湖南省長沙市洞庭橋中學2022-2023學年高二數學理模擬試卷含解析

湖南省長沙市洞庭橋中學2022-2023學年高二數學理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在正項等比數列{an}中，a1和a19為方程x2﹣10x+16=0的兩根，則a8?a10?a12等于（）A．16 B．32 C．64 D．256參考答案：C【考點】等比數列的性質．【分析】由a1和a19為方程x2﹣10x+16=0的兩根，根據韋達定理即可求出a1和a19的積，而根據等比數列的性質得到a1和a19的積等于a102，由數列為正項數列得到a10的值，然后把所求的式子也利用等比數列的性質化簡為關于a10的式子，把a10的值代入即可求出值．【解答】解：因為a1和a19為方程x2﹣10x+16=0的兩根，所以a1?a19=a102=16，又此等比數列為正項數列，解得：a10=4，則a8?a10?a12=（a8?a12）?a10=a103=43=64．故選C2.等差數列{an}中，已知a1﹣a4﹣a8﹣a12+a15=2，則此數列的前15項和S15等于（）A．﹣30 B．15 C．﹣60 D．﹣15參考答案：A【考點】等差數列的前n項和．【分析】根據題意和等差數列的性質化簡已知的等式，由等差數列的前n項和公式、等差數列的性質求出S15的值．【解答】解：∵a1﹣a4﹣a8﹣a12+a15=2，∴a1﹣（a4+a8+a12）+a15=2，則2a8﹣3a8=2，解得a8=﹣2，∴S15==15a8=﹣30，故選：A．3.拋擲一枚質地均勻的骰子，落地后記事件A為“奇數點向上”，事件B為“偶數點向上”，事件C為“向上的點數是2的倍數”，事件D為“2點或4點向上”。則下列每對事件是互斥但不對立的是（

） A、A與B

B、B與C

C、C與D

D、A與D參考答案：D4.如圖，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3，BB1=4．長為1的線段PQ在棱AA1上移動，長為3的線段MN在棱CC1上移動，點R在棱BB1上移動，則四棱錐R﹣PQMN的體積是（）A．6 B．10 C．12 D．不確定參考答案：A【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積．【分析】先求出底面PQMN的面積，再求R到底面PQMN的距離，然后求四棱錐R﹣PQMN的體積．【解答】解：由題意可知底面PQMN的面積是R到PQMN的距離為四棱錐R﹣PQMN的體積是：故選A．5.當時，設命題p：函數在區(qū)間上單調遞增，命題q：不等式對任意都成立．若“p且q”是真命題，則實數的取值范圍為A． B． C． D．參考答案：A6.下列說法正確的是（

）A．若且為假命題，則，均為假命題B．“”是“”的必要不充分條件C．若則方程無實數根D．命題“若，則”的逆否命題為真命題參考答案：D略7.雙曲線的實軸長是（

）A.

B．

C．

D．參考答案：C略8.下列給出的賦值語句中正確的是（

）A．3=A

B．

M=-M

C．

B=A=2

D．

參考答案：B9.設函數,則（）A．為的極大值點

B．為的極小值點C．為的極大值點

D．為的極小值點參考答案：D略10.在中，，則的形狀一定是（

）A．直角三角形

B．等腰三角形C．等邊三角形

D．等腰直角三角形參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.=

。參考答案：略12.過拋物線的焦點F作傾斜角為的直線交拋物線于A、B兩點，若線段AB的長為8，則________________

參考答案：213.若命題“?t∈R，t2﹣a＜0”是真命題，則實數a的取值范圍是_____．參考答案：(0,+∞)命題“”是真命題，．則實數的取值范圍是故答案為．

14.設函數

的定義域為D，若任取

，存在唯一的

滿足

，則稱C為函數

在D上的均值.給出下列五個函數：

①

；②

；③

；④

；⑤

.則所有滿足在其定義域上的均值為2的函數的序號為_________.（請把所有正確命題的序號都填上）參考答案：①④對于函數①

，可直接取任意的

，驗證求出唯一的

，即可得到成立，故①對；對于函數②

，取任意的

，

，可以得到兩個的

，故不滿足條件;對于函數③

，明顯不成立，因為y=4sinx是R上的周期函數，存在無窮個的

，使

成立，故不滿足條件；對于函數④

，定義域為

,值域為

且單調，顯然必存在唯一的

，使成立，故成立；對于函數⑤

定義域為

，值域為

．對于

．要使

成立，則

，不成立．故答案為①④.

15.的展開式中，常數項為______；系數最大的項是______.參考答案：

60

【分析】求出二項展開式的通項，令指數為零，求出參數的值，代入可得出展開式中的常數項；求出項的系數，利用作商法可求出系數最大的項.【詳解】的展開式的通項為，令，得，所以，展開式中的常數項為；令，令，即，解得，，，因此，展開式中系數最大的項為.故答案為：；.【點睛】本題考查二項展開式中常數項的求解，同時也考查了系數最大項的求解，涉及展開式通項的應用，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.16.某市春節(jié)晚會原定10個節(jié)目，導演最后決定添加3個與“抗冰救災”有關的節(jié)目，但是賑災節(jié)目不排在第一個也不排在最后一個，并且已經排好的10個節(jié)目的相對順序不變，則該晚會的節(jié)目單的編排總數為

種.（用數字作答）參考答案：99017.直線l經過P(－4,6)，與x軸，y軸交于A，B兩點，當P為AB中點時，則直線l的方程為________．參考答案：3x－2y＋24＝0三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知m為實數.命題p：方程表示雙曲線；命題q：對任意，恒成立.（1）若命題p為真命題，求實數m的取值范圍；（2）若命題“p或q”為真命題、“p且q”為假命題，求實數m的取值范圍．參考答案：（1）（2）【分析】（1）由真可得,解不等式即可得到所求范圍；(2)由真可得判別式小于0,解得的范國，由為真命題，為假命題，可得一真一假，分兩種情況討論，對于真假以及假真分別列不等式組，分別解不等式組，然后求并集即可求得實數的取值范圍.【詳解】（1）若命題為真命題，則，即的取值范圍是.（2）若命題為真命題，則，解得.即.∵命題“或”為真命題、“且”為假命題，∴和中有且僅有一個正確.若真假，則，解得；若假真，則，解得或.所以，綜上所述：的取值范圍為.【點睛】本題通過判斷或命題、且命題真假，綜合考查雙曲線的方程以及不等式恒成立問題，屬于中檔題.解答非命題、且命題與或命題真假有關的題型時，應注意：（1）原命題與其非命題真假相反；（2）或命題“一真則真”；（3）且命題“一假則假”.19.關于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0（a∈R）（1）已知不等式的解集為（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），求a的值；（2）解關于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0．參考答案：【考點】一元二次不等式的解法；二次函數的性質．【專題】分類討論；不等式的解法及應用．【分析】（1）根據一元二次不等式與對應方程的關系，利用根與系數的關系，即可求出a的值；（2）討論a的取值，求出對應不等式的解集即可．【解答】解：（1）∵關于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0可變形為（ax﹣2）（x+1）≥0，且該不等式的解集為（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），∴a＞0；又不等式對應方程的兩個實數根為﹣1和2；∴=2，解得a=1；（2）①a=0時，不等式可化為﹣2x﹣2≥0，它的解集為{x|x≤﹣1}；②a≠0時，不等式可化為（ax﹣2）（x+1）≥0，當a＞0時，原不等式化為（x﹣）（x+1）≥0，它對應的方程的兩個實數根為和﹣1，且＞﹣1，∴不等式的解集為{x|x≥或x≤﹣1}；當a＜0時，不等式化為（x﹣）（x+1）≤0，不等式對應方程的兩個實數根為和﹣1，在﹣2＜a＜0時，＜﹣1，∴不等式的解集為{x|≤x≤﹣1}；在a=﹣2時，=﹣1，不等式的解集為{x|x=﹣1}；在a＜﹣2時，＞﹣1，不等式的解集為{x|﹣1≤x≤}．綜上，a=0時，不等式的解集為{x|x≤﹣1}，a＞0時，不等式的解集為{x|x≥或x≤﹣1}，﹣2＜a＜0時，不等式的解集為{x|≤x≤﹣1}，a=﹣2時，不等式的解集為{x|x=﹣1}，a＜﹣2時，不等式的解集為{x|﹣1≤x≤}．【點評】本題考查了含有字母系數的不等式的解法與應用問題，解題時應用分類討論的思想，是中檔題目．20.已知圓C經過A（3，2）、B（1，6），且圓心在直線y=2x上．（Ⅰ）求圓C的方程．（Ⅱ）若直線l經過點P（﹣1，3）與圓C相切，求直線l的方程．參考答案：【考點】直線與圓的位置關系．【分析】（Ⅰ）根據已知設出圓的標準方程，將點A，B的坐標代入標準方程，解方程組即可求出圓心及半徑，從而得到圓C的方程．（Ⅱ）根據已知設出直線方程，利用直線與圓相切的性質d=r即可求出直線斜率k，從而求出直線方程．【解答】解：（Ⅰ）∵圓心在直線y=2x上，故可設圓心C（a，2a），半徑為r．則圓C的標準方程為（x﹣a）2+（y﹣2a）2=r2．∵圓C經過A（3，2）、B（1，6），∴．解得a=2，r=．∴圓C的標準方程為（x﹣2）2+（y﹣4）2=5．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，圓C的圓心為C（2，4），半徑r=．直線l經過點P（﹣1，3），①若直線斜率不存在，則直線l：x=﹣1．圓心C（2，4）到直線l的距離為d=3＜r=，故直線與圓相交，不符合題意．②若直線斜率存在，設斜率為k，則直線l：y﹣3=k（x+1），即kx﹣y+k+3=0．圓心C（2，4）到直線l的距離為d==．∵直線與圓相切，∴d=r，即=．∴（3k﹣1）2=5+5k2，解得k=2或k=．∴直線l的方程為2x﹣y+5=0或x+2y﹣5=0．21.（滿分12分）已知恒不為0，對于任意等式恒成立.求證：是偶函數.參考答案：略22.已知函數f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．（Ⅰ）設g（x）是f（x）的導函數，討論g（x）的單調性；（Ⅱ）證明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）=0在區(qū)間（1，+∞）內有唯一解．參考答案：【考點】6D：利用導數研究函數的極值；6B：利用導數研究函數的單調性．【分析】（I）函數f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．可得：x＞0．g（x）=f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a），可得g′（x）==，分別解出g′（x）＜0，g′（x）＞0，即可得出單調性．（II）由f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a）=0，可得a=x﹣1﹣lnx，代入f（x）可得：u（x）=（1+lnx）2﹣2xlnx，利用函數零點存在定理可得：存在x0∈（1，e），使得u（x0）=0，令a0=x0﹣1﹣lnx0=v（x0），再利用導數研究其單調性即可得出．【解答】（I）解：函數f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．可得：x＞0．g（x）=f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a），∴g′（x）==，當0＜x＜1時，g′（x）＜0，函數g（x）單調遞減；當1＜x時，g′（x）＞0，函數g（x）單調遞增．（II）證明：由f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a）=0，解得a=x﹣1﹣lnx，令u（x）=﹣2xlnx+x2﹣2（x﹣1﹣lnx）x+（x﹣1﹣lnx）2=（1+lnx）2﹣2xlnx，則u（1）=1＞0，u（e）=2（2﹣e）＜0，∴存在x0∈（1，e），使得u（x0）=0，令a0=x0﹣1﹣lnx0=v（x0），其中v（x）=x﹣1﹣lnx（x≥1），由v′（x）=1﹣≥0，可得：函數v（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調遞增．∴0=v（1）＜a0=v（x0）＜v（e）=e﹣2＜1，即a0∈（0，1），當a=a0時，有f′（x0）=0，f（x0