高等數學（財經類） 課件 2.1 導數的概念

§2.1

導數的概念

CONTENT1導數的定義目錄2用定義計算導數3導數的幾何意義4函數的可導性與連續(xù)性的關系

前言微積分極限微分學積分學不定積分定積分導數微分

前言微積分學的創(chuàng)始人:

英國數學家牛頓

(Newton)

德國數學家萊布尼茨

(Leibniz)

他們把兩個貌似毫不相關的問題聯(lián)系在一起,一個是切線問題(微分學的中心問題),一個是求積問題(積分學的中心問題).

前言牛頓研究微積分著重于從運動學來考慮,萊布尼茨卻是側重于幾何學來考慮的.

牛頓在1671年寫了《流數術和無窮級數》,他把連續(xù)變量叫做流動量,把這些流動量的導數叫做流數.他所提出的中心問題是:已知連續(xù)運動的路徑,求給定時刻的速度(微分法);已知運動的速度求給定時間內經過的路程(積分法).百科全書式“全才”

前言1686年,萊布尼茨發(fā)表了第一篇積分學的文獻,他是歷史上最偉大的符號學者之一,他所創(chuàng)設的微積分符號遠遠優(yōu)于牛頓的符號,這對微積分的發(fā)展有極大的影響.現(xiàn)今我們使用的微積分通用符號就是當時萊布尼茨精心選用的.歷史上少有的“通才”

前言十七世紀,有許多科學問題需要解決,這些問題也就成了促使微積分產生的因素.歸結起來,大約有四種主要類型的問題:第一類是研究運動的時候直接出現(xiàn)的,也就是求即時速度的問題;第二類問題是求曲線的切線的問題;第三類問題是求函數的最大值和最小值問題;第四類問題是求曲線長、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個體積相當大的物體作用于另一物體上的引力.

前言微分學

導數:描述函數變化快慢

微分:描述函數變化程度都是描述物質運動的工具(從微觀上研究函數)導數的定義Chapter1第一部分:變化率問題舉例引例1

變速直線運動的瞬時速度設一質點按某種規(guī)律做變速直線運動,質點運動的路程s與時間t的關系s=s(t),求質點在時刻的瞬時速度.質點從到這段時間內的平均速度為:質點在時刻的瞬時速度為:第一部分:變化率問題舉例

設從0到t這段時間通過導體橫截面的電量為Q(t),求t0時刻的電流強度

i(t0).引例2

非恒定電流的電流強度

物理學中,對于恒定電流來說,電流強度(簡稱電流),即單位時間內通過導線橫截面的電量,可用公式

來計算,其中Q為通過的電量,t為時間.但在實際問題中,常會遇到非恒定的電流.例如,正弦交流電.

時間t在時刻t0有增量,則在

這段時間內的平均電流強度為

第一部分:變化率問題舉例

設從0到t這段時間通過導體橫截面的電量為Q(t),求t0時刻的電流強度

i(t0).引例2

非恒定電流的電流強度

當

時,的極限就是t0時刻的瞬時電流強度

i(t0),即

第二部分:導數的定義注:函數的導數:函數的改變量與自變量的改變量之比

在自變量增量趨于零時的極限.第二部分:導數的定義定義1設

y=f(x)在點

x0的某個鄰域內有定義,當自變量x在x0處取得增量(點

仍在該鄰域內)時,相應地,函數

y取得增量若當

時,極限存在,則稱此極限為函數

y=f(x)在點

x0處的導數,并稱函數

y=f(x)在點

x0處可導,記為第二部分:導數的定義導數定義式的其它形式：第二部分:導數的定義說明:在經濟學中,邊際成本率、邊際勞動生產率和邊際稅率等從數學角度看就是導數.根據導數概念,前面兩個問題可以表述為:(1)求變速直線運動的質點在時刻的瞬時速度,即求路程函數s=s(t)

在處的導數即(2)求非恒定電流在t0時刻的電流強度,即求通過導體橫截面的電量函數Q(t)在t0處的導數即第二部分:導數的定義注:用導數的定義求函數f(x)在點處導數的步驟為:(1)求增量：(2)算比值：(3)取極限：第三部分：單側導數定義2設函數f(x)在點

x0的某個左鄰域(或右鄰域)內有定義,且極限

(或)存在,則稱此極限值為f(x)在點

x0的左導數(或右導數),記為(或),即第三部分：單側導數定理1函數f(x)在點

x0處可導的充分必要條件是:函數y=f(x)在點

x0處的左、右導數均存在且相等,即

練習例1討論

在

x=0處的可導性.

解

而

由于,因而

在

x=0處不可導.

練習例2求函數

在

x=0處的導數.

解

當

時,故

當

時,由,得第四部分：函數在區(qū)間內可導及導函數定義3若函數f(x)在開區(qū)間(a,b)內每一點都可導,則稱f(x)在(a,b)內可導；若f(x)在(a,b)內可導,且在點a右側可導,在點b左側可導,則稱

f(x)在閉區(qū)間[a,b]上可導.注:f(x)在(a,b)內可導時,對任意的,總存在唯一的導數值

與之對應.因此

是x的函數,稱

為f(x)的導函數,簡稱導數,導函數

也可記為第四部分：函數在區(qū)間內可導及導函數

函數y=f(x)在點處的導數

,也就是導函數在處的函數值,即第四部分：函數在區(qū)間內可導及導函數?思考

函數

f(x)在某點

x0處的導數

與導函數

有什么區(qū)別與聯(lián)系？

解

是

在點

x0的導數值,是一個具體的數值.

是由于f(x)在某區(qū)間

I上每一點都可導而定義在

I上的一個新函數.兩者的區(qū)別兩者的聯(lián)系一個是數值,另一個是函數.

在某點

x0處的導數

即是導函數

在

x0處的函數值.用定義計算導數Chapter2第一部分:用定義求導數注:用導數的定義求函數

f(x)的導數分為三步:(1)求增量：(2)算比值：(3)取極限：

練習例3求函數

的導數.

解

即

練習例4求函數

的導數.

解

因為

時,所以

練習例5設

存在,求極限

解

練習例6若函數

f(x)可導,求.

解

導數的幾何意義Chapter3第一部分:導數的幾何意義

割線的斜率為:例如

切線問題設函數y=f(x)的圖像如圖所示,是其上的一點,求曲線在點處切線的斜率k.

切線的斜率為:第一部分:導數的幾何意義導數的幾何意義:曲線y=f(x)在點處的切線斜率若,曲線過上升;若,曲線過下降;若,切線與x軸平行;若,切線與x軸垂直.第一部分:導數的幾何意義曲線

y=f(x)在點

處的切線方程為法線方程為

練習例7若曲線

y=x3在(x0,y0)處切線斜率等于3,求點(x0,y0)的坐標.

解

由題意得,即

解得

把

x0=1代入

y=x3,得

y0=1.把

x0=-1代入

y=x3,得

y0=-1.綜上得,點(x0,y0)的坐標為(1,1)和(-1,-1).

練習例8拋物線

y=x2在何處切線與Ox軸正向夾角為,并求該處的切線方程.

解

由題意得,即

解得

把

代入

y=x2,得

所以

y=x2在點

處切線與Ox軸正向夾角為,且此處的切線為函數的可導性與連續(xù)性的關系Chapter4第一部分：函數的可導性與連續(xù)性的關系定理2若函數

y=f(x)在點x0處可導,則它在x0處連續(xù).

證

因為函數

y=f(x)在點x0處可導,故有其中,從而

所以,函數

y=f(x)在點x0處連續(xù).第一部分：函數的可導性與連續(xù)性的關系定理2若函數

y=f(x)在點x0處可導,則它在x0處連續(xù).注：該定理的逆命題不成立.即函數在某點連續(xù),但在該點不一定可導.例如,在例5中函數

f(x)=|x|在x=0處連續(xù)但不可導.例9設

問a,b取何值時,函數

f(x)在x=0處可導.解

f(x)在x=0處可導,其必要條件是

f(x)在x=0處連續(xù),即因為所以

b=1.

練習

練習例9設

問a,b取何值時,函數

f(x)在x=0處可導.解

又若要

f(x)在x=0處可導,必有

a=1.所以,當a=1,b=1時,