2022-2023學(xué)年天津市四校聯(lián)考高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷及答案解析

2022-2023學(xué)年天津市四校聯(lián)考高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共9小題，共45.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.已知直線經(jīng)過點（1,0）,（4,√3）,該直線的傾斜角為（）

A.?B.-C-n—

O3j6la3

2.過直線％+y+1=0和％-2y+4=0的交點，且與直線％+2y-3=0垂直的直線方程

是（）

A.2x—y÷3=0B.2x-y+5=0C.x+2y—4=0D.2%—y-3=0

3.在四面體O-ZBC中,赤=2萬,Q是BC的中點，且M為P,Q的中點,若蘇=^OB=及

OC=c,則面=（）

11111

KTT→IT

+CQ+D+C

A.?6-6-6--3-

44

C.4五+Jb+；］D.:五+Jb+J下

264344

4.圓工?+y2-4％一4y-IO=O上的點到直線汽+y—14=0的最大距離是.（）

A.36B.8√2C.18D,6√2

5.已知正項等比數(shù)列｛αn｝首項為1,且4g，Q3,24成等差數(shù)列，則｛αn｝前6項和為（）

A.31B.l?C.§D.63

6.圓C//+V+2%+4y+1=0與圓C?:/+y?一4%-4y—1=0的位置關(guān)系為（）

A.外切B.相交C.相離D.內(nèi)切

7.己知拋物線Q：產(chǎn)=2py（p>0）的焦點為F,雙曲線C2：捻-A=I（α>0,b>0）的離心

率為√5,F到雙曲線C2的漸近線的距離為2,則拋物線C2的方程為（）

A.X2=4√3yB.X2=8√3yC.x2=4V6yD.x2=8√6y

8.已知空間內(nèi)三點/（1,1,2）,8（-1,2,0）,C（0,3,1）,則點4到直線BC的距離是（）

A.√6B.1C.摯D.學(xué)

33

9.已知橢圓1+當(dāng)=l（a>b>0）,4、B為橢圓左右頂點，F(xiàn)為左焦點，點P為橢圓上一點，

且PFIX軸，過點A的直線與線段PF交于M點，與y軸交于E點，若直線BM交y軸于“點，H點、

為OE線段上靠近。點的三等分點，則橢圓的離心率方（）

A.IB.?C.7D.?

3342

二、填空題(本大題共6小題，共30.0分)

10.已知向量益=(L-3,2),?=(1,1,0).則向量方+23=—.

11.過點4(1,a)作圓C：%2+y2=4的切線方程，則切線方程為.

12.當(dāng)點P在圓/+V=1上運動時，連接點P與定點Q(4,0),則線段PQ的中點M的軌跡方

程為_.

13.已知M為拋物線y2=4χ上的動點，F(xiàn)為拋物線的焦點，點P(l,l),則IMPl+∣M用的最小

值為_.

14.己知圓。一2)2+曠2=/?2與雙曲線會，=1(。>03>0)的漸近線相切，且圓心到雙

曲線左頂點的距離為√5b,則該雙曲線的離心率是—.

15.已知數(shù)列｛arj｝的前n項和為Sn,設(shè)αn≥0,a1=0,?=&±1誓龍(n∈N*),則

Sn=-----

三、解答題(本大題共5小題，共75.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

16.(本小題14.0分)

己知圓C經(jīng)過4(2,-2),B(-4,6)兩點，且圓心C在直線y=-2x上.

(1)求圓C的方程；

⑵過點M(-5,0)的直線，與圓C相交于P、Q兩點，若IPQl=6,求直線，的方程.

17.(本小題15.0分)

若等差數(shù)列｛%l｝的前n項和為品,數(shù)列｛bn｝是各項為正的等比數(shù)列，α1=3,b1=l,b3+S3=

19,CI4—2/?2=?

(1)求數(shù)列｛an｝和｛九｝的通項公式;

(2)求數(shù)列鏟｝的前n項和加

υn

(3)若Cn=∑-^-(∏6N*)，求數(shù)列｛%｝的前律項和Mn?

an'αn+l

18.(本小題15.0分)

在如圖所示的幾何體中，四邊形4BCD是菱形，4。NM是矩形，NDLnABCD,?DAB=j^,

AD=2,AM=1,E為AB的中點.

(1)求證：AN〃平面MEC；

(2)求平面EMC與平面BMe夾角的余弦值.

(3)在線段AM上是否存在點P,使直線PE與平面MBC所成的角為若存在，求出PE的長：

若不存在，請說明理由.

19.(本小題15.0分)

已知橢圓C：≡∣+^=l(α>h>0)的左焦點尸與拋物線y2=一4χ的焦點相同，且橢圓C的離

心率為g.

(1)求橢圓C方程；

(2)直線［與橢圓有唯一的公共點M(點M在第二象限，此直線［與y軸的正半軸交于點N,直線NF

與直線OM交于點P且SAOFP=SSAOFN，求直線，的斜率.

20.(本小題16.0分)

已知Sn為數(shù)列｛an｝的前n項和，且Sn=數(shù)列｛九｝前n項和為7；,且瓦=2,bn+1=Tn+2.

(1)求｛an｝和｛.｝的通項公式；

(2)設(shè)cn=(―1嚴(yán)嗎，數(shù)列｛cn｝的前n項和為求P2n；

⑶證明：∑-(?h<∑?

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：設(shè)直線的傾斜角為α,

則又

tcmα=k=F4—二1°=4?,α∈[O,τr),

所以

α=%O,

故選：C.

求出直線的傾斜角，然后求出直線的斜率，根據(jù)角的范圍即可求解.

本題考查了求解直線的傾斜角問題，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】B

【解析】解：聯(lián)立｛rm。，解得鼠：丁,

所求直線與直線X+2y-3=0垂直，

則所求直線的斜率為4=2,

2

故所求直線方程為y—1=2(x+2),即2x—y+5=0.

故選：B.

根據(jù)已知條件，先求出直線x+y+l=0和x-2y+4=0的交點，再結(jié)合直線垂直的性質(zhì)，即可

求解.

本題主要考查直線垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】D

【解析】解:如圖,

?.?OP=2PA^???OP=∣θ7,

???Q是BC的中點，且M為P,Q的中點,

111

而

≡Z而+

--L+-1-

234

故選：。.

根據(jù)條件得出而=W羽，OM=1(0P+OQ),然后代入的=X赤+3?),而=|列并進(jìn)行向

量的數(shù)乘運算即可.

本題考查了向量數(shù)乘的幾何意義，向量加法的平行四邊形法則，向量的數(shù)乘運算，考查了計算能

力，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】B

【解析】解：由圓/+丫2一4%-4丫-10=0知圓心坐標(biāo)為(2,2),半徑為3√Σ,

則圓上的點到直線X+y—14=O的最大距離為M+114∣+3√Σ=8√2.

故選:B.

求得圓心到直線的距離可求圓/+y2-4x-4y-10=0上的點到直線X+y-14=0的最大距

離.

本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查點到直線的距離問題，屬基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】解：4c?,α3>2。4成等差數(shù)列，［2c?=4c?+2α4,

2

又正項等比數(shù)列｛α7l｝首項為1,二2q+q-l=0,解得q=；或勺=一1(舍去)，

.?_αι(l-q6)_lx[l?~?>6]_63

"6^]-q-ι-∣一32，

故選：C.

利用等差數(shù)列的性質(zhì)及等比數(shù)列的前n項和公式即可求解.

本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查等比數(shù)列的通項公式及前H項和，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

6.【答案】A

【解析】解：圓G：X2+y2+2x+4y+1=0,即(x+1)2+(y+2>=4的圓心(一1,—2),半徑

為2；

圓C2:X2+y2-4x-4y-l=0,即(X—2,+(y—2>=9的圓心(2,2),半徑為3；

圓心距為J(2+1)2+(2+2)2=5,

因為5=3+2,所以兩個圓的位置關(guān)系是外切，

故選：A.

求出兩個圓的圓心與半徑，通過圓心距與半徑的關(guān)系判斷選項即可.

本題考查圓的位置關(guān)系的判斷，求解圓的圓心與半徑，兩個圓的圓心距與半徑的關(guān)系是解題的關(guān)

鍵，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】B

【解析】解：由拋物線方程可得F(O弓)，

又雙曲線C2:/=l(α>0,匕>0)的離心率為V5,

則？=√3,

即孚=3,

al

即2=√2,

a

即雙曲線C2的漸近線方程為y=±√2x,

又產(chǎn)到雙曲線C2的漸近線的距離為2，

P

.?.J2=2

Jl+(√2)2

p=4V3>

即拋物線C2的方程為χ2=8√3y,

故選：B.

由雙曲線的性質(zhì)，結(jié)合拋物線的性質(zhì)及點到直線的距離公式求解即可.

本題考查了雙曲線的性質(zhì)，重點考查了拋物線的性質(zhì)及點到直線的距離公式，屬基礎(chǔ)題.

8.【答案】A

【解析】解：空間內(nèi)三點4(1,1,2),B(-l,2,0),C(0,3,1),?AB?=√(-2)2+I2+(-2)2=3.

因為前=(1,1,1),BΛ=(2,-1,2).

由cos"BC=薪甯=篇=M所以sin"BC=爭

所以點4到直線BC的距離d=?AB?-sin∕.ABC=3×y=√6?

故選:A.

借助于空間向量解決空間中距離問題.

本題主要考查空間中點，線，面之間的位置關(guān)系，屬于中檔題.

9.【答案】D

【解析】解：如圖，由MF〃OE,黑=好迎=2,

?OE?aIMFla+c

所以=妥，得&=2c.

故選：D.

由已知可得黑=F，幽=旦，得到a，C的關(guān)系，代入即可.

10ElaIMFla+c

考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查求橢圓的離心率，屬基礎(chǔ)題.

10.【答案】(3,-1,2)

【解析】解:向量益=(1,一3,2),/)=(1,1,0)，

貝陰+2b=(1,-3,2)+(2,2,0)=(3,-1,2).

故答案為：(3,—1,2).

根據(jù)已知條件，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運算，即可求解.

本題主要考查向量的坐標(biāo)運算，屬于基礎(chǔ)題.

11.1答案】X+V3y—4=0

【解析】解：由題意，點4(1,g)在圓上，/+y2=4的圓心C(OQ)

???的斜率為百，

???切線的斜率為-日，

???切線方程為y-陋=—?(?—1),

即X+√3y-4=0.

故答案為：X+√3y—4=0.

由題意，點4(1,75)在圓上，/+y2=4的圓心C(0,0),根據(jù)圓的切線垂直于過切點的直徑，由圓

心和4的坐標(biāo)求出CA確定直線方程的斜率，根據(jù)兩直線垂直時斜率乘積為-1,求出切線的斜率,

根據(jù)4坐標(biāo)和求出的斜率寫出切線方程即可.

本題考查學(xué)生掌握點與圓的位置關(guān)系及直線與圓的位置關(guān)系，掌握兩直線垂直時斜率所滿足的關(guān)

系，會根據(jù)一點的坐標(biāo)和直線的斜率寫出直線的方程，屬于基礎(chǔ)題.

1

-

12.【答案】(X-2)2+y24-

【解析】解：設(shè)線段PQ的中點May),又Q(4,0),

.?.PaX-4,2y),又點P在圓久2+y2=1上，

.?.(2x-4)2+(2y)2=1,

.?.(x-2)2+y2=-,

???線段PQ的中點M的軌跡方程為(X-2)2+y2=%

故答案為：(χ-2)2+y2=τ?

設(shè)線段PQ的中點M(X,y),再根據(jù)“相關(guān)點“法，即可求解.

本題考查利用“相關(guān)點”法求曲線方程，屬基礎(chǔ)題.

13.【答案】2

【解析】解：?.?拋物線y2=4x的準(zhǔn)線方程為：x=-l,又P(l,l),

P到準(zhǔn)線的距離d=1+1=2,

設(shè)M到準(zhǔn)線的距離為τn,則IMFl=m,

.?.IMPI+?MF?=?MP?+m≥d=2,

當(dāng)且僅當(dāng)直線MP垂直準(zhǔn)線時，等號成立，

???∣MP∣+∣MF∣的最小值為2,

故答案為：2.

根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)，化歸轉(zhuǎn)化思想，即可求解.

本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬基礎(chǔ)題.

14.【答案】√3

【解析】解：已知雙曲線方程為會?=l(α>O,b>O),

則雙曲線的漸近線方程為y=±^x,

22

22

又圓(X-2)+y=扭與雙曲線a-^=l(α>0,h>0)的漸近線相切,

Zb

則而用

則Ka?+爐=2>①

又圓心到雙曲線左頂點的距離為Bb，

則2+α=√3h,(2)

聯(lián)立①②可得α=l,6=6，

則C=2,

即該雙曲線的離心率是:=遍，

故答案為：√3?

由點到直線的距離公式，結(jié)合雙曲線離心率的求法求解即可.

本題考查了雙曲線的性質(zhì)，重點考查了雙曲線離心率的求法，屬基礎(chǔ)題.

15.【答案】『2彳+2_]

【解析】解：依題意，由Qrι+1為分母，可知當(dāng)π≥2時，an>0,

則將0n+ι=Sn+ι-Sn代入題干表達(dá)式，

51+5n+2

可得一V="÷,

5n+l^~5∏n

即(Sn+1—SrI)(Sn+1÷Sn÷2)=n,

化簡整理，可得(S∕+ι+2Sn+ι)—(S^+2Sn)=九，

令bn=S^+2Sn,則%+1-bn=n,

???瓦=s；+2S1=ɑ?+2a1=0,

力2_瓦=1，辦3—=2,…,bn—bnτ=九一1,

各項相加，可得勾=0+1+2+???+(n-1)=巴展2，

即需+2Sn=筆2

兩邊同時加1,可得制+2Sn+l="F+1,

即(Sn+I)?=必尹，

VSn≥Of

F=后-L

故答案為：J藝:里_1.

先根據(jù)題意將將αn+ι=Sn+1-Sn代入題干表達(dá)式，化簡整理，可得(S怎1+2Sn+1)-(S^+2Sn)=

n,再構(gòu)造數(shù)列｛%｝,令%=S∕+2Sjl,通過數(shù)列｛匕｝的遞推公式運用累加法推導(dǎo)出數(shù)列｛b｝的通

項公式，再代入垢=S^+2S”進(jìn)行推導(dǎo)即可計算出Sn的表達(dá)式.

本題主要考查由數(shù)列遞推公式推導(dǎo)出通項公式.考查了整體思想，方程思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，

累加法，等差數(shù)列求和公式的運用，以及邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運算能力，屬中檔題.

16.【答案】解：(1)48的中點M(-l,2),AB的斜率為七B=羋=一1，

-q-/

??.MN的垂直平分線的方程為y-2=X+1,即％-y+3=0,

聯(lián)立｛；=匕C。，解得｛；=2、r=d(T-2)2+(2+2)2=5,

???圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(x+l)2+(y-2)2=25;

(2)V?PQ?=6,.?.圓心到直線1的距離d=Jr2-φ)2=J≡2-(∣×6)2=4.

當(dāng)過點M(-5,0)的直線I的斜率不存在時，直線方程為X=-5,

圓心到直線距離為4,符合題意，

當(dāng)過點M(-5,0)的直線，的斜率存在時，直線方程為y=∕c(x+5),

.i+2+5k∣_.

解得k=

???直線，的方程為3x-4y+15=0,

綜上所述：直線方程為3x—4y+15=O或X=—5.

【解析】(1)求得4B的垂直平分線方程，聯(lián)立方程組可求圓心坐標(biāo)，進(jìn)而可求半徑，即可求得圓C

的方程；

(2)先求得圓心到直線/的距離，分斜率是否存在求解可得直線方程.

本題考查求圓的方程與直線方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，屬中檔題.

17.【答案】解：(1)設(shè)數(shù)列｛an｝的公差為d,數(shù)列｛bn｝的公比為q(q>O),

,

因為匕3+S3=19,a4—2b2=a2

所以瓦?q2+(?ɑ?+—y-?d)=19,ɑ?+3d—2b1q=ɑ?+d>

即q2+(3X3+簽?d)=19,3+3d-2q=3+d,

化簡得q2+3d=10,d=q,

解得d=q=2或d=q=一5(舍),

n1n1n1

所以αn=α1+(n—l)d=3+(n-l)×2=2n+l,bn=b1q~=1?2^=2~.

3572n-l2n+l

⑵Tn/+尹+/+…+產(chǎn)+廣'

IT3.5.7,?2n-l?2n+l

5〃=尹+/+/+…+尹+丁，

曲才知力￡俎IT3l212l.22n+l?,C一廣刁)2n+lL5÷2n

兩式相減倚，-Tn=7+尹+/+…+護(hù)?一斤-=3+2X-式-----廠=5-尸-

252π

所以Tn=10-(÷?

n

⑶C=anan+1=(2n+l)(2n+3)=2(2九+1^2九+3)，

所以Mn=;KAm+焉—焉)]=X9焉)=

【解析】(1)根據(jù)等差、等比數(shù)列的通項公式或前n項和公式，可得關(guān)于公差d和公比q(q＞O)的方

程組，解之，再由等差、等比數(shù)列的通項公式，即可得解；

(2)采用錯位相減法，即可得解；

(3)采用裂項求和法，即可得解.

本題考查數(shù)列的通項公式與前n項和的求法，熟練掌握等差、等比數(shù)列的通項公式，錯位相減法,

裂項求和法是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題.

18.【答案】(1)證明：以。為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則力(百,一1,0),B(√3,l,0)-C(0,2,0),E(√3,0,0),M(√3,-l,l),N(0,0,1),

所以詢=(一?/?,l,l),CE=(√3,-2,0).EM=(0,-1,1)>

設(shè)平面MEC的法向量為沅=(x,y,z),則'@=0，βp(λ^x^2y=°,

令y=a，則X=2,z=8，所以沆=(2,√5,遮)，

所以沅?麗=-26+√5+遮=0，即記1而Z，

乂ANU平面MEC,所以AN〃平面MEC.

(2)解：由(1)知，平面EMC的法向量為沅=(2,√5,√5),

同理可得，平面BMC的法向量五=(1,禽,2次)，

設(shè)平面EMC與平面BMC的夾角為。，則c°s9=[S＜訪,元＞1=磊=劇=曙

故平面EMC與平面BMC夾角的余弦值為曾

40

(3)解：設(shè)存在點P滿足9=A宿(Ae[0,1])符合題意，則P(√^,-l"),

所以而=(0,1,-A).

由(2)知，平面BMC的法向量元=(L√5,2√5),

因為直線PE與平面MBC所成的角為全

T、.?PE?n?∣√3-2√3λ∣.π√3

所以ICOs<聞，n>∣=j^i===彳,解得;I=_20,1],

√l+λ×4

若不存在點P符合題意.

【解析】(1)以。為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，寫出向量麗的坐標(biāo),求得平面MEC的法向量沆,

證明布?湎=0，即可；

(2)分別求得平面EMC與平面BMC的法向量沅，n,設(shè)平面EMC與平面BMC的夾角為仇由cos。=

∣cos<m,fι>?,得解；

(3)設(shè)存在點P滿足存=λAM{λ∈[0,1D符合題意，用含力的式子表示點P，由方程IeoS<PE,n>

I=SinE是否有解，即可得解.

本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，熟練掌握利用空間向量證明線面平行，求線面角、二面角的方法

是解題的關(guān)鍵，考查空間立體感、邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題.

19.【答案】解：(1)因為拋物線y2=一4x的焦點為(-1,0),

又因為橢圓C：盤+?=l(α>b>0)的左焦點F與拋物線f=—4X的焦點相同，且橢圓C的離心

率為5

所以c=l,e=-a=?2

所以a=2,

所以Z>2=α2—c2=3,

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1+4=L

43

(2)根據(jù)題意可得直線I的斜率存在且不為0,設(shè)直線/的方程為y=∕c%+m,m≠0,

y=kx+m

聯(lián)立/y2,得(3+4攵2)/+8∕cτnx+4根2—12=0,①

----1----—1

U3

Δ=64fc2m2-4(4fc2+3)(4m2-12)=0,則/=3+4k2,

222

-8km±J(8∕c7n)-4(3+4k)(4τn-12)4k

方程①的解=X2=

Xl2×(3+4∕C2)m

所以XM=_?

-4k2+m2_(3-m2)+m2_?

y=kx+m=k-+m=

MMmmm

因為點M是第二象限點,

f--<0

所以《2巾，解得m>0且k>0,

P>0

Im

直線OM的方程為y=—得”，

因為直線I與y軸交于點N,

所以N(0,m),

又F(-1,O),

所以直線NF的方程為y=m(x+1),

y=m(x+1)4km3τn

聯(lián)立?TX解得X=-4km+3'丫4km+3'

4km3m

所以P(-

4km+3'4km+3

因為S2k0Fp=HSAOFN，

所以yp=∣yw>

所以=

4km+37

所以∕cτn=1,

將

入23+2

m=m4fc

所以(442-1)(/+1)=0,

解得憶2=?,

4

因為Zc>0,

所以k=：.

【解析】(1)根據(jù)題意可得