計(jì)數(shù)原理、排列組合、二項(xiàng)式定理-高考數(shù)學(xué)考試(新高考)(解析版)

專(zhuān)題15計(jì)數(shù)原理與排列組合、二項(xiàng)式定理

易優(yōu)今所

【正解】

一、混淆二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)致錯(cuò)

I.IX2+-I的展開(kāi)式中χ4的系數(shù)為()

IX)

A.10B.20C.90D.80

【錯(cuò)解】A,山題可得7；M=C；■(x2廣',(3)=G?3'?χ2

令10-3r=4,則r=2,所以(X2+之)的展開(kāi)式中/的系數(shù)為=^,故選A.

【錯(cuò)因】錯(cuò)把二項(xiàng)式系數(shù)當(dāng)成項(xiàng)的系數(shù)。

【正解】C,由題可得J；+I=G=G??3'?x**

令10—3r=4,則r=2,所以c[.3「=C2?32=90’故選C

2、(a-8)”的展開(kāi)式中,系數(shù)最大的項(xiàng)是第項(xiàng)

【錯(cuò)解】6或7,(a-3”的展開(kāi)式中共12項(xiàng),第6項(xiàng)的系數(shù)為CY第7項(xiàng)的系數(shù)為C：,又

=3，

所以數(shù)最大的項(xiàng)是第6或7項(xiàng).

【錯(cuò)因】錯(cuò)把二項(xiàng)式系數(shù)當(dāng)成項(xiàng)的系數(shù)。

【正解】(a-與”的展開(kāi)式中共12項(xiàng),第6項(xiàng)的系數(shù)為-3,第7項(xiàng)的系數(shù)為C：,

所以數(shù)最大的項(xiàng)是第7項(xiàng).

二、忽略二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)是第r+1項(xiàng)不是第r項(xiàng)致錯(cuò)

3、二項(xiàng)式(X—2)的展開(kāi)式的第二項(xiàng)是()

A.60X2B.-60X2C.∣2X4D.-12√

【錯(cuò)解】展開(kāi)式的通項(xiàng)為2),令1=2,可得展開(kāi)式的第二項(xiàng)為2)

60注.故選A.

【錯(cuò)因】誤認(rèn)為第二項(xiàng)是1=2而錯(cuò)誤

【正解】展開(kāi)式的通項(xiàng)為（+I=G（X廣]—2],令r=1,可得展開(kāi)式的第二項(xiàng)為

c^5[-χ）=T2χ4.故選D.

三、混淆均勻分組與部分均勻分組致錯(cuò)

4、某校高二年級(jí)共有六個(gè)班,現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入4名學(xué)生,要安排到該年級(jí)的兩個(gè)班級(jí)且每班安排

2名,則不同的安排方案種數(shù)為O

A.B.C.D.2A：

【錯(cuò)解】選A,先將4名學(xué)生均分成兩組方法數(shù)為C；,再分配給6個(gè)年級(jí)中的2個(gè)分配方法

數(shù)為4,根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理合要求的安排方法數(shù)為^.

【錯(cuò)因】該題為均勻分組，忽略除以用而錯(cuò)誤.

C2

【正解】先將4名學(xué)生均分成兩組方法數(shù)為當(dāng),再分配給6個(gè)年級(jí)中的2個(gè)分配方法數(shù)為4,

r?2

根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理合要求的安排方法數(shù)為T(mén)L.故選B.

A；

5.某小區(qū)共有3個(gè)核酸檢測(cè)點(diǎn)同時(shí)進(jìn)行檢測(cè)，有6名志愿者被分配到這3個(gè)檢測(cè)點(diǎn)參加服

務(wù)，6人中有4名“熟手”和2名“生手”，1名“生手”至少需要1名“熟手”進(jìn)行檢測(cè)工作的傳

授，每個(gè)檢測(cè)點(diǎn)至少需要1名“熟手”，且2名“生手”不能分配到同一個(gè)檢測(cè)點(diǎn)，則不同的

分配方案種數(shù)是（）

A.72B.108C.216D.432

【錯(cuò)解】A,根據(jù)題意，可先把4名“熟手”分為人數(shù)為2,1,1的三組，再分配到3個(gè)檢測(cè)點(diǎn),

共有里以A；種分法，然后把2

?名“生手,,分配到3個(gè)檢測(cè)點(diǎn)中的2個(gè)，有A；種

A、

C2C1C1

分法，所以共有*?匕?A;A；=72種不同的分配方案.

【錯(cuò)因】該題為部分均勻分組，應(yīng)除以A；,而不是A；.

【正解】C,根據(jù)題意，可先把4名“熟手”分為人數(shù)為2,1,1的三組，再分配到3個(gè)檢測(cè)點(diǎn),

c；c；C

共有?A；種分法，然后把2名“生手”分配到3個(gè)檢測(cè)點(diǎn)中的2個(gè)，有A；種

Aj

c；CC

分法，所以共有=216種不同的分配方案.

四、計(jì)數(shù)時(shí)混淆有序與定序

6、某學(xué)校舉行校慶文藝晚會(huì)，已知節(jié)目單中共有七個(gè)節(jié)目，為了活躍現(xiàn)場(chǎng)氣氛，主辦

方特地邀請(qǐng)了三位老校友演唱經(jīng)典歌曲，并要將這三個(gè)不同節(jié)目添入節(jié)目單，且不改變?cè)瓉?lái)

的節(jié)目順序，則不同的安排方式有種.

【錯(cuò)解】A1O原先有七個(gè)節(jié)目，添加三個(gè)節(jié)目后，節(jié)目單中共有十個(gè)節(jié)目，則不同的排列

方法有饋種.

【錯(cuò)因】忽略了不改變?cè)瓉?lái)的節(jié)目順序這一條件，即原來(lái)的七個(gè)節(jié)目是定序的。

【正解】原先七個(gè)節(jié)目的不同安排方法共有4種，添加三個(gè)節(jié)目后，節(jié)目單中共有十個(gè)節(jié)

目，先將這十個(gè)節(jié)目進(jìn)行全排列，不同的排列方法有用;種，而原先七個(gè)節(jié)目的順

雪=720（種）.

序一定，故不同的安排方式共有

4

7、身高互不相同的七名學(xué)生排成一排,從中間往兩邊越來(lái)越矮,不同的排法有（）

A.5040種B.720種C.240種D.20種

【錯(cuò)解】最高個(gè)子站在中間,只需排好左右兩邊,第一步：先排左邊,有A：=12（）種排法,第二

步：排右邊,有A；種排法,根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,共有120x6=720種,故選B.

【錯(cuò)因】混淆有序與定序

【正解】最高個(gè)子站在中間,只需排好左右兩邊,第一步：先排左邊,因順序固定有C：=20種

排法,第二步:排右邊,因順序固定,有1種排法,根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,共有20x1=20種,

故選O.

五、混淆排列與組合導(dǎo)致計(jì)數(shù)錯(cuò)誤

8.有甲、乙、丙三項(xiàng)任務(wù)，甲需2人承擔(dān)，乙、丙各需1人承擔(dān)，從10人中選出4

人承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù)，不同的選法種數(shù)是（）

A.1260B.2025C.2520D.5040

【錯(cuò)解】先從10人中選出2人承擔(dān)甲任務(wù)；再?gòu)挠嘞?人中選出2人分別承擔(dān)乙任務(wù)、丙

任務(wù).根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的選法共有A；A4=504（）種.故選A.

【錯(cuò)因】本題是組合問(wèn)題，是無(wú)序的，不是排列問(wèn)題。

【正解】選C,先從10人中選出2人承擔(dān)甲任務(wù)；再?gòu)挠嘞?人中選出2人分別承擔(dān)乙任

務(wù)、丙任務(wù).根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的選法共有CMCK?=2520種.故選

C.

六、考慮問(wèn)題不全面導(dǎo)致漏計(jì)出錯(cuò)

9、如圖，洛書(shū)（古稱(chēng)龜書(shū)）是陰陽(yáng)五行術(shù)數(shù)之源.在古代傳說(shuō)中有神

龜出于洛水，其甲殼上有此圖象，結(jié)構(gòu)是戴九履一，左三右七，二四為

肩，六八為足，以五居中，五方白圈皆陽(yáng)數(shù)，四角黑點(diǎn)為陰數(shù).若從四個(gè)陰數(shù)和五個(gè)陽(yáng)數(shù)中

隨機(jī)選取3個(gè)數(shù)，則選取的3個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)的方法數(shù)為（）

A.10B.40C.44D.70

【錯(cuò)解】選B,由題意可知，陰數(shù)為2,4,6,8,陽(yáng)數(shù)為1,3,5,7,9,若選取3個(gè)數(shù)的和為奇數(shù)，

則3個(gè)數(shù)都為奇數(shù)，共有CS=Io種方法；所以滿(mǎn)足題意的方法共有10種.

【錯(cuò)因】沒(méi)有考慮兩偶一奇的情況，

【正解】選B,由題意可知，陰數(shù)為2,4,6,8,陽(yáng)數(shù)為1,3,5,7,9,若選取3個(gè)數(shù)的和為奇數(shù)，

則有兩類(lèi)：一類(lèi)是3個(gè)數(shù)都為奇數(shù)，共有Cg=IO種方法；另一類(lèi)是兩偶一奇，共

有CK?=30種方法，所以滿(mǎn)足題意的方法共有10+30=40種.故選B.

10.某賓館安排A,B,C,D,E五人入住3個(gè)房間，每個(gè)房間至少住1人，且A,B

不能住同一房間，則共有種不同的安排方法.（用數(shù)字作答）

【錯(cuò)解】42,5個(gè)人住3個(gè)房間，每個(gè)房間至少住1人，則按3,1,1住，有C*A3=6O（種），

A,2住同一房間有C，A?=18（種），故有60—18=42（種）.

【錯(cuò)因】沒(méi)有考慮按2,2,1住的情況，

【正解】114,5個(gè)人住3個(gè)房間，每個(gè)房間至少住1人，則有3,1,1和2,2,1兩種.當(dāng)為3,1,1

時(shí),有Cg?A3=60（種），A,8住同一房間有CiM=I8（種），故有60-18=42（種）;

∩2c'2

當(dāng)為2,2,1時(shí)，有氣，XA3=90（種），A,B住同一房間有QA?=18（種），故有90

-18=72（種）.根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可知，共有42+72=114（種）.

11、若∈{1,2,3,4,8,9},則log“b可表示個(gè)不同的實(shí)數(shù)。

【錯(cuò)解】當(dāng)α≠l,b=l時(shí)IOg“力=0；當(dāng)α=匕Hl時(shí)log"。=1,當(dāng)。力不相等且均不為1

時(shí)滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)個(gè)數(shù)為4=20,所以log”b可表示22個(gè)不同的實(shí)數(shù).

【錯(cuò)因】忽略log?3=Iog49,Iog32=Iog94,Iog24=log,9,Iog42=Iog93.

【正解】當(dāng)αwl,8=l時(shí)log,,b=0；當(dāng)a=Z>≠l時(shí)log,*=l,當(dāng)a,。不相等且均不為

1時(shí)，由。力可組成6=2。個(gè)對(duì)數(shù)式，其中l(wèi)og23=k‰9,

Ioga2=Iog94,Iog24=log.,9,所以1θgh可表示20個(gè)不同的實(shí)數(shù).

七、混淆二項(xiàng)式系數(shù)之和與所有項(xiàng)系數(shù)之和出錯(cuò)

12.已知（x+°）"的展開(kāi)式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為256,則這個(gè)展開(kāi)式中小項(xiàng)的系

X

數(shù)是.

4

【錯(cuò)解】令X=I,貝IJ4"=256,則H=4,（X+-）的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)1+\=

X

3

q√^瑤），=C3?χj

x

（r∈N*,r≤4）,由4-2「=4得r=0,所以所求展開(kāi)式中_?項(xiàng)的系數(shù)是C：?3°=L

3

【錯(cuò)因】混淆二項(xiàng)式系數(shù)之和與所有項(xiàng)系數(shù)之和，本題是說(shuō)（x+一）”的展開(kāi)式中各項(xiàng)的二項(xiàng)

X

式系數(shù)的和為256,

【正解】依題意2"=256,則〃=8,（X+之）'的展開(kāi)式的通項(xiàng)為77+ι=

X

（r∈N*,r≤8）,由8—2r=4,得r=2,所以所求展開(kāi)式中/項(xiàng)的系數(shù)是.3?=252.

八、利用分步乘法原理計(jì)數(shù),分步標(biāo)準(zhǔn)錯(cuò)誤

13、把3個(gè)不同的小球投入到4個(gè)盒子,所有可能的投法共有（）

A.24種B.4種C.43種D.34種

【錯(cuò)解】因?yàn)槊總€(gè)盒子有三種投入方法,共4個(gè)盒子,所以共有3x3x3x3=34種）投法.

【錯(cuò)因】沒(méi)有考慮每個(gè)球只能投入一個(gè)盒子中,導(dǎo)致錯(cuò)誤

【正解】第1個(gè)球投入盒子中有4種投法；第2個(gè)球投入盒子中也有4種投法；第3個(gè)球投

入盒子中也有4種投法.只要把這3個(gè)球投完,就做完了這件事情,由分步乘法計(jì)數(shù)

原理可得共有43種方法.

九、混淆二項(xiàng)式展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)與系數(shù)最大的項(xiàng)致錯(cuò)

14、若（也+市”展開(kāi)式中前三項(xiàng)的系數(shù)和為163,則展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)第

項(xiàng).

2fl—3k

【錯(cuò)解】5或6,展開(kāi)式的通項(xiàng)為/+∣=2ACMI-,由題意可得，2。&+2。+22戢=163,

解得"=9.則展開(kāi)式中共有10項(xiàng)，且第5項(xiàng)、第6項(xiàng)為二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)。

【錯(cuò)因】混淆二項(xiàng)式展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)與系數(shù)最大的項(xiàng)

2"-3"

【正解】展開(kāi)式的通項(xiàng)為7）+I=2"C∕F?由題意可得，2oα+2C,l,+22ɑ=163,解得n

[2kC^2k+'C^',n20

=9.設(shè)展開(kāi)式中乙+∣項(xiàng)的系數(shù)最大，則C解得??<ZW詈，又Y

[2'C332入,C5l,??

k∈N,.?k=6f故展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為第7項(xiàng)。

易布題通關(guān)

1.將2名教師，4名學(xué)生分成2個(gè)小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每個(gè)

小組由1名教師和2名學(xué)生組成，不同的安排方案共有（）

A.12種B.10種C.9種D.8種

【答案】A

【解析】先安排I名教師和2名學(xué)生到甲地，再將剩下的1名教師和2名學(xué)生安排到乙地，

共有C；C：=12種.

2.(1+4)(1+x)6展開(kāi)式中尤2的系數(shù)為()

X

A.15B.20C.30D.35

【答案】C

【解析】因?yàn)?l+~ζ)(l+X)6=l?(l+X)6+-V?(l+x)6,則(1+X)6展開(kāi)式中含/的項(xiàng)

XX

為l?Cr2=15χ2,J(l+χ)6展開(kāi)式中含爐的項(xiàng)為＜c*4=i5χ2,故為的系

X-X

數(shù)為15+15=30,選C.

3.6名同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)場(chǎng)館做志愿者，每名同學(xué)只去1個(gè)場(chǎng)館，甲場(chǎng)館安排1名，乙

場(chǎng)館安排2名，丙場(chǎng)館安排3名，則不同的安排方法共有()

A.120種B.90種C.60種D.30種

【答案】C

【解析】首先從6名同學(xué)中選1名去甲場(chǎng)館，方法數(shù)有C：；然后從其余5名同學(xué)中選2名去

乙場(chǎng)館，方法數(shù)有以；最后剩下的3名同學(xué)去并場(chǎng)館，故不同的安排方法共有

=6x10=60種，故選C.

4.某班級(jí)要從6名男生、3名女生中選派6人參加社區(qū)宣傳活動(dòng)，如果要求至少有2名女

生參加，那么不同的選派方案種數(shù)為()

A.19B.38C.55D.65

【答案】D

【解析】至少有2名女生參加包括2名女生4名男生與3名女生3名男生兩種情況，所以

不同的選派方案種數(shù)為0CW+GC2=65.故選D.

5.若(1-1)4=00+0/+42^2+44+4^4,則斜+公+的的值為()

A.9B.8C.7D.6

【答案】B

【解析】令X=1,則αo+a∣+a2+43+α4=O,令x=—l,則〃()一0+他―s+44=16,兩式

相加得αo+42+a4=8.

6.若(1—+則心o|一∣0∣+o∣-143∣+∣44∣-依|=()

A.0B.1C.32D.-1

【答案】A

【解析】由（l-χ）5的展開(kāi)式的通項(xiàng)為77+ι=（-l）'Qy,得0,43,公為負(fù)數(shù)，a0,s,出為

正教，故有|聞一∣α11+也|—Ml+同一依|=40+。I+俏+43+4a+45=（1—1F=O.故選A.

7、某次聯(lián)歡會(huì)要安排3個(gè)歌舞類(lèi)節(jié)目，2個(gè)小品類(lèi)節(jié)目和1個(gè)相聲類(lèi)節(jié)目的演出順序，則

同類(lèi)節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是（）

A.72B.120C.144D.168

【答案】B

【解析】安排小品節(jié)目和相聲節(jié)目的順序有三種：”小品1,小品2,相聲”，“小品I,

相聲，小品2”和“相聲，小品1,小品2”.對(duì)于第一種情況，形式為“口小品1歌舞1

小品2口相聲口"，有A3QA3=36（種）安排方法：同理，第三種情況也有36種安排方法，

對(duì)于第二種情況，三個(gè)節(jié)目形成4個(gè)空，其形式為“口小品1口相聲口小品2口”，有A3M

=48種安排方法，故共有36+36+48=120種安排方法.

8.（多選題）卜+的展開(kāi)式中，下列結(jié)論正確的是（）

A.展開(kāi)式共6項(xiàng)

B.常數(shù)項(xiàng)為160

C.所有項(xiàng)的系數(shù)之和為729

D.所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64

【答案】BCD

X+：J展開(kāi)式的總項(xiàng)數(shù)是7,A不正確；卜+：］展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為

【詳解】

&產(chǎn)（?=C【2'產(chǎn)"，令6-2廠=0得r=3,常數(shù)項(xiàng)為C：2?=160,B正確；取X=I得

（X+：）展開(kāi)式的所有項(xiàng)的系數(shù)之和為變=729,C正確；由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)得k+jj展

開(kāi)式的所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2?=64,D正確.

9、（多選）已知（62+田"3>0）的展開(kāi)式中第5項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，且展開(kāi)式的

各項(xiàng)系數(shù)之和為1024,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.展開(kāi)式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為256

B.展開(kāi)式中第6項(xiàng)的系數(shù)最大

C.展開(kāi)式中存在常數(shù)項(xiàng)

D.展開(kāi)式中含/5的項(xiàng)的系數(shù)為45

【答案】BCD

【解析】由二項(xiàng)式的展開(kāi)式中第5項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等可知"=10,又展開(kāi)式的各

項(xiàng)系數(shù)之和為1024,所以令尤=1,得（〃+1嚴(yán)=1024,又G>0,所以〃=1,所以二項(xiàng)式為

G"H"=Q+χT)'θ'故展開(kāi)式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為^X2K)=512,故A錯(cuò)誤；由

1

〃=10可知展開(kāi)式中第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，因?yàn)闋t與J5的系數(shù)均為1,所以第6項(xiàng)的

/1?2(10-r)?-

2

系數(shù)最大，故B正確；Q+J5,0的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r÷ι=‰(r=0,l,2,10),

令2(10-r)-gr=0,解得，?=8,即常數(shù)項(xiàng)為第9項(xiàng)，故C正確；令2(10—r)一%=15,得r

=2,所以展開(kāi)式中含35的項(xiàng)的系數(shù)為c?)=45,故D正確.故選B、C、D.

10某運(yùn)動(dòng)會(huì)期間，從3名男志愿者和2名女志愿者中選4名去支援“冰壺”“花樣滑冰”“短道

速滑''三項(xiàng)比賽志愿者工作，其中冰壺項(xiàng)目需要一男一女兩名，花樣滑冰和短道速滑各需要

一名，男女不限.則不同的支援方法的種數(shù)是()

A.36B.24C.18D.42

【答案】A

(詳解】第一步從3名男志愿者和2名女志愿者各選一名志愿者去支援冰壺項(xiàng)目，選法共有

C；C；=6種；第二步從剩余的3人中選一人去支援花樣滑冰，選法共有C；=3種；第三步從

剩余的2人中選一人去支援短道速滑，選法共有C；=2種；依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，不

同的支援方法的種數(shù)是6x3X2=36,

11.已知(x+2)"的二項(xiàng)展開(kāi)式中，第三項(xiàng)與第〃-2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為84,則第四項(xiàng)的系

數(shù)為()

A.280B.448C.692D.960

【答案】B

【詳解】由題，1M=CXrTx2/，因?yàn)榈谌?xiàng)與第〃一2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為84,所以

C；+C；3=84,BPC;+￠,=84.所以〃GLB"-2)=84,解得〃=8,

23×2

所以第四項(xiàng)的系數(shù)為Cjxl8-3χ23=448,

12.甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者去AS,C三個(gè)不同的小區(qū)參加新冠疫情防控志愿服務(wù)，

每個(gè)小區(qū)至少去1人,每人只去1個(gè)小區(qū)，且甲、乙去同一個(gè)小區(qū)，則不同的安排方法有()

A.28種B.32利IC.36種D.42種

【答案】C

C氾C；

【詳解】將甲、乙看成一個(gè)元素A,然后將4、丙、丁、戊四個(gè)元素分為3組，共有=6

A；

利D再將3組分到3個(gè)不同小區(qū)有A；=6利J所以滿(mǎn)足條件的安排方法共有6x6=36種.

13.現(xiàn)從男、女共8名學(xué)生中選出2名男生和1名女生分別參加學(xué)校“資源”“生態(tài)”和“環(huán)?！?/p>

三個(gè)夏令營(yíng)活動(dòng)，已知共有90種不同的方案，那么男、女學(xué)生的人數(shù)分別是()

A.2,6B.3,5C.5,3D.6,2

【答案】B

【詳解】設(shè)男生有X人，則女生有（8-力人，且8>x≥2?由題意可得C；CLA；=90,即

式日（8二）χ6=90,得x=3,故8r=5,即男、女學(xué)生的人數(shù)分別是3,5.

2

14.（多選）己知（5x一方”的展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,下列說(shuō)法正確的是（）

A.2,10成等差數(shù)列

B.各項(xiàng)系數(shù)之和為64

C.展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第3項(xiàng)

D.展開(kāi)式中第5項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)

【答案】BDA

【解析】由（5X-D"的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2"=64,得〃=6,得2,6,10成等差數(shù)列，A正

確；令X=I,則（5x—/>=26=64,即各項(xiàng)系數(shù)之和為64,B正確；（5X—D的展開(kāi)式共

有7項(xiàng)，則二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)，C不正確；的展開(kāi)式中的第5項(xiàng)為C。

（5x）2（一為4=15X25X81為常數(shù)項(xiàng)，D正確.

15.在（｝—J（x+y）6的展開(kāi)式中，X3）#的系數(shù)是（）

1525

A.20B.~γC.—5D.—?

【答案】D

【解析】（尹）'）（χ+y）6=去x+朔一y（χ+y）6,α+y）6開(kāi)式的通項(xiàng)為τr+1=C-令6

-r=2,則r=4,則（X+y）。的展開(kāi)式中x2∕t的系數(shù)為Cg=15.令6—r=3,則r=3,則（x+

y）6的展開(kāi)式中?√y3的系數(shù)為Cg=20,故G—）'）（x+>'）6的展開(kāi)式中Xy的系數(shù)是TX15—20

_25

=一^2"

16.（多選）為了弘揚(yáng)我國(guó)古代的“六藝文化”，某夏令營(yíng)主辦單位計(jì)劃利用暑期開(kāi)設(shè)

“禮”“樂(lè)”“射”“御,，“書(shū)”“數(shù)”六門(mén)體驗(yàn)課程，每周一門(mén)，連續(xù)開(kāi)設(shè)六周，則（）

A.某學(xué)生從中選3門(mén)，共有30種選法

B.課程“射”“御”排在不相鄰兩周，共有240種排法

C.課程“禮”“書(shū)”“數(shù)”排在相鄰三周，共有144種排法

D.課程“樂(lè)”不排在第一周，課程“御”不排在最后一周，共有504種排法

【答案】CD

【解析】對(duì)于A,某學(xué)生從6門(mén)中選3門(mén)共有C*=20種選法，故A錯(cuò)誤：對(duì)于B,課程

“射”“御”排在不相鄰兩周，先排好其他的4門(mén)課程，有5個(gè)空位可選，在其中任選2

個(gè)安排“射”“御”，共有AUg=480種排法,故B錯(cuò)誤：對(duì)于C,課程"禮”“書(shū)”“數(shù)”

排在相鄰三周，由捆綁法分析，將“禮”“書(shū)”“數(shù)”看成一個(gè)整體，與其他3門(mén)課程全排

列，共有A?A才=144種排法，故C正確；對(duì)于D,課程“樂(lè)”不排在第一周，課程‘'御"

不排在最后一周，分2種情況討論，若課程“樂(lè)”排在最后一周，有A?種排法，若課程“樂(lè)”

不排在最后一周，有CJeIA：|種排法，則共有Ag+ClChM=504種排法，故D正確.故選C、

D.

17.（多選）已知Q：+3/）"展開(kāi)式中，各項(xiàng)系數(shù)和比它的二項(xiàng)式系數(shù)和大992,則下列結(jié)論

正確的是（）

A.展開(kāi)式中的有理項(xiàng)是第2項(xiàng)和第5項(xiàng)

B.展開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)

C.展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第3項(xiàng)和第4項(xiàng)

D.展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第5項(xiàng)

【答案】BCD

【解析】由題意可得4"-2"=992,解得2"=32,所以”=5.所以+'F）的展開(kāi)式的通項(xiàng)

10+4r

為。+I=CS?3”號(hào).若F-為有理數(shù)，則r=2或r=5,展開(kāi)式中的有理項(xiàng)是第3項(xiàng)和第

10+4r5

6項(xiàng)，故A錯(cuò)誤；令一1—=0,解得『=一》不符合題意，故展開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)，故B

正確；由”=5可知，展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第3項(xiàng)和第4項(xiàng)，故C正確；假設(shè)第

3λC?≥3*^lCΓ*,

k+1項(xiàng)系數(shù)最大，則卜仁§23*+1CAI解得3.5W%≤4.5,因?yàn)锳GN*,所以々=4,所以展

開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第5項(xiàng)，故D正確.故選B、C、D.

18.（多選）某學(xué)生想在物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理、技術(shù)這七門(mén)課程中選三門(mén)作

為選考科目，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.若任意選擇三門(mén)課程，選法總數(shù)為A3

B.若物理和化學(xué)至少選一門(mén)，選法總數(shù)為Ca

C.若物理和歷史不能同時(shí)選，選法總數(shù)為C3—Cg

D.若物理和化學(xué)至少選一門(mén)，且物理和歷史不同時(shí)選，選法總數(shù)為CK久g

【答案】ABD

【解析】對(duì)于A,若任意選擇三門(mén)課程，選法總數(shù)為C"A錯(cuò)誤；對(duì)于B,若物理和化學(xué)

選一門(mén)，有CJ種方法，其余兩門(mén)從剩余的五門(mén)中選，有Cg種選法；若物理和化學(xué)選兩門(mén)，

有◎種選法，剩下一門(mén)從剩余的五門(mén)中選，有Cg種選法，所以總數(shù)為CKg+C3Cg,B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若物理和歷史不能同時(shí)選，選法總數(shù)為Cg-GCg=G—eg,C正確；對(duì)于D,有3

種情況：①選物理,不選化學(xué)，有C3種選法；②選化學(xué)，不選物理，有Cg種選法；③物理與

化學(xué)都選，有Cl種選法，故總數(shù)為C*+Cg+Q=6+10+4=20,D錯(cuò)誤.

19.(多選)已知(2+x)(l—2x)5=ɑo+α∣x+α2X2+aM3+αM4+α5?x5+α6X6,貝∣J()

A.即的值為2

B.%的值為16

C.0+42+43+44+45+a6的值為一5

D.山+4+的的值為120

【答案】ABC

【解析】對(duì)于A,令X=O,得伙>=2X1=2,故A正確；對(duì)于B,(1—2x)5的展開(kāi)式的通項(xiàng)

rrr

為T(mén)r+?=Cξ(-2x)=(-2)C?c,所以45=2X(—2)5Q+lX(-2)4G=-64+80=16,故B

正確：對(duì)于C,令X=1,得(2+1)(1—2Xl)5=αo+0+42+a3+44+45+46①，即?i÷∏2

+“3+α4+α5+α6=—3—即=-3—2=-5,故C正確；對(duì)于D,令x=-l,得(2—1)口-2><(一

DP=.。-4ι+α2-^α3+44-^的+疑②，由①②解得0+43+α5=~^123,故D不正確.故選

A、B、C.

22

20.已知多項(xiàng)式(1—2x)+(l+x+x)3=αo+αix+α2Λ+…+46a,貝1]⑶=,他+。3

++%+<%=.

【答案】123

【解析】根據(jù)題意，令x=l,得(L2)+(l+l+l)3=αo+0+s+…+期=26,令x=0,得

“0=1+1=2.易知0為展開(kāi)式中X項(xiàng)的系數(shù)，考慮一次項(xiàng)系數(shù)0=-2+C,C3XF=],所以

"2+43+44+05+06=26-1—2=23.

21.如果一個(gè)整數(shù)的各位數(shù)字是左右對(duì)稱(chēng)的，則稱(chēng)這個(gè)數(shù)是對(duì)稱(chēng)數(shù)，例：1234321,123321

等，顯然，兩位數(shù)的對(duì)稱(chēng)數(shù)有9個(gè)，即11,22,33,…，99,則三位數(shù)的對(duì)稱(chēng)數(shù)有個(gè)，

2〃+1(〃CN*)位數(shù)的對(duì)稱(chēng)數(shù)有個(gè).

【答案】909X10"

【解析】根據(jù)題意，對(duì)于三位數(shù)的對(duì)稱(chēng)數(shù)，其百位和個(gè)位數(shù)字相同，都不能為0,有9種選

法，其十位數(shù)字可以為任意的數(shù)字，有10種選法，則三位數(shù)的對(duì)稱(chēng)數(shù)有9X10=90個(gè)；對(duì)

于2"+l("∈N*)位數(shù)的對(duì)稱(chēng)數(shù)，其首位和個(gè)位數(shù)字相同，都不能為0,有9種選法，第2位

數(shù)字到第〃+1位數(shù)字都可以為任意的數(shù)字，有10種選法，則2〃+1(“GN*)位數(shù)的對(duì)稱(chēng)數(shù)有

9×10"個(gè).

22.設(shè)(X—l)(2+x)3=(7o+α∣x+n2χ2+<?r3+α4V),則a↑=,2a2+?tf?+4tz?=.

【答案】-431

【解析】由題意知，0為展開(kāi)式中X項(xiàng)的系數(shù)，所以G=C923-C[22=—4.對(duì)所給等式，兩

邊對(duì)X求導(dǎo)，(2÷x)3÷3(?-1)(2÷.r)2=6(I÷2αu÷3ayx2÷4α?r3,令X=1,得27=αι+242+

3。3+444,所以2。2+3。3+4a4=31.

23.有編號(hào)分別為1,2,3,4的四個(gè)盒子和四個(gè)小球，把小球全部放入盒子，恰有一個(gè)空盒，

有種放法.

【答案】144

【解析】由題設(shè)，必有一個(gè)盒子內(nèi)放入2個(gè)小球，從4