2023年湖北省孝感市高考數(shù)學模擬試卷及答案解析

2023年湖北省孝感市高考數(shù)學模擬試卷

本試卷滿分150分。共22道題?？荚囉脮r120分鐘。

注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的學校、班級、姓名、考場號、座位號和考生號填

寫在答題卡上。將條形碼橫貼在每張答題卡右上角“條形碼粘貼處”。

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上將對應題目選項

的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不

能答在試卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目

指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先畫掉原來的答案，然后再寫上新答案;

不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.已知復數(shù)j復數(shù)Z的共鈍復數(shù)，且滿足(ι+i)?z-2=0'則Z對應的點所在的象限為

()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.已知集合A=(χ∈ZI>B={χ∣-l<χ<l}，則"CB=(

A.(-1,1)B.{0}C.[-1,2]D.{-1,0,1,2}

3.已知過點M(2,-4)的直線I與圓C：(X-I)2+(y+2)2=5相切，且與直線m：ax

-2y+3=0垂直，則實數(shù)α的值為()

A.4B.2C.-2D.-4

4.已知在等差數(shù)列{a,J中，03+α4+α5=6,α7=ll,則m=()

A.3B.7C.-7D.-3

5.函數(shù)/(x)=M-券的圖象大致為()

第1頁共20頁

xx

C.D.

6.如圖，函數(shù)f(χ)=Asin(3χ+0)(3>0,0<I。|<5)的圖象經(jīng)過點

P修，0)和Q(0,亨)，則(

A.函數(shù)y=∕(x)的周期為2π

B.函數(shù)y=∕(x)的圖象關(guān)于點(空_,0)中心對稱

3

C.函數(shù)y=∕(χ)的圖象關(guān)于直線X哈對稱

D.函數(shù)y=∕(χ)在區(qū)間［書0］單調(diào)遞增

7.北斗三號全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果.在衛(wèi)星導航系統(tǒng)中，地球靜止

同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，將地球看作一個球，衛(wèi)星信號像一條條直線一

樣發(fā)射到達球面，所覆蓋的范圍即為一個球冠，稱此球冠的表面積為衛(wèi)星信號的覆蓋面

積.球冠即球面被平面所截得的一部分，截得的圓叫做球冠的底，垂直于截面的直徑被

截得較短的一段叫做球冠的高.設(shè)球面半徑為我，球冠的高為人則球冠的表面積為S=

2τtRh.已知一顆地球靜止同步通信衛(wèi)星距地球表面的最近距離與地球半徑之比為5,則

它的信號覆蓋面積與地球表面積之比為()

第2頁共20頁

A.?B.?C.?D.-L

64312

8.已知拋物線Cyλ=2px（p>0）的焦點為F,過焦點且斜率為2λ歷的直線/與拋物線C

交于4B（Z在8的上方）兩點，若|/川=入|8n，則人的值為（）

A.√2B.√3C.2D.√5

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.

（多選）9.新中國成立以來，我國共進行了7次人口普查，這7次人口普查的城鄉(xiāng)人口數(shù)

據(jù)如圖所示.根據(jù)該圖數(shù)據(jù)判斷，下列選項中正確的是（）

萬人

1OOO∞

900∞

S00∞

700∞

600∞

500∞

400∞

30000

200∞

100∞

0

A.鄉(xiāng)村人口數(shù)均高于城鎮(zhèn)人口數(shù)

B.城鎮(zhèn)人口比重的極差是50.63%

C.城鎮(zhèn)人口數(shù)達到最高峰是第7次

D.和前一次相比，城鎮(zhèn)人口比重增量最大的是第6次

（多選）10.下列命題為真命題的是（）

A.若a>b,c>d9貝UQ+c>b+dB.若a>b,c>d,貝IJaC>bd

C.若a>b,則αc2>bc2D.若〃VbV0,CV0,則￡<￡

ab

（多選）11.已知正方體ZBCQ-小以。。的棱長為〃，點尸為側(cè)面BCCiBi上一點（含邊

界），點。為該正方體外接球球面上一點.則下面選項正確的是（）

A.直線/尸與平面/8CO所成最大角為三

4

B.點。到正方體各頂點距離的平方之和12/

C.點。到點A和點Ci的距離之和最大值為（）a

第3頁共20頁

D.直線/尸與直線8。所成角范圍為［■工，?l

l32j

(多選)12.已知函數(shù)/(x)=∕-χ"(a>l)的定義域為(0,+8),且/(χ)僅有一個

零點，則下列選項正確的是()

A.e是/(x)的零點

B./(x)在(1,e)上單調(diào)遞增

C.x=l是/(x)的極大值點

D./(e)是/(x)的最小值

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.在(χ-2y)5中，x2y3的系數(shù)為

14.“五經(jīng)”是儒家典籍《周易》、《尚書》、《詩經(jīng)》、《禮記》、《春秋》的合稱.為弘揚中國

傳統(tǒng)文化，某校在周末興趣活動中開展了“五經(jīng)”知識講座，每經(jīng)排1節(jié)，連排5節(jié)，

貝I］《詩經(jīng)》、《春秋》分開排的情況有種.

15.已知點力(1,0),8(3,0),若直■由=2，則點尸到直線/：3χ-y+4=0的距離的最

小值為.

f1I

γln(2χ-l)>x>萬

16.已知函數(shù)f(χ)=｛,函數(shù)在x=l處的切線方程為_______；若

x2+2x+a,x≤-^?

該切線與/(χ)的圖像有三個公共點，則α的取值范圍是.

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)已知數(shù)列｛α.｝的前〃項和為S,,,m=-ll,。2=-9,且S>+ι+S,j=2S,+2(n

)2).

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項公式；

(2)已知b=——------求數(shù)列｛瓦｝的前"項和7”.

nanan+l

18.(12分)在ANBC中，角/,B,C所對的邊長分別為。，b,c,若6=α+2,c=α+3.

(1)若5sirk4sinC=4-4cos2∕,求COSZ的值；

(2)是否存在正整數(shù)α,使得4/8C為鈍角三角形？若存在，求出。的值：若不存在，

說明理由.

19.(12分)甲、乙兩隊進行一輪籃球比賽，比賽采用“5局3勝制”(即有一支球隊先勝3

局即獲勝，比賽結(jié)束).在每一局比賽中，都不會出現(xiàn)平局，甲每局獲勝的概率都為P(O

第4頁共20頁

<p<l).

(1)若D」，比賽結(jié)束時，設(shè)甲獲勝局數(shù)為X,求其分布列和期望E(X)；

P2

(2)若整輪比賽下來，甲隊只勝一場的概率為/(p),求/(P)的最大值.

20.(12分)如圖，三棱柱∕8C-∕ι8ιCι中，側(cè)面8CC∣8ι是菱形，ZBCCi=60°,AC=

AB.

(1)證明：AC?LBC?,

(2)若?β=BBι=2,AB?=VlO,求二面角4-8C1-81的余弦值.

22

21.(12分)已知橢圓C：￥V=i(a?b>0)的右焦點為F(1，。)，上下頂點分別

為Bi,歷，以點尸為圓心尸為半徑作圓，與X軸交于點7(3,0).

(1)求橢圓C的方程；

(2)已知點尸(2,0),點/,8為橢圓C上異于點尸且關(guān)于原點對稱的兩點，直線P4,

尸8與y軸分別交于點M,N,記以MN為直徑的圓為0K,試判斷是否存在直線/截。K

的弦長為定值，若存在請求出該直線的方程，若不存在，請說明理由.

22.(12分)設(shè)函數(shù)f(χ)=,x?+(a-l)χ+alnx玲，a>0?

(1)若α=l,求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間和最值；

(2)求函數(shù)/(x)的零點個數(shù)，并說明理由.

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2023年湖北省孝感市高考數(shù)學模擬試卷

本試卷滿分150分。共22道題?？荚囉脮r120分鐘。

注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的學校、班級、姓名、考場號、座位號和考生號填

寫在答題卡上。將條形碼橫貼在每張答題卡右上角“條形碼粘貼處”。

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上將對應題目選項

的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不

能答在試卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目

指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先畫掉原來的答案，然后再寫上新答案;

不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

I.已知復數(shù)j復數(shù)Z的共鈍復數(shù)，且滿足(ι+i)?z-2=0'則Z對應的點所在的象限為

()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

解：???(l+i)?z-2=0'

--22(1-1)…

r=ι+i=(ι+i)(ιτ)=E

.?.z=l+i,

.?.z對應的點(1,1)所在的象限為第一象限.

故選：A.

2.已知集合A={χ∈Z∣^^γ≤0}>B={χ∣-l<χ<l}，則AC?B-()

A.(-1,1)B.{0}C.[-1,2]D.{-1,0,1,2}

解：A={x∈Z∣^^,+~≤0},B={χI-1<χ<1),

所以∕={0,1,2},

則4∩8={0}.

故選：B.

3.已知過點M(2,-4)的直線/與圓C：(X-I)2+(尹2)2=5相切，且與直線

-2y+3=0垂直，則實數(shù)。的值為()

A.4B.2C.-2D.-4

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解：根據(jù)題意，圓C：（X-I）2+（尹2）2=5,圓心C（1,-2）,

而點/（2,-4）,則有（2-1）2+（-4+2）2=5,則點M在圓C上，

若過點Λ/的切線與直線機：αx-2y+3=0垂直，則直線CAl與直線平行,

而直線MC的斜率k="=-2,

Z—1

a

則有]=-2,則α=-4,

故選：D.

4.已知在等差數(shù)列｛即｝中,α3+α4+α5=6,α7=H>4ɑι=()

A.3B.7C.-7D.-3

解：由等差數(shù)列的性質(zhì)，得〃3+。4+。5=3°4=6,

所以52,公差d=銬=1=3,

又Q4=αi+3d=2,所以Qi=-7?

故選：C.

5.函數(shù)/（x）=團一券?J圖象大致為（）

?J[L∕,X

X-

A.IB.

?

Tv

C.D.

解：因為/（7）=f（X）,所以/（X）是偶函數(shù)，排除C和D

當x>0時，/（X）=X一臀，1⑺=弋尸,令/(X)<0,得OCxVl；令/(x)

>0,得x>L

所以/G）在x=l處取得極小值，排除8,

故選：A.

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6.如圖，函數(shù)f(χ)=Asin(3χ+Q)(3>0,0<Iφ|<5)的圖象經(jīng)過點

P《，0)和Q(0,零)，則()

A.函數(shù)y=∕(x)的周期為2π

B.函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點("，0)中心對稱

3

C.函數(shù)y=∕(χ)的圖象關(guān)于直線X哈對稱

D.函數(shù)y=∕(χ)在區(qū)間［范今］單調(diào)遞增

解：：函數(shù)/(x)=NSin(ωx+φ)(ω>O,0<∣φ∣<2L)的圖象經(jīng)過點PC-,0)和

23

點。(0,返_),

2_

可得/=1,ZSinφ=Y^~,Λφ=.2∑-,

23

再根據(jù)五點法作圖，可得3x2L+'-=ιτ,.?.3=2,/,(x)=Sin(2x+2-),

333

故函數(shù)/(x)的周期為等=π,故/錯誤，

令無=等，求得/(x)=-YΣ≠O,故8錯誤，

32

令X=JL,求得/(x)=爽_,不是最值，故C錯誤，

62

在區(qū)間［一且L,工I上，2Λ-+2L∈［-2L,?］,函數(shù)/a)單調(diào)遞增，故。正確,

1212322

故選：D.

7.北斗三號全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果.在衛(wèi)星導航系統(tǒng)中，地球靜止

同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，將地球看作一個球，衛(wèi)星信號像一條條直線一

第8頁共20頁

樣發(fā)射到達球面，所覆蓋的范圍即為一個球冠，稱此球冠的表面積為衛(wèi)星信號的覆蓋面

積.球冠即球面被平面所截得的一部分，截得的圓叫做球冠的底，垂直于截面的直徑被

截得較短的一段叫做球冠的高.設(shè)球面半徑為R球冠的高為/?,則球冠的表面積為S=

2πRh.己知一顆地球靜止同步通信衛(wèi)星距地球表面的最近距離與地球半徑之比為5,則

它的信號覆蓋面積與地球表面積之比為（）

解：根據(jù)圖2,。為球心，P為衛(wèi)星位置,

故R=OA=OE=OB,h=DE,PE=5R,

OAVPA,

所以COSNP0A=^^??=^->

OP6OA

所以0D=4R即h=DE=?∣R,

66

所以辿L/冗哈R上,

4兀R24兀R212

故選：D.

8.已知拋物線Cy1=2px（p>0）的焦點為凡過焦點且斜率為2\傷的直線/與拋物線C

交于/,B。在8的上方）兩點，若∣∕F]=入底且，則入的值為（）

A.√2B.√3C.2D.√5

解：設(shè)/（X”??）,B（X2，夕2）,則y∕=2pχι,yτ2-2px2r

?AB?-X?+X2+p----在---=?,即有Xl+X2=?>

sin2θ44

由直線/的斜率為2&,

則直線/的方程為：y-0=2√2（X-E），

2

即y=2√5χ-√5p,聯(lián)立拋物線方程，

消去N并整理，得

4X2-5px+p2=o,

第9頁共20頁

2

則XlX2=E—，可得W=P，X2=

4

1

p÷τ^p

丁[一=2,故人的值為2.

-n+TΓP

4p2p

故選：C.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得5分，有選錯的得。分，部分選對的得2分.

（多選）9.新中國成立以來，我國共進行了7次人口普查，這7次人口普查的城鄉(xiāng)人口數(shù)

據(jù)如圖所示.根據(jù)該圖數(shù)據(jù)判斷，下列選項中正確的是（）

萬人

1OOO∞

900∞

S00∞

700∞

600∞

500∞

400∞

30000

200∞

100∞

0

A.鄉(xiāng)村人口數(shù)均高于城鎮(zhèn)人口數(shù)

B.城鎮(zhèn)人口比重的極差是50.63%

C.城鎮(zhèn)人口數(shù)達到最高峰是第7次

D.和前一次相比，城鎮(zhèn)人口比重增量最大的是第6次

對于4第七次，城鎮(zhèn)人口比重為63.89%>50%,即城鎮(zhèn)人口數(shù)高于鄉(xiāng)村人口數(shù)，故A

錯誤；

對于8,由統(tǒng)計圖可知，城鎮(zhèn)人口比重的極差是63.89%-13.26%=50.63%,故8正確；

對于C,由統(tǒng)計圖可知，城鎮(zhèn)人口總數(shù)逐個增加，城鎮(zhèn)人口數(shù)達到最高峰是第7次，故C

正確；

對于。，第二次與第一■次相比，城鎮(zhèn)人口比重增量為18.3%-13.26%=5.04%,

第三次與第二次相比，城鎮(zhèn)人口比重增量為20.91%-14.84%=2.61%,

第四次與第三次相比，城鎮(zhèn)人口比重增量為26.44%-20.91%=5.53%,

第10頁共20頁

第五次與第四次相比，城鎮(zhèn)人口比重增量為36.22%-26.44%=9.78%,

第六次與第五次相比，城鎮(zhèn)人口比重增量為49.68%-36.22%=13.46%,

第七次與第六次相比，城鎮(zhèn)人口比重增量為63.89%-49.68%=14.21%,

，和前一次相比，城鎮(zhèn)人口比重增量最大的是第7次，故O錯誤.

故選：BC.

（多選）10.下列命題為真命題的是（）

A.若a>b,c>df貝!jα+c>b+dB.若a>b,c>d,貝IJaC>bd

C.若a>b,則α∕>bc2D.若αVbV0,CV0,則￡<￡

ab

解：對于*：a>b,c^>d,Λa+c>b+d,故力正確，

對于6,令4=1,b=-c=l,J=-I,滿足4>6,c>d,但,ac=bd,故6錯誤,

對于C令C=0,則四2=6。2,故C錯誤，

對于。，?.?a<b<O,c<0,c（b-a）00,即￡<￡,故。正確.

ababab

故選：AD.

（多選）11.已知正方體48CD-/向ClQI的棱長為α,點P為側(cè)面3。。以上一點（含邊

界），點。為該正方體外接球球面上一點.則下面選項正確的是（）

A.直線/尸與平面/8C。所成最大角為三

4

B.點。到正方體各頂點距離的平方之和12/

C.點。到點A和點Ci的距離之和最大值為（［皿）a

D.直線/尸與直線8。所成角范圍為「三，?-l

解：對于4過點P作平面488的垂線，垂足為

PM最大且NM最小時，所求角最大，此時點P為點S,所成角為三，故N正確；

4

2222

對于8,?.?4Cι為外接球的直徑，.?.∕N0tj=9O°,QAKJC?=AC1=3a^

點Q到正方體各頂點的距離的平方之和12次,故B正確：

對于C,（7+0CI）2=302+2Q∕?QCι=3『+4SZAC，

Q2

當△。/ICl為等腰直角三角形時，點Q到AC?的距離最大，此時最大面積為Wg一，

4

J.QA+QC?的最大值為√Ea，故C錯誤：

第11頁共20頁

對于。，當點P與點8重合時，直線NP與直線BO所成角為工，故。錯誤

4

故選:AB.

(多選)12.已知函數(shù)/(x)=∕-χ"(α>l)的定義域為(0,+8),且f(χ)僅有一個

零點，則下列選項正確的是()

A.e是/(x)的零點

B.f(x)在(1,e)上單調(diào)遞增

C.x=l是/(x)的極大值點

D./(e)是/(x)的最小值

解：取/(x)=∕-P=0,即/=f,兩邊取對數(shù)得，x∕"a=H"x,即上更=Ina有且只

Xa

有一個解，

設(shè)ZZ(X)=InX,h'(x)=ITnL

V2

XX

函數(shù)/7(X)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減，畫出圖象如圖所示，

故Ina」或InaV0,解得α=e或OVQVl(舍去)，故q=e,

aea

f(x)=ex-xe,可得/(e)=0,e是/(x)的零點，故4正確；

xelxe1

f(x)=e-ex'f令/(X)=e-ex'=Of即，=夕。一】，

兩邊取對數(shù)X=1+(e-1)Inx.

畫出函數(shù)V=主工和y=/〃x的圖象，根據(jù)圖象知，

e-l

當Xe(1,e)時，^∑l<∕nx,故，(x)^βx-exe'l<O,

e-l

函數(shù)/(x)單調(diào)遞減；

當Xe(0,1)和(e,+8)時，f(X)=ex-exe^'>0,

函數(shù)/(x)單調(diào)遞增，

所以x=l是/(x)的極大值點，/(e)是/(x)的極小值，又x-0時，/(x)-1,

可得/(e)是/(x)的最小值.

故B錯誤，CD正確.

故選：ACD.

第12頁共20頁

yl

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.在(X-2y)5中，S/的系數(shù)為-在

2232

解：展開式中含XV的項為C3χ(-2y)=-80xy3,

所以43的系數(shù)為-80,

故答案為：-80.

14.“五經(jīng)”是儒家典籍《周易》、《尚書》、《詩經(jīng)》、《禮記》、《春秋》的合稱.為弘揚中國

傳統(tǒng)文化，某校在周末興趣活動中開展了“五經(jīng)”知識講座，每經(jīng)排1節(jié)，連排5節(jié)，

則《詩經(jīng)》、《春秋》分開排的情況有72種.

解：先排《周易》、《尚書》、《禮記》，形成4個空隙，再在4個空隙中取出兩個排列《詩

經(jīng)》、《春秋》,

所以共有A9?A：=72種情況，

故答案為：72.

15.已知點力(1,0),B(3,0),若還?而=2，則點P到直線/：3χ-y+4=0的距離的最

小值為一JTd二.

解：設(shè)P(x,y),

由點N(1,0),B(3,0),PA-PB=2.

貝IJ(χ-I)(χ-3)+√=2,

即(X-2)2+y2=3>

第13頁共20頁

則點(2,0)到直線3x-j+4=0的距離為3-2-0+4I=行,

V32+(-D2

由直線與圓的位置關(guān)系可得：點P到直線/的距離的最小值為√Tδ-√3)

故答案為：√10-√3?

f1]

?ln(2x-l)?x>萬

16.已知函數(shù)f(χ)=｛,函數(shù)在x=l處的切線方程為x-2V-I

x2+2x+a,x≤-j-

=O;若該切線與/(x)的圖像有三個公共點，則α的取值范圍是[-??).

216

解：切點坐標為(1,0),針(x)=-A-,k=f'(i)-?-

4χ-Z乙

所以切線/方程為V=Lχ?A,

y22

BPx-2j-1=0；

函數(shù)即/(X)過點￠,卷+a)，

當切線過點停，菅+a)時，切線/與函數(shù)/(x)的圖象有三個公共點，

將其代入切線/方程得a=R，

2

當切線/與f(x)=χ2+2χ+a(Xq)相切時直線與函數(shù)/(χ)的圖象只有兩個公共點，

設(shè)切線1.y=-?-χ-?-與f(χ)=χ？+2χ+a(χ(J?)在X=Xo處相切’

乙乙乙

13

-

k=f'(X0)=2X0+2^2.X0=^)

所以切點坐標為(一3,a』)，代入切線方程解得a」，

(416，a16

因此直線與曲線有三個交點時，,Λ<a<-^?

27ι6

故答案為：χ-2y-l=0;[-?,?).

216

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)已知數(shù)列｛?。那?項和為S”α∣=-11，S=-9,且S"+ι+S,,.ι=2S"+2(?

22).

(1)求數(shù)列｛α,,｝的通項公式；

(2)已知b=~--，求數(shù)列｛加｝的前〃項和

nanan+l

第14頁共20頁

解：(1)數(shù)列｛0,,｝的前〃項和為S”m=-ll,"2=-9,且S"+ι+S"j=2S”+2(〃22).

整理得：sπ+l-Sn-Sn-Slt.|+2>

故斯+1-斯=2(常數(shù))，

所以數(shù)列S"｝是以-11為首項，2為公差的等差數(shù)列;

所以aa=-11+2(n^1)—2?-13.

（2）由（1）得:h___1___________1=J(I-?_

k

nanan+1(2n-13)(2n-ll)22n-132n-ll

所以τ+」_______」)=l(-j-?

n2-11-9-9-7???2n-132n-ll72、112n-ll

1_1

22^^4n-22'

18.（12分）在aNBC中，角/,B,C所對的邊長分別為4,b,c,若6=α+2,c=α+3.

(1)若5sin4sinC=4-4cos2J,求cos/的值;

（2）是否存在正整數(shù)α,使得4/8C為鈍角三角形？若存在，求出”的值；若不存在,

說明理由.

解：(1)?.?5sin4sinC=4-4cos2∕=4?2si∏2∕,且Sin∕≠0,

5sinC=8sirυ4,

由正弦定理知，5c=8α,

又c=q+3,.,.<7=5,c=8,6=7,

由余弦定理知，COSZ=+C--W—=4"與'4-2§_=

2bc2×7×814

(2)??=α+2,c=α+3,最大的邊為c,即最大的角為C,

2.,2c2=a2+(a+2)2-(a+3)、一=a'-2a-5<θ

由余弦定理知，Co余=包+「

2ab2a(a+2)2a(a+2)

Λα2-2a-5<0,解得1-√6<α<l+√6,

故正整數(shù)“可以為?,2,3,

當。=1時，b=3,c=4,此時α+6=c,不能構(gòu)成三角形，不符合題意;

當。=2時，b=4,c—5,可以構(gòu)成三角形；

當α=3時，b=5,c-6,可以構(gòu)成三角形，

故α=2或3.

19.（12分）甲、乙兩隊進行一輪籃球比賽，比賽采用“5局3勝制”（即有一支球隊先勝3

局即獲勝，比賽結(jié)束）.在每一局比賽中，都不會出現(xiàn)平局，甲每局獲勝的概率都為P（O

<p<l）.

第15頁共20頁

(1)若D小，比賽結(jié)束時，設(shè)甲獲勝局數(shù)為X,求其分布列和期望E(X)；

P2

(2)若整輪比賽下來，甲隊只勝一場的概率為/(p),求/(p)的最大值.

解：(1)由題意可知，隨機變量X的可能取值為0、1、2、3,

則P(X=O)=停)=y?P(X=I)=C??*

P(x=2)=C4(y)=得,P(x=3)=(?)+C?(?)+C4(y)=y,

隨機變量X的分布列如下：

XO123

P33_1

石^16正

則E(X)=0×?+1×?+2×?+3×44I^S

81616216

(2)甲隊只勝一場的概率為f(p)=c；P(I_p)3,

則f,(p)=C3[(l^p)3+3p(l-p)2(-1)]=3(l-p)2(l-4p),

故當O<p<J?,/(p)>0,/(P)遞增，

當工<P<1時，/(P)<0,/(p)遞減，

4

則f(p)=fd)JL?

[?P'max]256

20.(12分)如圖，三棱柱/8C-NIBICI中，側(cè)面8CC∣8∣是菱形，ZSCC∣=60o,NC=

AB.

(1)證明：AC?1.BC;

(2)若^=BB]=2,AB1=VlO,求二面角4-8CI-&的余弦值.

(1)證明：取8C中點。，連接/O,C∣O,

因為側(cè)面2CC∕ι是菱形，NBCCi=60°,

所以8C_LClO,

因為NC=N8,

第16頁共20頁

所以∕O"L8C,且ClO∩∕0=0,

所以8C_L平面Zoe1,

又因為ZCIU平面力OC1,

所以/Cι,8C.

(2)解：AB1=√1Q.則N8=88ι=2,

由⑴得2C_L平面NOc1,

且/Clu平面/OCi,

BCJLACI,BPB?C?LAC?,

所以ACI=MIo-4=√6,

因為AC)2+C[O2=3+3=6=AC3

所以/O,OC1，

即8C,OCi,04兩兩垂直，

則A(。，O,√3),5(-1,O,O),C](O,√3,0).B1(-2,√3,0)，

A1(-1,√3,√3)'

可取■二(0,0,1)為平面'C∣6ι的一個法向量，

設(shè)平面小BCI的一個方向量為W=(χ,y,z),

ApB=(O,√3,√3)JBC[=(1,√3,0)

n?A1B=V3y+V3z=0

則一b仿c'取羨(我,-ι>D,

fc

nBC1=x+v3y=0

第17頁共20頁

貝Ucos（in?n）J=-?*=^~,

∣m∣?∣nI√55

易知二面角A?-BCi-B?為銳角，

所以二面角Ai-BC?-B?的余弦值近

5

22

21.（12分）己知橢圓C：號+∑5=ι（a>b>0）的右焦點為尸（1，。），上下頂點分別

a-

為Bi,B2,以點尸為圓心廠田為半徑作圓，與X軸交于點7（3,0）.

（1）求橢圓C的方程；

（2）已知點尸（2,0）,點/,8為橢圓C上異于點尸且關(guān)于原點對稱的兩點，直線必，

PB與y軸分別交于點"，N,記以MN為直徑的圓為OK,試判斷是否存在直線/截OK

的弦長為定值，若存在請求出該直線的方程，若不存在，請說明理由.

解：（1）以點尸為圓心尸為半徑的圓的方程為（X-I）2+y2=α2.

因為該圓經(jīng)過點7（3,0）,即可得『=4,

所以b2=a2-C2=3.

22

從而可得橢圓C的方程為三_+，=1；

43

（2）解：設(shè)點4、8的坐標分別為（xi，y?）?（-Xi,-yι）,

則直線BI的方程為y=J-（x-2）,可得點〃的坐標為（0,二%_）.

X]-22-X?

-2y1

同理可得點N的坐標為（0,——L）.

2+x?

取圓K上任意一點尸（x,y）,

則而=（χ,?--2y-?-）.NP=（X，y+-2γ-L-）,

2-X?2+x?

由圓的幾何性質(zhì)可知而，乖，

—?—?C2y12y1

貝IJMP,NP=X2+S-———)(?+——L)=0,

-2-×ι2+x1

2y2y1

則以MN為直徑的圓OK的方程為/+(y-——1L)(尹——L)=0.

2-X12+x?

第18頁共20頁

,、4xy4y

化簡可得：χ2+y2-——?1?1---