2022年北京各區(qū)(朝陽海淀豐臺(tái)東西城)數(shù)學(xué)高考二模試題匯編含答案 空間向量與立體幾何

2022-2023學(xué)年度第二學(xué)期北京市各區(qū)高三一模試卷匯編

《空間向量與立體幾何》

1、（2022年北京高考）如圖，在三棱柱ABe-A4G中，側(cè)面BCc內(nèi)為正方形，平面

BCC平面ABgA,AB=BC=2,M,N分別為NC的中點(diǎn).

□1□求證：MN〃平面BCC罔;

□2□再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線/8與平面BMN所成

角的正弦值.

條件①：AB1MN；

條件②：BM=MN.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

2、（海淀一模）如圖，直三棱柱ABC-A冉C中，AC=BC=I,AA=2,AClBC,。是AA

的中點(diǎn).

A

⑴證明：平面BC。；

⑵求直線CD與平面BCQ所成角的正弦值.

3、（西城一模）如圖，在四棱錐P-ABC。中，Λ4，平面ABeO,AB//CD,ABLAD,AB=I,

PA=AD=CD=I.E為棱PC上一點(diǎn),平面4BE與棱PD交于點(diǎn)八再從條件①、條件②這

兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為己知，完成下列兩個(gè)問題

⑴求證：尸為尸D的中點(diǎn)；

（2）求二面角B-FC-P的余弦值.

條件①：BE//AF；

條件②：BE±PC.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

4、（朝陽一模）如圖，在三棱柱ABC-中，4U平面/8C,D,E分別為/C,AG的

⑴求證：AC_L平面友）￡；

⑵求直線DE與平面ZBE所成角的正弦值;

⑶求點(diǎn)D到平面/8E的距離.

5、（東城一模）如圖，在長(zhǎng)方體ABCO-A4GR中，Aa=AD=2,BO∣和BQ交于點(diǎn)￡,F

為48的中點(diǎn).

⑴求證：EFEl平面AQqA；

（2）再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求

（i）平面CEE與平面BCE的夾角的余弦值；

（?i）點(diǎn)Z到平面CM的距離.

條件①：CEIB1D;

條件②：直線4。與平面8CC∣4所成的角為

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

6、（豐臺(tái)一模）

如圖，在四棱錐P-MS中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，AC交BD于點(diǎn)O,ZBAD=60°,

PB=PD?點(diǎn)E是棱功的中點(diǎn)，連接OE,OP.

⑴求證：OE//平面PCr）；

⑵若平面以C與平面PC。的夾角的余弦值為W,再從條件①，條件②這兩個(gè)條件中

選擇一個(gè)作為已知，求線段OP的長(zhǎng).

條件①：平面Pa，平面ABa>；

條件②：PBlAC.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

7、（房山一模）如圖，四棱錐P-ABeo的底面是矩形，H八底面Z8C。，

PD=DC=2,AD=2>j2,M為BC的中點(diǎn).

P

⑴求證：A"1平面尸8。；

⑵求平面ABCD與平面ZPW所成角的余弦值;

⑶求。到平面/PW的距離?

8、（石景山一模）如圖，在四棱錐P-AfiS中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)面PAO

為等腰直角三角形，且NPA。=5,點(diǎn)尸為棱PC上的點(diǎn)，平面4）F與棱尸8交于點(diǎn)E.

⑴求證：EFIIAD-

⑵從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知，求平面P8與平面相＞莊

所成銳二面角的大小.

條件①：AE=√2;

條件②：平面尸ADJ■平面ABa）；

條件③：PBLFD.

注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得。分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別

解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

9、（房山一模）如圖，已知正方體ABCC-A4G",則下列結(jié)論中正確的是（）

A.與三條直線A8,cq,RA所成的角都相等的直線有且僅有一條

B.與三條直線48,CGQM所成的角都相等的平面有且僅有一個(gè)

C.到三條直線48.CC，RA的距離都相等的點(diǎn)恰有兩個(gè)

D.到三條直線CGQA的距離都相等的點(diǎn)有無數(shù)個(gè)

10、（朝陽一模）在長(zhǎng)方體A8CZ）-A8CQ中，Aa與平面AM相交于點(diǎn)加，則下列結(jié)論

一定成立的是（）

A.AMYBDB.A1M1BD

C.AM=^MCiD.MB=MD

11、（東城一模）設(shè)加，”是兩條不同的直線，%夕是兩個(gè)不同的平面，且〃zuɑ,a//β,

則"相，〃"是"〃，尸"的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

12、（豐臺(tái)一模）如圖，在直三棱柱ABC-A4G中，AClBC,AC=2,BC=?,A?=2,

點(diǎn)。在棱AC上，點(diǎn)E在棱BBl上，給出下列三個(gè)結(jié)論:

①三棱錐E-ABD的體積的最大值為I;②4。+以的最小值為血+石；

③點(diǎn)。到直線GE的距離的最小值為W.

其中所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）

A.OB.1C.2D.3

13、（海淀一模）在JUSC中，ZAC8=90。，AC=BC=2,。是邊/C的中點(diǎn)，E是邊上

的動(dòng)點(diǎn)（不與48重合），過點(diǎn)E作4C的平行線交BC于點(diǎn)E將ZXBE尸沿EE折起，

點(diǎn)8折起后的位置記為點(diǎn)P,得到四棱錐尸-ACEE.

如圖所示.給出下列四個(gè)結(jié)論:

①AC//平面「EE；

②/EC不可能為等腰三角形；

③存在點(diǎn)E,P,使得尸ZUA￡；

④當(dāng)四棱錐尸-ACFE的體積最大時(shí)，AE=Q.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

14、（西城一模）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCO-AtBCQ中，點(diǎn)M,N分別在線段AR

給出下列四個(gè)結(jié)論：

①M(fèi)N的最小值為2；

②四面體NMBC的體積為g；③有且僅有一條直線MN與4。垂直；

④存在點(diǎn)M,N,使AMBN為等邊三角形.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是—.

15、（2022年北京高考）已知正三棱錐P-ABC的六條棱長(zhǎng)均為6,S是_AfiC及其內(nèi)部

的點(diǎn)構(gòu)成的集合.設(shè)集合T={Q∈S∣PQ<5},則T表示的區(qū)域的面積為（）

3Ti

A.—B.%C.2πD.3乃

4

2022-2023學(xué)年度第二學(xué)期北京市各區(qū)高三一模試卷匯編

《空間向量與立體幾何》參考答案

1、（1）取AB的中點(diǎn)為K,連接MK,NK,

由三棱柱ABC-ABlG可得四邊形ABB1A1為平行四邊形，

而BlM=MAI,BK=KA,則MK∕∕BBl,

而MKU平面CBBC,BBlU平面CBBC,故MKH平面CBB￡,

而CN=NA,BK=KA,則NK〃BC,同理可得NK〃平面CB用C∣,

而NKMK=K,NK,MKu平面MKN,

故平面MKNH平面CBB∣G，而MNU平面MKN,故MNH平面CBBG,

(2)因?yàn)閭?cè)面CBBlG為正方形，故CB_LB4，

而CBU平面CBBG,平面CBBC?平面ABBlAl,

平面CBgGC平面ABBtAi=BBt,故CB_L平面ABB1A1,

因?yàn)镹K/1BC,故NKJ_平面ABBlAi,

因?yàn)锳Bi平面A8B∣4,故NK_LAB,

若選①，則而NKLAB,NKMN=N,

故AB_L平面MNK,而斯U平面MNK,故AB_LMK,

所以A8L84，而C8LB4，CBcAB=B,故Bg，平面ABC,

故可建立如所示的空間直角坐標(biāo)系，則3(0,0,0),A(0,2,0),N(l,l,0),M(0,l,2),

故BA=(0,2,0),BN=(1,1,0),BM=(0,1,2),

設(shè)平面BMW的法向量為"=(x,y,z),

n?BN=0fx+y=0/、

則，從而｛CC，取Z=—1,則〃=(-2,2,T,

n-BM[y+2z=0'7

/--?42

設(shè)直線AB與平面BMW所成的角為。，則sin6=COSG?,

2x33

若選②，因?yàn)镹K"BC,故NKJ_平面AB旦A,,而KMU平面Λ∕∕GV,

故NK上KM,而BlM=BK=1,NK=I,故BlM=NK,

而BIB=MK=2,MB=MN,故BBIM=MKN,

所以NBBlM=NMKN=90°,故ABl1BB1,

而CBCAB=B,故BBlJ.平面AB

故可建立如所示的空間直角坐標(biāo)系，則

B(O,O,O),A(O,2,O),2V(1,1,O),M(O,1,2),

故BA=(0,2,0),BN=(1,1,0),3M=((U,2),

設(shè)平面BNM的法向量為〃=(%y,z),

則，從而｛二八，取z=T,則〃=(一2,2,T),

n-BM=0[y+2z=Q

設(shè)直線AB與平面BMW所成的角為。，則

Sine=COSaAe)=-------=—.

\!2x33

2、(1)證明：在直三棱柱48C-ABC中，CCa平面ABC,且AC工BC,

以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，C4、CB、”,所在直線分別為八八Z軸建立如下圖所示的空間直

角坐標(biāo)系，

則點(diǎn)B((U,0)、C(0,0,0)、G(0,0,2)、O(1,0,1),CB=(OJO)'CQ=(1,0,1)、C,D=(1,O,-1),

所以，CBGD=Q,CoeQ=I+0—1=0,則CQ?LC8,C1DICD,

又因?yàn)镃8CD=C,CB、COU平面BeD,因此，CQL平面BCD

(2)解:設(shè)平面BCQ的法向量為ZM=(X,y,z),娼=(OT2),

則“84=7+2Z=O

取Z=I可得加=(L2,1),

[mC1D=x-z=O

CDm2√3

所以，c。S(CQ,外=

∣CD∣-∣∕n∣^√2×√6^3，

因此，CD與平面BGo所成角的正弦值為

3、(1)選條件①：BE//AF

因?yàn)棣獴〃CD,A8(Z平面PCQ,Cz)U平面Pa),

所以AB//平面PCZ)

因?yàn)槠矫鍭BEFC平面PCD=EF,

所以AB〃"'

又BEIlAF,所以四邊形ABEF為平行四邊形.

所以AB〃所且ΛB=EF.

因?yàn)棣獴∕∕8且A8=gcD,所以爐〃CD且所=ga>.

所以EF為一PCD的中位線.

所以F為尸。的中點(diǎn).

選條件②：BESC.

因?yàn)镻AL平面ABa),AB,4。u平面488,所以PA,A8,PA,AD.

在Rt—PA8中，PB=Λ∣AB2+AP2=√5.

在直角梯形ABC。中，

由AB=1,AD=CD=2,可求得BC=石，所以尸3=3C.

因?yàn)?ELPC,所以E為PC的中點(diǎn).

因?yàn)锳B。，ABz平面PC￡>,CDu平面PCr),所以AB〃平面PO

因?yàn)槠矫鍭BEFC平面PS=E尸，所以A8〃￡F.所以CD〃EF,

所以尸為尸。的中點(diǎn)；

(2)由題可知因?yàn)镻AJ_平面ABa),所以PAJ.AB,PAI.AO.

又AB_LA￡>,所以四,AD,AP兩兩相互垂直.

如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)ryZ,

則A(0,0,0),8(1,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2),￡>(0,2,0),尸(0,1,1).

所以BC=(1,2,0),BF=(-1,1,1),AF=(O5I1I).

設(shè)平面8b的法向量為"z=(χ,y,z),則“'C",即x+2y=0,

m-BF=Q-x+y+z=0.

令y=T,則x=2,z=3.于是，=(2,7,3).

因?yàn)棣獴1平面皿>,AB//CD,所以CDL平面PAQ,

又AFU平面PA￡),所以A尸_LC￡>.

又以=AD,且F為尸。的中點(diǎn)，所以AFLPD.CDCPD=D,CD,PDu平面PCD,

所以AF_L平面PC。，所以AF是平面PS的一個(gè)法向量.

由題設(shè)，二面角B-FC-P的平面角為銳角，

所以二面角B-FC-P的余弦值為。.

4、(1)在三棱柱中，D,E為AC,AG的中點(diǎn)，ΛDE//AA,,

??Λ4J平面A3C,ΛDE√5FEABC,

「ACu平面ABC,ΛDEJ.AC,在三角形ABC中，AB=BC,￡＞為AC中點(diǎn)，:.ACJ.BD,

,：DECBD=D,OE,Bθi平面3OE,AC_L平面3OE.

如圖，以。為原點(diǎn)，分別以D4，。民。E為x，%z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

在直角三角形ABQ中，AB=√5,AD=^AC=l,：.BD=2,

0(0,0,0),￡(0,0,2),A(l,0,0),B(θ,2,θ),

DE=(0,0,2),AB=(-1,2,0),ΛE=(-l,0,2),

設(shè)平面ABE的法向量為m=(x,y,z),

AB?tn=-x+2y=0A~、

■，令x=2,則miy=l,z=l,所以m=(2,l,l),

AE?m=-x+2z=0

設(shè)直線OE與平面4汨所成角為0,

I/\I?DE?n?2√6

所以Sine=?cos(DE,m‰J~r-Λ=——/.

1'AD￡-/n2×√4+l+l6

∣Df?w∣2∕β

(3)設(shè)點(diǎn)。到平面ABE的距離為d,所以“=Fpl=笈=苧λ.

5、(1)如圖，連接AA,B1D1,BD.

因?yàn)殚L(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，陰〃DDt且BBt=DD1,

所以四邊形BBQ。為平行四邊形.

所以E為BA的中點(diǎn)，

在ABD中，因?yàn)镋,尸分別為犯和AB的中點(diǎn)，所以E尸〃他.

因?yàn)镋F<Z平面AORA,4。U平面ADRA,

所以庚'〃平面AARA1.

(2)選條件①：CELBtD.

(i)連接4C.

因?yàn)殚L(zhǎng)方體中AAI=AD=2,所以4C=20.

在ACBA中，因?yàn)镋為用。的中點(diǎn)，CELBQ,

所以CD=BC=20.

如圖建立空間直角坐標(biāo)系。-孫Z,因?yàn)殚L(zhǎng)方體中A1A=4。=2,CD=2√2,

則。(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2√2,0),B(2,2√2,0),F(2,√2,0),

Bl(2,2√2,2),E(l,√2,l).

所以CE=(1,-√Σ,1),CF=(2,-√Σ,0),CB=(2,0,0).

設(shè)平面CEF的法向量為m=(%,χ,z∣),

則Kd即卜一"T。，Q=],

則X=34=1,可得〃7=(1,J∑,l).

in?CF=0,2x1-√2γ1=0.

設(shè)平面BCE的法向量為〃=(今必必)，

則卜‘『‘即卜一&一?=。，

∣n?CB=0,[2X2=0.

令%=1,則％=。，Z2=√2,所以〃=(0,1,&).

設(shè)平面CEF與平面BCE的夾角為，，

貝!]cosθ=|cos<m,n>∣=∣""∣=.

∣m∣∣nI3

所以平面CM與平面BCE的夾角的余弦值為半.

([。因?yàn)槎肥抟病?，

所以點(diǎn)A到平面CE尸的距離為"=華批=1.

選條件②：⑸。與平面BeC4所成角為夕

4

連接BC.

因?yàn)殚L(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，CO，平面BCCiBl,BCU平面BCC1B1,

所以CO_LB0.

Tr

所以NDBC為直線B1D與平面BCC1B1所成角，即ZDB1C=:.

所以，08C為等腰直角三角形.

因?yàn)殚L(zhǎng)方體中ΛA=AO=2,所以與C=2√L

所以CD=Be=2&.

以下同選條件①.

6、(1)因?yàn)榈酌鍭SCD是菱形，所以。是AC中點(diǎn)，

因?yàn)镋是棱用的中點(diǎn)，所以O(shè)E//PC,

又因?yàn)槭珻U平面尸修，OEa平面H?

所以O(shè)E//平面以Z(2)選擇條件①：

因?yàn)槭?=。，。是班＞的中點(diǎn)，所以PO_LM,

因?yàn)槠矫鍼BDJ■平面ABCD,平面PB。平面ABCD=BD,

POU平面PBD,

所以Po上平面A8CD,因?yàn)锳CU平面ABCD,所以PoJ_AC,

又ACLBD,所以08,OC,OP兩兩垂直，

以。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系。-孫z,

因?yàn)榱庑蔚倪呴L(zhǎng)為2,ZBAD=Gd

所以BO=2,AC=2√5,

所以C(0,√3,()),D(-l,0,0),設(shè)P(0,0√)(f>0),

所以O(shè)C=(1,√3,0),DP=(1,()J),

設(shè)〃=(x,y,z)為平面PCZ)的一個(gè)法向量，

由[〃_L%,得產(chǎn)C=O,所以卜+底,=0,

nVDP,[n-DP=Q,[x+tz=O,

?X=y∕3t,y=-t,z=-?∣3,所以“=(",T,-百)，

因?yàn)?。1平面PAC,所以平面PAC的一個(gè)法向量為4=(1,0,0),

平面陽。與平面D的夾角的余弦值為半，

所以Icos<n,n>1=Yj?,所以一J廠丁呸坐一產(chǎn)—=,

1l15"(ay+(T)2+(D5

所以5/=4r+3,所以r=3,因?yàn)镃O,所以"0,所以f=G?所以線段⑺的長(zhǎng)為6.

選擇條件②：

因?yàn)镻8_LAC.在菱形438中，BDA.AC,

因?yàn)锽r)U平面MRPBu平面PB2P8BD=B,

所以ACl■平面P8D,

因?yàn)镻OU平面P8D,所以ACLPO,因?yàn)槭?ACL80,

所以08,OC,OP兩兩垂直，

以。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系。-孫z,

因?yàn)榱庑蔚倪呴L(zhǎng)為2,ZBAD=60°

所以BE>=2,AC=2√i,

所以C(0,√3,0),D(T,0,0),設(shè)P(O,O√)(r>0),

所以DC=(1,6,()),E>P=(l,O,f),

設(shè)"=(XJZ)為平面PeD的一個(gè)法向量，

∫∕11DC,fn?DC=O,∫χ+√3y=0,

由i得所以n

nVDP,[n-DP=Q,{x+fz=O,

取x=?,y=T,z=-6,所以〃=(百石),

因?yàn)?。1平面PAC,所以平面PAC的一個(gè)法向量為4=(1,0,0),

平面為C與平面尸徵的夾角的余弦值為半，

所以^os<",%>卜g?,所以/Z-,產(chǎn)—="?>

1157(√3r)2+(→)2+(-√3)2×l5

所以5/=4r+3,所以r=3,因?yàn)閒>0,所以f>0,所以f=√i.

所以線段郎的長(zhǎng)為由.

7、(1)因?yàn)镈C=2,A。=2&,"為a'的中點(diǎn)，

.ADABr-

所ccκ以l一=，

AB——AM=√2

因?yàn)樗睦忮F尸-43CD的底面是矩形，

JT

所以NzMB=NMBA所以RtDAB^RtABM,VXZDBA=ZAMB,

TTTT

而ZMBD+NDBA=-,即ZMBD+AANB=-=>AM±DB,

因?yàn)镻r)J"底面/8(刀，AMu底面4%力，

所以PZ)IAM,而PB=B,DB,PBu平面物,

所以AMl平面PBD；

(2)因?yàn)镻D，平面力比〃AD,DCABCD,

所以P￡>_LA￡),PD_LZ)C,

因?yàn)橐驗(yàn)樗睦忮FP-Aβ8的底面是矩形，

所以AoJ_JDC,建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

y

D(0,0,0),P(0,0,2),A(2√2,0,0),M(√2,2,0),

因?yàn)镻Z)J_平面ABCD,

所以平面力閱9的法向量為AP=(0,0,2),

設(shè)平面4%的法向量為"=(χ,y,z),

PA=(2√2,0,-2),M4=(√2,-2,θ),

HlPA2?∣2x-2z=0/f-\

于是有n?r.^>72=(√2,1,2),

n±MA√2x-2y=0'f

DPn2×2

平面465與平面/制/所成角的余弦值為阿R=2χJ（可+不=沔

（3）由（2）可知平面力掰的法向量為〃=（夜,L2）,COMDPmv出，

所以〃到平面如涉的距離為閉?cos（Z）P,">=2χT√^q/

8、（1）證明：因?yàn)榈酌鍭3CD是正方形，所以AD∕∕3C,8Cu平面PBaW平面PBC,

所以4。//平面PBC,

又因?yàn)槠矫鎃與心交于點(diǎn)E.

ADU平面ADFE,平面PBCC平面ADFE=EF,

所以瓦V/A，

（2）選條件①②

側(cè)面PAD為等腰直角三角形，且NPAog

EPPA=AD=2,PAA.AD

平面PAD_L平面ABCD,

平面上M>c平面A8C0=4）,Λ4u平面PA￡>,

則PA_L平面A5C3,又458為正方形，

所以尸AJ.A8,PA_LA。,A8J_AO.

以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，Aθ,AΛ"分別為X軸，V軸，z軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)

系A(chǔ)fZ,

則A(0,0,0),P(0,0,2),C(2,2,0),B(2,0,0),ZX0,2,0)

因?yàn)锳E=√Σ,所以點(diǎn)E為尸B的中點(diǎn)，則E(1,O,1)

從而:PC=(2,2,-2),AD=(0,2,0),AE=(l,0,1),

設(shè)平面4WE的法向量為：”=(x,y,z),

?,n`AE=x+z=0

則，

n?AD=2y=0

令X=I,可得"=(1,0,-1)

設(shè)平面PC。的法向量為：n=(a,b,c),則f'"-2"-2c-°,

n?PC=2〃+2b-2c=0

令。=1,可得-=(0,1,1)

,?PB-n?

所以Wl如卜扁h1

則兩平面所成的銳二面角為三

選條件①③

側(cè)面RW為等腰直角三角形，KZMD=P即PA=AD=2,PALAO

A￡>_LA8,Λ4cA8=A,且兩直線在平面內(nèi)，可得A￡>_L平面/W?,PBU平面PA8,則Ao_LP8.

又因?yàn)镻B_L尸2ADcFD=Q且兩直線在平面內(nèi)，

則PB1平面ADFE,AEU平面ADFE,則尸3_LAE

因?yàn)镻A=AB,所以一ElB為等腰三角形，所以點(diǎn)E為戶B的中點(diǎn)

又因?yàn)?E=√Σ,所以PW為等腰直角三角形，

下面同①②

選條件②③

側(cè)面ΛW為等腰直角三角形，且NPADR,

g∣JPA=AD=2,PA±AD

平面Λ4P_L平面ABCD,

平面Λ4Γ>c平面A8CD=AZ>,Λ4u平面PAD,

則PAJ_平面ABCD,ABCD為正方形，

所以PAJ,A8,PAJ_ARAB_LAO.

又因?yàn)镻BJ.FD,AOCFD=D且兩直線在平面內(nèi)，則PBL平面AOFE,AEU平面AZ)FE,

則P3_LAE

因?yàn)镻A=AB,所以./AB為等腰三角形，所以點(diǎn)E為心的中點(diǎn).

下面同①②

9、對(duì)選項(xiàng)A：根據(jù)對(duì)稱性知Aa與三條直線的夾角相等，則與AG平行的直線都滿足條件，

有無數(shù)條，錯(cuò)誤；

對(duì)選項(xiàng)B：根據(jù)對(duì)稱性知平面ABD與三條直線所成的角相等，則與平面AB。平行的平面

都滿足條件，有無數(shù)個(gè)，錯(cuò)誤；

對(duì)選項(xiàng)C:如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體邊長(zhǎng)為1,A(l,0,0),3(1,1,0),DB1±

/、?AB-PAA

一點(diǎn)P(α,α,α),則AB=(OJO),PA=(a-?,a,a),COS(A8,PA)=kJPd=,(；)廠?,,點(diǎn)、P

到直線AB的距離為

同理可得尸到直線CG和CH的距離為J(α-1),J,故上的點(diǎn)到三條直線ASCGQA的

距離都相等，故有無數(shù)個(gè)，錯(cuò)誤；

：/

對(duì)選項(xiàng)D:。耳上的點(diǎn)到三條直線ABQG,QA的距離都相等,故有無數(shù)個(gè)，正確;

故選：D

10、如圖，連接AC,叨，交于N,連接AG,A1N,

在長(zhǎng)方體中，平面ACGA與平面a/。的交線為AN,

而AGU平面ACGA,且AGC平面48￡>=",

所以MeAN,又AN∕MIG,AN=Ic∣,

所以AM=[M6,故C正確.

對(duì)于A,因?yàn)殚L(zhǎng)方體中AC與8。不一定垂直，故推不出ΛMJ?8r>,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,因?yàn)殚L(zhǎng)方體中A。與AB不一定相等，故推不出AM_LB。，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于D,由B知，不能推出AN與8。垂直，而AN是中線，所以推不出Affi=MD,故D錯(cuò)

誤.

故選：C

11、當(dāng)m_L〃，"Uα?xí)r，可推出〃///7,但是推不出〃!?力，

當(dāng)〃_L/?時(shí)，由a〃/可知〃_La,又，"ua,所以相，〃，

綜上可知，是“…”的必要不充分條件.

故選：B

12、在直三棱柱ABC-AgG中陰，平面ABC,

對(duì)于①：因?yàn)辄c(diǎn)E在棱網(wǎng)上網(wǎng)=AA=2,所以BE∈[0,2],又ViBTBE.S皿

又AClBC,AC=2,5C=1,點(diǎn)Z)在棱月C上，所以4)∈[θ,2],SABD=^AD-BC=^ADe[θ,↑],

所以％.=，E?SM∣,當(dāng)且僅當(dāng)。在C點(diǎn)、E在片點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，故①正確；

對(duì)于②：如圖將ABC翻折到與矩形ACQA共面時(shí)連接AB交AC于點(diǎn)，此時(shí)AD+QB取

得最小值，

因?yàn)锳G=CG=2,BC=I,所以8G=3,所以AIC=JACJ+C∕2=α，

即4。+。8的最小值為√I5,故②錯(cuò)誤;

對(duì)于③：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)θ(α,0,0),?e[0,2],E(OJc),

c∈[0,2],

G(0,0,2),

所以CQ=(a,0,-2),C1E=(0,1,C-2),

CDCE

則點(diǎn)。到直線CE的距離”=1t

JGEI,

4(2)2

(C-2『+1

當(dāng)c=2時(shí)d=Jtz2+4≥2,

?s?ι+-≥2則

當(dāng)0≤c<2時(shí)0<(C-2)2≤4,4("2)2'-2)24,人J1+逢可一

所以當(dāng)/(；；)]取最大值且D=0時(shí)％,=J，弋=

(C-2)+1JV??

即當(dāng)。在C點(diǎn)E在8點(diǎn)時(shí)點(diǎn)。到直線CE的距離的最小值為不，故③正確;

故選：C

13、①因?yàn)?C7∕EF,EFU平面P￡F,AC<Z平面在F,

所以AC//平面PM,故①正確；

②因?yàn)锳BC是等腰直角三角形，所以！PEF也是等腰直角三角形，則EF=PF,

因?yàn)锳C13C,EF//AC,所以EF13C,且EFIPF

當(dāng)NPFC=90時(shí)，.P"?.EFC,所以EC=PC,此時(shí)PEC是等腰三角形，故②錯(cuò)誤;

③因?yàn)樗鵆,且EFLPF,BCPF=F,

且BCU平面PCF,PRU平面PCE,所以EFl平面PCE,ERU平面A8C,

所以平面ABC上平面PEF,且平面ABCc平面PEF=BC,

如圖，過點(diǎn)尸作C,連結(jié)ZW,

則PM_L平面ABC,AEU平面A8C,所以AWLAE,

PDLAE,PDCPM=P,Pr)U平面「OW,PMu平面尸CΛ√,

所以AE_L平面戶DM,DMU平面PDW,

所以AEJ_ZW,

如圖，AC=2,延長(zhǎng)M￡),交AB于點(diǎn)N,

則ADCM和VD都是等腰直角三角形，

則CM=I,點(diǎn)