全國高校自主招生數(shù)模擬試卷6

2013年全國高校自主招生數(shù)學(xué)模擬試卷十六一選擇題(共30分)1．對(duì)于每個(gè)自然數(shù)n，拋物線y=(n2+n)x2(2n+1)x+1與x軸交于An，Bn兩點(diǎn)，以|AnBn|表示該兩點(diǎn)的距離，則|A1B1|+|A2B2|++|A1992B1992|的值是()(A)eq\f(1991,1992)(B)eq\f(1992,1993)(C)eq\f(1991,1993)(D)eq\f(1993,1992)2．已知如圖的曲線是以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓的一部分，則這一曲線的方程是()(A)(x+eq\r(1－y2))(y+eq\r(1－x2))=0(B)(xeq\r(1－y2))(yeq\r(1－x2))=0(C)(x+eq\r(1－y2))(yeq\r(1－x2))=0(D)(xeq\r(1－y2))(y+eq\r(1－x2))=03．設(shè)四面體四個(gè)面的面積分別為S1，S2，S3，S4，它們的最大值為S，記λ=(eq\o(\s\up12(4),\s\do5(Σ),\s\do12(i=1))Si)/S，則λ一定滿足()(A)2<λ≤4(B)3<λ<4(C)2.5<λ≤4.5(D)3.5<λ<5.54．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別記為a，b，c(b1)，且eq\f(C,A)，eq\f(sinB,sinA)都是方程logeq\s\do6(\r(b))x=logb(4x－4)的根，則△ABC()(A)是等腰三角形，但不是直角三角形(B)是直角三角形，但不是等腰三角形(C)是等腰直角三角形(D)不是等腰三角形，也不是直角三角形5．設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，且|z1|=4，4z122z1z2+z22=0，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為()(A)8eq\r(3)(B)4eq\r(3)(C)6eq\r(3)(D)12eq\r(3)6．設(shè)f(x)是定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，且滿足下列關(guān)系f(10+x)=f(10x)，f(20x)=f(20+x)，則f(x)是(A)偶函數(shù)，又是周期函數(shù)(B)偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)(C)奇函數(shù)，又是周期函數(shù)(D)奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)二、填空題(每小題5分共30分)1．設(shè)x，y，z是實(shí)數(shù)，3x，4y，5z成等比數(shù)列，且eq\f(1,x)，eq\f(1,y)，eq\f(1,z)成等差數(shù)列，則eq\f(x,z)+eq\f(z,x)的值是______．2．在區(qū)間[0，]中，三角方程cos7x=cos5x的解的個(gè)數(shù)是______．3．從正方體的棱和各個(gè)面上的對(duì)角線中選出k條，使得其中任意兩條線段所在的直線都是異面直線，則k的最大值是_____．4．設(shè)z1，z2都是復(fù)數(shù)，且|z1|=3，|z2|=5|z1+z2|=7，則arg(eq\f(z2,z1))3的值是______．5．設(shè)數(shù)列a1，a2，，an，滿足a1=a2=1，a3=2，且對(duì)任何自然數(shù)n，都有anan+1an+21，又anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3，則a1+a2++a100的值是____．6．函數(shù)f(x)=eq\r(x4－3x2－6x+13)－eq\r(x4－x2+1)的最大值是_____．三、(20分)求證：16<eq\o(\s\up12(4),\s\do5(Σ),\s\do12(i=1))eq\f(1,\r(k))<17．四、(20分)設(shè)l，m是兩條異面直線，在l上有A，B，C三點(diǎn)，且AB=BC，過A，B，C分別作m的垂線AD，BE，CF，垂足依次是D，E，F(xiàn)，已知AD=eq\r(15)，BE=eq\f(7,2)CF=eq\r(10)，求l與m的距離．五、(20分)設(shè)n是自然數(shù)，fn(x)=eq\f(xn+1－x－n－1,x－x－1)(x0，±1)，令y=x+eq\f(1,x)．1.求證:fn+1(x)=yfn(x)fn-1(x)，(n>1)2.用數(shù)學(xué)歸納法證明：fn(x)=eq\b\lc\{(\a\ac(yn－C\a(1,n－1)yn－2+…+(－1)iC\a(i,n－i)yn－2i+…+(－1)\s\up6(\f(n,2))，(i=1，2，…，\f(n,2)，n為偶數(shù)),yn－C\a(1,n－1)yn－2+…+(－1)iC\a(i,n－i)+…+(－1)\s\up6(\f(n－1,2))C\o(\s\up9(\f(n－1,2)),\s\do9(\f(n+1,2)))y，(i=1，2，…，\f(n－1,2)，n為奇數(shù))))

2013年全國高校自主招生數(shù)學(xué)模擬試卷十六參考答案一、選擇題(每小題5分，共30分)1．對(duì)于每個(gè)自然數(shù)n，拋物線y=(n2+n)x2(2n+1)x+1與x軸交于An，Bn兩點(diǎn)，以|AnBn|表示該兩點(diǎn)的距離，則|A1B1|+|A2B2|++|A1992B1992|的值是()(A)eq\f(1991,1992)(B)eq\f(1992,1993)(C)eq\f(1991,1993)(D)eq\f(1993,1992)解：y=((n+1)x－1)(nx－1)，∴|AnBn|=eq\f(1,n)－eq\f(1,n+1)，于是|A1B1|+|A2B2|++|A1992B1992|=eq\f(1992,1993)，選B．2．已知如圖的曲線是以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓的一部分，則這一曲線的方程是()(A)(x+eq\r(1－y2))(y+eq\r(1－x2))=0(B)(xeq\r(1－y2))(yeq\r(1－x2))=0(C)(x+eq\r(1－y2))(yeq\r(1－x2))=0(D)(xeq\r(1－y2))(y+eq\r(1－x2))=0解：(xeq\r(1－y2))=0表示y軸右邊的半圓，(y+eq\r(1－x2))=0表示x軸下方的半圓，故選D．3．設(shè)四面體四個(gè)面的面積分別為S1，S2，S3，S4，它們的最大值為S，記λ=(eq\o(\s\up12(4),\s\do5(Σ),\s\do12(i=1))Si)/S，則λ一定滿足()(A)2<λ≤4(B)3<λ<4(C)2.5<λ≤4.5(D)3.5<λ<5.5解：eq\o(\s\up12(4),\s\do5(Σ),\s\do12(i=1))Si≤4S，故eq\o(\s\up12(4),\s\do5(Σ),\s\do12(i=1))Si≤4，又當(dāng)與最大面相對(duì)的頂點(diǎn)向此面無限接近時(shí)，eq\o(\s\up12(4),\s\do5(Σ),\s\do12(i=1))Si接近2S，故選A．4．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別記為a，b，c(b1)，且eq\f(C,A)，eq\f(sinB,sinA)都是方程logeq\s\do6(\r(b))x=logb(4x－4)的根，則△ABC()(A)是等腰三角形，但不是直角三角形(B)是直角三角形，但不是等腰三角形(C)是等腰直角三角形(D)不是等腰三角形，也不是直角三角形解：x2=4x－4．根為x=2．∴C=2A，B=180°－3A，sinB=2sinA．sin3A=2s3－4sin2A=2．A=30°，C=60°，B=90°．選B5．設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，且|z1|=4，4z122z1z2+z22=0，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為()(A)8eq\r(3)(B)4eq\r(3)(C)6eq\r(3)(D)12eq\r(3)解：eq\f(2z1,z2)=coseq\f(π,3)±isineq\f(π,3)．∴|z2|=8，z1、z2的夾角=60°．S=eq\f(1,2)·4·8·eq\f(\r(3),2)=8eq\r(3)．選A．6．設(shè)f(x)是定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，且滿足下列關(guān)系f(10+x)=f(10x)，f(20x)=f(20+x)，則f(x)是(A)偶函數(shù)，又是周期函數(shù)(B)偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)(C)奇函數(shù)，又是周期函數(shù)(D)奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)解：f(20－x)=f[10+(10－x)]=f[10－(10－x)]=f(x)=－f(20+x)．∴f(40+x)=f[20+(20+x)]=－f(20+x)=f(x)．∴是周期函數(shù)；∴f(－x)=f(40－x)=f(20+(20－x)=－f(20－(20－x))=－f(x)．∴是奇函數(shù)．選C．二、填空題(每小題5分共30分)1．設(shè)x，y，z是實(shí)數(shù)，3x，4y，5z成等比數(shù)列，且eq\f(1,x)，eq\f(1,y)，eq\f(1,z)成等差數(shù)列，則eq\f(x,z)+eq\f(z,x)的值是______．解：16y2=15xz，y=eq\f(2xz,x+z)，16·4x2z2=15xz(x+z)2．由xz≠0，得eq\f((x+z)2,xz)=eq\f(64,15)，eq\f(x,z)+eq\f(z,x)=eq\f(34,15)．2．在區(qū)間[0，]中，三角方程cos7x=cos5x的解的個(gè)數(shù)是．解：7x=5x+2kπ，或7x=－5x+2kπ，(k∈Z)x=kπ，x=eq\f(1,6)kπ(k∈Z)，共有7解．3．從正方體的棱和各個(gè)面上的對(duì)角線中選出k條，使得其中任意兩條線段所在的直線都是異面直線，則k的最大值是．解：正方體共有8個(gè)頂點(diǎn)，若選出的k條線兩兩異面，則不能共頂點(diǎn)，即至多可選出4條，又可以選出4條兩兩異面的線(如圖)，故所求k的最大值=4．4．設(shè)z1，z2都是復(fù)數(shù)，且|z1|=3，|z2|=5|z1+z2|=7，則arg(eq\f(z2,z1))3的值是______．解：cos∠OZ1Z3=eq\f(32+52－72,235)=－eq\f(1,2)．即∠OZ1Z3==120°，∴arg(eq\f(z2,z1))=eq\f(π,3)或eq\f(5π,3)．∴arg(eq\f(z2,z1))3=π．5．設(shè)數(shù)列a1，a2，，an，滿足a1=a2=1，a3=2，且對(duì)任何自然數(shù)n，都有anan+1an+21，又anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3，則a1+a2++a100的值是____.解：anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3，an+1an+2an+3an+4=an+1+an+2+an+3+an+4，相減，得anan+1an+2(a4－an)=an+4－an，由anan+1an+21，得an+4=an．又，anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3，a1=a2=1，a3=2，得a4=4．∴a1+a2++a100=25(1+1+2+4)=200．6．函數(shù)f(x)=eq\r(x4－3x2－6x+13)－eq\r(x4－x2+1)的最大值是_____．解：f(x)=eq\r((x2－2)2+(x－3)2)－eq\r((x2－1)2+x2)，表示點(diǎn)(x，x2)與點(diǎn)A(3，2)的距離及B(0，1)距離差的最大值．由于此二點(diǎn)在拋物線兩側(cè)，故過此二點(diǎn)的直線必與拋物線交于兩點(diǎn)．對(duì)于拋物線上任意一點(diǎn)，到此二點(diǎn)距離之差大于|AB|=eq\r(10)．即所求最小值為eq\r(10)．三、(20分)求證：16<eq\o(\s\up12(4),\s\do5(Σ),\s\do12(i=1))eq\f(1,\r(k))<17．證明：eq\f(1,\r(k))=eq\f(2,\r(k)+\r(k))<eq\f(2,\r(k－1)+\r(k))=2(eq\r(k)－eq\r(k－1))，同時(shí)eq\f(1,\r(k))>eq\f(2,\r(k+1)+\r(k))=2(eq\r(k+1)－eq\r(k))．于是得2eq\o(\s\up12(80),\s\do5(Σ),\s\do12(k=1))(eq\r(k+1)－eq\r(k))<eq\o(\s\up12(80),\s\do5(Σ),\s\do12(k=1))eq\f(1,\r(k))<1+2eq\o(\s\up12(80),\s\do5(Σ),\s\do12(k=1))(eq\r(k)－eq\r(k－1))即16<eq\o(\s\up12(80),\s\do5(Σ),\s\do12(k=1))eq\f(1,\r(k))<1+2(eq\r(80)－1)<1+2(9－1)=17．四、(20分)設(shè)l，m是兩條異面直線，在l上有A，B，C三點(diǎn)，且AB=BC，過A，B，C分別作m的垂線AD，BE，CF，垂足依次是D，E，F(xiàn)，已知AD=eq\r(15)，BE=eq\f(7,2)CF=eq\r(10)，求l與m的距離．解：過m作平面α∥l，作AP⊥α于P，AP與l確定平面β，β∩α=l，l∩m=K．作BQ⊥α，CR⊥α，垂足為Q、R，則Q、R∈l，且AP=BQ=CR=l與m的距離d．連PD、QE、RF，則由三垂線定理之逆，知PD、QE、RF都⊥m．PD=eq\r(15－d2)，QE=eq\r(\f(49,4)－d2)，RF=eq\r(10－d2)．當(dāng)D、E、F在K同側(cè)時(shí)2QE=PD+RF，eq\r(49－4d2)=eq\r(15－d2)+eq\r(10－d2)．解之得d=eq\r(6)當(dāng)D、E、F不全在K同側(cè)時(shí)2QE=PD－RF，eq\r(49－4d2)=eq\r(15－d2)－eq\r(10－d2)．無實(shí)解．∴l(xiāng)與m距離為eq\r(6)．五、(20分)設(shè)n是自然數(shù)，fn(x)=eq\f(xn+1－x－n－1,x－x－1)(x0，±1)，令y=x+eq\f(1,x)．1.求證:fn+1(x)=yfn(x)fn－1(x)，(n>1)2.用數(shù)學(xué)歸納法證明：fn(x)=eq\b\lc\{(\a\ac(yn－C\a(1,n－1)yn－2+…+(－1)iC\a(i,n－i)yn－2i+…+(－1)\s\up6(\f(n,2))，(i=1，2，…，\f(n,2)，n為偶數(shù)),yn－C\a(1,n－1)yn－2+…+(－1)iC\a(i,n－i)+…+(－1)\s\up6(\f(n－1,2))C\o(\s\up9(\f(n－1,2)),\s\do9(\f(n+1,2)))y，(i=1，2，…，\f(n－1,2)，n為奇數(shù))))證明：⑴由yfn(x)fn－1(x)=eq\f((x+eq\f(1,x))(xn+1－x－n－1)－xn+x－n,x－x－1)=eq\f(xn+2－x－n－2,x－x－1)=fn+1(x)．故證．⑵f1(x)=x+eq\f(1,x)，f2(x)=x2+1+x－2=(x+eq\f(1,x))2－1=y2－1．故命題對(duì)n=1，2成立．設(shè)對(duì)于n≤m(m≥2，m為正整數(shù))，命題成立，現(xiàn)證命題對(duì)于n=m+1成立．1．若m為偶數(shù)，則m+1為奇數(shù)．由歸納假設(shè)知，對(duì)于n=m及n=m－1，有fm(x)=ym－Ceq\a(1,m－1)ym－2+Ceq\a(2,m－2)ym－4+…+(－1)iCeq\a(i,m－i)ym－2i+…+(－1)eq\s\up8(\f(m,2))Ceq\o(\s\up8(\f(m,2)),\s\do8(m－\f(m,2)))yeq\s\up8(m－2\f(m,2))①fm－1(x)=ym－1－Ceq\a(1,m－1)ym－3+…+(－1)i－1Ceq\a(i－1,m－i)ym+1－2i+…+(－1)eq\s\up8(\f(m－2,2))·Ceq\o(\s\up8(\f(m－2,2)),\s\do8(\f(m,2)))y②∴yfm(x)－fm－1(x)=ym+1－…+(－1)i(Ceq\a(i,m－i)+Ceq\a(i－1,m－i))ym+1－2i+…+(－1)eq\s\up8(\f(m,2))(Ceq\o(\s\up8(\f(m,2)),\s\do8(m－\f(m,2)))+Ceq\o(\s\up8(\f(m,2)－1),\s\do8(m