舊教材適用2023高考數(shù)學一輪總復習 第七章不等式第1講不等關系與不等式

第1講不等關系與不等式

------事礎知雙檎Fl

□知識梳理

1.比較兩個實數(shù)的大小

兩個實數(shù)的大小是用實數(shù)的運算性質(zhì)來定義的，有a—6>0o國力大LQOQ,="

a-KQ^a<b,另外，若b>0,則有[>l=a>6;I=Ioa=b；IIQam

--------bbb

2.不等式的性質(zhì)

(1)對稱性：畫a>∕Q∕Ka;

(2)傳遞性：回a>CA>c=a>c;

(3)可加性：a>∕x≠a÷g∣H>?+c；a>bfc>啟3a+c>6+小、

(4)可乘性：a>b,c>0=>^ac>bc↑a>b,c<0=>Bac<?c;a>Δ>0,。>少0=四ac>bd;

(5)可乘方性：a>,>0n圜a">Z∕’(∕7∈N,π≥2)；

(6)可開方性：a>6>0n回母∕7≥2).

知識拓展

1.a>bf<3?>0=>^<~

ab

2.a<0</?=>?<~.

ab

ab

3.a>6>0,(Kc<心一>7

cd

4.0<a<x<b或水x<?<0=)d<±

bXa

L什、，、八、八,bb+mbb—m.、…a、a+maa-m.,、小

5.右a>b>O,%>0,r貝ι卜<-:-；->------(?ι-z?>0)；7>T1-；-----(?-∕z∕>0).

aa-vinaa—mbb-rmbb—in

□雙基自測

1.設后f,m-x—1,則〃與N的大小關系是()

A.MyNB.QN

C.I^ND.與X有關

答案A

解析M-X+x+I=f-γ+2)+]>°，所以協(xié)山故選A.

2.(2021?天津河北區(qū)模擬)已知X,y∈R,且x>y>0,則()

A.B.sinx-siny>0

D.In%+Iny>O

答案C

解析因為函數(shù)尸◎在R上單調(diào)遞減，且x>y>0,所以（T）〈（0，即（O—?<0.

3.若水0,〃>0且/升水0,則下列不等式中成立的是（）

A.一〃<欣77<-RB.一/K冰一成）

C.水一成一水nD.勿<一/X水一/

答案D

解析（取特殊值法）令后一3,〃=2分別代入各選項檢驗，可知D正確.

4.（2022?東北育才學校高三模擬）若a,b,c∈R,a>b,則下列不等式恒成立的是（）

A.HB.a2>62

ab

C.a?c?>b?c?D.,+[Q+]

答案D

解析對于A,若名〉0>4則,〉"，故A錯誤；對于B,取a=l,b=—2,則才<況故B

ab

錯誤；對于C,若C=0,則a∣c∣=引c∣,故C錯誤；對于D,因為所以$〉0,

又a>6,所以;7*γ>號γ,故D正確.故選D.

5.已知a,b,c∈R,有以卜命題：

①若則②若，!，則水仇

③若a>6,則a?2°>6?2°.

其中正確的是（請把正確命題的序號都填上）.

答案②③

解析①若cW0,則命題不成立.②由?〈搟得寧〈0,于是水6,所以命題正確.③由

20>0知命題正確.故正確命題的序號為②③.

核心再向突破I

考向一不等式的性質(zhì)

例1(1)已知條件甲：a>0,條件乙：且］>［，則甲是乙的()

?.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

I).既不充分也不必要條件

答案B

解析由a>0不能推出且??,故甲不是乙的充分條件.若a>6且即a>b且號>0,

ababab

則aAO,所以a>0,伙0.所以由a>8且能推出a>0.故甲是乙的必要條件.所以甲是乙的

ab

必要不充分條件.

(2)若V0,則下列不等式：①②∣a∣+6>0;③a-2>6-J；@lna>

ab己十babab

Inb2中，正確的是.

答案①③

解析解法一：由L<Jvθ,可知b<aV0.①中，因為d+Zr<O,ab>Of所以一?√V0,

aba+b

2>0.故有S)V七，即①正確；②中，因為b<a<O9所以一b>—d>0.故一沅>|司，即

I+6<0,故②錯誤；③中，因為6VaV0,又V0,所以女一故③正確；④

abab

中，因為6VaV0,根據(jù)y=f在(―8,0)上為減函數(shù)，可得百>才>0,而y=lnX在定義

域(0,+8)上為增函數(shù)，所以InA2>ln3，故④錯誤.由以上分析，知①③正確.

解法二：因為?v4vθ,故可取3=—1,，=—2.顯然∣a∣+6=1—2=—1<0,所以②錯

QU

誤；因為In才=In(―l)2=0,InΔ2=In(―2)2=ln4>0,所以④錯誤；因為a+，V0,

ab>Q,所以一J7VO,；>0.故有一Lv」；，所以①正確；因為6VaV0,又V0,所以

a-vbaba-rbabab

T>H，所以③正確.

「觸類旁通.解決不等式是否成立問題常用的方法

(1)直接利用不等式的性質(zhì)逐個驗證,利用不等式的性質(zhì)判斷不等式是否成立時要特別注

意前提條件.

(2)利用特殊值法排除錯誤答案.

(3)利用函數(shù)的單調(diào)性，當直接利用不等式的性質(zhì)不能比較大小時，可以利用指數(shù)函數(shù)、

對數(shù)函數(shù)、基函數(shù)等函數(shù)的單調(diào)性進行判斷.

即時訓練L(2022?長治模擬)下列選項中，√Z>√Σ的一個充分不必要條件是()

A.~>~B.Iga>lgb

C.a>t)D.e>eb

答案B

=>

解析由函數(shù)y=lgX的單調(diào)性知Iga>lgZx=>a>力O=F>的，但MwXIga>lg6,

/

如a=l,b=0.故選B.

2.(2021?蘭州模擬)若叢伙0,給出下列不等式：①才+1>左②|1一司>|。一1|；

???

其中正確的個數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

答案D

解析因為水伙0,所以∣a∣>∣引>0,所以才>氏所以才+1>次故①正確.又因為一a>

-b>0,所以1—a>l—6>0,所以I1—a∣>∣b—1,故②正確.因為a+ZKa<Z<O,所以；>,>

a-rbab

故③正確.所以三個不等式都正確.故選D.

精準設計考向，多角度探究突破

考向二比較兩個數(shù)(式)的大小

角度1作差法

例2(1)已知求1,則f—1與2f-2X的大小關系是.

答案X-?<2X-2X

解析%—1—(2/—2%)-x~2^+2x~l-(x-x}—(f—2x+l)=f(χ-1)—(χ-1)2

2

^21(1?3

—(X—1)(%—x+1)—(?-1)f?-?j,*.*Λ<1,；.x—1<0.又(*—5J÷->0,.?.(x—

1)(Lg+∣<θ>.,?∕-l<2χ-2%.

⑵已知等比數(shù)列｛a｝中，&>0,q>0,前〃項和為S,,則§與S的大小關系為________

?慶

答案-<-

?3s

CQCCSWa(1-d)

解析當O=I時，一=3,二=5,所以—一.當(7>0且q≠l時,

?全33Qζ>a?3選a↑q(1—^)

rι

演(1—d)6(1-d)—(1-g)-(7~1所以當巨綜上可知，-<-

a↑q(1—<7)d(Lq)q

角度2作商法

例3(1)(2020?全國HI卷)已知55<8',13"<8'.設a=logs3"=logs5,c=log∣38JH()

A.水伙CB.Ka<c

C.Kc<aD.c<a<b

答案A

aIog$3Ig3、.，lg8/1[g3+lg8)_

解析'：a,b,c∈(0,n

,blogβ5Ig5Ig5(lg5)2?2)

99

Qg3+lg8、Qg2。.

-)

I21g5Jllg25Vl'：.a<b.?A=log85,得8"=5,由S<8',得8"v￡,.?.56

44

<4,可得力<?由C=IOgl38,得13'=8,由13"V8si,得13'<13",.?.5c>4,可得c>].綜

O5

上所述，a<b<c,故選A.

(2)若a>0,且HW7,則()

A.l1a<Ta

B.I1a=Va

C.l1ayTa

D.77'與T?7的大小不確定

角度3特殊值法

例4(1)若a>Z>>O,且劭=1,則下列不等式成立的是()

A.a+τ<T3<log2(e+Z?)

bZ

B.^;<log2(a+Z?)<a+^

C.a+；Qog2(d+6)<J

D乙

D.log2(a+?)<^+^<?-;

答案B

解析根據(jù)題意，令a=2,6=；進行驗證，易知a+:=4,《=!，log2(^+Z?)=log2i∈(1,

ZOZoZ

2),因此7^<log2(a+6)<a+).

乙D

⑵已知a>6,則不等式：①a?一爐》0；②ac>6c;③∣a∣>∣引；④2">2”中，不成立的

是.

答案①②③

解析①中，若a=—1,b——2,則if-IJ不成立；當C=O時，②不成立；當0>a>A

時，③不成立.④中，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知2">2"成立.

角度4中間量法

例5(1)(2022?成都模擬)已知實數(shù)a=In(Inπ),A=Inπ,c=2ln\則a,b,C

的大小關系為()

A.a<ib<cB.水c<Z?

C.從水。D.c<a<b

答案A

解析因為聯(lián)冗中，所以Inπ∈(1,2),即6∈(1,2).由Inπ∈(1,2),得a=ln

(Inπ)∈(ln1,In2),而In2<lne=l,所以a∈(0,1).由*<2∣",，得c∈(2,

4).所以a<b<ɑ故選A.

(2)若(K水伙1,則/,log?a,log,的大小關系是.

a

答案Iog］伙/Gogbd

a

解析V0<a<l,∕A1.XO<?<1,

a

?\log]A<log]l=0??*0<a<a=1,log?a>log∕,?=l,Λlog?/?a\logz,a

aaa

角度5單調(diào)性法

例6(1)(2021?安陽模擬)已知實數(shù)a,?∈(0,1),且滿足COSan〈cos8n,則下列

關系式成立的是()

A.In水InbB.sina<sinb

C.~<~D.a<Z?3

答案C

解析因為a,Δ∈(0,1),所以”，?π∈(0,π),而函數(shù)y=cosX在(0,兀)上單

調(diào)遞減，cos<cos?π,所以aB>6n,即a〉6,由函數(shù)y=lnx,y=sinx,y=f在(0,

1)上均為增函數(shù)，知只有C正確.

1nY

(2)(2022?廣西柳州模擬)若。>2>3,f(x)=-則下列各結論中正確的是()

X

A./(a)<∕(√Σ?)<√^?s^y-J

B.∕K∕Σ^)<{Wj<∕?(6)

C.《甘目Cf(a)

D./(6)

答案D

解析因為8>a>3,所以3<a<?∕兄〈笥.又/(*)~^Me當x∈(e,+8)時，〃

(x)<0,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(e,+8)上單調(diào)遞減,又3>e,則有Λ?<

故選D.

觸類旁通］

(1)作差法的步驟：①作差；②變形；③定號；④結論.

(2)作商法的步驟：①判斷兩式同號；②作商；③變形；④判斷商與1的大小關系；⑤結

論.

(3)特殊值法比較大小的思路

利用特殊值法比較不等式的大小時需要注意以下問題：選擇項兩數(shù)(式)大小是確定的，

如果出現(xiàn)兩數(shù)(式)大小由某個參數(shù)確定或大小不確定的選項，就無法通過特殊值進行檢驗；

賦值應該滿足前提條件；當一次賦值不能確定準確的選項，則可以通過二次賦值檢驗，直至

得到正確選項.

(4)中間量法比較大小的思路

利用中間量法比較不等式大小時要根據(jù)已知數(shù)、式靈活選擇中間變量，指數(shù)式比較大小,

一般選取1和指數(shù)式的底數(shù)作為中間值；對數(shù)式比較大小，一般選取0和1作為中間值，其

實質(zhì)就是根據(jù)對數(shù)函數(shù)?(?)=logaχ的單調(diào)性判斷其與Λl),f(a)的大小.

(5)①利用函數(shù)的性質(zhì)比較數(shù)、式的大小，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是問題求解的關鍵，解題

時，指數(shù)、對數(shù)、三角函數(shù)單調(diào)性的運用是解題的主要形式；

②通過對稱性、周期性，可以將比較大小的數(shù)、式轉化到同一個單調(diào)區(qū)間，有利于其大

小比較；

③導數(shù)工具的應用，拓寬了這類問題的命題形式，同時增大了解題難度，值得我們關注

和重視.

即時訓練3.(2022?西安模擬)設w=log3n,?=log2√3,c=log3√2,則()

A.si>k>>cB.a>c>b

C.b>a>cD.U>c>a

答案A

解析Va=log3π>log33=l,b=10g2?[i<1og22=1,Λa>bf又log24>0,log3-?∕2>O,

1C

h,og23

2

~=^------=(log23)>l,.?b>c9故a>b>c.故選A.

]log32

4.設。∈((),5),7ι=cos(1+α),%=cos(1—。)，則7；與①的大小關系為.

答案T(G

-

解析TiT2=(cosIcos0—sinIsin<?)—(cosIcos0+sinIsinQ)=-2SinlSin

α<0,所以方<￡

a+b

~2~

5.已知a>0,b>0,且a≠b,試比較a%'與（a。）的大小.

a+。

a~?7

解Va>0,b>0,at∕>Of(曰切>0,

.ααbb

,?一_TTb

(ah')-

若a>b>3貝哈1,a-b>0.

a-b

由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，得(W2>1；

若力a>0,則(KM1,a-KO.

a-b

由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，得2>1.

a+b

T曠2

/.----------377>1，?*?L>(a。)

a~?~b

~2~

(加

考向三不等式性質(zhì)的應用

ππ

例7(1)若角a,￡滿足一萬〈?！础辍慈f，則2。一￡的取值范圍是

答案(F3πT冗、j

,∏JI一一JIJIJlJIJIJl

解析因為一Γ<a<β<^7-所以一"r<a<—,—--<β<~,—--<—β<-Γ,而a<β,

乙乙乙乙乙乙乙乙

所以一n<α-￡<0,所以2。一￡=(。一月)+αe(一~—,~j.

(2)已知一l<x+j<4且2Q—/3,則z=2x—3y的取值范圍是(答案用區(qū)間表

示).

答案(3,8)

解析解法一：設2x—3尸4(x+y)+A(X—y)=(H+")x+(4—〃)y,

ffτ

[2+〃=2,I2

對應系數(shù)相等，貝U,解得〈

[A-p=-3,5

5

.?2χ-3y=--(x+y)+^(χ-y)∈(3,8).

a=x+y

解法二:f

b=x-y,

.,?2萬-3尸2(8^-3&^=-彳+|6￡(3,8).

觸類旁通]利用不等式的性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍

由a<f(x,y)<b,c<g(x,自<&求尸(x,力的取值范圍，可利用待定系數(shù)法解決，即設

F(x,負=mf1x,y)+ng(x,力(或其他形式)，通過恒等變形求得好〃的值，再利用不等式

的同向可加和同向同正可乘的性質(zhì)求得尸(x,y)的取值范圍.

23

即時訓練6.若實數(shù)X,y滿足3Wx/W8,4≤y≤9,則點的最大值是.

答案27

11

殳IllA

解析解法一：由3≤ΛK≤8,4≤~≤9,可知x>0,y>0,且JW-I6≤-2≤8I,

y8Λy3y

得2wWw27,故W的最大值是27.

yy

3Z)罰

解法二:設】=匕，

則χ3yT=χ2f-*

.24一切=-4,[n=-l,

又16W住)≤81,∣≤(%y)^l≤∣,

?yJoJ

Λ2≤?27,故之的最大值為27.

yy

7.己知12<a<60,15<伙36,求a—6與?1勺取值范圍.

b

解；15〈樂36,Λ-36<-?<-15,

Λ12-36<a-6<60-15,即一24Ca-?<45.

V15<ZX36,.,.?~<~<~,

??θθ.?A4

,,36615,,*3?

—和飄取值范圍分別是(-24,45),由4)

課時作業(yè)I

1.若a>6>0,c<d<O,則一定有()

A.-ΛB.

caca

C.?-D.?~

acac

答案D

解析由c<d<O=%gθ=-5>-(>O,又w>6>0,故由不等式性質(zhì)，得一夕一(>0，所以5

<-故選D.

c9

2.(2022?安徽蚌埠開學考試)已知a,a2∈(0,1),記材=&/，川=&+a-1,則〃與

N的大小關系是()

A.帳NB.M>N

C.M=ND.不確定

答案B

解析〃-A'=功&―(8+4-1)=&&—&-a+1=(囪-1)(均-1),又a?∈(0,1),改

∈(0,1),Λal-l<0,a2-l<0.Λ(a?-l)(?-l)>0,BPM-N>Qf,松A故選B.

3.如果搐b,。滿足“∕<a,且ac<0,那么下列不等式不一定成立的是()

?.ab>acB.c(b—a)>0

C.c?2<a?2D.ac{c~a)>0

答案C

解析由題意知X0,5>0,則A,B,D-*定正確，若。=0,則故選c.

4.設分力0,下列各數(shù)小于1的是（）

1

A.2~

z

D.

答案D

代入驗證，可得D選項中H<1.故選D.

解析解法一：（特殊值法）取a=2,b=?,

ab

解法二?.?a≡),.?.ai>0,?>1,0<-<l,由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，2"j>2°=l

1.故選D.

5.（2021?四川南充模擬）已知水O,-KZKO,那么下列不等式成立的是（）

A.a?ab>at)B.at)>ab>a

C.atf>a>alfD.ab>aK>a

答案D

解析由于每個式子中都有&故先比較1,b,的大小.因為一k伙0,所以從欣L

又因為水0,所以ab>alj>a.故選D.

6.設X,y∈R,則"x>y〉O”是“：>1”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案A

解析因為x>y>O,所以3>0,所以X?by」，即所以“x>y〉O”是“乙>1”的充分

yyyyy

條件；當x=-2,y=-1時?，">1,但水j<0,所以iix>y>0ff不是α->lff的必要條件.故

yy

選A.

7.(2022?武漢一中月考)若水6,(Kc,并且(C-a)(c—6)<0,{d-a)(√-6)>0,貝!∣a,

b,c,d的大小關系為（）

A.d<a<c<bB.a<d<c<b

C.a?cKb<cD.α<c<a<?

答案A

解析因為a",（c—a）（C—6）〈0,所以ad,因為（d—a）（d—6）〉0,所以水水6或

a<b<d,又因為Ka所以小a<Z?.綜上，d<a<c<b.

8.（2021?江蘇南京建鄴區(qū)中華中學模擬）若非零實數(shù)a,。滿足a〈6,則下列不等式成

立的是（）

A.^<1B.?+^>2

C.-?<^4-D.a÷a<Z?2+b

abab

答案C

解析當a=-4,2=-2時，滿足水8,A顯然不成立；當a=-4,8=2時，滿足水Z?,

11a—b11

B顯然不成立；因為一τ≡-F7=^<0,所以F<F7,C成立；a+a-t)~b=(a~ti)(a+6)

ababababab

+(a—力)=(a—b)(d+6+l)符號不確定，D不成立.故選C.

9.有下列命題：

①若d6>0,be—ad>O,則：一￡。；

②若ab>O,?∣-^>0,

則be—ad>0；

③若bc-ad>O,沁。,則ab〉O.

其中正確命題的個數(shù)是()

A.OB.1C.2D.3

答案D

解析?：ab>O,bc-ad>O,Λγ=~>0,J①正確；*∕a?>0,^-?7>O,即"。/嗎0,

abababab

Cdbc^~ad

.?bc-ad>O,?二②正確;Vbc-ad>O———?γ>0,BP---;->0,Λab>O,?\③正確?故選D.

fabab

10.(2021?長春模擬)已知X=Iog23—1Og2，5,y=log0,5π,z=0.9'則x,y,Z的

大小關系為()

A.x<∕<zB.z<y<x

C.y<z<xD.y<Λ<z

答案D

l0

解析顯然0<x=log2??∕5Gog22=l,y=log0,5π<logo,5l=O,z=0.9^'>0.9=l,所以

y<x<z,故選D.

11.下面四個條件中，使a>力成立的充要條件是（）

A.∣a∣>∣6∣B.

C.#>8D.2a>2b

答案D

解析a>b?a?>?b?,如a=2,b=~-5,故A錯誤；a>b如&=2,b=l,故

B錯誤；a>b,如a=l,?=-3,故C錯誤；?.?y