2022-2023學(xué)年廣東省肇慶市封開縣高一年級下冊期中數(shù)學(xué)模擬卷（含解析）

2022-2023學(xué)年廣東省肇慶市封開縣高一下冊期中數(shù)學(xué)模擬卷

（含解析）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)

選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1,已知復(fù)數(shù)Z滿足z（l+i）=l,則Z的虛部為（）

A?-?B.-??C.yD.?i

2.關(guān)于向量￡,?,下列命題中，正確的是（）

A.若W=WI,則α=BB.若〃=—九則α〃力

C.若aHb，bile>PWa!IcD.若卜卜W,貝∣Ja>B

3.如圖，已知等腰直角三角形OW"是一個(gè)平面圖形的直觀圖，。'iS,斜邊。夕，=2,

則這個(gè)平面圖形的面積是（）

C.√2

D?T

4.已知“8C的內(nèi)角48,C的對邊分別為α,b,c,若0=2百，6=2,4=60。，則5為（）

A.60oB.60°或120oC.30oD.30°或150°

5.已知向量口刃滿足3=(2,l),∣B∣=G,m+不∣=4,則￡石=()

A.8B.-8C.-4D.4

6.如圖所示，為測量山高M(jìn)N,選擇/和另一座山的山頂C為測量觀測點(diǎn)，從/點(diǎn)測得M點(diǎn)

的仰角NMAN=60。,C點(diǎn)的仰角NCAB=30°以及NMAC=75°,從C點(diǎn)測得ZMCA=60°,若

山高8C=lOθJΣ米，則山高M(jìn)N等于（）

Λ/

B

A.300米B.360米

C.240米D.320米

7.已知P-ZBC為棱長4的正四面體,則該正四面體的外接球的表面積為()

A.6πB.12πC.24πD.36π

—>->—>—>—>—>

544CAC-BCBCB4I

--—=λ0,=

8.在中→+→-~~?,則Δ∕18C為()

BCBCBC-BAZ

A.直角三角形B.三邊均不相等的三角形

C.等邊三角形D.等腰非等邊三角形

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)

中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的

得0分.

9.用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體，截面的形狀是三角形，那么這個(gè)幾何體可能是

A.圓錐B.圓柱C.三棱錐D.正方體

10.已知復(fù)數(shù)z=(/_])+例-jη("Li)i(zweκ),則下列說法正確的是(〉

A.若W=0,則共枕復(fù)數(shù)彳=l-√JiB.若復(fù)數(shù)z=2,則加=6

C.若復(fù)數(shù)Z為純虛數(shù)，則m=±lD.若加=0,則4+2z+z?=0

11.已知向量α=(l,-2),?=(-l,m),則()

A.若[與一垂直,則W=TB.若a∕∕b，則4?5的值為-5

c.若W=I,則q=JimD.若m=-2,則￡與刃的夾角為60

12.已知。、E、P分別是448C的邊8C、CA./8的中點(diǎn)，且比=Z，CA=b,AB=C>

則下列命題中正確命題為()

—?-1一

B.BE-a+-b；

2

--I-I-

C.CF=-h一一a；D.AD+BE+CF=O

22

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.在ΔA5C中，已知/8=5,AC=I,BC=9,則cos/=.

14.已知同=1,問=3,a-b=-3＞則向量Z在向量彼上的投影向量為

15.若zeC,且IZl=I,則∣z-3-4i∣的最小值為

16.祖曬(公元5-6世紀(jì))，祖沖之之子，是我國齊梁時(shí)代的數(shù)學(xué)家.他提出了一條原理：“募

勢既同，則積不容異”.這句話的意思是：兩個(gè)等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的

面積相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等；該原理在西方直到十七世紀(jì)才由意大利數(shù)學(xué)家卡瓦

列利發(fā)現(xiàn)，比祖唯晚一千一百多年.橢球體是橢圓繞其軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體.如圖將底面直

徑皆為26,高皆為。的橢半球體及已被挖去了圓錐體的圓柱體放置于同一平面尸上，以平

行于平面β的平面于距平面廠任意高d處可橫截得到S戰(zhàn)及取兩截面，可以證明SIa=S環(huán)總

成立.據(jù)此，b為6cm,α為8cm的橢球體的體積是

四、解答題：本大題共6小題，共70分.第17題為10分，其他為12分，解答

應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.求實(shí)數(shù)W的值或取值范圍，使得復(fù)數(shù)Z=/+加-2+"τ)i分別滿足:

(I)Z是實(shí)數(shù)；

(2)z是純虛數(shù);

(3)z是復(fù)平面中對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.

UULUlU_

18.已知向量。Z=(2,l),08=(3,-2),(9C=(6-ffl,-3-w).

(1)若點(diǎn)“，B,C共線，求實(shí)數(shù)機(jī)的值；

(2)若A4BC為直角三角形,求實(shí)數(shù)，”的值.

19.正棱錐S-ZBC。的底面邊長為4,高為1.

S

求：(1)棱錐的側(cè)棱長和側(cè)面的高；

(2)棱錐的表面積與體積.

20.設(shè)向量α=(J^sinx,sinx)3=(cosx,sinx)(Xe0,?

(I)若同=同求X的值；

(II)設(shè)函數(shù)/(X)=荔,求f(x)的最大值.

21.如圖，在海岸4處，發(fā)現(xiàn)北偏東45。方向，距離/為10(√J-l)海里的8處有一艘走私

船，在/處北偏西75。方向，距離/為20海里的C處有一艘緝私艇奉命以10石海里/小時(shí)

的速度追截走私船，此時(shí)，走私船正以10海里/小時(shí)的速度從8處向北偏東30。方向逃竄，

問緝私艇沿什么方向行駛才能最快追上走私船？并求出所需時(shí)間.

22.已知銳角-8C,a,b,C分別是角4,B,C的對邊，且2“CoSC=

(1)證明：C=24；

(2)若CD為/4C8的角平分線，交4B于D點(diǎn)、,且CZ)="s"α9=√Σ.求。的值.

答案解析

1.A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求出z,然后由虛部定義可得.

【詳解】由題得Z=JT===5-gi

1+1222

所以復(fù)數(shù)Z的虛部為-上

2

故選：A

2.B

【分析】利用向量的概念可判斷ABD選項(xiàng)，取B=O可判斷C選項(xiàng).

【詳解】對于A選項(xiàng)，若同=M但1B不一定相等，A錯(cuò)；

對于B選項(xiàng)，若a=-5,則al/b，B對；

對于C選項(xiàng)，取5=0，則；〃力，成立，但人工不一定共線，C錯(cuò)；

對于D選項(xiàng)，若向明，但入B不能比較大小，D錯(cuò).

故選：B.

3.A

【分析】根據(jù)斜二測畫法的定義，畫出平面圖形，求得原三角形的直角邊，從而面積可得.

【詳解】由題意，利用斜二測畫法的定義，畫出原圖形，

：RtAOW"是等腰直角三角形，OW=/⑹，斜邊OZ'=2,

。時(shí)=也。?=√Σ,

2

二OB=O'B'=2,OA=20'A'=2√2,

原平面圖形的面積是［x2χ2√∑=2√∑.

2

故選:A.

4.C

【分析】由正弦定理可得SinB=即可得解.

2

【詳解】在"BC中，a=2√3.b≈2,4=60。，

所以由正弦定理得_竺=」一=Wl-=4,

sinBsinAsin6(F

所以sin8=2=1,

42

又8武0。,120。)，所以8=30。.

故選：C.

本題考查了正弦定理解三角形的應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.D

【分析】根據(jù)模長m+B∣=4平方可得￡.尻

【詳解】因?yàn)楱O2+B∣=4,

所以7+2Ul=I6,

又因?yàn)镚=(2,1),出I=J

所以J=5,片=3'

所以“?5=4.

故選：D.

6.A

【分析】在放中，可求得/C,根據(jù)正弦定理，在V。/中，可求得ZΛ∕,在RtAAMN

中，即可求得答案.

【詳解】因?yàn)樵诜舲?C48中，BC=Ioo6,/"8=30。，

所以ZC=---------=200√2,

sin30°

oo

在VC4Λ∕中，ZAMC=I80-ZMCA-ZMAC=45f

a

由正弦定理得：..^4γλ,即好

s?nZ.AMCsinZMCAsin45osin60°

所以力"=200JL

在RtA4MN中,NMAN=60°,

W=JΛ∕sin60o=200√3×-=300(米)

2

故選：A

7.C

【分析】通過補(bǔ)形的方法求得正確答案.

【詳解】將正四面體P-45C補(bǔ)形成正方體如下圖所示，

正四面體的棱長為4,所以正方體的邊長為4x立=2應(yīng)，

2

所以正方體的對角線長為2λ∕Σχ√J=2√^,

所以正方體的外接球，也即正四面體的外接球的半徑為指,

所以外接球的表面積為4兀x(C)2=24兀.

故選：C

8.C

—>—>→—>

BAACACBC

【分析】通過平面向量的數(shù)量積將一^―+一^=°化簡,結(jié)合正弦定理可得4C的關(guān)

BCBC

—>T

BCBA1

系，再將丁一h二5化筒可得8,進(jìn)而可以判斷三角形的形狀.

BC?BAz

—>—>TT

ABACCACB

-----------1-------=--O-=>-ABAC+CA?CB=O

【詳解】由題意:—>—>

BCBC

--?AB?-?AC?cosA+?CA???C?∣cosC=0?λ∣J?∣cos^=∣C?∣cosC，^ccosA=acosC,

由正弦定理：SinCCoS4=sin4cosC=>sin(4-C)=0,VAyC是三角形內(nèi)角，：.A=C

—>—>

BC?BA

=-^>cosB=-,B=-

由I—>→223所以三角形是等邊三角形.

BC?B4

故選：C.

9.ACD

【分析】根據(jù)物體特征分析截面可能的情況即可得解.

【詳解】圓錐的軸截面是三角形，圓柱的任何截面都不可能是三角形,

三棱錐平行于底面的截面是三角形，

正方體的截面可能是三角形，如圖：

此題考查物體截面辨析，關(guān)鍵在于熟悉常見幾何體的幾何特征，分析截面可能的情況.

10.BD

【分析】根據(jù)每個(gè)選項(xiàng)里的條件，求出相應(yīng)的結(jié)果，即可判斷選項(xiàng)的正誤.

【詳解】對于A,機(jī)=0時(shí)，z=-l+√3/，則5^=-l-JJi,故A錯(cuò)誤;

/H2—1=2

對于B,若復(fù)數(shù)z=2,則滿足/-Z解得加=百，故B正確；

Iw-√z3vW/H-1lλ)=0

∕w2—1=0

對于C,若復(fù)數(shù)Z為純虛數(shù)，則滿足/-,解得加=-1,故C錯(cuò)誤；

Iw-√z3vl(∕77-llλ)≠0λ

對于D,若，”=0,則z=-l+√?,4+2z+z2=4+2(-l+√3z)+(-l+√3/)2?θ,故D正確.

故選：BD.

本題主要考查對復(fù)數(shù)相關(guān)概念的理解，注意不同情形下的取值要求，是一道基礎(chǔ)題.

11.BC

利用平面向量垂直的坐標(biāo)表示可判斷A選項(xiàng)的正誤；利用平面向量共線的坐標(biāo)表示與平面

向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可判斷B選項(xiàng)的正誤；利用平面向量的模長公式可判斷C選項(xiàng)的正

誤；利用平面向量夾角余弦的坐標(biāo)表示可判斷D選項(xiàng)的正誤.

【詳解】對于A選項(xiàng)，?.i，人則［B=-l-2加=0,解得加=一；，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對于B選項(xiàng)，Qa!Ib，?∕w=2,/.α?6=1×(-l)-2×2=-5,B選項(xiàng)正確；

對于C選項(xiàng)，若m=1,則￡/=(2,-3),所以，∣α-?∣=√22+(-3)2=√13,C選項(xiàng)正確；

—一ci?b33

對于D選項(xiàng)，若〃1=-2,貝加=(-1,-2),CoSs>=用『品所=7

此時(shí)，Z與書的夾角不是60°，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：BC.

12.BCD

【分析】利用向量加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算對選項(xiàng)逐一分析，由此確定正確選項(xiàng).

【詳解】fF=?=∣(C4+^8)=∣(?+?),A錯(cuò)誤.

JE=BC+CE=BC+-CA=a+-b,B正確.

22

C^=∣(C4+C5)=∣(6-Λ),C正確.

而+麻+#=；用+%)+；阿+珂+；*+西

1----------------------------------------------

=5QB-CA+BC-AB+CA-BC)=0,D正確.

故選：BCD

13T

【分析】根據(jù)余弦定理即可求出A的余弦值.

…g五，AB-+AC1-BC252+72-921

【詳解】在。BC中，cos/=-----------------------=---------------

2ABAC2×5×7To

故一：

1

14.一一hr

3

【分析】求出KlCoSO和3即得解.

?b?

【詳解】Va?h=?a??h?cosθ=-3,?∣=3,

→—>

→h_h

?*?∣α∣cos∕9=-l又丁=可，

Ibl3

所以向量W在向量3方向上的投影向量為-gb.

故一§6

15.4

【分析1利用復(fù)數(shù)的幾何意義，可知?jiǎng)t2-3-甸表示2點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)與點(diǎn)(3,4)之間的距離，

再求出其最小值.

【詳解】復(fù)數(shù)Z滿足匕|=1,點(diǎn)Z表示以原點(diǎn)為圓心、1為半徑的圓，則∣z-3-4i∣表示Z點(diǎn)對

應(yīng)的復(fù)數(shù)與點(diǎn)(3,4)之間的距離.

原點(diǎn)O到點(diǎn)(3,4)之間的距離d=5,

二∣z-3-4i∣的最小值為5-1=4.

故4.

16.48萬

【分析】根據(jù)題意利用圓柱體和圓錐體計(jì)算對應(yīng)橢球體的體積即可.

【詳解】根據(jù)題意知，該橢球體的體積是

%球=2(喉-％錐)=2上乎?4―力于?4∣=48τ(cm).

故48乃

17.(l)w=±l

(2)m=-2

(3)-2<∕n<-l

【分析】(1)根據(jù)復(fù)數(shù)的概念列式可求出結(jié)果；

(2)根據(jù)復(fù)數(shù)的概念列式可求出結(jié)果；

(3)根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可求出結(jié)果.

【詳解】(1)由題意得蘇-1=0,所以加=±1；

(2)由題意得]2八，所以〃7=-2;

(3)由題意得所以-2<加<-1.

[w-l>0

18.(1)加=2；(2)加二-8或〃？=一3

【分析】首先求出存，~AC,前的坐標(biāo)；

UlUUUU

(I)依題意可得/8//NC，再根據(jù)平面向量共線的坐標(biāo)表示計(jì)算可得；

(2)對直角分三種情況討論，若//為直角，則Z8//C,所以次.衣=0，即可求出參

數(shù)的值，其余類似；

UULULU___

【詳解】解：(1)因?yàn)?4=(2,1),O8=(3,-2),OC=(6-m,-3-∕n),

所以萬=礪-宓=(3,-2)-(2,1)=(1,-3),

AC=OC-OA=(6-w,-3-w)-(2,l)=(4-w,-4-w)

?C=OC-δS=(6-w,-3-w)-(3,-2)=(3-w,-l-m)

因?yàn)锳、B、C三點(diǎn)共線，所以/8//4C，所以1x(-4-加)=-3x(4-∕n),解得,”=2

(2)①若//為直角，則Z8/ZC,所以)瓦刀=lx(4-〃?)-3x(-4-〃?)=0,解得m=-8

②若NB為直角，則N828C,所以萬?元=1X(3T*)-3X(-1-"7)=0,解得％=-3

③若NC為直角，則SCJ.AC,所以犯.方=(3-〃?)x(4-〃?)+(-l-〃?)x(Y-m)=0,即

m2-m+S=O,因?yàn)椤?(一『-4x8=-31<0,所以方程無解；

綜上可得，當(dāng)m=-8或機(jī)=-3時(shí)“18C為直角三角形

19.(1)側(cè)棱長為3,側(cè)面的高為6(2)表面積I6+8√F,體積為4.

【分析】(1)設(shè)S。為正四棱錐S-/BCD的高，則SO=1,作0MJ.8C,連結(jié)。08,分

別在即AS。。和用AS。W,即可求得棱錐的側(cè)棱長和側(cè)面的高；

(2)由(1)利用棱錐的側(cè)面積公式和體積公式，即可求解.

【詳解】(1)如圖所示，設(shè)S。為正四棱錐S-/BCD的高，則SO=1,

作OMLBC,則M為BC中點(diǎn)，

連結(jié)OA1,08,則S0,08,SOLOM,

因?yàn)锽C=4,BM=2,可得。Λ/=2,OB=2√Σ,

在AMSOO中，SB^y∣SO2+OB2=√l+8=3-

在RaSOM中，SM=NSOroM。=√5，

所以棱錐的側(cè)棱長為3,側(cè)面的高為√L

(2)棱錐的表面積為S=SlE方μBCZ)+4S?SBC=4X4+4X(；X4X7^)=16+86，

幾何體的體積為SiE方.Z(CoXSo=gx4x4xl=竽.

Tt3

20.(I)—6(II)“/(x`)m，∣∏(IaΛx=2-

【詳解】⑴由W=(GSinX)2+(Sin^>=4sin2χ,

∣?∣=(COSJV)2+(SinX)2=1,

及N=，卜得4shΛc=l.

又X∈0?,從而SinX=；,所以x=￡.

_2J26

(2)f(x)=ab=√3sinr?cosx+sin2x

=-sin2χ-?-ɑθs2x+-?-=sinf2x-g]+W,

22216)2

當(dāng)x∈O?時(shí)，一gw2χ-f≤∣?π,

_2」666

???當(dāng)r—1=9時(shí)，

62

即X='時(shí)，Sin(2x-芯)取最大值1.

3

所以√(x)的最大值為]?

21.緝私艇沿北偏東60。行駛才能最快追上走私船，所需時(shí)間而小時(shí)

【分析】設(shè)緝私艇在點(diǎn)。處追上走私船，所需，小時(shí)，在“8C中，利用余弦定理求得8C,

再利用正弦定理求得//8C,從而可得NCBD,在48CD中，由正弦定理即可得出答案.

【詳解】解：設(shè)緝私艇在點(diǎn)。處追上走私船，所需f小時(shí)，

則8。=10/海里，Cr>=ιo"海里，

因?yàn)閆BAC=45°+75°=120°,

在“8C中，由余弦定理得8C?=/爐+/。2一2∕8?∕C?cos/歷IC，

a∣JBC2=[10(√3-I)]2+202-2×l0(√3-I)×20×cosl200=600,

所以BC=IQ指,

由正弦定理得S必叫上產(chǎn)=端門當(dāng),

所以N/8C=45。，

所以BC為東西方向，所以/C8￡>=120。,

BDsmΛCBDIOZxsinI2001

在C。中，由正弦定理得sin/8C。=

CD10√3∕-2'

所以/38=30°,所以N8OC=30。,

所以區(qū)D=5C=10#,BP10∕=10√6.BPz=√6（小時(shí)）,

所以緝私艇沿北偏東60。行駛才能最快追上走私船，所需時(shí)間太小時(shí).

【分析】(1)由正弦定理可將2αcosC=b-α轉(zhuǎn)化為2sinNcosC=sin8-sinN,結(jié)合角度關(guān)

系轉(zhuǎn)化得sin(C-Z)=Sin/,即可證得C=IA,

(2)由CD為/ZC8的角平分線，C=2∕,可得∕D=8=√5,根據(jù)A/C。面積公式可求

得sin2N=逑，再由三角形A∕18C為銳角三角形可得A的范圍，由平方公式二倍角公式可

3

得SinaCoSN的值，根據(jù)和差公式得sin8的值，由余弦定理求得6