面均為直角三角形的四面體稱(chēng)為鱉席.如圖在塹堵ABC-48cl中,

AB1AC,CC、=BC=2,D,E分別為棱44-的中點(diǎn)，則()

A.四面體G-/8C不為鱉膈

B.DE〃平面Ng

C.若/8=石，則48與。E所成角的正弦值為邁

4

D.三棱錐G-48c的外接球的體積為定值成兀

3

【答案】BD

【分析】由線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理可判斷A；連接8（、C]B相交于點(diǎn)O,可得四邊形

為平行四邊形，OE///O,再由線面平行的判定定理可判斷B；由B選項(xiàng)知與。E所成角即與

NO所成角為/A4O或其補(bǔ)角，求出40、BO,在ANBO中由余弦定理得cos/8/O,再求出sin/BNO

可判斷C；由△C/8、△GC8均為直角三角形可得點(diǎn)。是三棱錐G-/8C的外接球的球心，求出

外接球的半徑可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,在塹堵N8C-4AG中，CCJ平面48C,AC,8C、"1平面Z8C,

所以CG，/C,CC,1BC,CCtlAB,所以AC/C、△qcs均為直角三角形,

因?yàn)槿?C,所以A/8C為直角三角形，

且CC|CMC=C,07]、/6'0：平面/。6，

所以48人平面ACCX,4Gu平面ACCX,

所以N8_L4G，所以為直角三角形，所以四面體G-/8C為鱉席，故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,

B

如圖，連接qc、G8相交于點(diǎn)。，所以點(diǎn)。為G8的中點(diǎn)，連接EO、AO,

所以E0//B18,EO=-BB,因?yàn)榱??！?/,AD=-B,B,所以4J//EO,AD=EO,

2}2

所以四邊形49￡。為平行四邊形，所以DE//4O,

因?yàn)?。平面Z8G，/Ou平面/8G，所以?！辍ㄆ矫?8G，故B正確;

DEIIAO,

所以與。E所成角即AB與/。所成角/A4?；蚱溲a(bǔ)角,

因?yàn)镃G=8C=2,所以BO=；BG=g,連接4E,所以4E=；AG=1,

所以?！?4方=0,所以40=DE=&,

,,,AYa,/p./c/cAO~+AB~—B0~2+3-2

在A/8O中，由余弦定理得cos/歷1O=---------------------=----7=——產(chǎn)=——,

2AOxAB2XV2XV34

叵,故C錯(cuò)誤;

所以Z8/O為銳角，貝UsinN8/O=

4

對(duì)于D,如圖，連接NO,由A選項(xiàng)可知，△C/8、△GCB均為直角三角形,

且￡)。/8=90;NC￡B=9(y,且點(diǎn)。為的中點(diǎn)，

所以G。=。0=5。=/。=夜，

所以點(diǎn)。是三棱錐G-N8C的外接球的球心，且外接球的半徑為近,

因?yàn)閆8工ZC,所以“8C為直角三角形,

所以三棱錐G-48C的外接球的體積為：兀（五）'=成兀，與AB、ZC長(zhǎng)度無(wú)關(guān)，故D正確.

故選：BD.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：異面直線所成角的求法有幾何法和向量法：

幾何法：平移兩直線中的一條或兩條，到一個(gè)平面中，利用邊角關(guān)系，找到（或構(gòu)造）所求角所在

的三角形，求出3邊或3邊的比例關(guān)系，用余弦定理求角.

向量法：求兩直線的方向向量，求兩向量夾角的余弦，因?yàn)橹本€夾角為銳角，所以對(duì)所求的余弦取

絕對(duì)值即為直線所成角的余弦值.

11.如圖，在A8C中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為“，b,C,若sin/=sinB,且

V3（acosC+ccosA）=2hsinB,。是外一點(diǎn)，DC=2,DA=6,則下列說(shuō)法正確的是（）

C

B.若4。=2拒，則A,B,C,。四點(diǎn)共圓

C.四邊形43CQ面積最大值為106+12

D.四邊形/BCD面積最小值為10百-12

【答案】ABC

【分析】根據(jù)正弦定理，求得JJsin4=2sin3?sin5，求得sin8=且，結(jié)合sinA=sin8,可判定A正

2

確；由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，得到。=芍27r，結(jié)合余弦定理，可判定8正確；設(shè)/C=x,利用余弦定

理求得/=40-24cos。，得出S叫邊柩"s=12si"（/）-q）+10日，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，可判定C正確，D

錯(cuò)誤.

【詳解】V3(^zcosC+ccosJ)=2bsin3,所以行(sin/cosC+sinCeos4)=2sin3sin8,

即y/3sin(4+C)=>/Jsin5=2sin5.sin8,

由sinBwO,可得sinB=3,所以8=f或

233

TT

又因?yàn)閟in4=sin4,可得。=6.所以B=NC4B=ZACB=—,故A正確;

3

若四點(diǎn)A,B,C,。共圓，則四邊形對(duì)角互補(bǔ)，由A正確，可得。=學(xué)，

在A/tDC中，因?yàn)镺C=2,DA=6,

：!

所以/。=/。<?+。/2-2。。。/.（;（?等=2713,故8正確；

等邊—8C中，設(shè)ZC=x,x>0,

在AWC中，由余弦定理得NC?=4D2+C0-2/DCZ）-COS。，

由于力。=6,DC=2,Rj^fx2=62+22-2X2X6COSD=40-24COSD,

所以SWHLKAKD=S“ac+S"8=gx.吟+g.6-2sinD=￡x?+6sinD=1Isin^D-9）+10幣,

因?yàn)?。e（0,zr）,D-ge（-g,m），所以避^<sin（￡>-工）41,

33323

所以四邊形/BCD面積的最大值為12+10JL無(wú)最小值，故C正確，。錯(cuò)誤.

故選：ABC.

12.如圖，在圓錐SO中，A,B是圓。上的動(dòng)點(diǎn)，83'是圓。的直徑，M,N是S3的兩個(gè)三等分

點(diǎn)，4。8=。（0<0<兀），記二面角N-0/-8,的平面角分別為a,6，若則。

的值可能為（）

【答案】ABC

【分析】設(shè)出圓錐底面圓的半徑為，高SO,分別過(guò)點(diǎn)M,N作直線SO的平行線交08于點(diǎn)P,。，

由此作出二面角N-Q4-8,A1-/8―8的平面角，并表示出tana,tan?,由a4/?建立關(guān)系求解

即可.

【詳解】在圓錐S。中，令底面圓半徑廠=3,高SO=3〃，過(guò)點(diǎn)M,N分別作M尸〃SO,NQ//SO,

交0B于點(diǎn)P,Q,如圖所示，

因?yàn)锳M=MN=NB,所以O(shè)P=PQ=QB=l,MP=2h,NQ=h,

因?yàn)镾O,平面/O8,O4O8u平面力所以S0L04S0L08,

因?yàn)镸尸〃SO,NQ//SO,所以MP_LO4,MP_L08,NQLOA,NQVOB,

因?yàn)?408u平面力08,OAV\OB=O,所以MP_L平面Z08,N0J_平面/08,

過(guò)戶(hù)作于尸，連接因?yàn)?8'u平面408,MP_L平面/08,所以例P_L/8',

因?yàn)閣riPF=P,又尸,尸尸u平面MPF,所以/8'_L平面A/PF,

因?yàn)镸/u平面MP尸，所以/*_LA/F,所以尸尸是二面角的平面角，即乙0叮=夕,

過(guò)。作?！阓L直線。4于點(diǎn)E=W時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)0重合，當(dāng);<。<兀時(shí)，點(diǎn)E在“。的延長(zhǎng)線上）,

22

連接NE,

同理可證得匕NEQ是二面角N-OA-B的平面角，即2NEQ=a,

0o

因?yàn)?08=0(0“<7t),所以NOB'Z=^,PF=B'PsinZOB'A=4sin：,QE=OQsmAAOB=2sin6>,

_MP_2h_hNOh

在RtAMFP和RtANE。中，tan/y=7^=.Q=~~~0,tana--^=—

4sm2sin—OE2sm0

22*

顯然a,4均為銳角，由aW夕，得tanaVtan?,

〃<〃0000

所以2sin。-。.0,得sin62sin彳，所以2sin7cos；2sin二，

2sin-2222

因?yàn)閟ing>0,所以cosg：,所以0<%三，所以o<"§,

222233

所以選項(xiàng)ABC符合條件，D不符合條件，

故選：ABC

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查圓錐的性質(zhì)的應(yīng)用，考查二面角，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意利用線面

垂直的判定和性質(zhì)作出二面角，考查三角函數(shù)的應(yīng)用，考查空間想象能力和計(jì)算能力，屬于難題.

三、填空題

13.已知￡=(2,-1),6-(1,-2),修￡+可〃(機(jī)￡-3可,貝ij%=.

【答案】-6

【分析】由向量共線定理的坐標(biāo)表示，列出方程解得機(jī)的值.

【詳解】因?yàn)?=(2,—1),5=(1,-2),

所以2a+1=(5,-4),ma-3b=(2w—3,6—zn)?

(a+b)//(ma-3b)>得5(6-〃?)+4(2機(jī)-3)=0,得=

故答案為：-6.

14.對(duì)某中學(xué)高一年級(jí)學(xué)生身高(單位：cm)的調(diào)查中，采用分層隨機(jī)抽樣的方法，抽取了男生23

人,其身高的平均數(shù)為170.6,抽取了女生27人，其身高的平均數(shù)為160.6,則可估計(jì)高一年級(jí)全體

學(xué)生身高的平均數(shù)為.

【答案】165.2

【分析】根據(jù)平均數(shù)公式計(jì)算可得.

【詳解】依題意可得高一年級(jí)全體學(xué)生身高的平均數(shù)為23—766+27x160.6=[65.2.

23+27

故答案為：165.2

15.已知445C中，角A,B,C對(duì)應(yīng)的邊分別為“，b,c且方力=2而，CZ)=1,

(a-b)sinA=(c+b)(sinC-si〃B),則4+2b的最大值為.

【答案】2^3

【分析】先由正弦定理進(jìn)行角化邊,再用余弦定理求出C=60。；利用向量運(yùn)算得到/+4b2+2ab=9,

構(gòu)造基本不等式求最值.

【詳解】解:因?yàn)?a-6)s四=+

由正弦定理得,(a-b)a=(c+b)(c-b),

整理得，a2+b2-c2=ab>

由余弦定理得，COSC=1+從一

2ab2

因?yàn)?。為三角形?nèi)角，所以C=60。，

因?yàn)槎?2而，

—.—.—.—.1——?1—.—?1—?2—?

所以8=C4+40=0+528=+=+,

所以無(wú)2=-CB'+-CA+-CBCA,BPi=-a2+-/>2+-aZ)cosC,

999999

所以/+4/+2"=9,

所以，(4+2與2=/+446+4/=9+2°/^9+(^^)，

當(dāng)且僅當(dāng)a=26=后時(shí)取等號(hào)，

解得a+2642TL即最大值20.

故答案為：2百.

【點(diǎn)睛】(1)在解三角形中，選擇用正弦定理或余弦定理，可以從兩方面思考：①?gòu)念}目給出的條

件，邊角關(guān)系來(lái)選擇；②從式子結(jié)構(gòu)來(lái)選擇.

(2)求最值也是一種常見(jiàn)類(lèi)型，主要方法有兩類(lèi)，一是找到邊之間的關(guān)系，利用基本不等式求最值,

二是轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個(gè)角的函數(shù)，利用函數(shù)思想求最值.

16.在四棱錐尸-N8CZ)中，BC"AD,ADLAB,AB=2yfi,AD=6,BC=4,PA=PB=PD=46,則

三棱錐P-8C。外接球的表面積為.

【答案】80兀

【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，取/。的兩個(gè)三等分點(diǎn)O1,E,連接8D,OC，C￡,設(shè)8Z)nqC=",連

接PH,4H,可證得。|是△BCD的外接圓的圓心，且產(chǎn)”，平面設(shè)O為三棱錐P-8CD外

接球的球心，連接。過(guò)。作。尸，尸〃于點(diǎn)尸，求出外接球的半徑R,即可求得三棱錐

P-8C。外接球的表面積.

【詳解】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，取/。的兩個(gè)三等分點(diǎn)已,E,連接8￡>,OC，CE,設(shè)8OnOC=",連

接PH,AH,則=?/=￡'￡>=2,

所以5c=?。=4,

因?yàn)?C〃0Q,所以四邊形為平行四邊形，

所以AH=BH=DH=LBD=Lxdl2+36=2>5,

22

所以+22=4=0。

所以Q是△88的外接圓的圓心，O,H=-O}C=2,

因?yàn)镻A=PB=PD=46777公共邊，

所以APAH好4PBH芻/XPDH,

所以NPHA=4PHB=aPHD,

因?yàn)镹PHB+NPHD=兀，所以NPH4=NPHB=2PHD=-,

2

所以PHLBH,PHL4H,

因?yàn)?"CM"=H,BH,AHu平面彳5CD,

所以P”_L平面4BCD,且PH=ylPA2-AH2=J(4石>=6,

設(shè)。為三棱錐P-BCD外接球的球心，連接。。1,0憶。。，則。O_L平面/8CD,

過(guò)。作0尸，尸4于點(diǎn)尸，

則三棱錐尸-88外接球的半徑R滿(mǎn)足R1=。。2+42=(6-(9,<9)2+0.H2,

設(shè)。10=x,則f+16=(6-x)-+4,解得x=2,

所以及2=2?+4?=20，

所以三棱錐P-BCD外接球的表面積為4兀心=80兀，

故答案為：80兀

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查多面體外接球問(wèn)題，考查球的表面積公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根

據(jù)題意找出棱錐外接球的球心的位置，從而可求出球的半徑，考查空間想象能力和計(jì)算能力，屬于

難題.

四、解答題

17.“一切為了每位學(xué)生的發(fā)展”是新課程改革的核心理念.新高考取消文理分科，采用選科模式,

賦予了學(xué)生充分的自由選擇權(quán).新高考模式下，學(xué)生是否選擇物理為高考考試科目對(duì)大學(xué)專(zhuān)業(yè)選擇

有著非常重要的意義.某校為了解高一年級(jí)600名學(xué)生物理科目的學(xué)習(xí)情況，將他們某次物理測(cè)試

成績(jī)（滿(mǎn)分100分）按照［40,50）,［50,60）,［60,70）,［70,80）,［80,90）,［90,100］分成6組，制成如

圖所示的頻率分布直方圖.

頻率

Use

0.030

0.025

0.020

0.015

0.010

0.005

O'405060708090100分?jǐn)?shù)/分

（1）求這600名學(xué)生中物理測(cè)試成績(jī)?cè)冢?0,60）內(nèi)的頻數(shù)，并且補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖；

（2）學(xué)校建議本次物理測(cè)試成績(jī)不低于。分的學(xué)生選擇物理為高考考試科目，若學(xué)校希望高一年級(jí)恰

有65%的學(xué)生選擇物理為高考考試科目，試求。的估計(jì)值.（結(jié)果精確到0.1）

【答案】（1）頻數(shù)為90,作圖見(jiàn)解析

（2）a?66.7

【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的小矩形面積之和為1求得成績(jī)?cè)冢?0,60）內(nèi)的頻率，再求頻數(shù),

然后根據(jù)數(shù)據(jù)補(bǔ)全的頻率分布直方圖如圖；

（2）根據(jù)恰有65%的學(xué)生選擇物理為高考考試科目，先確定a所在區(qū)間，再求解.

【詳解】（1）解：由頻率分布直方圖可知，成績(jī)?cè)冢?0,60）內(nèi)的頻率為：

1-10x（0.010+0.015+0.030+0.025+0.005）=0.15,

所以這600名學(xué)生中物理成績(jī)?cè)冢?0,60）內(nèi)的頻數(shù)為600x0.15=90,

補(bǔ)全的頻率分布直方圖如圖所示：

（2）學(xué)生物理測(cè)試成績(jī)?cè)冢?0,60）的頻率為0.25<0.35,物理測(cè)試成績(jī)?cè)冢?0,70）的頻率為0.4>0.35.

故要使高一年級(jí)恰有65%的學(xué)生選擇物理為高考考試科目，則ae［60,70）,

且（”60）x0.015=0.1,

解得aa66.7.

18.記A/BC的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知當(dāng)9竺迫出=絲3

smcb+a

⑴求cos5.

（2）若點(diǎn)。在邊/C上，S.AD=2DC,BD=L,求色.

3c

【答案】⑴:；

7

【分析】（1）根據(jù)正弦定理進(jìn)行角換邊得〃=/+,2-：無(wú)，結(jié)合余弦定理即可求出cos8的值：

（2）利用轉(zhuǎn)化法得而前，兩邊同平方得第2=，2+2*夫|“><；+92,結(jié)合（1）

中整理的式子〃=a2+c2-|ac即可解出-的值.

3c

【詳解】（1）據(jù)已知條件及正弦定理得也?=與二陽(yáng)■

Cb+6f

7

整理得/=/+。2一一便,

3

2

又據(jù)余弦定理從=Q2+c，2-2accos8,則有一］QC=-2QCCOS3,因?yàn)閍c>0

I/Iijcos5=-；

3

（2）因?yàn)?D=2Z）C,

所以而=0+而=或+§就=0+］網(wǎng)_網(wǎng)=嚴(yán)+］刷

故（而）2=（；或+|■呵，

cos8+1|園之

即國(guó)2局回+1網(wǎng)園

41414

所以§/=—c2+-cax-+—a2

9939

11

整理得〃=—c2+—ca+a2

43

1212

故/+M--ac—c+-ca+a,

343'

化解得3（?-4ac=0，因?yàn)閏>0,

故3c-4a=0,

e〃3

19.1.第32屆夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)于2021年7月23日至8月8日在日本東京舉辦，某國(guó)男子乒乓

球隊(duì)為備戰(zhàn)本屆奧運(yùn)會(huì)，在某訓(xùn)練基地進(jìn)行封閉式訓(xùn)練，甲、乙兩位隊(duì)員進(jìn)行對(duì)抗賽，每局依次輪

7

流發(fā)球，連續(xù)贏2個(gè)球者獲勝，通過(guò)分析甲、乙過(guò)去對(duì)抗賽的數(shù)據(jù)知，甲發(fā)球甲贏的概率為:，乙

發(fā)球甲贏的概率為!，不同球的結(jié)果互不影響，已知某局甲先發(fā)球.

⑴求該局打4個(gè)球甲贏的概率；

(2)求該局打5個(gè)球結(jié)束的概率.

【答案】⑴：

【分析】(1)先設(shè)甲發(fā)球甲贏為事件“，乙發(fā)球甲贏為事件8,然后分析這4個(gè)球的發(fā)球者及輸贏

者，即可得到所求事件的構(gòu)成，利用相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式即可求解；

(2)先將所求事件分成甲贏與乙贏這兩個(gè)互斥事件，再分析各事件的構(gòu)成，利用互斥事件和相互獨(dú)

立事件的概率計(jì)算公式即可求得概率.

【詳解】(1)設(shè)甲發(fā)球甲贏為事件4乙發(fā)球甲贏為事件8,該局打4個(gè)球甲贏為事件C,

21

由題知，P(4)=；,P(5)=,：.C=ABAB,

347

--23211

AP(C)=P(ABAB)=P(A)P(B)P(A)P(B)=不丁1萬(wàn)，

該局打4個(gè)球甲贏的概率為《.

(2)設(shè)該局打5個(gè)球結(jié)束時(shí)甲贏為事件。，乙贏為事件E,打5個(gè)球結(jié)束為事件凡易知O,E為

互斥事件，

D=ABABAE=ABABA，F(xiàn)=DuE,

：.P(D)=P(ABABA)=P(A)P(B)P(A)P(B)P(A)

1121

x—xx—x—=-----

4-t43216

2x2.xl-L-x1-1=1

P(E)=P(ABABA)=P(A)P(B)P(A)P(B)P(A)=

344312

1119

???P(F)=P(DKJE)=尸(。)+P(E)=—+—=—

21612216

IQ

，該局打5個(gè)球結(jié)束的概率為力.

216

20.在四棱錐P—中，四邊形48C。是邊長(zhǎng)為2的菱形，ZDAB=60°fPA=PD,ZAPD=90°f

平面PAD±平面ABCD，

(1)求證：ADVPB

(2)求直線BC與平面PBD所成角的余弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

⑵紐

7

【分析】(1)先證明平面尸8E,再由線面垂直得到線線垂直；

(2)過(guò)/點(diǎn)作平面尸8。的垂線，垂足為H,運(yùn)用等體積法求出N點(diǎn)到平面尸8。的距離，解三角形

ADH即可.

【詳解】(1)取力。的中點(diǎn)E,連接尸E,BE,如下圖：

■：PA=PD,:.PELAD,又是等邊三角形，BPADLBE,

PE,BEu平面PBE,PECBE=E,;.AD^L平面PBE,PBu平面PBE,4D1PB；

(2)?：ZAPD^90°,AD=2,：.PE^\,BE=C,。工=尸。=&,：平面PZO1平面/8C。,

平面尸4)c平面18。。=4。,尸后_1/1。,，尸￡，平面/8。。，BEu平面/BCD,PELBE,

在RtAPEB中,PS=J12+(V3)2=2,

過(guò)力點(diǎn)作平面PBE的垂線，得垂足H,連接DH,

?.?867/4),r.8。與平面28。的夾角即為/。與平面玄。的夾角，設(shè)其為。，則e=N/DH,

下面用等體積法求出AH的長(zhǎng)度,

瓜在中,

SAADU-2AD-BE=7rV-ApliiJ=3-5nAtiAlJRD-PE=3—,

五,

cosZ.PBD=

2PB?BD44，

5???=-PB-BD^mNPBD=—???=-S-AH=AH=，

^rDlJ22，A-rtfU3ArPtfBUnr-AolJ~7

在Rt^AHD中sinZ.ADH=sin。=3幺=立]，cos0-；

AD77

綜上，直線8c與平面尸8。所成角的余弦值為之五.

7

21.已知銳角△48。的三個(gè)內(nèi)角滿(mǎn)足sin5sinC=(sin2B+sin2C-sin2A)tanA.

(1)求角力的大??；

(2)若“Be的外接圓的圓心是。，半徑是1,求厲?(7§+就)的取值范圍.

【答案】(l