2023年北京房山區(qū)高三一模數(shù)學(xué)試題及答案

2023北京房山高三一模

數(shù)學(xué)

第一部分(選擇題共40分)

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。

(1)已知集合A={X|-1<R<1},B={x|0WxW3},則AB=

(A)[0,1)(B)[0,1]

(C)(-1,3](D)(—1,3)

(2)在(1-馬4的展開(kāi)式中，產(chǎn)的系數(shù)是

x

(A)-8(B)8

(C)-4(D)4

(3)已知數(shù)列{4}對(duì)任意滿(mǎn)足勺+q且4=1,則%等于

(A)2(B)3

(C)4(D)5

7?

(4)“0<x<—"是"tanx<1"的

4

(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件

(C)充分必要條件(D)既不充分也不必要條件

(5)已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F，拋物線C上一點(diǎn)P到點(diǎn)尸的距離為3,則點(diǎn)尸

到原點(diǎn)的距離為

(A)2(B)3

(C)2>/2(D)2>73

(6)已知直線y+l=〃?(x-2)與圓(x—l)2+(y—l)2=9相交于M,N兩點(diǎn)，則IMNI的最小值為

(A)75(B)2A/5

(C)4(D)6

(7)已知函數(shù)/(x)同時(shí)滿(mǎn)足以下兩個(gè)條件：

①對(duì)任意實(shí)數(shù)X,都有〃制+/(x)0；

②對(duì)任意實(shí)數(shù)為，X,,當(dāng)％+工0時(shí)，都有了(女)<0.

為十々

則函數(shù)/(x)的解析式可能為

(A)/(x)：2x(B)/(x)2x

(C)/(x)-2X(D)f(x)2V

1

(8)在△ABC中，ZC=90°,AC=BC=6.P為AABC所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且PC=1,則

\PA+PB|的最大值為

(A)16(B)1()

(C)8(D)4

(9)血氧飽和度是呼吸循環(huán)的重要生理參數(shù).人體的血氧飽和度正常范圍是95%100%,當(dāng)血氧飽和度低

于90%時(shí)，需要吸氧治療.在環(huán)境模擬實(shí)驗(yàn)室的某段時(shí)間內(nèi)，可以用指數(shù)模型：S(f)=S°e的描述血氧

飽和度S")隨給氧時(shí)間f(單位：時(shí))的變化規(guī)律，其中So為初始血氧飽和度，K為參數(shù).已知

S°=60%,給氧1小時(shí)后，血氧飽和度為80%.若使得血氧飽和度達(dá)到90%,則至少還需要給氧時(shí)間

(單位：時(shí))為

(精確到0/，參考數(shù)據(jù)：In2^0.69,ln3?1.10)

(A)0.3(B)0.5

(C)0.7(D)0.9

(10)如圖，已知正方體A8CO-AMGR,則下列結(jié)論中正確的是

(A)與三條直線48,CC,,。出所成的角都相等的直線有且僅有一條——洲

(B)與三條直線A8,CC,,RA所成的角都相等的平面有且僅有一個(gè)D'i…一II

(C)到三條直線48,CC,,RA的距離都相等的點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)，且在同一“^------%

(D)到三條直線A8,CC,.RA的距離都相等的點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)，且不同在一條直線上

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。

(11)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,1),則(l+i).z=—.

(12)能夠說(shuō)明“設(shè)mb,c是任意實(shí)數(shù).若a<b<c,則ac<be”是假命題的一組整數(shù)mb,c的值依次

為一

22

(13)已知雙曲線C:￡-m=1的一條漸近線方程為y=則雙曲線C的離心率為

(14)在△ABC中，sinA=sin2A,2a=j3b,貝”NA=—；2的值為_(kāi).

c

llnxl，x>0,

(15)設(shè)函數(shù),給出下列四個(gè)結(jié)論：

x~+4x+l,x近0.

①函數(shù)/(x)的值域是R；

②Va>l,方程恰有3個(gè)實(shí)數(shù)根；

+

③3x0eR,使得/(f)—/@)=0;

④若實(shí)數(shù)%<々<工3<%4，且/(西)=/(工2)=/(x3)=/(尢4)，則(%+工2)(工3一次4)的最大值為

2

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是

三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。

(16)(本小題13分)

已知函數(shù)/(x)=sin(s+9)3>(),0<°<兀)的最小正周期為兀.

(I)求出值；

(II)再?gòu)臈l件①、條件②、條件③三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，確定了(X)的解析式.

設(shè)函數(shù)g(x)=/(x)-2sin2x,求g(x)的單調(diào)增區(qū)間.

條件①：/(%)是偶函數(shù)；

條件②：/1)圖象過(guò)點(diǎn)(二,1)；

6

條件③：/(%)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為(三,0).

注：如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答給分.

(17)(本小題14分)

如圖，四棱錐尸―A8CD的底面是矩形，底面A8CO,PD=DC=2,

AD=2>/2)M為的中點(diǎn).

(I)求證：AMJ.平面P8O；

(II)求平面ABCO與平面APM所成角的余弦值;

(III)求點(diǎn)。到平面APM的距離.

(18)(本小題13分)

某社區(qū)組織了一次公益講座，向社區(qū)居民普及垃圾分類(lèi)知識(shí).為了解講座效果，隨機(jī)抽取10位社區(qū)

居民，讓他們?cè)谥v座前和講座后分別回答一份垃圾分類(lèi)知識(shí)問(wèn)卷，這10位社區(qū)居民的講座前和講座后答

卷的正確率如下表：

\^編號(hào)1號(hào)2號(hào)3號(hào)4號(hào)5號(hào)6號(hào)7號(hào)8號(hào)9號(hào)10號(hào)

正確卜、

講座前65%60%70%100%65%75%90%85%80%60%

講座后90%85%80%95%85%85%95%100%85%90%

(I)從公益講座前的10份垃圾分類(lèi)知識(shí)答卷中隨機(jī)抽取一份，求這份答卷正確率低于80%的概率;

(II)從公益講座前、后所有正確率不低于90%的垃圾分類(lèi)知識(shí)答卷中隨機(jī)抽取3份，

3

記隨機(jī)變量X為抽中講座前答卷的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望;

(III)判斷此次公益講座的宣傳效果，并說(shuō)明你的理由.

(19)(本小題15分)

丫2?「

已知橢圓E東+方=1(4>匕>0)過(guò)點(diǎn)B(O,1),且離心率為學(xué).

(I)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(II)若直線/與橢圓E相切，過(guò)點(diǎn)”(1,0)作直線/的垂線，垂足為N,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：|0N|為定

值.

(20)(本小題15分)

已知函數(shù)/(x)=ax-(a+l)lnX--.

x

(I)當(dāng)。=0時(shí)，求曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/(I))處的切線方程；

(II)若/(x)在x=2處取得極值，求/(X)的單調(diào)區(qū)間；

(HI)求證：當(dāng)0va<l時(shí),關(guān)于x的不等式/(幻>1在區(qū)間口,e]上無(wú)解.

(21)(本小題15分)

如果數(shù)列｛%｝對(duì)任意的"cN*,a*-<>4+1-4,則稱(chēng)應(yīng)｝為“速增數(shù)列”.

(I)判斷數(shù)列｛2"｝是否為“速增數(shù)列”？說(shuō)明理由；

(H)若數(shù)列｛%｝為“速增數(shù)列”，且任意項(xiàng)q=l,a2=3,%=2023,

求正整數(shù)人的最大值；

(III)已知項(xiàng)數(shù)為2k(&M2,ZeZ)的數(shù)列也,｝是“速增數(shù)列"，且｛4｝的所有項(xiàng)的和等于若

b

cn=2",n=1,2,3,,2k,證明：c*c“]<2.

4

參考答案

一、選擇題(共10小題，每小題4分，共40分)

(1)C(2)A(3)D(4)A(5)D

(6)C(7)B(8)D(9)B(10)D

二、填空題((共5小題，每小題5分，共25分)

(11)—1+i(12)—3,—2,—1(答案不唯一)

(13)2(14)-,215)②③④

3

三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。

(16)(本小題13分)

解：(I)因?yàn)?=@=兀，所以3=2.

CO

(II)選擇條件①：

方法一：因?yàn)?(x)=sin(2x+0)是偶函數(shù)，所以/(())=±1.

所以sing=±1.

IT

因?yàn)?<e<兀，所以0=5.

jr

所以/(x)=sin(2x+y)=cos2x.

所以g(x)=/(x)-2sin2x=cos2x-(1-cos2x)

-2cos2x-l.

因?yàn)閥=cosx在[-兀+2E,2E](keZ)上單調(diào)遞增，

由一兀+2knW2xW2E(Z￡Z),

解得一]+&兀WxWE(Z:GZ).

所以g(x)的單遞增區(qū)間為-]+E，E(keZ).

方法二：因?yàn)?(x)是偶函數(shù)，所以對(duì)任意xeR,都有/(一x)=/(x),即

sin(—2x+夕)=sin(2x+0),

71

所以一2x+0=兀一(2元+夕)+2版，解得。二萬(wàn)+攵).

TT

因?yàn)?<0<兀，所以/=(以下與選擇方法一相同)

選擇條件②：

因?yàn)?(x)圖象過(guò)點(diǎn)(工，1)，所以2x四+°=2E+工(ZEZ),

662

5

TT

解得夕=/+2E(女￡2).

因?yàn)椤＃?＜兀，所以『=看,

JT

所以/(x)=sin(2x+—).

6

所以g(x)=/(x)-2sin2x

.71

=sin(2xH——)-(1-cos2x)

6

=sin2xcos—+cos2xsin—+cos2x-1

66

=V3sin（2x+-）—1.

因?yàn)閥=sinx在一］+2也卷+2版（攵EZ）上單調(diào)遞增,

由一四+2E+W工+2E（&wZ）,

232

解得一2+EWxWN+E（攵￡Z）.

1212

所以g（x）的單調(diào)增區(qū)間為+E（ZwZ）.

選擇條件③：

因?yàn)?（X）的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為（型,0）,所以2x2+e=E（A：GZ）.

1212

解得0=—2+々兀（4GZ）.

6

7T

因?yàn)?＜夕＜兀，所以e=%?.

TT

所以f（x）=sin（2x+—）.

6

（以下與選擇條件②相同）

6

(17)

(1)證明：(方法一綜合法)AM^ABCD,

：.PDLAM.

AnAR

在矩形ABC。中，—,所以

ABBM

所以NABD=ZBMA.則ZAOB^ZMBD+ZBMA=NMBD+ZABD=90°.

所以80工AM.

又BDCPD=D,

：.AM，面PBO.

（方法二坐標(biāo)法）

P。J_面ABCD,PD±AD,PD1DC

又因?yàn)榈酌鍭BC。是矩形，ADVDC,

以。為原點(diǎn)，分別以ZM,DC,DP為x,y,z軸建立平面直角坐標(biāo)系.

設(shè)3(2五,2,0),則4(2行,0,()),M(6,2,0),汽0。2)

AM=(-72,2,0)，DB=(2屈2,0)，AP=(-272,0,2)

AM-DB=0,/.AM1BD.

PD±平面ABCD,AMu平面ABCD,

：.AM1PD.

又BDCPD=D,

：.AM1,平面P8D.

(II)(方法一)由(I)可知AP=(-2A/2,0,2)>AM=(-V2,2,0).

平面ABCD的一個(gè)法向量為m=（0,0,1）.

n-AM=-s/2x+2y=0

設(shè)平面APM的法向量為〃=O，y,z）,則

n-AP=-2y/lx+2z=0

取x=V2得到n=(V2,l,2),

則平面ABCD與APM所成角的余弦值為

\m■川22J7

cos<m,n>=-j—i~i—i=r==-----

n-m1-V77

7

（方法二綜合法）

由,AM，面PBD,AM1PO,

NPOO是平面ABC。與平面所成角的平面角.

7

在矩形A8CZ）中,

在直角三角形P。。中,

：.平面ABCD與APM所成角的余弦值為cosAPOD=—=^.

PO7

（III）（方法一坐標(biāo)法）

DA=（272,0,0）.平面APM的法向量n=（、歷,1,2）.

44"

所以點(diǎn)。到平面APM的距離為4=^^=*=--

〃V77

（方法二綜合法）sinAPOD=Vl-cos2APOD=

44

點(diǎn)D到平面APM的距離為d=DO-sin/POD=?Vl-cos2ZPOD^

?3

（18）（本小題13分）

解：（I）記事件A為“從公益講座前的10份垃圾分類(lèi)知識(shí)答卷中隨機(jī)抽取一份，這份答卷正確率低于

80%”.

在公益講座之前，10份垃圾分類(lèi)知識(shí)答卷正確率低于80%的有6人，則

P（A）=-=-.

105

（II）正確率不低于90%的垃圾分類(lèi)知識(shí)答卷有7份，其中講座前的答卷有2份，X的可能取值為

0,1,2；

「3co2C2CX4ClC21

P（X=0）=N=弓；P（X=1）=中=不；尸（X=2）=,=T

X的分布列為

X012

P241

777

￡（X）=0x-+lx-+2x-=-.

7777

（HI）角度一：講座前答卷正確率的平均值

工=J-（65%+60%+70%+60%+65%+75%+90%+85%+80%+100%）=75%

8

講座后答卷正確率的平均值為

&$(90%+85%+80%+90%+85%+85%+95%+100%+85%+95%)=89%

因?yàn)橛谩炊?，公益講座后答卷正答率的平均值高于公益講座前答卷正答率的平均值，公益講座后社區(qū)

居民答題水平提高，所以公益講座有明顯的效果；

角度二：平均值變大，且講座前答卷的方差

s；=-L[(65%-75%)2+(60%-75%)2+(70%-75%)2+(60%-75%)2+(65%-75%)2+

(75%-75%)2+(90%-75%)2+(85%-75%)2+(80%-75%)2+(100%-75%)2]=1.65

同理計(jì)算講座后答卷的方差￥=0.34

因?yàn)楣嬷v座之后社區(qū)居民答題正確率的方差小，整體水平高，并且比較集中，所以公益講

座有明顯的效果；

角度三：公益講座前答題正確率最小值為60%,公益講座之后答題的正確率最小值為80%,講座前的極

差為：100%-60%=40%,講座后的極差為：100%-80%=20%,

講座后答卷正確率的變化范圍比講座前答卷正確率的變化范圍小，公益講座有效果。

(19)(本小題15分)

,b=l

cV2t—

解：(1)由己知可得，\-=—解得。=正，

a2

a2=b2+c2

所以，橢圓E的方程為三+V=i.

2-

(2)①當(dāng)切線/的斜率不存在時(shí)，直線/：》=±近，過(guò)點(diǎn)加(1，0)作直線/的垂線為y=o,即此時(shí)

N(6,0)或N(-6,0),則|ON|=JL

②當(dāng)切線/的斜率為0時(shí)，直線，：y=±l,過(guò)點(diǎn)M(l，0)作直線/的垂線為x=l,即此時(shí)N(l,l)或

QN|=0；

③當(dāng)切線/的斜率存在且不為。時(shí)，設(shè)/的方程為)=依+，〃，

y=kx+m

聯(lián)立直線/和橢圓E的方程得/,

—+V=1

2

消去y并整理，得(2后2+1b2+4而a+2,/-2=0,

因?yàn)橹本€/和橢圓E相切，

...△=16左2/一4(2-2+1)(2加-2)=0,化簡(jiǎn)并整理，得旭2=2'+1,

9

因?yàn)橹本€MN與/垂直，所以直線MN的方程為y=--(x-1),

k

\-ktn

聯(lián)立卜T-)x=

l+k21-kmk+m

,解得<,即點(diǎn)N().

k+m]+k2'1+&2

y=kx+m

y=\+k2

22222

2_(X~km)+(k+m)~_k~nr+A:+m+1_(k+l)(m+1)

1=(IZP7==(i+/)2

zn2+l2k2+2.

1+/1+二

所以，QNI=JL

綜上所述，1。〃=友為定值.

(20)(本小題15分)

解：(I)當(dāng)。=0時(shí)，f(x)=—Inx—>f'(x)=---1—-,

XXX

/(1)=—1,切點(diǎn)(1,—1).

/'(1)=0,切線斜率左=0.

所以切線方程為y=-1.

(II)因?yàn)?(x)在x=2處取得極值，所以/'(2)=0.

因?yàn)閒\x)=a--+\,

XX

所以a-四+工=0,a=~.

242

當(dāng)a=g時(shí)，/(x)在x=2處取得極小值.

小，、131%2-3尤+2(x-l)(x-2)

/⑶2C2Cx+x22/

由/'(%)=0，得兀=1，或x=：2.

f\x)與/(X)隨龍的變化情況

x(0,1)1(1)2)2(2,4-00)

/'(X)+0-0+

/(X)//

/■*)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),(2,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,2).

(HI)證明：”/(幻＞1在區(qū)間［1，e］上無(wú)解”,等價(jià)于“/(x)wl在區(qū)間口，e］上恒成立”,

等價(jià)于“f(x)在區(qū)間［1,e］上的最大值W1”.

10

a+\1(ax-l)(x-l)

f(x)=a------+—=------;------，

XX~XT

當(dāng)0＜。＜1時(shí);由/'(x)=0,得x=l,或》='.

a

①當(dāng)時(shí)，/(x)WO,函數(shù)/(x)在區(qū)間［1,e］上單調(diào)遞減.

a

所以⑴不等式/。)＞1在區(qū)間［1,e］上無(wú)解.

②當(dāng)，＜e時(shí),

a（1」）

X(一,e)

aaa

f'(x-)—0+

/（X）\極小值/

所以函數(shù)在區(qū)間［1,e］上的最大值為/⑴或/(e).

因?yàn)?(e)=ae—(a+1)—>/(e)—1=a(e—1)—2—<(e—1)—2—<0?

eee

所以/(e)<1,

又因?yàn)?所以，f(x)wl在區(qū)間［1,e］上恒成立.

綜上，當(dāng)0<。<1時(shí)，不等式/(x)>l在區(qū)間［1,e］上無(wú)解.

(21)(本小題15分)

,,+2n+lB+I

解：(I)數(shù)列｛2"｝對(duì)V”€N*,a?+2-a?+,=2-2=2,a?+i-an=2",

所以(限-J)-&*「4)=2e-2"=2">0

所以，數(shù)列｛2")為“速增數(shù)列”

(II)因?yàn)閿?shù)列｛〃“｝為“速增數(shù)列"，4=1，生=3,且a“eZ.

所以,對(duì)V”eN*,an+2-an+l>a?+l-aH,a2-a｛=2,

所以，%-%N3,a4-a3^4,,ak-ak_｝Nk.

相加得，(a?-q)+(%—a?)+(a4—a3)++(a*-a?_］)N2+3++k>

nn>(A-l)(k+2)

即為------------

所以4044^^-1)也+2).

62x65=4030,63x66=4158,所以上的最大值為63.

(Ill)

方法一：(反證法)

假設(shè)，eg,聲2.

因?yàn)樗?｝是“速增數(shù)列”，且所有項(xiàng)的和等于％,

11

所以%-2<2+2-%，"+2++%=?，

因?yàn)镃“=2"bn=log2c?,c?>0

所以log2c?+l-log2c,<log2c,l+2-log2c“M，且log2q+log2c2++log2c2kk.

k

所以因此￡1<旦<&