6.2.3平面向量的坐標(biāo)及其運(yùn)算(原卷版)

6.2.3平面向量的坐標(biāo)及其運(yùn)算TOC\o"13"\h\z\u題型1正交分解的理解 2題型2用坐標(biāo)表示平面向量 3題型3平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示 5題型4由向量線性運(yùn)算求參數(shù) 6題型5向量線段的定比分點(diǎn) 6題型6向量共線問題 8題型7由向量共線（平行）求參數(shù) 9題型8由坐標(biāo)解決三點(diǎn)共線問題 9題型9由坐標(biāo)解決線段長度問題 10題型10向量坐標(biāo)與基底 11題型11參數(shù)與取值范圍問題 11知識(shí)點(diǎn).平面向量的坐標(biāo)及運(yùn)算1.平面向量的坐標(biāo)（1）向量的垂直：平面上的兩個(gè)非零向量a，b，如果它們所在的直線互相垂直，則稱向量a，b垂直，記作a⊥b.規(guī)定零向量與任意向量都垂直.（2）向量的正交分解：如果平面向量的基底{e1，e2}中，e1⊥e2，則稱這組基底為正交基底，在正交基底下向量的分解稱為向量的正交分解．（3）向量的坐標(biāo)：給定平面內(nèi)兩個(gè)相互垂直的單位向量e1，e2，對于平面內(nèi)的向量a，如果a=xe1+ye2,則稱（x，y）為向量a的坐標(biāo)，記作a=（x，y）2.平面上向量的運(yùn)算與坐標(biāo)的關(guān)系若a=（x1，y1），b=（x2，y2），λ∈R，則：(1)a+b=(x1+x2,y1+y2)(2)ab=(x1x2,y1y2)(3)λa=（λx1，λy1）.（4）向量相等的充要條件：a=b?x1=x2,y1=y2.（5）模長公式：|3.平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)之間的距離公式與中點(diǎn)坐標(biāo)公式如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則：向量OA=（x1，y1），OB=（x2，y2），向量AB（2）它們之間的距離：AB=|（3）設(shè)AB的中點(diǎn)M（x，y），則x=x1+注意：（1）一個(gè)向量的坐標(biāo)等于__

表示它的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo)____﹔（2）兩個(gè)向量相等的充要條件是這兩個(gè)向量的坐標(biāo)相等．向量平行的坐標(biāo)表示設(shè)a=（x1，y1），b=（x2，y2），則a//b?x2y1=x1y2.題型1正交分解的理解【例題1】（2019·高一課時(shí)練習(xí)）下列可作為正交分解的基底的是A．等邊三角形ABC中的AB和ACB．銳角三角形ABC中的AB和ACC．以角A為直角的直角三角形ABC中的AB和ACD．鈍角三角形ABC中的AB和AC【變式11】1．（2022·全國·高一專題練習(xí)）向量正交分解中，兩基底的夾角等于（

）A．45° B．90° C．180° D．不確定【變式11】2.（2021下·高一課時(shí)練習(xí)）已知向量a,b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示,用基底A．c=3aC．c=-2a【變式11】3．（2021下·高一課時(shí)練習(xí)）向量-3i+6j【變式11】4（2021下·高一課時(shí)練習(xí)）已知i,j分別是方向與x軸正方向、y軸正方向相同的單位向量，O為原點(diǎn)，設(shè)OA=A．第一、二象限 B．第二、三象限C．第三象限 D．第四象限題型2用坐標(biāo)表示平面向量【方法總結(jié)】（1）求一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，可以轉(zhuǎn)化為求該點(diǎn)相對于坐標(biāo)原點(diǎn)的位置向量的坐標(biāo)（2）在求一個(gè)向量時(shí)，可以首先求出這個(gè)向量的起點(diǎn)坐標(biāo)和終點(diǎn)坐標(biāo)，再運(yùn)用終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)得到該向量的坐標(biāo)【例題2】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）已知A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，求AB，BA的坐標(biāo)．(1)A5,3，B(2)A-3,4，B(3)A0,3，B(4)A3,0，B【變式21】1.（2023·全國·高一課堂例題）如圖，已知?ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)為A(-1,3),B(-2,1),C(2,2)【變式21】2.（2023·全國·高一課堂例題）如圖，已知A-1,3，B1,-3，C4,1，D3,4，求向量OA，OB，【變式21】3.（2023下·廣東佛山·高一佛山市順德區(qū)樂從中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，平面上A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為2,1,-3,2,-1,3.(1)寫出向量AB，AC，BC的坐標(biāo)；(2)如果四邊形ABCD是平行四邊形，求D的坐標(biāo).題型3平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示【例題3】（2023下·新疆烏魯木齊·高一?？计谥校┤鬉B=3,4，A點(diǎn)的坐標(biāo)為-2,-1，則A．1,3 B．1,-3 C．-5,-5 D．5,5【變式31】1.（2023下·河南省直轄縣級(jí)單位·高一濟(jì)源市第四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）平行四邊形ABCD中，AB=3,7，AD=A．1,5 B．5,4 C．1,10 D．-2,7【變式31】2.（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）已知a=-1,2，b=1,-2，求a+【變式31】3.（2023下·浙江嘉興·高一校聯(lián)考期中）已知向量a=(1,2)，a-bA．-2,0 B．4,4 C．2,0 D．5,6【變式31】4．（2021·高一課時(shí)練習(xí)）已知向量a=2,-1，b=(1)2a(2)3a(3)b-2題型4由向量線性運(yùn)算求參數(shù)【例題4】（2023下·北京大興·高一統(tǒng)考期末）已知向量a=1,-2與b=2,m，且A．-4 B．-1 C．1 D．4【變式41】1．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知向量a=(2,1)，b=(1,-2)，若ma+nb=A．3 B．-3 C．-2 D．1【變式41】2．（2023下·山東淄博·高一?？计谥校┮阎蛄縜=(-2,1)，b=(3,2)，c=(5,8)，且c【變式41】3．（2023下·四川眉山·高一校考期中）已知向量a,b滿足2a-b→=0,3，a→-2A．1 B．0 C．1 D．25【變式41】4.（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)A-2,4，B3,-1，C-3,-4，設(shè)AB=a，BC=b(1)求3a(2)求滿足a=mb+n題型5向量線段的定比分點(diǎn)【方法總結(jié)】線段定比分點(diǎn)的定義：如圖所示，設(shè)點(diǎn)P(x，y)是線段P1P2上不同于P1，P2的點(diǎn)，且滿足P1PPλ叫做點(diǎn)P分有向線段P1P2所成的比，P點(diǎn)叫做有向線段P(2)定比分點(diǎn)的坐標(biāo)表示：設(shè)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則(x－x1，y－y1)＝λ(x2－x，y2－y)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－x1＝λx2－x，,y－y1＝λy2－y，))當(dāng)λ≠－1時(shí)，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x1＋λx2,1＋λ)，,y＝\f(y1＋λy2,1＋λ).))則點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋λx2,1＋λ)，\f(y1＋λy2,1＋λ))).特別地，①當(dāng)λ＝1時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))，這就是線段P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)公式；②若λ<0，則點(diǎn)P在P1P2的延長線或其反向延長線上，由向量共線的坐標(biāo)表示及平行向量基本定理同樣可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋λx2,1＋λ)，\f(y1＋λy2,1＋λ))).【特例】已知點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，若P是線段P1P2的中點(diǎn)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))；若P是線段P1P2上距P1較近的三等分點(diǎn)，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x1＋x2,3)，\f(2y1＋y2,3)))；若P是線段P1P2上距P2較近的三等分點(diǎn)，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋2x2,3)，\f(y1＋2y2,3))).【例題5】（2023下·江蘇蘇州·高一統(tǒng)考期末）已知A2,3，B4,-3，點(diǎn)P在線段AB的延長線上，且AP=2A．0,9 B．6,-9 C．103,-1 D．6,-9【變式51】1.（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知A-2,4，B3,-1，C-3,-4【變式51】2.（2023下·四川自貢·高一統(tǒng)考期中）已知點(diǎn)A(1,2),B(3,4)，點(diǎn)P在線段AB的延長線上，且AB=【變式51】3.（2023下·上海楊浦·高一上海市控江中學(xué)?？计谀┮阎苯亲鴺?biāo)平面上兩點(diǎn)P1-1,1、P22,3，若P滿足【變式51】4.（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知兩點(diǎn)M（7，8），N（1，－6），P點(diǎn)是線段MN的靠近點(diǎn)M的三等分點(diǎn)，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為．題型6向量共線問題【例題6】（2022下·江蘇鎮(zhèn)江·高一?？计谥校┫铝懈鹘M的兩個(gè)向量，共線的是（

）A．a(chǎn)1=-2,3，b1C．a(chǎn)3=1,-2，b3【變式61】1．（2023下·北京平谷·高一統(tǒng)考期末）已知向量a=1,2，b//A．-1,-2 B．-1,2 C．2,1 D．-2,1【變式61】2．（2023下·貴州畢節(jié)·高一?？计谥校┮阎蛄縜=12,-1，A．-3,1 B．-8,3 C．-9,4 D．3,-2【變式61】3．（多選）（2023下·浙江嘉興·高一校考階段練習(xí)）下列向量中與a=1，A．b=-1C．d=2【變式61】4．(多選)（2022下·河南·高一臨潁縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量AB=1,2，A．BC=-3,2C．AB∥AC D．與AB題型7由向量共線（平行）求參數(shù)【例題7】（2023上·遼寧·高一沈陽二中校聯(lián)考期末）已知a=(1,2)，b=(3,-1)，若(kbA．-1 B．-12 C．-【變式71】1.（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知平面向量a=(-1,2)，b=(3,-2)，c=(t,t)，若(A．52 B．-45 C．【變式71】2.（2024上·遼寧大連·高一大連二十四中?？计谀┤粝蛄緼B=x,2x-3，CD=【變式71】3．（2023下·河南省直轄縣級(jí)單位·高一濟(jì)源市第四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知向量a=-3,1，b(1)分別求2a-b(2)若向量c=1,-1，且n與向量【變式71】4．（2021下·海南·高一?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)A1,-2，若向量AB與a=2,3同向，AB=213，則點(diǎn)題型8由坐標(biāo)解決三點(diǎn)共線問題【例題8】（2023下·河北邯鄲·高一統(tǒng)考期中）已知向量AB=-1,2，AC=2,3，A．－16 B．16 C．23 D．【變式81】1.（2023下·貴州安順·高一統(tǒng)考期末）若三點(diǎn)A2,3、B4,7、C3,y共線，則實(shí)數(shù)A．1 B．52 C．3 D．【變式81】2.（多選）（2023下·江西贛州·高一?？茧A段練習(xí)）向量PA=k,12，PB=A．2 B．－2 C．11 D．－11【變式81】3.（2023·全國·高一課堂例題）已知A(2,4),B(4,3),C(-2,x)三點(diǎn)共線，求x的值．【變式81】4．（2023下·福建漳州·高一校聯(lián)考期中）已知向量a=-1,4，(1)若ka-2b與a(2)若AB=3a-2b，BC=-2題型9由坐標(biāo)解決線段長度問題【例題9】（2021下·廣東東莞·高一東莞市光明中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若向量a的始點(diǎn)為A(-2,4)，終點(diǎn)為B(2,1)，則向量a的模為【變式91】1．（2023下·廣東云浮·高一統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)A1,1，B-1,0，C0,1(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)求△ABC的面積.【變式91】2．（2021下·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，已知兩點(diǎn)A(－4，0)，B(0，3)．（1）求向量AB,BA的模，并指出|AB|與|（2）若C(x，y)，AC＝0，求x，y的值．【變式91】3.（2023下·河北邢臺(tái)·高一統(tǒng)考期末）已知A4,0，B1,mm>0(1)求m；(2)若點(diǎn)C，M滿足BC=-1,-1，OM=xOA+題型10向量坐標(biāo)與基底【例題10】（2023下·福建福州·高一校考階段練習(xí)）下列各組平面向量中，可以作為基底的是（

）A．e1=0,0，e2C．e1=2,-3，e2【變式101】1.（2022下·高一單元測試）下列各組向量中，能作為基底的是（

）A．e1＝（0,0），eB．e1＝（1,2），eC．e1＝（－3,4），e2＝（35D．e1＝（2,6），e【變式101】2.（多選）（2023下·河北石家莊·高一?？计谥校┫铝懈鹘M向量中，可以作為基底的是（

）A．e1=C．e1=【變式101】3.（多選）（2023下·黑龍江齊齊哈爾·高一校聯(lián)考期中）下列兩個(gè)向量，不能作為平面中一組基底的是（

）A．e1=1,2，e2C．e1=0,1，e2【變式101】4.（2022下·江蘇淮安·高一校聯(lián)考期中）若向量e1=(2,λ),e題型11參數(shù)與取值范圍問題【例題11】（2021下·高一課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)O(0,0),A(1,2),B(4,5)，且OP=OA【變式111】1．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知點(diǎn)A(λ,3),B(5,2λ)(λ∈R)，C(4,5)．若AP＝AB＋(1)點(diǎn)P在一、三象限角平分線上；(2)點(diǎn)P