江蘇省無錫市四校2024屆高三年級上冊12月學情調(diào)研數(shù)學試卷及答案

2023-2024學年度12月學情調(diào)研試卷

局二數(shù)學

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共計40分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.若集合人=樸2利，5=｛小=1鳴比則45=（）

A.[-2,2]B.[0,2]C.（0,2]D.[2,-Ko）

2.己知復數(shù)z滿足z（l+i）=2—2i（i是虛數(shù)單位），則I虛部為（）

A.2B.-2iC.-2D.2i

3.設平面向量均為單位向量，則“卜—2々=|2。+耳”是“aW的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

4.北京時間2020年11月24日我國嫦娥五號探月飛行器成功發(fā)射.嫦娥五號是我國探月工程“繞、落、回”

三步走的收官之戰(zhàn)，經(jīng)歷發(fā)射入軌、地月轉(zhuǎn)移、近月制動等11個關鍵階段.在經(jīng)過交會對接與樣品轉(zhuǎn)移階

段后，若嫦娥五號返回器在近月點（離月面最近的點）約為200公里，遠月點（離月面最遠的點）約為8600

公里，以月球中心為一個焦點的橢圓形軌道上等待時間窗口和指令進行下一步動作，月球半徑約為1740公

里，則此橢圓軌道的離心率約為（）

A.0.48B.0.32C.0.82D.0.68

5.兩個圓錐有等長的母線，它們的側面展開圖恰好拼成一個圓，若它們的側面積之比為1:2,則它們的體

積比是（）

A.l：V10B.1:75C.2:回D.2:退

6.等差數(shù)列｛4｝各項均為正數(shù)，首項與公差相等,,1-----/=，貝II%023的值為(

k=iyj(lk+dg+1

A.6069B.6079C.6089D.6099

7.已知函數(shù)/(幻=山(而71+%|+2,正實數(shù)a/滿足/(2a)+/3-2)=4,則"l+g的最小值為()

9

A5Bn.一C.4D.9

2

f（x\

8.已知函數(shù)/（x）在R上都存在導函數(shù)/'（x）,對于任意的實數(shù)方+力=e2"當》<0時,

/(%)-/f(%)>0,若“=與9,/?=ef(-l),c=5/lInjj,則a,4c的大小關系是()

A.a>c>bB.c>b>aC.c>a>bD.a>b>c

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對得5分，有選錯的得0分，部分選對得2分.

9.若a<b且aZ?wO,則下列結論成立的是（）

33

A—>-B.a<Z?C.同D.2。<3"

ab

10.函數(shù)/（x）=sin（0x+e）/>O,閘的圖象如圖所示，則（）

C.對任意的天都有/（x）2/［正）

D.”力在區(qū)間［-左,句上的零點之和為g

11.已知A（%,yJ,3（%2，%）是圓。：必+/=1上兩點，則下列結論正確是（）

A.若點。到直線AB的距離為《，則|A8|=6

B.若，LOB的面積為無，則NA03=C

43

C.若Xix2+弘%=|，則點。到直線AB的距離為

D.|%+%—1|的最大值為0+1，最小值為后—1

12.在正四棱錐尸一ABCD中，AB=g，巳4=百，點。滿足尸。=尸4+》48+,力。，其中工€[0,1],

ye[0,1],則下列結論正確的有()

A.|尸。|的最小值是應

B.當％=1時，三棱錐P-ADQ的體積為定值

TT

c.當％=y時，PB與。。所成角可能為一

6

D.當x+y=l時，A3與平面尸4。所成角正弦值的最大值為典

6

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.若命題“王：€[1,3],犬+依+1〉0”是假命題，則實數(shù)。的最大值為.

14.已知向量,卜2,匕在4方向上投影向量為_3a，則°力=.

15.如圖，“雪花曲線”也叫“科赫雪花”，它是由等邊三角形生成的.將等邊三角形每條邊三等分，以每

條邊三等分的中間部分為邊向外作正三角形，再將每條邊的中間部分去掉，這稱為“一次分形”；再用同

樣的方法將所得圖形中的每條線段重復上述操作，這稱為“二次分形”；L.依次進行“九次分形”

(“cN*).規(guī)定：一個分形圖中所有線段的長度之和為該分形圖的長度.若將邊長為1的正三角形“九次

分形”后所得分形圖的長度不小于120,則九的最小值是.(參考數(shù)據(jù)：坨2a。.3010,坨3亡0.4771)

/、21nx,x>l/、/、/、

16.己知函數(shù)={3c[，令g(x)=/(x)，當左=—e?時，有g(Xo)=O,則/=______

—X+2x,x<1

若函數(shù)g(x)恰好有4個零點，則實數(shù)人的取值范圍為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出必要的文

字說明，證明過程或演算步驟.

17.在一ABC中，NA,/B，NC的對邊別為“，b,c,若acosC+GasinC—6—c=0.

(1)求角A；

(2)若b+c=4,Sw=空，求心

/\/lOC-y|

18.已知數(shù)列｛a,｝的前幾項和為S“，且S〃+2"=24+l.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)求數(shù)列｛墨+(―1)用?3〃｝(附eN,)的前n項和Tn.

19.如圖，在四棱錐尸―A5CD中，底面ABC。，AD//BC,點M在棱PB上,

2

PM=2MB,點N在棱PC上，PA=AB=AD=-BC=2.

3

(1)若CN=2NP,。為的中點，求證：NQ〃平面PA5；

2PN

(2)若直線E4與平面AAW所成角的正弦值為§,求正的值.

20.如圖，半徑為1的光滑圓形軌道圓Q、圓儀外切于點“，點“是直線QQ與圓a的交點，在圓形

軌道。I、圓。2上各有一個運動質(zhì)點尸，。同時分別從點加、H開始逆時針繞軌道做勻速圓周運動，點P,

。運動的角速度之比為2：1,設點。轉(zhuǎn)動的角度為。，以a為原點，aa為x軸建立平面直角坐標系.

(1)若。為銳角且sin［。一巴］=也，求P、。的坐標;

I4J10

（2）求|PQ|的最大值.

21.已知橢圓C：r+y2=i（〃〉i）的上頂點為A,右焦點為尸，直線AF與圓

a

":犬2+>2_6%_2y+7=0相切.

（1）求橢圓。的方程；

（2）若不過點A的動直線/與橢圓相交于P,。兩點，若女人尸+心°=2,求證：直線/過定點，并求出該

定點坐標.

22.已知函數(shù)=2雙一兀之-21nx.

（1）若/（可在定義域內(nèi)單調(diào)，求實數(shù)。的取值范圍；

（2）若m,〃分別為/（X）的極大值和極小值，求機一〃的取值范圍.

2023-2024學年度12月學情調(diào)研試卷

局二數(shù)學

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共計40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

什施人4=卜卜~?4：B=(xly=log9%)AD-

1.若集合LJ,IU0-J,則A萬一(

A.[-2,2]B.[0,2]C.(0,2]D.[2,+co)

答案：C

解析：由f<4,可得—2W九W2,所以A={X|X2<4}=[—2,2],

由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得B=[x\y=log2=(0,+oo),

則Ac5=（0,2].

故選：C.

2.已知復數(shù)z滿足z（l+i）=2—2i（i是虛數(shù)單位），則1的虛部為（）

A.2B.-2iC.-2D.2i

答案：A

解析：因為z(l+i)=2—2i,

2-2i2。-i)。-i)2.

所以z=

1+i(l+i)。-i)一

則z=2i，所以z的虛部為2.

故選：A.

3.設平面向量°,b均為單位向量，則“卜—2q=|2a+.”是“a.”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

答案：C

解析：因為卜—2囚=|24+囚o同②_4a力+411=4|tz|2+4tz-b+\b^

oa?b=Uoa-Lb，

所以“卜-2囚='+囚”是“0’6”的充分必要條件，

故選：C.

4.北京時間2020年11月24日我國嫦娥五號探月飛行器成功發(fā)射.嫦娥五號是我國探月工程“繞、落、回”

三步走的收官之戰(zhàn),經(jīng)歷發(fā)射入軌、地月轉(zhuǎn)移、近月制動等11個關鍵階段.在經(jīng)過交會對接與樣品轉(zhuǎn)移階段后，

若嫦娥五號返回器在近月點（離月面最近的點）約為200公里，遠月點（離月面最遠的點）約為8600公里，

以月球中心為一個焦點的橢圓形軌道上等待時間窗口和指令進行下一步動作，月球半徑約為1740公里，則此

橢圓軌道的離心率約為（）

A.0.48B.0.32C.0.82D.0.68

答案：D

解析：由題意可知橢圓實軸長2a=200+8600+2x1740=12280,所以a=6140,

焦距2c=2a—（200+1740）x2=12280—3880=8400,所以c=4200,

c4200

所以橢圓的離心率0=上=」以土0.68,

a6140

故選：D.

5.兩個圓錐有等長的母線，它們的側面展開圖恰好拼成一個圓，若它們的側面積之比為1:2,則它們的體積

比是（）

A.1:710B.1:75c.2:710D.2:逐

答案：A

解析：設圓錐母線長為/,側面積較小圓錐半徑為一，

側面積較大的圓錐半徑為R,它們的高分別為〃、H,

則?！?（您/）=1:2,得R=2r,

因為兩圓錐的側面展開圖恰好拼成一個圓，

所以2兀??-—?,得/=3廠，

再由勾股定理，得口=，/2—/=2夜廠,

同理可得H=，尸-4=V5r-

所以兩個圓錐的體積之比為：

故選：A.

15]

6.等差數(shù)列｛4｝各項均為正數(shù)，首項與公差相等，￡亍―=則％023的值為()

k=l+,以+1

A.6069B.6079C.6089D.6099

答案：A

解析：設等差數(shù)列｛4｝的公差為d(d>0),

因為首項為與公差d相等，所以+5-1)2=加，

15111oli_

所以gI—+=工（7^'一向）=7（116/_期）=—^—=百,所以d=3,

所以。2。23=2023義d=2023x3=6069,

故選：A.

7.已知函數(shù)/(0=山(7711+目+2,正實數(shù)滿足/?(2a)+/S-2)=4,則■!+:的最小值為()

Q

A.5B.-C.4D.9

2

答案：B

解析：因為/(x)=ln(Jd+l+x)+2,

所以/(x)+/(-尤)=In(Jx?+1+x)+2+ln(Jf+]一])+2=4,

故函數(shù)/(%)關于(0,2)對稱；

又〃龍)的定義域為R,/(x)=ln(4rli+%)+2,

所以由復合函數(shù)的單調(diào)性可判斷了(九)在R上單調(diào)遞增；

又/（24）+/3-2）=4,所以2a+A—2=0,即2。+b=2,

又—。,故常女+>2?)=,5+衿］>1‘5+2,2b2a'9

"2lab,2

當且僅當一二/，即a=b=—時，等號成立.

ab3

21Q

所以一+丁的最小值為一.

ab2

故選：B.

f(\

8.已知函數(shù)/(x)在R上都存在導函數(shù)/'(%),對于任意的實數(shù)7亡xj=e2x,當無<0時,

/(%)-/(%)>0,若〃=*2)，/7=ef(-l),c=5/Hn|j,則”,dc的大小關系是()

A.a>c>bB.c>b>aC.c>a>bD.a>b>c

答案：B

解析：令8(%)=駕，因為無<0時，/(X)—r(x)>0,

c

所以當x<0時，g，(x)=/⑴一/()<0,則g(x)在(—8,0)上單調(diào)遞減，

e%

因為g(x)=J學的定義域為R,又;^\=e"，則/⑴=以二?,

eAf(~x)eYe「工

所以g(—x)=/tD=/5=g(x),所以g(x)為偶函數(shù)，

e%ex

故g(x)在(0,+s)上單調(diào)遞增,

又a="2)=g(ln2),=ef(-l)=g(-l)=g(l),

Tin：^fln|Ug(-ln5)=g(ln5),

而In5>l>ln2,所以g(ln5)>g⑴>g(ln2),^c>b>a.

故選：B.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對得5分，有選錯的得0分，部分選對得2分.

9.若a<b且abwO,則下列結論成立的是()

11

A.—>—B.a3<b3C.a|?|</?|Z?|D.2a<3b

ab

答案：BC

解析：對于A,取a=—1力=1,滿足a<b,止匕時工=—1<1=工，A錯誤;

ab

對于B,a<b,由不等式性質(zhì)知，/〈尸成立，B正確;

對于C,當a<O<Z?時，a|a|<0</?|/?|,當0<a<5,0<|o|<|Z?|,則。同</?網(wǎng),

當a</?<0時，—a>—b>3|a|>|Z?|>0,則一4|。|>一加5|>。，于是《《〈”闿,

因此若a<Z?且a/?wO,則。同<用|成立，C正確;

對于D,取a=-3/=—2,滿足a<b,而2。=1>工=3",D錯誤.

89

故選：BC

10.函數(shù)/（x）=sin（0x+e）（0>O,|9|<gJ的圖象如圖所示，則（

C.對任意的x都有“X）2/[五

D.”力在區(qū)間[-肛句上的零點之和為事

答案：AB

解析：由題圖可知函數(shù)/（九）的最小正周期為T=等一2]="，則。=至=2,

所以，〃x）=sin（2x+0）,把仁,1）代入得l=sin5+9）,則（=]+2左左（左eZ）,得

夕=（+2左〃（左eZ）,

|^|<—,：.(p=—,則AB選項均正確;

26

/(x)=sinf2x+^j,當x=時，/(x)=0,不滿足對任意的x都有/(x)2/隹)，c錯誤;

-711U13萬

XE[-71.7l\,2xH—e

6

則/(%)共有4個零點，不妨設為。、b、c、d,且a<6<c<d,

則2a+工+26+工=2x］上］,2c+-+2J+-=2x—,

66I2)662

4

兩式相加，整理得2a+2b+2c+2d=—TI,

3

977-

故/(%)的所有零點之和為a+6+。+d=-^-，D錯誤，

故選：AB.

11.已知A(%,%),5(%,%)是圓。：d+y2=i上兩點，則下列結論正確的是()

A.若點。到直線AB的距離為則|AB|=6

B.若的面積為也，則4。3=二

43

C.若%々+%為=3,則點。到直線A3的距離為孝

D.上+%—1|的最大值為a+1，最小值為0—1

答案：AC

解析：對于A：易知圓。：/+/=i的半徑廠=i,

因為點。到直線A3的距離d=,，

2

所以|AB|=24_/=2^171=0,

即選項A正確；

對于B：因為的面積為走，

4

所以L|a4||OB|sinNAO3=^，

24

即』sinNA03=@,解得sin/A03=走，

242

因為0<NAOB<7i,

JT9jr

所以ZAOB=—或ZAOB=—,

33

即選項B錯誤；

對于C：因為%%=3，所以。

即|0A\?|OB|cosZ.AOB=—,即cosZAOB=—,

22

TT

因為0<NAO5<TI,所以NAOB=—,

3

即.AOB是邊長為1的等邊三角形，

所以點。到直線A3的距離為也，

2

即選項C正確；

對于D：由題意設芯=cos。，M=sin。，且0<8<2兀，

則xl-l|=|cos<9+sin^-l|=|^sin^+^-1

717TQTI

因為0<。<2JI，所以一—?—，

444

則-1?sin(8+-)<1,-V2<叵sin(8+-)<72,

44

-V2-l<V2sin(6>+-)-l<V2-l,

4

所以OW|0sin(6+C)—1區(qū)a+1,

4

即0?|%+%-1區(qū)行+1,

即選項D錯誤.

故選：AC.

12.在正四棱錐P—ABCD中，AB=O，PA=6,點。滿足尸。=PA+xA3+yAO,其中xe[0,l],

ye[0,1],則下列結論正確的有（）

A.\PQ\最小值是J5

B.當x=l時，三棱錐尸-A。。的體積為定值

7T

c.當時，依與八2所成角可能為:

6

D.當x+y=l時，A3與平面PAQ所成角正弦值的最大值為叵

6

答案：ABD

解析：由PQ=PA+xA3+yA￡）,可得PQ—PA=AQ=xAB+,其中xe[0,l],ye[0,l],

所以Q為正方形ABCD內(nèi)的點（包括邊界）,

在正四棱錐P—ABCD中，AB=垃,PA=M，設A。BD=O,連接尸0,

則PO1平面ABC。，OA=OB=1,PO=42,

對A,由題可知|PQ|N|P。|=四，當。,0重合時取等號，故A正確；

對B,當％=1時，AQ=AB+yAD,即BQ=yA￡>,故。在線段上，

因為AD/ABC,所以三角形ADQ的面積為定值，而三棱錐尸-ADQ的高尸。為定值，故三棱錐尸-ADQ的

體積為定值，故B正確；

對C,當x=y時，AQ=x^AB+AD^=xAC,故Q在線段AC上，

由題可知PO±OB,OB工OA,POcOA=O,PO,OA<=平面PAC,故0B，平面PAC,

所以P0為PB在平面PAC內(nèi)的射影，NBPQ>ZBPO,

而在RtZ\POB中，tanN8P0=3=交>立，所以NBPO>乃,ZBPQ>~,故PB與尸。所成角不

V22366

兀

可能為：，故C錯誤；

6

對D,當x+y=l時，AQ=xAB+yAD,故。在線段3。上,

如圖以。為原點建立空間直角坐標系，設0(0/⑼(―1WM1),則4。,0,0),3(0,1,0),網(wǎng)0,0,、目,

所以AB=(—1,1,0),AP=/1,0,0),AQ=(—1/O),

設平面P42的法向量為加=(。3,c),則7,

m-AQ=-a-^-tb=0

令b=0，則m=(",0,。，設AB與平面PAQ所成角為0,

AB-m|A/2-A/2/|

所以sin。

ABI-Iml"j3/+2

2（51乂3/+2）6《”1）2_（Z-1）（6?+4）

設/⑺，<-!』，則/'。)=

”+2）2（3r+2）2

所以當teT，T時，/'⑺>0,/(。單調(diào)遞增，當代|，1)時,廣⑺<0,/(。單調(diào)遞減,

所以/⑺max

故選：ABD.

點睛：關鍵點點睛：本題的關鍵是根據(jù)向量關系結合條件得到點。的位置，然后結合條件利用立體幾何知識

解決即得.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.若命題“王：€[1,3],三+依+1>0”是假命題，則實數(shù)。的最大值為.

-10

答案：---

3

解析：由題知命題的否定“\/%￡口,3],犬2+依+1＜?！笔钦婷}.令/（%）=%2+〃犬+i（犬6口，3]）,則

/⑴=〃+2V0,

解得k，故實數(shù)。的最大值為-k.

“3)=3〃+10V0,33

故答案為：----?

3

14.已知向量口=2,》在4方向上的投影向量為-3。，則。必=.

答案：-12

解析：因為》在a方向上的投影向量為-3a，卜|=2,

b-aa卜.°,_

所以仃,0=-30，即=所以。.0=—12.

網(wǎng)rl4

故答案為：-12.

15.如圖，“雪花曲線”也叫“科赫雪花”，它是由等邊三角形生成的.將等邊三角形每條邊三等分，以每條

邊三等分的中間部分為邊向外作正三角形，再將每條邊的中間部分去掉，這稱為“一次分形”；再用同樣的方

法將所得圖形中的每條線段重復上述操作，這稱為“二次分形”；L.依次進行“〃次分形"（“eN*）.規(guī)

定：一個分形圖中所有線段的長度之和為該分形圖的長度.若將邊長為1的正三角形“九次分形”后所得分形

圖的長度不小于120,則〃的最小值是.（參考數(shù)據(jù)：1g2a0.3010,1g3ao.4771）

答案：13

4

解析：依題意可得“九次分形”圖的長度是“n-1次分形”圖的長度的一,

3

由“一次分形”圖的長度為工x4x3=4,

3

4

所以“每次分形”圖的長度可看成是首項為4,公比為一的等比數(shù)列,

3

所以“九次分形”圖的長度為4x

故4x>120，即>30，兩邊取對數(shù)得("—1)(21g2-1g3)21+1g3,

l+lg31+0,4771

所以“一12-11.8,則/212.8,

21g2-lg32x0.301-0.4771

又“eN*，故〃的最小整數(shù)值是13.

故答案為：13.

2InxxN1

16.已知函數(shù)={3］，令g(x)=/(x)—Ax,當左=—e?時，有8小)=0,則為=

—X+2x,x<1

若函數(shù)g(x)恰好有4個零點，則實數(shù)左的取值范圍為.

答案：①.0或_Je2+2②.1°，|)

解析：當左=—e?時，g(xo)=O,即/(Aj+e?%,=0,

2

當工21時，21nx0+ex0=0,令/z(x)=21nx+e2］,x>l,

2

〃(%)=—+>0在［1,+00)上恒成立，

X

故/z(x)=21nx+e2jt在［l,+o。)上單調(diào)遞增，

又/z(l)=e2>0,故/z(x)=21nx+e2］>0在［l,+oo)恒成立，無解，

當x<l時，—X：+2毛+e'o=0,即(―尤：+2+e2)x()=0,

故X。=0或一片+2+e2=0,

解得%=0或+2或7e2+2，

但Je2+2>1舍去，其余兩個滿足要求，

當x=0時，—o3+2xo—o.左=0，故。為g(x)的一個零點,

當xwO時，令g(%)=0,

當時，—1=k,當xe(—8,o)_(o,l)時，_f+2=左,

X

21nx

e[L+a)

令1(%)=<%

-x2+2,xe(-co,0)o(0,1)

2-21nx

當時，f(x)

當％〉e時，f(x)<0,r(x)單調(diào)遞減，當lWx<e時，?尤)>0,1％)單調(diào)遞增,

2

故《尤)在％=6時取得極大值，也是最大值，且f(e)=—,

e

且當光>1時，《x)>0恒成立，

畫出其圖象如下,

四、解答題：本題共6小題，共70分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出必要的文字

說明，證明過程或演算步驟.

17.在，ABC中，/A，NB，NC的對邊別為〃，b,c,若acosC+GasinC—6—c=0.

(1)求角A；

(2)若b+c=4,5人4”="，求a.

/y|

答案：(1)A=；

(2)a-y/1

小問1解析:

因為4(\)5。+6。5111。一/7—。=0

由正弦定理得：sinAcosC+A/3sinAsinC=sinB+sinC

即sinAcosC+A/3sinAsinC=sin(A+C)+sinC,

所以sinAcosC+A/3sinAsinC=sinAcosC+cosAsinC+sinC

即由sinA-cosA=1，

故sin|A-:|=二，由A為三角形內(nèi)角可得A-二=二,

66

小問2解析：

<_1,.,73,_373

△ABC244

be=3

由余弦定理。2-b1+c2-2Z?ccosA=(Z?+c)2—3bc,

又、>+c=4,代入得a=^/7.

18.已知數(shù)列｛〃J的前〃項和為臬，且S〃+2〃=24+l.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)求數(shù)列｛梟+(―I)””?3JeN*)的前〃項和卻

答案：(1)4=小2"一

⑵KF+

小問1解析:

由S“+2"=2a“+l①

當〃=1時，S]+2=2al+1,所以%=1

當“之2時，S,T+2"T=24T+1②

①②式相減得??+2〃T=2%T+1,即4—2a,i=2"T

兩邊同除以2"得，墨一白=；，

又3=工，所以數(shù)列[務]是以J為首項，J為公差的等差數(shù)列,

22[2n\22

=g+—=則與="-2'T

小問2解析：

可知數(shù)列是以g為首項，g為公差的等差數(shù)列，

可知數(shù)列｛(-3")是以3為首項，-3為公比的等比數(shù)列，

4=[；+1+?++W]+[3+(-9)+27+(-l)n+1-3M

I乙乙乙)J—

3[1—(―3)〃

~~21-(-3)

3^1-(-3)"

「j+

444

19.如圖，四棱錐P—ABCD中，以，底面ABC。，A￡)〃BC,AB16c.點〃在棱依上,=2MB，

點N在棱PC上，PA=AB=AD=-BC=2.

3

(1)若CN=2NP,。為的中點，求證：NQ〃平面P45；

2PN

(2)若直線以與平面AMN所成角的正弦值為求證的值.

答案：(1)證明見解析

⑵九

小問1解析:

證明：過M作的平行線交PC于〃，連接他,

PMPHMHPH2

,又'PM=2MB，,:.HC=-PC,又CN=2NP,

PB~PC~BCPC33

:.NH=PN=HC,.?.N為PH的中點，又。為的中點,

:.NQ//HD,

XMH=-BC=2又A￡>=2,AD/IBC,

39

:.AD//MH,且AD=MH,

，四邊形MMM是平行四邊形,

:.HD//MA,:.NQ//AM,

NQZ平面PAB，AMu平面PAB,NQII平面PAB

小問2解析：

以A為坐標原點，AB,AD,AP所在直線為坐標軸建立如圖所示的空間直角坐標系,

則A(0,0,0),A/(—,0,§),尸(0,0,2).C(2,3,0),AM=(―,0,—),

A尸二(0,0,2).PC=(2,3,-2),

:?設PN=ATC=Q九,32,-22)(0<2<1),

AN=AP+PN=(0,0,2)+(24,3%,—24),=(24,3」,2—24)

設平面的一個法向量為〃=(%,y,z),

n-AM=—x+—z=04-62

則j33,令x=l,貝i」2=—2y~

32

n-AN=22x+32y+(2—22)z=0

「?平面AMN的一個法向量為〃=(1,土4-6詈2，-2),

3/t

設直線PA與平面AAW所成角為氏

..AP-n.4I,則」

n>1=1------------1=

/.sin0=|cos<AP，".川2卜4+(3與

3

PN_1

PC-3

20.如圖，半徑為i的光滑圓形軌道圓a、圓a外切于點加，點〃是直線aa與圓°?的交點，在圓形軌

道。I、圓。2上各有一個運動質(zhì)點P,。同時分別從點M、”開始逆時針繞軌道做勻速圓周運動，點尸，Q

運動的角速度之比為2：1,設點。轉(zhuǎn)動的角度為。，以a為原點，aa為x軸建立平面直角坐標系-

(1)若。為銳角且sin1e—乙兀]=也

，求產(chǎn)、。的坐標;

410

(2)求的最大值.

答案：(1)《(7石‘石24、"134

T5?

⑵還

4

小問1解析:

JT兀兀

因為。為銳角，所以"V

所以sin"s4L」71"]=巨也+逑x也

441021025

.________o

所以cos。=vl-sin28=g

24c7

所以sin2e=2sinecos8=—,cos26^=2cos20-1=-----

134

所以。

T9?25'25

小問2解析：

因為點尸，。分別運動的角速度之比為2：1,

所以當點。轉(zhuǎn)動的角度為夕時，尸轉(zhuǎn)動角度為29,

因此P(cos2asin2。),Q(2+cos0,sin8).

\QP^=(cos20-cos0-2)2+(sin28-sin

=cos22^+cos2^+4-2cos2^cos^-4cos2^+4cos0+sin22^+sin2-2sin26sin0

=6-2(cos20cos0+sin20sin8)-4cos28+4cos0

=6-4cos28+2cos0

-—8cos26+2cose+10,

所以當cos8=：時，|PQ『取得最大值—8x(』］+2xi+10=—，

o18)88

所以|PQ|的最大值為述.

21.已知橢圓C:=+/=1（?！?）的上頂點為A,右焦點為尸，直線A尸與圓M:必+V—6x—2y+7=0

相切.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若不過點A的動直線/與橢圓相交于尸，