2022-2023學(xué)年江西省新余市高一年級下冊第二次月考數(shù)學(xué)模擬卷（含解析）

2022-2023學(xué)年江西省新余市高一下冊第二次月考數(shù)學(xué)模擬卷

(含解析)

一、單選題

1.設(shè)復(fù)數(shù)Z滿足(IT)Z=l+i,則∣z∣T在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第幾象限()

A.-B.~C.三D.四

【正確答案】D

【分析】利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求得∣zI-i,進(jìn)而判斷其對應(yīng)點(diǎn)所在象限.

【詳解】由Z=Ll=叱巫"=2?=i,故IZIT=IT在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為(1,T).

1-1(l-ι)(l+ι)2

所以Z在對應(yīng)點(diǎn)在第四象限.

故選：D.

2.設(shè)m,"是不同的直線，4,"是不同的平面，則下列命題正確的是()

A.ml,n,n//a,則掰_LaB.m/1β,βIa,則

C.加Of則加//夕D.m_La,/M-L夕，則ɑ//尸

【正確答案】D

【分析】舉例說明判斷ABC；利用線面垂直的性質(zhì)判斷D作答.

【詳解】對于A,在長方體4SC。一GA中，平面ZBC。為平面a,44，4￡分別

為直線加,〃,

顯然滿足機(jī)?L/∕ɑ,而/w∕∕α,此時機(jī)不成立，A錯誤；

對于B,在長方體Z8C。-44G2中，平面ZBCT),平面co。G分別為平面ɑ,4，44

為直線加，

顯然滿足他//月,萬，ɑ,而加//ɑ,此時機(jī)_La不成立，B錯誤；

對于C,在長方體ZBCD-N/CQI中，平面ABCD，平面CDDG分別為平面a,/3,CC1

為宜線m,

顯然滿足〃z,α,α，￡，而mu0,此時加//￡不成立，C錯誤；

對于D,因?yàn)榧?La,“?,/,由線面垂直的性質(zhì)知，a/∕β,D正確.

故選：D

3.已知問=2M若之與B的夾角為120。，則2在一G在Z上的投影向量為（）

一3τ1--

?-3-3QB?~~^aC.--aD.3Q

【正確答案】B

【分析】根據(jù)投影向量的定義，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算律求涕在々上的投影向量.

【詳解】2^—α在Q上的投影向量為I2h—a\c0s∕2?—a,6z??-≡-,

'/⑷

一一?一2

12BylCoS侈-癡）=Q叱G?α=網(wǎng)匕土,

Sl2

所以，%—Z在Z上的投影向量為2α±U-=UFW,2⑷：.￡=—」￡.

|a『⑷22

故選：B

4.設(shè)Q=-^（Sin56°-cos56°）,b=cos400cosl280+cos400cos380,

√2

c=2cos240°—1?則〃,b,C的大小關(guān)系是（）

A.a>b>cB.b>a>C

C.c>a>bD.a>c>b

【正確答案】B

【分析】運(yùn)用和角、差角公式（輔助角公式）、二倍角公式、誘導(dǎo)公式及三角函數(shù)的單調(diào)性

可比較大小.

1(Sin56'-CoS56)=Sin(56"-45)=

【詳解】因?yàn)镼=正sin11°,

b=cos50°cos128+cos400cos38°=-sin40sin380+cos40cos380=cos(40÷38°)=cos78=sin12°

c=2COS240-1=cos800=Sinlo，

因?yàn)镾inl2。>sinlf>sin10°?

所以b>a>c?

故選：B.

5.已知向量￡,B的夾角為60。，且同=,一同=1,則()

A.∣2α-?∣=lB.∣^z-2?∣=l

C.(α,Q—1)=60。D.(b,a-b^=60°

【正確答案】C

rr

【分析】對k-4=1兩邊同時平方可得W=1,由模長的計算公式代入可判斷A,B；由向

量夾角計算公式可判斷C,D.

【詳解】由同=B-BI=I可得：52+62-2∣5∣?∣?∣COS60O=1+∣6∣2-∣?∣=1,

可得：W=l,a?b-∣a∣?∣6∣?cos60o=?,

對于A,恢一可=出請+1—4>Z=J4+1—2=6,故A不正確；

對于B,B—2同=J司2+4麻—4晨B=JiTZ≡I=6,故B不正確；

對于c,歸一可=乖廣+w.—好B=疝匚γ=ι,

_a-(a-b?l-?

?

cos5,3-Z)=-∏----4=——-a,a-h?e[θ,π],

∣5∣?α-δ1×12

故（α,α-弓=60°,故C正確;

對于D,cosb,a-b-Lτ-τ--?=———=」，—B)e[θ,τt],

?lb?]a-h?I×l2

b,a-b=12Qo,故D不正確.

故選：C.

6.上、下底面均為等邊三角形的三棱臺的所有頂點(diǎn)都在同一球面上，若三棱臺的高為百,

上、下底面邊長分別為石，2√3.則該球的體積為()

32兀32j^7uI__

A.——B.7C.46兀D.36π

327

【正確答案】A

【分析】設(shè)三棱臺為Z8C-/4G,其中―8C是下底面，AG是上底面，點(diǎn)。，O1

分別為"BC,△4AG的中心，證明點(diǎn)。就是幾何體的外接球的球心，即得解.

【詳解】設(shè)三棱臺為Z8C-44G,其中是下底面，呂G是上底面，點(diǎn)。，°1

分別為端BC,BlCl的中心，

則Oq=√J,04=∣^(2√3)2-(√3)2=2,同理。/=1,

所以=J(Oa)2+(O/)2=J(6『+]2=2,同理=OG=2.

所以O(shè)A=OB=OB=OAλ—OB】=OC1=2.

所以點(diǎn)。就是幾何體的外接球的球心.

所以球半徑R=ON=2,

「「，、，心3上4兀/?’32兀

所以體積為-----=——.

33

故選：A

C所對的邊分別為a,b,C,若。2=。(a+6)，則Sin/的取

值范圍是()

c

AY(磬)D.

(θ,?)

【正確答案】C

【分析】根據(jù)余弦定理和正弦定理化簡得C=2/,再求出A的范圍即可.

【詳解】由。2=。(〃+6)，得c?=a?+ab，由余弦定理得，=/+〃-勿bcosC,

?β?a2-^rah=O2+〃-2Q6COSC,即b=α+24CoSC，

由正弦定理得sin4+2sin∕COSC=Sinj5,

8=兀一(√4+C),

.*.sinJ+2sinAcosC=SinB=Sin力?cosC÷cosZSinC,

即SinZ=Sin(C-Z).

22,

Vc=a+ab，,CS..C-A>O,

ππ

又AABC為銳角二角形，.?.0<∕l<—,0<C—A<一,

22

：.A=C-A,解得C=2∕,

XO<∕f<-,0<5=π-3J<-,0<C=2A<~,

222

π,π

?*.—</<一，

8.在中,角4B,C所對邊分別記為α,b,C若b=2a,C=2,則-46C面積

的最大值是（)

42

A.√2B.2C.一D.一

33

【正確答案】C

【分析】由余弦定理及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求cosC與SinC,故

—9(T256

:+丁，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

4

【詳解】由余弦定理可得CoSC=""二Ja2+Aa2-45a2-4

Iab4α2402

2

"5a2-V

所以SinC=Jl-

、4/,

a+b>c3a>2C2、

因?yàn)閎=2α,c=2,所以〈,,即〈,解得ci∈—,2,

b-a<ca<2??)

?、2

所以S=JabsinC=/Jl-5八4

41,

25。4-40/+16i+等

16

16

,220利4時、,

當(dāng)?shù)V=——∈T_4-

9

43

故選：C.

二、多選題

9.下列命題正確的是（）

A.設(shè)A,B是非零向量，則"同=同W

B.若Z],Z2是復(fù)數(shù)，則∣Z],卜㈤憶]

C設(shè)肩B是非零向量,若B+,=B—可，則鼠B=O

D.設(shè)Z∣,Z2是復(fù)數(shù)，若∣z∣+Z2∣=%-Z2∣,則Z∣?Z2=0

【正確答案】BC

【分析】根據(jù)向量數(shù)量積公式，判斷AC；根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)模的公式，判斷

BD.

【詳解】A.設(shè)肩B是非零向量,則"回=|司例cos@M只有當(dāng)1/店時JCOS他研=1,

"可=同何，其他情況不相等，故A錯誤；

B.設(shè)Z]=α+b?,a,beR,z2=c+di,GdeR,

,

z1z2=(α+6i)(c+di)=(αc-bd)+(αd+bc)i,

22222222

∣z1z2∣=∕ac-bd)2+(ad+6c『=?jac+bd+ad+bc

=M+b2M+/),

2222

∣zlI∣z21=√a+6√c+√.所以匕聞二㈤㈤，故B正確；

C.設(shè)萬,B是非零向量，若B+,=B-可，兩邊平方后得心月=0,故C正確;

D.設(shè)Z]=α+6i,α,beR,z2=c+di,c,deR,

Z1+Z2=(α+c)+(6+d)i,z1-z2=(α-c)+(∕>-t∕)i,

Izl+z2∣=J(α+Cy+(b+d)->∣z1-Z2HJ(-_C)"+(b-d)一，

若N+Z2H4-Z2∣,則“c+bd=0,

XZIZ2=(ac-M)+(ac/+?c)i,不能推出ZR?=。，故D錯誤.

故選：BC

10.若函數(shù)f(X)=sin1X+cos4x，則()

π

A.函數(shù)/(x)的一條對稱軸為x=—

4

B.函數(shù)/U)的一個對稱中心為(：,()]

Tt

C.函數(shù)/(X)的最小正周期為一

2

'3'

D.若函數(shù)g(x)=8/(X)--,則g(χ)的最大值為2

【正確答案】ACD

13

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的同角關(guān)系和二倍角的正、余弦公式化簡可得/(x)=gcos4x+=,

結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)依次判斷選項(xiàng)即可.

【詳解】由題意得，

f(x)=sin4%+cos4X=(sin2%+cos2x)-2sin2xcos2x=i-?sin22x=-cosAx+—.

I,244

A：當(dāng)IX=]兀時t，/r(X()?=-?COS?^Λ4×??-JI+-?=-1,又「/(八X/)m、in=51，

π

所以X=—是函數(shù)/(x)的一條對稱軸，故A正確；

4

B：由選項(xiàng)A分析可知/(：)=；,所以點(diǎn)(：,())不是函數(shù)/(x)的對稱點(diǎn)，故B錯誤；

2兀兀π

C：由T=——=—,知函數(shù)/(X)的最小正周期為一，故C正確；

422

^3^

D：g(x)=8/(x)--=2COS4x,所以g(x)max=2,故D正確.

故選：ACD.

11.如圖，&46C的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為α,b,c,若a=b,且

√3(acosC+ccosA)=2hsinB,。是一8C外一點(diǎn)，OC=I,。/=3,則下列說法正

確的是()

C

D

Av--------------------'B

A.??IBC是等邊三角形

B.若AC=25則力，B,C,D四點(diǎn)共圓

C.四邊形RBCO面積最小值為辿—3

2

D.四邊形488面積最大值為85+3

2

【正確答案】AD

【分析】利用三角函數(shù)恒等變換化簡已知等式可求sin6,再利用α=b,可知A∕6C是等

邊三角形，從而判斷A；利用四點(diǎn)共圓，四邊形對角互補(bǔ)，從而判斷B；由余弦定理可得

JC2=10-6cosdz.利用三角形面積公式，三角函數(shù)恒等變換可求四邊形的面積，

由正弦函數(shù)的性質(zhì)求出最值，判斷CD.

【詳解】解：已知J5(αcosC+ccosZ)=2bsin6,

由正弦定理得，?/?(sinAcosC+sinCcosA)=2sin6sin8，

即石5出(4+(7)=25足28,因?yàn)镾in(N+Q=sin3≠0,

所以SinB=也，又8e(0,兀)，且α=6,所以B=J

23

所以-8C是等邊三角形，A選項(xiàng)正確；

在A∕C0中，由余弦定理得，COgd-+JO))=1,則0/2工，

‘''2×3×133

即8+D≠π,所以“，B,C,。四點(diǎn)不共圓，B選項(xiàng)錯誤；

設(shè)N∕OC=α,0<α<π,由余弦定理得：

AC2=AD2+CD2-2AD?CDcosa=32+I2—2×3×l×cosa=10—6COSa，

所以四邊形488面積，S=Svadc+Svabc=∣sina+?^-(lθ-6cosa)

5√3Jl.√35√3?.fπ?

h即πSc=------1-3—sin(X-----coscc-------F3sina—,

2122J2I3)

Jrit2π

因?yàn)镺<α<τι,所以—<?！?lt;—,

333

所以當(dāng)a—乙=色，即a=0時，S取得最大值型§+3,無最小值，

3232

C選項(xiàng)不正確，D選項(xiàng)正確；

故選：AD.

12.如圖，在矩形/EFC中，AE=2yf3，EF=4,B為EF中點(diǎn),現(xiàn)分別沿/8、BC將MBE、

△8CE翻折，使點(diǎn)E、產(chǎn)重合，記為點(diǎn)尸，翻折后得到三棱錐R/BC,則()

A.三棱錐P-ABC的體積為逑B.直線以與直線8C所成角的余弦值

3

為亞

6

C.直線RI與平面PBC所成角的正弦值為1D.三棱錐P-ZBC外接球的半徑為

3

√22

F

【正確答案】BD

【分析】證明3尸，平面刃C，再根據(jù)/T8C=%./MC即可判斷A;先利用余弦定理求出

cosZJPC,將心用定,而表示，利用向量法求解即可判斷B；利用等體積法求出點(diǎn)A到

平面PBC的距離d,再根據(jù)直線PA與平面PBC所成角的正弦值為—即可判斷C；利用

PA

正弦定理求出的外接圓的半徑，再利用勾股定理求出外接球的半徑即可判斷D.

【詳解】由題意可得8P，/P,8P_LCP,

又APCCP=P,AP,CP=P,AP,CPu平面P4C,

所以8尸，平面P4C，

在AHC中，PA=PC=2√3.NC邊上的高為2?=2√Σ，

所以FPTBC=%-p/c=；xgx4x2j^x2=與色，故A錯誤；

12+12-161

對于B,在△/%C中，COSZAPC=226［框=§,

8C=J12+4=4

c°s向刷方反砌定一刀）刀屁-莎.麗

*BCA-2√J×4^藤

2y∣3×2y∣3×^6

8√36

所以直線處與直線BC所成角的余弦值為巨，故B正確；

6

對于C,SΔPBC=^PB-PC=2y∕3,

設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為d,

由/-PAC~A-PBC,得gx2JGa=~~,解得d=上，,

4√6

所以直線PA與平面PBC所成角的正弦值為色=?=2>/2,故C錯誤;

~PA~^5~~V

??5

由B選項(xiàng)知，CoSNZPC=—，則SinNNP。=士一，

33

?AC3

所以的外接圓的半徑r=7?.//=F，

2sinZAPC√2

設(shè)三棱錐P-ABC外接球的半徑為R,

又因?yàn)锽P_L平面K4C，

則=/+1_1尸6]=2+1=11,所以H=叵，

UJ222

即三棱錐P-NBC外接球的半徑為叵，故D正確.

2

故選：BD.

三、填空題

13.若χ=l+J3i是關(guān)于X的實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個根，則該方程可以是.

【正確答案】χ2-2x+4=Q

【分析】得到X=I-JIi為方程的另外一個根，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出Ac的值，進(jìn)而求

出答案.

【詳解】設(shè)實(shí)系數(shù)一元二次方程為/+bx+c=。

Vχ=l+√3i是關(guān)于X的實(shí)系數(shù)一元二次方程/+6x+c=0的一個根，

/.x2=l-√3i為方程的另外一個根，

；?c=(1+-?/Ji)=I-(?/ji)=4,-6=(1+V^i)+(1-?/ji)=2,

；?c=4,b=—29

，該方程可以是％2一21+4=0

故χ2-2χ+4=0

14.如圖，正方體ZBCD-44GA的棱長為2,E是側(cè)棱44的中點(diǎn)，則平面BCE截正

方體ABCD-AlBGDl所得的截面圖形的周長是.

【正確答案】3√2+2√5

【分析】/為中點(diǎn)，則截面圖形為梯形片CE￡,利用勾股定理求各邊的長，可得周長.

【詳解】尸為ZD中點(diǎn)，連接EEFC,4。，

正方體中，ABJIDC,ABi=DC,則四邊形Z/C。為平行四邊形,

有A?D∕∕BQ,AxD=ByC,

b為中點(diǎn)，E是44∣的中點(diǎn)，則防〃ZQ,得EF∕∕B∣C,

則平面AeE截正方體ZBC。-4/CQl所得的截面圖形為梯形瑪CFE,

其中用C=√^=2√LEE=VTTT=VLCF=51F=√4+T=√5,

則梯形BCFE的周長為3√2+2√5,即所得的截面圖形的周長是3√2+2√5

故3√Σ+2√?,

15.已知AN8C的內(nèi)角4民。對應(yīng)的邊分別是a,b,c,內(nèi)角A的角平分線交邊8C于。點(diǎn),

且/。=4.若（2人+<?）（：05月+。。0$。=O,則-8C面積的最小值是.

【正確答案】16√3

2π

【分析】利用正弦定理及兩角和正弦公式可得4=-,然后利用三角形面積公式及基本不

3

等式即得.

【詳解】V(26+c)cosA+acosC=0,

.*.2sinBcos+sinCcos力+sin/cosC=0,

即2sin5cos4+sin(C+/)=2sinBcosN+SinB=0,

又5∈(0,π),sinB>0,

.?.2cos4+l=O,即cos4=-；，又4w(θ,ττ),

,2π

.*?A——，

3

由題口J知S“BC=S&ABD+SAACD,4D=4,

]?IT1JT1JT

所以一besin——=—×4csin—+—×4Z?sin—,即bc=4(b+c],

232323

又兒=4(6+c)≥8癡，即bc≥64,當(dāng)且僅當(dāng)力=C取等號，

所以SABC=LbCSin空≥'x64x-=le?/?>

“He2322

即AN6C面積的最小值是166.

故166

16.已知向量)，B滿足口=M=2,且Z?B=∣,若向量"滿足p+2Z+3.=3,則/的

取值范圍為.

【正確答案】[V萬一3,J而+3]

【分析】將Z?+2l+3B和垢+35看作兩個向量，由向量減法的幾何意義求解即可.

【詳解】設(shè)向量=c,+2α+3否，n=2a+3>b>則C=加一〃，

由己知，|加|=k+2。+3可=3,

.?.∣3—?dú)v卜同≤3+J76,即歷一3斗卜9+3,

當(dāng)且僅當(dāng)前與［方向相同時，卜I=J而一3,何與3方向相反時，卜I=J而+3.

???(的取值范圍為[9-3,√70+3].

故答案為.^VTO—3,?x∕τo+3^j

四、解答題

17.已知銳角-3C的內(nèi)角/，B,C所對的邊分別為α,h,c,向量成=(Sine',cosC),

元=(2SinZ-CoS8,-Sin8),且應(yīng)1.五.

(1)求角C的值：

(2)若4=2,求-46。周長的取值范圍.

π

【正確答案】(1)C=一

6

(2)(3+√3,2+2√3)

【分析】(1)利用向量垂直的坐標(biāo)表示得2sinCsin/-(SinCCoSB+cosCsinB)=O,應(yīng)

用正余弦定理的邊角關(guān)系化簡，結(jié)合銳角三角形求角G

[TTTT?

(2)法一：將AC用A的三角函數(shù)表示出來，結(jié)合Ne,J求周長范圍；法二：首先得

到be，華)，再用6表示周長，利用函數(shù)的單調(diào)性求范圍.

【小問1詳解】

m`n-sinC(2sinA-cosB)-cosCSinB=

2sinCSin/—(sinCcosB+cosCSinB)=O,

(法一)2αsinC-(CCOS8+6CoSC)=0,cosB=a+6~b>cosC=a-6

2ac2ab

1π

.?.2asinC—α=0,則SinC=―,又一48C為銳角三角形，故C=一.

26

(法二)則2sinCsin力一Sin(C+8)=2SinCSin力一SinZ=0,sin/H0，

1π

ΛSinC=-,且“8C為銳角三角形，故C=—.

26

【小問2詳解】

.2sin一兀一Zr-,λasmC1

,Qsin8(6)CoSZ+√3sιnZ∕τCoS4,c---------=------

h=-；-----=--------；----------=--------；-----------=√3+------sinAsinA

SinZsin/sinAsin/

由于為銳角三角形，則〃π且0<C=決一/<工，解得Neππ

<2J62^3,2

cosA

(法一)周長/=Q+6+C=2+6+------

sin∕

?2/

ZCOS—]

2+VJH-----------2=2+@~\--------

A.AA

2cos-sιn-tan-

222

Z~^∈(1,?Q),故ΔJBC的周長/的取值范圍為(3+G,2+2√i)?

an2

(法二)由上b∈√3,，由余弦定理得C=y∣a2+h2-2abcosC=√(?-√3)2+l，

周長∕=a+b+c=J(b-G)2+l+b+2,

C

記f(b)=7(6-√3)2+l+b+2'則/3)在√3,單調(diào)遞增,

，入48。的周長/的取值范圍為(3+6,2+26).

18.已知四棱錐P—49CD中，底面NBCD為直角梯形，PAABCD,AD//BC,

ABVAD,PA=AD=4BA=BC=2,M為PZ中點(diǎn)，過C,D,M的平面截四棱

錐尸一ABCD所得的截面為a.

(1)若Q與棱P8交于點(diǎn)尸，畫出截面口,保留作圖痕跡(不用說明理由)，并證明一=3.

FB

(2)求多面體4SC0A〃'的體積.

【正確答案】(1)答案見解析

40

(2)

^9^

【分析】（1）延長。Cc4B=E,連接ME交P8于尸，連接尸C,可得截面&；過M作

PB

MN〃AB交PB千N,通過證明△朋Nb?AE3R,可得——=3；

FB

（2）由（1）可得UABCDMF=卜￡--如D-VE-FBC，后由題目條件可得答案.

【小問1詳解】

延長OCcNB=E,連接朋E交尸8于R,連接尸C,如圖，四邊形MEC。為截面

BCj

V4DE中,BC//AD,由——=一,則。為。E中點(diǎn)，B為NE中點(diǎn).

AD2

過M作MN〃AB交PB于N,則MV=LZ8=1.

2

FNMN11

:.AMNFfEBF—=——=-..?.BF^2NF,即=-6尸.

BFBE23

【小問2詳解】

^ABCDMF=-E-MAD-VE-FBC-

由題意及(1)可得,AD=4,AM=-AP=2,AE=2AB=4.

2

則/L=LS.nu?AE^---AD-AM-AE^-×4×2×4^-i

八.L-MADCΔAΩMCR/?

3?ZOJ

又可得BE，6C,8E=NB=BC=2,點(diǎn)F到平面BEC距離為=4,

3

則/me=腺BEC=~S--PA=--BEBC-PA=-×-×2×2×A=~.

八.L-ΓDCΓ-DEL34Bb匕eLc392929

__40

則VABCDMF~VE-MAD-VE-FBC=~7Γ?

C

E

19.如圖，在“8C中，。是線段BC上的點(diǎn)，且。C=IBD，。是線段AD的中點(diǎn)延長BO

交ZC于E點(diǎn)，設(shè)就=X益+〃％.

（1）求4+〃的值；

（2）若A∕8C為邊長等于2的正三角形，求赤?前的值.

【正確答案】（1）--

2

【分析】（1）根據(jù)圖形，利用向量的線性運(yùn)算，化簡求值：

（2）法一，根據(jù)平面向量基本定理的推論，確定％=4衣，再以向量2瓦就為基底，表

示向量礪，利用數(shù)量積公式，即可求解；法二，首先設(shè)就=f亞，以向量五瓦刀為基

底，表示的與詼，利用向量平行求/，再利用數(shù)量積公式求赤.前1的值.

【小問1詳解】

因?yàn)?。為〃。的中點(diǎn)，~DC=2BD^

J?BA+AO=BA+-AD

2

__I(2__.1、

=~BA+——AB+-AC

2(33J

2—1-.

=——AB+-AC

36

——___211

又8。=446+〃/1。，故4=一^",〃=:,4+〃=一不

362

【小問2詳解】

法一,設(shè)就二，衣，因?yàn)椤榱?。的中點(diǎn)，DC=2BD^

：.^d^-7b=-(AB+~BD}=-7B+-~BC=-^B+-(AC-^B')=-'AB+-^C

22262636

1—.t—?

^-AB+-AE

36

,：B,O,E三點(diǎn)共線，所以,+工=1,得/=4

36

故醞=瓶-而」就-f??+?!?招=-??+，撫

4(36J312

因?yàn)閊ABC為邊長為2的正三角形

故無衣=(-，荔+，衣]?前=，雨衣+，山.麗

L312J312

I..Tr1，.兀

=-∣S^∣?∣BC∣cosy+-∣C4∣?∣C5∣cosy

1711-15

=-×2^×-+—×2^×-=-

321226

(法二)設(shè)衣=/近

———一■1—.1—1--1(2—1—Λ

OE=AE-AO=-AC一一AD=-ACAB+-AC

t2t2U3)

=-?+∣l-lV

36）

——2—1—■一

又由（1）知8。=一一/8+—/CB。與赤為非零的共線向量.

36

麗與無為非零的共線向量，所以、?6=T^,得/=4

6^3

—1—1-.

.?.OE=——AB+—AC

312

因?yàn)椤癇C為邊長為2的正三角形

故無灰=（一，而+，元］屈=1加.冊+-5-9.瓦

<312J312

1,----7[1..7[

=-?BA???BC?cos-+-?CA???CB?cos-

20.如圖，在直三棱柱4δC-44C］中，NZBC=90°,。為CG的中點(diǎn)，E為AB上一

點(diǎn)，且2ZE=8E?

(1)證明：/￡>〃平面8]CE；

(2)若Z8=44∣=6，BC=3,求點(diǎn)。到平面ACE的距離.

【正確答案】(1)證明見解析；

⑵叵

29

【分析】(1)如圖，連接BD交BC于點(diǎn)F,連接ER,證明E/〃Z0,原題即得證；

(2)由題知點(diǎn)。到平面片CE的距離等于點(diǎn)B到平面8∣CE的距離的一半，過B作

BGLCE,垂足為G,連接用G,過B作8〃_LBIG,垂足為“，先證明BH，平面BlCE,

即線段BH為點(diǎn)B到平面BiCE的距離，再求出BH即得解.

【小問1詳解】

如圖，連接8。交4。于點(diǎn)/，連接EE,

因?yàn)樗倪呅螢榫匦危?。為CG的中點(diǎn)，所以2匕=毀=2,

DFCD

BFBE

又因?yàn)锽E—IAE?所以---=----=2,所以EF//AD，

DFAE

因?yàn)镋EU平面gCE，∕0<Z平面3∣CE,所以Z。//平面々CE.

【小問2詳解】

由題知點(diǎn)D到平面BlCE的距離等于點(diǎn)5到平面BlCE的距離的一半，

過5作BG_LCE,垂足為G,連接8。，過5作8"L8∣G,垂足為“，

因?yàn)槠矫鎆8C,CEU平面ZBC,所以381_LCE,

又因?yàn)锽GrI88∣=3,BGu平面33∣G,BBlU平面BB】G,

所以CEL平面83。，

因?yàn)?"u平面BBQ,所以CELB”.

又CE,B]Gu平面BQE,CEnBlG=G,

所以64，平面BlCE,即線段BH為點(diǎn)B到平面BlCE的距離.

因?yàn)?8C=90°,BE*AB=4,BC=3,所以CE=NBE?+BC?=5,

由幾何關(guān)系可知BGCE