新教材蘇教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊 練習(xí) 13 分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理

13分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理

目錄

☆【題型一】分類計數(shù)原理的定義..................................................................1

☆【題型二】分類計數(shù)原理的應(yīng)用..................................................................2

☆【題型三】分步計數(shù)原理的定義..................................................................4

☆【題型四】分步計數(shù)原理的應(yīng)用..................................................................5

☆【題型五】兩個計數(shù)原理的簡單應(yīng)用..............................................................7

☆【題型一】分類計數(shù)原理的定義

【例題】某班共有男生28名、女生20名，從該班選出學(xué)生代表參加校學(xué)生代表大會.若學(xué)校分配給該班1

名代表，則有多少種不同的選法？

【答案】48

【詳解】選出1名代表有兩類方式：

第一類從男生中選出1名代表，有28種不同方法；

第二類從女生中選出1名代表，有20種不同方法.

根據(jù)分類計數(shù)原理，共有不同的選法種數(shù)是28+20=48.

答選出1名代表有48種不同的選法.

【總結(jié)】利用分類計數(shù)原理，首先搞清要完成的“一件事”是什么，其次確定一個合理的分類標(biāo)準(zhǔn)，將

完成“這件事”的方法進行分類，然后對每一類中的方法進行計數(shù)，最后由分類計數(shù)原理計算總方法數(shù).

【變式訓(xùn)練】

1.如果完成一件事，有"類方式，在第1類方式中有如種不同的方法，在第2類方式中有叱種不同的方

法……在第n類方式中有恤種不同的方法，那么完成這件事共有N=種不同的方法.

［詳解］N=mι+，"+…+加”

2.在圖中的電路中，僅合上1只開關(guān)接通電路，有多少種不同的方法?

【答案】5

【詳解】在圖中，按要求接通電路，只要在/中的2只開關(guān)或8中的3只開關(guān)中合上1只即可.

根據(jù)分類計數(shù)原理，共有2+3=5種不同的方法.

答在圖中的電路中，僅合上1只開關(guān)接通電路，有5種不同的方法.

3.從3名女同學(xué)和2名男同學(xué)中選出一人主持本班一次班會，則不同的選法種數(shù)為（）

A.6B.5

C.3D.2

【答案】B

【詳解】由分類計數(shù)原理知，共有3+2=5(種)不同的選法.

4.某同學(xué)從4本不同的科普雜志，3本不同的文摘雜志，2本不同的娛樂新聞雜志中任選一本閱讀，則不

同的選法共有()

A.24種B.9種

C.3種D.26種

【答案】B

【詳解】不同的雜志本數(shù)為4+3+2=9,從其中任選一本閱讀，共有9種選法.

☆【題型二】分類計數(shù)原理的應(yīng)用

【例題】某校高三共有三個班，各班人數(shù)如下表:

男生人數(shù)女生人數(shù)總?cè)藬?shù)

-高三⑴班302050

高三(2)班-303060

高三(3)班352055

(1)從三個班中任選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會主席，有多少種不同的選法？

(2)從高三(1)班、(2)班男生中或從高三(3)班女生中選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會生活部部長,有多少種不同的選法？

【詳解】(1)從三個班中任選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會主席，共有三類不同的方案.

第1類，從高三(1)班中選出1名學(xué)生，有50種不同的選法；

第2類，從高三(2)班中選出1名學(xué)生，有60種不同的選法；

第3類，從高三(3)班中選出1名學(xué)生，有55種不同的選法.

根據(jù)分類計數(shù)原理知，從三個班中任選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會主席，

共有50+60+55=165(種)不同的選法.

(2)從高三(1)班、(2)班男生中或從高三(3)班女生中選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會生活部部長，共有三類不同的方案.

第1類，從高三⑴班男生中選出1名學(xué)生，有30種不同的選法；

第2類，從高三⑵班男生中選出1名學(xué)生，有30種不同的選法；

第3類，從高三⑶班女生中選出1名學(xué)生，有20種不同的選法.

根據(jù)分類計數(shù)原理知，從高三（1）班、（2）班男生中或從高三（3）班女生中選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會生活部部

長，共有30+30+20=80（種）不同的選法.

【總結(jié)】利用分類計數(shù)原理計數(shù)時的解題流程

號殳T將完成這件事的方法分成若干類）

求出每一類的方法數(shù)）

城5H將每一類的方法數(shù)相加得出結(jié)果）

【變式訓(xùn)練】

1.在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個數(shù)為.

【答案】36

【詳解】（方法1）根據(jù)題意，將十位上的數(shù)字按1,2,3,4,5,6,7,8的情況分成8類，在每一

類中滿足題目條件的兩位數(shù)分別有8個，7個，6個，5個，4個，3個，2個，1個.由分類計數(shù)原理知，符

合條件的兩位數(shù)共有8+7+6+5+4+3+2+1=36（個）.

（方法2）分析個位數(shù)字，可分以下幾類：

個位數(shù)字是9,則十位數(shù)字可以是1,2,3,…，8中的一個，故共有8個；

個位數(shù)字是8,則十位數(shù)字可以是1,2,3,…，7中的一個，故共有7個；

同理，個位數(shù)字是7的有6個；

個位數(shù)字是2的有1個.

由分類計數(shù)原理知，符合條件的兩位數(shù)共有8+7+6+5+4+3+2+1=36（個）.

2.某校高一年級共8個班，高二年級共6個班，從中選一個班級擔(dān)任學(xué)校星期一早晨升旗任務(wù)，安排方法

共有（）

A.8種B.6種

C.14種D.48種

【答案】C

【詳解】由分類計數(shù)原理，得完成升旗這一任務(wù)分兩類，安排方法共有8+6=14（種）.

3.在讀書節(jié)上，1名學(xué)生要從7本不同的科技類圖書、8本不同的歷史類圖書和6本不同的文藝類圖書中

任選1本，共有多少種不同的選法？

【分析】根據(jù)分類加法計數(shù)原理即可得出結(jié)果.

【詳解】由題可知，有7本不同的科技類圖書、8本不同的歷史類圖書和6本不同的文藝類圖書，

從中任選1本，則共有7+8+6=21種不同的選法.

4.從1,2,3,4,5五個數(shù)中任取3個，可組成不同的等差數(shù)列的個數(shù)為()

A.2B.4C.6D.8

【答案】D

【詳解】分兩類：

第一類，公差大于0,有①1,2,3,②2,3,4,③3,4,5,(4)1,3,5,共4個等差數(shù)列；

第二類，公差小于0,也有4個等差數(shù)列，即①3,2,1,②4,3,2,③5,4,3,④5,3,L根據(jù)分類計數(shù)原理可

知，共有4+4=8(個)不同的等差數(shù)列.

☆【題型三】分步計數(shù)原理的定義

【例題】某班共有男生28名、女生20名，從該班選出學(xué)生代表參加校學(xué)生代表大會.若學(xué)校分配給該班2

名代表，且男、女生代表各1名，則有多少種不同的選法？

【詳解】選出男、女生代表各1名，可以分成兩個步驟完成：

第一步選1名男生代表，有28種不同方法；

第二步選1名女生代表，有20種不同方法.

根據(jù)分步計數(shù)原理，選出男、女生代表各!名，共有不同的選法種數(shù)是28X20=56°.

答選出男、女生代表各1名，有560種不同的選法.

【總結(jié)】理解分步計數(shù)原理的關(guān)鍵點

(1)定性：①明確原理中所指的“完成一件事”是什么事；②要經(jīng)過幾步才能完成這件事.

(2)相關(guān)性：①完成這件事需要分成若干個步驟；②只有每個步驟都完成了，才算完成這件事，缺少任一步

驟，這件事都不可能完成.

(3)分步：這是利用分步計數(shù)原理解題的關(guān)鍵，①準(zhǔn)確確定分步的標(biāo)準(zhǔn)，一般地，分步的標(biāo)準(zhǔn)不同，分成的

步驟數(shù)也會不同；②要注意各步驟之間必須連續(xù)；③各步驟之間既不能重復(fù)，也不能遺漏.

【變式訓(xùn)練】

I.如果完成一件事，需要分成"個步驟，做第1步有加種不同的方法，做第2步有"?2種不同的方法……

做第〃步有，叫種不同的方法，那么完成這件事共有N=種不同的方法.

［詳解］N=加1義加2><…義刑〃

2.在圖中的電路中，僅合上2只開關(guān)接通電路，有多少種不同的方法？

【答案】6

【詳解】在圖中，按要求接通電路必須分兩步進行：

第一步，合上/中的1只開關(guān)；

第二步，合上8中的1只開關(guān).根據(jù)分步計數(shù)原理，共有2x3=6種不同的方法.

答在圖中的電路中，僅合上2只開關(guān)接通電路，有6種不同的方法.

3.已知x∈｛2,3,7｝,yG｛-31,-24,4）,則（x,y）可表示不同的點的個數(shù)是（）

A.IB.3

C.6D.9

【答案】D

【詳解】可分為兩步完成：第一步，在集合｛2,3,7｝中任取一個值X有3種方法；第二步，在集合｛-31,

-24,4｝中任取一個值y有3種方法.根據(jù)分步計數(shù)原理知，有3X3=9（個）不同的點.

4.某體育場南側(cè)有4個大門，北側(cè)有3個大門，小李到體育場看比賽，則他進、出門的方案有（）

A.12種B.7種

C.14種D.49種

【答案】D

【詳解】完成進、出體育場門這件事，需要分兩步，第一步進體育場門，第二步出體育場門.

第一步進門共有4+3=7（種）方法，

第二步出門共有4+3=7（種）方法.

由分步計數(shù)原理知，進、出門的方案有7X7=49（種）.

☆【題型四】分步計數(shù)原理的應(yīng)用

【例題】一種號碼鎖有4個撥號盤，每個撥號盤上有從。到9共十個數(shù)字，這4個撥號盤可以組成多少個

四位數(shù)的號碼？（各位上的數(shù)字允許重復(fù)）

【詳解】按從左到右的順序撥號可以分四步完成：

第1步，有10種撥號方式，所以ml=10;

第2步，有10種撥號方式，所以m2=10;

第3步，有10種撥號方式，所以m3=10;

第4步，有10種撥號方式，所以m4=10.

根據(jù)分步計數(shù)原理，共可以組成N=IOxlOXloXlO=IOOOO（個）四位數(shù)的號碼.

【總結(jié)】利用分步計數(shù)原理解題的一般思路

（1）分步：將完成這件事的過程分成若干步.

(2)計數(shù)：求出每一步中的方法數(shù)；

(3)結(jié)論：將每一步中的方法數(shù)相乘得最終結(jié)果.

【變式訓(xùn)練】

1.已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)表示平面上的點(α,b∈Λ√).問：

(1)尸3,與可表示平面上多少個不同的點？

(2)P(α,b)可表示平面上多少個第二象限的點？

【詳解】(1)確定平面上的點P(α,b)可分兩步完成：

第一步，確定。的值，共有6種方法；

第二步，確定b的值，也有6種方法.

根據(jù)分步計數(shù)原理，得到平面上的點的個數(shù)是6x6=36.

(2)確定第二象限的點，可分兩步完成：

第一步，確定“，由于4<0,所以有3種不同的確定方法；

第二步，確定6,由于6>0,所以有2種不同的確定方法.

根據(jù)分步計數(shù)原理，得到第二象限點的個數(shù)為3x2=6.

2.一個袋子里放有6個球，另一個袋子里放有8個球，每個球各不相同，從兩個袋子里各取一個球，共有

種不同的取法.

【答案】48

【詳解】由分步計數(shù)原理知，共有6X8=48(種)不同的取法

3.某公司員工義務(wù)獻血，在體檢合格的人中，。型血的有10人，A型血的有5人，B型血的有8人，AB

型血的有3人.從4種血型的人中各選1人去獻血，不同的選法種數(shù)為()

A.1200B.600C.300D.26

【答案】A

【詳解】分四步：

第一步，選O型血的人有10種選法；

第二步，選A型血的人有5種選法；

第三步，選B型血的人有8種選法；

第四步，選AB型血的人有3種選法.

故共有10×5×8×3=l200(種)不同的選法.

☆【題型五】兩個計數(shù)原理的簡單應(yīng)用

【例題】現(xiàn)有高二年級的四個班的學(xué)生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他們自

愿組成數(shù)學(xué)課外小組.

(1)選其中一人為負責(zé)人，有多少種不同的選法?

(2)每班選一名組長，有多少種不同的選法?

(3)推選兩人做中心發(fā)言，這兩人需來自不同的班級，有多少種不同的選法?

【詳解】(1)分四類:

第一類,從一班學(xué)生中選1人,有7種選法;

第二類,從二班學(xué)生中選1人,有8種選法;

第??"二—?類.χi×-,從三班學(xué)生中選1人,有9種選法;

第四類,從四班學(xué)生中選1人,有IO種選法.

所以，共有不同的選法N=7+8+9+10=34(種).

(2)分四步：第一、二、三、四步分別為從一、二、三、四班學(xué)生中選一人任組長.

所以，共有不同的選法N=7χ8x9xl0=5040(種).

(3)分六類，每類又分兩步:

從一、二班學(xué)生中各選1人,有7x8種不同的選法;

從一、三班學(xué)生中各選1人,有7x9種不同的選法;

從一、四班學(xué)生中各選1人,有7x10種不同的選法;

從二、三班學(xué)生中各選1人,有8x9種不同的選法;

從二、四班學(xué)生中各選1人,有8x10種不同的選法;

從三、四班學(xué)生中各選1人,有9x10種不同的選法.

所以,共有不同的選法N=7χ8+7χ9+7×10+8χ9+8*10+9χ10=431（種）.

【總結(jié)】使用兩個計數(shù)原理的原則

使用兩個計數(shù)原理解題時，一定要從“分類”“分步”的角度入手，“分類”是把較復(fù)雜應(yīng)用問題的元素分成互相

排斥的幾類，逐類解決，用分類計數(shù)原理；“分步”就是把問題分化為幾個互相關(guān)聯(lián)的步驟，然后逐步解決,

這時可用分步計數(shù)原理.

【變式訓(xùn)練】

1.3名同學(xué)每人從5本不同的電子書中任選一本，共有多少種不同的選法？

【答案】125

【分析】3名同學(xué)選電子書，要分每名同學(xué)依次選電子書的3步進行.每名同學(xué)選電子書都有5種不同的

選法.

【詳解】第一名同學(xué)選1本電子書有5種不同的選法，第二、第三名同學(xué)各選1本電子書，仍各有5種不

同的選法.因此，根據(jù)分步計數(shù)原理，3名同學(xué)每人各選1本電子書的不同方法種數(shù)是5x5x5=125.

答共有125種不同的選法.

2.為了確保電子郵箱的安全，在注冊時，通常要設(shè)置電子郵箱密碼.在某網(wǎng)站設(shè)置的郵箱中，

（I）若密碼為4位，每位均為。?9這10個數(shù)字中的1個，則這樣的密碼共有多少個？

（2）若密碼為4?6位，每位均為0?9這10個數(shù)字中的1個，則這樣的密碼共有多少個？

【詳解】（1）設(shè)置1個4位密碼要分4步進行，每一步確定一位數(shù)字，每一位上都可以從0~9這10個

數(shù)字中任取1個，有io種取法.根據(jù)分步計數(shù)原理，4位密碼的個數(shù)是IoXloXloXIo=I000°.

（2）設(shè)置的密碼為4~6位，每位均為0~9這10個數(shù)字中的1個，這樣的密碼共有3類.

其中4位密碼、5位密碼、6位密碼的個數(shù)分別為I。"，?θ5,lθ6.

根據(jù)分類計數(shù)原理，設(shè)置由數(shù)字0?9組成的4~6位密碼的個數(shù)是l04+lθ5+106=1110000.

答滿足條件的密碼的個數(shù)分別為IoOOO和IllOo00.

3.現(xiàn)有3名老師、8名男生和5名女生共16人.若需1名老師和1名學(xué)生參加評選會議，則不同的選法種

數(shù)為（）

A.39B.24

C.15D.16

【答案】A

【詳解】先從3名老師中任選1名，有3種選法，再從13名學(xué)生中任選1名，有13種選法.

由分步計數(shù)原理知，不同的選法種數(shù)為3x13=39.

4.5名同學(xué)報名參加兩個課外活動小組，每位同學(xué)限報其中的一個小組，則不同的報名方法共有（）

A.10種B.20種

C.25種D.32種

【答案】D

【詳解】每位同學(xué)限報其中的一個小組，各有2種報名方法，根據(jù)分步計數(shù)原理，不同的報名方法共有

25=32（種）.

5.（多選）現(xiàn)有5幅不同的國畫，2幅不同的油畫，7幅不同的水彩畫，下列說法正確的有（）

A.從中任選一幅畫布置房間，有14種不同的選法

B.從這些國畫、油畫、水彩畫中各選一幅布置房間，有70種不同的選法

C.從這些畫中選出兩幅不同種類的畫布置房間，有59種不同的選法

D.要從5幅不同的國畫中選出2幅，分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置，共有9種不同的掛法

【答案】ABC

【詳解】對于A,分為三類：從國畫中選，有5種不同的選法；從油畫中選，有2種不同的選法；從水

彩畫中選，有7種不同的選法，根據(jù)分類計數(shù)原理，共有5+2+7=14（種）不同的選法，A正確；

對于B,分為三步：國畫、油畫、水彩畫分別有5種、2種、7種不同的選法，根據(jù)分步計數(shù)原理，

共有5x2x7=70（種）不同的選法，B正確；

對于C,分為三類：第一類是一幅選自國畫，一幅選自油畫.由分步計數(shù)原理知，有5x2=10（種）不同的選

法；第二類是一幅選自國畫，一幅選自水彩畫，有5*7=35（種）不同的選法；第3類是一幅選自油畫，一

幅選自水彩畫，有2x7=14（種）不同的選法，所以共有10+35+14=59（種）不同的選法，C正確；

對于D,從5幅國畫中選出2幅分別掛在左、右兩邊墻上，可以分兩個步驟完成：第一步，從5幅畫中

選1幅掛在左邊墻上，有5種選法；第二步，從剩下的4幅畫中選1幅掛在右邊墻上，有4種選法.根據(jù)

分步計數(shù)原理，不同掛法的種數(shù)是N=5x4=20,D錯誤，故選ABC.

6.用0到9這十個數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個數(shù)為.

【答案】328

【詳解】由題意知本題是一個分類計數(shù)問題.

若個位數(shù)字為0,前兩位的排法種數(shù)為9x8=72；

若個位數(shù)字不為0,則確定個位數(shù)字有4種方法，確定百位數(shù)字有8種方法，確定十位數(shù)字有8種方法，

所以排法種數(shù)為4x8x8=256.

所以可以組成256+72=328（個）沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù).

7.王華同學(xué)有課外參考書若干本，其中有5本不同的外語書，4本不同的數(shù)學(xué)書，3本不同的物理書，他

欲帶參考書到圖書館閱讀.

（1）若他從這些參考書中帶1本去圖書館，則有多少種不同的帶法？

（2）若帶外語、數(shù)學(xué)、物理參考書各1本，則有多少種不同的帶法？

（3）若從這些參考書中選2本不同學(xué)科的參考書帶到圖書館，則有多少種不同的帶法？

【詳解】（1）完成的事情是帶一本書，無論帶外語書，還是數(shù)學(xué)書、物理書，事情都已完成，

從而確定應(yīng)用分類計數(shù)原理，共有5+4+3=12（種）不同的帶法.

（2）完成的事情是帶3本不同學(xué)科的參考書，只有從外語、數(shù)學(xué)、物理書中各選I本后，才能完成這件事,

因此應(yīng)用分步計數(shù)原理，共有5x4x3=60（種）不同的帶法.

（3）分三類情況：選1本外語書和選1本數(shù)學(xué)書，應(yīng)用分步計數(shù)原理，有5χ4=20（種）選法；

同樣，選外語書、物理書各1本，有5'3=15（種）選法；

選數(shù)學(xué)書、物理書各1本，有4x3=12（種）選法.

應(yīng)用分類計數(shù)原理，共有20+15+12=47（種）不同的帶法.

8.已知某種新產(chǎn)品的編號由1個英文字母和1個數(shù)字組合而成，且英文字母在前.其中英文字母可以是/,

B,C,D,E,尸這6個字母中的1個，數(shù)字可以是1,2,9這9個數(shù)字中的1個.問：共有多少種不同

的編號？

【分析】利用分步相乘計數(shù)原理即可得解.

【詳解】根據(jù)題意，完成編號分兩步完成：

第1步，從6個英文字母中選1個，有6種方法；

第2步，從9個數(shù)字中選1個，有9種方法；

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同取法的種數(shù)為6x9=54.所以共有54種不同的編號.

9.從甲地到乙地，可以乘飛機，也可以乘火車，還可以乘長途汽車.每天飛機有2班，火車有4班，長途

汽車有10班.一天中，乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的方法？

【分析】根據(jù)題意，依次分析乘飛機，乘火車，乘長途汽車的方法，由加法計數(shù)原理即可得到答案.

【詳解】由題意可知，從甲地到乙地，若乘飛機，有2種方法；若乘火車，有4種方法；

若乘長途汽車，有10種方法；則從甲地到乙地共有2+4+10=16種不同