新教材同步系列2024春高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步8.6空間直線平面的垂直8.6.3平面與平面垂直第1課時平面與平面垂直的判定定理課件新人教A版必修第二冊

第八章立體幾何初步8.6空間直線、平面的垂直8.6.3平面與平面垂直第1課時平面與平面垂直的判定定理學(xué)習目標素養(yǎng)要求1．理解二面角的有關(guān)概念，會求簡單的二面角的大小直觀想象、數(shù)學(xué)運算2．理解兩平面垂直的定義，掌握兩平面垂直的判定定理，會運用平面與平面垂直的判定定理證明空間位置關(guān)系的簡單命題直觀想象、邏輯推理|自學(xué)導(dǎo)引|二面角1．定義從一條直線出發(fā)的______________所組成的圖形叫做二面角(如圖)．__________叫做二面角的棱，______________叫做二面角的面．兩個半平面記法：___________，在α，β內(nèi)，分別取點P，Q時，可記作___________；當棱記為l時，可記作__________或___________．直線AB

半平面α和β

α－AB－β

P－AB－Q

α－l－β

P－l－Q

2．二面角的平面角(1)定義：在二面角α－l－β的棱l上任取一點O，如圖所示，以O(shè)為垂足，在________________分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做________________．(2)直二面角：平面角是________的二面角．(3)二面角的平面角α的取值范圍是______________．半平面α和β內(nèi)二面角的平面角直角0°≤α≤180°

【預(yù)習自測】如圖，三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，則二面角B－PA－C的大小等于__________．【答案】90°【解析】∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC．故∠BAC為二面角B－PA－C的平面角．又∵∠BAC＝90°，∴二面角B－PA－C的大小為90°．平面與平面垂直的判定1．平面與平面垂直(1)定義：如果兩個平面相交，且它們所成的二面角是__________，就說這兩個平面互相垂直．(2)畫法：記作：________．直二面角α⊥β

2．判定定理垂線

【預(yù)習自測】對于直線m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一個條件是 (

)A．m⊥n，m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β＝m，n?αC．m∥n，n⊥β，m?α

D．m∥n，m⊥α，n⊥β【答案】C【解析】因為m∥n，n⊥β，則m⊥β．又m?α，故α⊥β，所以C正確．|課堂互動|題型1二面角的計算問題如圖，四邊形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB．(1)求二面角A－PD－C的大??；(2)求二面角B－PA－C的大小．解：(1)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．又∵四邊形ABCD為正方形，∴CD⊥AD．∵PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD．又∵CD?平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD．∴二面角A－PD－C的大小為90°．(2)∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AC⊥PA．∴∠BAC為二面角B－PA－C的平面角．又∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BAC＝45°．故二面角B－PA－C的大小為45°．求二面角大小的步驟簡稱為“一作二證三求”．提醒：作平面角時，要清楚二面角的平面角的大小與頂點在棱上的位置無關(guān)，通常可根據(jù)需要，選擇特殊點作平面角的頂點．解：因為AC⊥平面BCD，BD?平面BCD，所以BD⊥AC．又因為BD⊥CD，AC∩CD＝C，所以BD⊥平面ACD．因為AD?平面ACD，所以AD⊥BD，所以∠ADC即為平面ABD與平面BCD所成二面角的平面角．所以∠ADC＝30°．型2平面與平面垂直的判定如圖所示，在四面體A－BCS中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，且SA＝SB＝SC．求證：平面ABC⊥平面SBC．證明：(方法一，利用定義證明)因為∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，所以△ASB和△ASC是等邊三角形，則有SA＝SB＝SC＝AB＝AC．令其值為a，則△ABC和△SBC為共底邊BC的等腰三角形．(方法二，利用判定定理)因為SA＝SB＝SC，且∠BSA＝∠CSA＝60°，所以SA＝AB＝AC，所以點A在平面SBC上的射影為△SBC的外心．因為△SBC為直角三角形，所以A在△SBC上的射影D為斜邊BC的中點，所以AD⊥平面SBC．又因為AD?平面ABC，所以平面ABC⊥平面SBC．證明面面垂直常用的方法(1)定義法：即說明兩個半平面所成的二面角是直二面角．(2)判定定理法：在其中一個平面內(nèi)尋找一條直線與另一個平面垂直，即把問題轉(zhuǎn)化為線面垂直．(3)性質(zhì)法：兩個平行平面中的一個垂直于第三個平面，則另一個也垂直于此平面．證明：由題設(shè)知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1．又因為DC1?平面ACC1A1，所以DC1⊥BC．由題設(shè)知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，所以∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC．因為DC∩BC＝C，所以DC1⊥平面BDC．又因為DC1?平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC．(1)證明：由AB⊥BE，得AP⊥PE．同理可得DP⊥PE．又∵AP∩DP＝P，∴PE⊥平面PAD．又∵PE?平面PDE，∴平面PDE⊥平面PAD．(2)解：如圖，取AD的中點F，連接PF，EF，則PF⊥AD，EF⊥AD．∴∠PFE就是二面角P－AD－E的平面角．又∵PE⊥平面PAD，∴PE⊥PF．折疊問題抓住兩點折疊問題，即由平面圖形經(jīng)過折疊成為立體圖形，在立體圖形中解決有關(guān)問題．解題過程中，一定要抓住折疊前后的變量與不變量．證明：如圖所示，取CD的中點M，BE的中點N，連接A′M，A′N，MN，則MN∥BC．在四邊形BCDE中，CD⊥MN，MN∩A′M＝M，∴CD⊥平面A′MN．∴CD⊥A′N．

∴BE必與CD相交．又∵A′N⊥BE，A′N⊥CD，∴A′N⊥平面BCDE．又∵A′N?平面A′BE，∴平面A′BE⊥平面BCDE．|素養(yǎng)達成|1．求二面角大小的步驟：

簡稱為“一作、二證、三求”．2．平面與平面垂直的判定定理的應(yīng)用思路．(體現(xiàn)直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng))(1)本質(zhì)：通過證明直線與平面垂直來證明平面與平面垂直，即線面垂直?面面垂直．(2)思路：處理面面垂直問題轉(zhuǎn)化為處理線面垂直問題，進一步轉(zhuǎn)化為處理線線垂直問題來解決．1．(題型2)已知l⊥α，則過l與α垂直的平面 (

)A．有1個 B．有2個C．有無數(shù)個 D．不存在【答案】C【解析】由面面垂直的判定定理知，凡過l的平面都垂直于平面α，這樣的平面有無數(shù)個．2．(題型2)空間四邊形ABCD中，若AD⊥BC，AD⊥BD，那么有

(

)A．平面ABC⊥平面ACD B．平面ABC⊥平面ABDC．平面ABC⊥平面BCD D．平面ADC⊥平面BCD【答案】D【解析】∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，∴AD⊥平面BCD．又∵AD?平面ADC，∴平面ADC⊥平面BCD．3．(多選)(題型3)如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，將四邊形ADFE沿直線EF進行翻折，在翻折的過程中，可能成立的是 (

)A．DF⊥BCB．BD⊥FCC．平面DBF⊥平面BFCD．平面DCF⊥平面BFC【答案】BC【解析】對于A，因為BC∥AD，AD與DF相交不垂直，所以BC與DF不垂直，故A不可能成立；對于B，如圖，設(shè)點D在平面BCF上的射影為點P，當BP⊥CF時，有BD⊥FC，而AD∶BC∶AB＝2∶3∶4可使條件滿足，故B可能成立；對于C，當點P落在BF上時，DP?平面BDF，從而平面BDF⊥平面BCF，故C可能成立；對于D，因為點D的射影不可能在FC上，故D不可能成立．故選BC．4．(題型1)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD與底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值為_______．5．(題型