高等數(shù)學(xué)（財(cái)經(jīng)類） 課件 第四章 定積分

§4.1

定積分的概念和性質(zhì)

第四章定積分CONTENT1

引例2

定積分的概念目錄3

定積分的性質(zhì)引例Chapter1

一、曲邊梯形的面積曲邊梯形是指由連續(xù)曲線,直線及

x

軸所圍成的平面圖形.問題：如何計(jì)算曲邊梯形的面積

A？

一、曲邊梯形的面積1.分割：在區(qū)間

中用

n-1個(gè)點(diǎn)分成

n

個(gè)小區(qū)間,記

將曲邊梯形分成

n個(gè)小曲邊梯形.令每個(gè)小曲邊梯形的底邊長為

一、曲邊梯形的面積2.近似：討論第i個(gè)小曲邊梯形,記面積為,在區(qū)間

上任取一點(diǎn),以

為高作一個(gè)小矩形,矩形的長為,高為,那么曲邊梯形的面積

近似等于矩形面積,即

一、曲邊梯形的面積3.作和：對(duì)于大曲邊梯形來說,用同樣的方法,將剩下的

n-1個(gè)小曲邊梯形面積計(jì)算出來,然后作和即為大曲邊梯形的面積,即

4.取極限：當(dāng)分割越來越細(xì),且每個(gè)小區(qū)間的長度越來越小時(shí),上述近似值就越來越接近于精確值

A.記,則當(dāng)

時(shí),所有小區(qū)間的長度

都趨于零,于是

二、收益問題問題：設(shè)某商品的價(jià)格是購買量Q的函數(shù)(其中Q為連續(xù)變量),當(dāng)購買量從

a

變動(dòng)到

b時(shí)的收益

R

是多少？1.分割：用

n-1個(gè)點(diǎn)

把區(qū)間[a,b]分成

n

個(gè)小區(qū)間,每個(gè)購買量段

上的購買量為,相應(yīng)的收益為

從而總收益為

二、收益問題2.近似：當(dāng)

很小時(shí),在小區(qū)間

上變化也很小,可近似看作價(jià)格不變,任取一點(diǎn),把

作為該段的近似價(jià)格,因此該段的近似收益為3.作和：將n

段的收益加起來,即得收益R

的近似值4.取極限：當(dāng)分割越來越細(xì),且每個(gè)小區(qū)間的長度越來越小時(shí),上述近似值越來越接近于精確值

R.記,于是

二、收益問題共同點(diǎn)：曲邊梯形的面積和收益問題的計(jì)算,都采取了“分割—近似—作和—取極限”這些步驟,從而轉(zhuǎn)為相同結(jié)構(gòu)和式的極限定積分的概念Chapter2

一、定積分的定義

一、定積分的定義積分和

一、定積分的定義

二、定積分存在定理

三、定積分的幾何意義幾何意義：

三、定積分的幾何意義幾何意義：定積分的性質(zhì)Chapter3

一、定積分的性質(zhì)性質(zhì)1、2(線性性質(zhì))

(其中

為常數(shù)).性質(zhì)3(積分可加性)

一、定積分的性質(zhì)性質(zhì)4如果在區(qū)間

上,,則

性質(zhì)5如果在

上,,則

性質(zhì)7性質(zhì)6如果在區(qū)間

上,,則

一、定積分的性質(zhì)性質(zhì)8如果在區(qū)間

上,,則

一、定積分的性質(zhì)性質(zhì)9(積分中值定理)設(shè)

在區(qū)間

上連續(xù),則在區(qū)間

內(nèi)至少存在一點(diǎn)

c,使得

注：數(shù)

稱為函數(shù)

在區(qū)間

上的平均值.

幾何解釋

積分中值定理的幾何意義在區(qū)間

上至少存在一點(diǎn)

使以區(qū)間

為底邊,以曲線為曲邊的曲邊梯形的面積等于同一底邊而高為

的矩形的面積.

練習(xí)例1

練習(xí)例2

小結(jié)小結(jié)小結(jié)謝謝！

§4.2

微積分基本定理

CONTENT1

積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)目錄2

微積分基本定理

引言積分學(xué)要解決的兩個(gè)問題：一是原函數(shù)的求法問題；

二是定積分的計(jì)算問題.

如果我們要按定積分的定義來計(jì)算定積分,那將是十分困難的.因此,尋求一種計(jì)算定積分的有效方法便成為積分學(xué)發(fā)展的關(guān)鍵.

引言

不定積分作為原函數(shù)的概念與定積分作為積分和的極限的概念是完全不相干的兩個(gè)概念,但是,牛頓和萊布尼茨發(fā)現(xiàn)并找到了這兩個(gè)概念之間的內(nèi)在聯(lián)系,即所謂的“微積分基本定理”,并由此巧妙地開辟了求定積分的新途徑——牛頓—萊布尼茨公式.從而使積分學(xué)與微分學(xué)一起構(gòu)成變量數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)學(xué)科——微積分學(xué).積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)Chapter1

一、積分上限函數(shù)變上限定積分

二、微積分基本定理

二、微積分基本定理

練習(xí)例3

練習(xí)例4

微積分基本定理Chapter2

一、微積分基本定理注：該定理稱為微積分基本定理.

一、微積分基本定理

練習(xí)例5

練習(xí)例5

練習(xí)例6

練習(xí)例7

小結(jié)謝謝！

§4.3

換元積分法和分部積分法

CONTENT1換元積分法目錄2

分部積分法

積分法換元積分法Chapter1

一、換元積分法

一、換元積分法

一、換元積分法例8

一、換元積分法例9

一、換元積分法例10

二、練習(xí)例11

一、換元積分法換元公式可以反過來使用:

二、練習(xí)重要結(jié)論對(duì)稱區(qū)間上奇偶函數(shù)的定積分例12

二、練習(xí)例13分部積分法Chapter2

一、分部積分法

二、練習(xí)例14

二、練習(xí)例15

二、練習(xí)例16小結(jié)1、換元積分法2、分部積分法謝謝！

§4.4

定積分的應(yīng)用

CONTENT1平面圖形的面積目錄2旋轉(zhuǎn)體的體積3在經(jīng)濟(jì)上應(yīng)用平面圖形的面積Chapter1

一、元素法用定積分解決的問題的特點(diǎn):所求量聯(lián)系著一個(gè)基本區(qū)間所求量對(duì)區(qū)間具有可加性應(yīng)用定積分解決實(shí)際問題的常用方法元素法元素法的主要步驟:選取積分變量,確定積分區(qū)間求出所求量對(duì)應(yīng)于一個(gè)小區(qū)間的元素寫出所求量積分表達(dá)式元素的求法:在微小的局部以直代曲以不變代變曲線與直線及x

軸所圍曲邊梯形面積元素法:積分變量:x積分區(qū)間:[a,b]面積元素:

一、元素法所求面積:定積分幾何意義

二、平面圖形的面積

二、平面圖形的面積

二、平面圖形的面積

三、練習(xí)例17例18

三、練習(xí)較繁！

三、練習(xí)例19

三、練習(xí)例20旋轉(zhuǎn)體的體積Chapter2

一、旋轉(zhuǎn)體的體