第三章 圓錐曲線的方程（知識歸納+題型突破）（解析版）

第三章圓錐曲線的方程（知識歸納+題型突破）1.了解圓錐曲線的實(shí)際背景，感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用;2.經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓的過程，掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì);3.了解拋物線與雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及它們的簡單幾何性質(zhì);4.通過圓錐曲線與方程的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合的思想;5.了解橢圓、拋物線的簡單應(yīng)用.一、橢圓的定義、方程、圖形及性質(zhì)平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)（）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距，記作，定義用集合語言表示為：注意：當(dāng)時，點(diǎn)的軌跡是線段；當(dāng)時，點(diǎn)的軌跡不存在．橢圓的方程、圖形與性質(zhì)所示．焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在軸上焦點(diǎn)在軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程統(tǒng)一方程參數(shù)方程第一定義到兩定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)2，即（）范圍且且頂點(diǎn)、、、、軸長長軸長，短軸長長軸長，短軸長對稱性關(guān)于軸、軸對稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對稱焦點(diǎn)、、焦距離心率準(zhǔn)線方程點(diǎn)和橢圓的關(guān)系切線方程（為切點(diǎn)）（為切點(diǎn)）對于過橢圓上一點(diǎn)的切線方程，只需將橢圓方程中換為，換為可得切點(diǎn)弦所在的直線方程焦點(diǎn)三角形面積①，（為短軸的端點(diǎn)）②③焦點(diǎn)三角形中一般要用到的關(guān)系是焦半徑左焦半徑：又焦半徑：上焦半徑：下焦半徑：焦半徑最大值，最小值通徑過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦叫通徑：通徑長=（最短的過焦點(diǎn)的弦）弦長公式設(shè)直線與橢圓的兩個交點(diǎn)為，，，則弦長（其中是消后關(guān)于的一元二次方程的的系數(shù)，是判別式）二、雙曲線的定義、方程、圖形與性質(zhì)平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)的距離的差的絕對值等于常數(shù)（大于零且小于）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線（這兩個定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn)）．用集合表示為．注意：（1）若定義式中去掉絕對值，則曲線僅為雙曲線中的一支．（2）當(dāng)時，點(diǎn)的軌跡是以和為端點(diǎn)的兩條射線；當(dāng)時，點(diǎn)的軌跡是線段的垂直平分線．（3）時，點(diǎn)的軌跡不存在．在應(yīng)用定義和標(biāo)準(zhǔn)方程解題時注意以下兩點(diǎn)：=1\*GB3①條件“”是否成立；=2\*GB3②要先定型（焦點(diǎn)在哪個軸上），再定量（確定，的值），注意的應(yīng)用．知識點(diǎn)二：雙曲線的方程、圖形及性質(zhì)雙曲線的方程、圖形及性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程圖形A2A2焦點(diǎn)坐標(biāo)，，對稱性關(guān)于，軸成軸對稱，關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱頂點(diǎn)坐標(biāo)，，范圍實(shí)軸、虛軸實(shí)軸長為，虛軸長為離心率漸近線方程令，焦點(diǎn)到漸近線的距離為令，焦點(diǎn)到漸近線的距離為點(diǎn)和雙曲線的位置關(guān)系共焦點(diǎn)的雙曲線方程共漸近線的雙曲線方程切線方程為切點(diǎn)為切點(diǎn)切線方程對于雙曲線上一點(diǎn)所在的切線方程，只需將雙曲線方程中換為，換成便得．切點(diǎn)弦所在直線方程為雙曲線外一點(diǎn)為雙曲線外一點(diǎn)點(diǎn)為雙曲線與兩漸近線之間的點(diǎn)弦長公式設(shè)直線與雙曲線兩交點(diǎn)為，，．則弦長，，其中“”是消“”后關(guān)于“”的一元二次方程的“”系數(shù)．通徑通徑（過焦點(diǎn)且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其長為焦點(diǎn)三角形雙曲線上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的成為焦點(diǎn)三角形，設(shè)，，，則，，焦點(diǎn)三角形中一般要用到的關(guān)系是等軸雙曲線等軸雙曲線滿足如下充要條件：雙曲線為等軸雙曲線離心率兩漸近線互相垂直漸近線方程為方程可設(shè)為．三、拋物線的定義、方程、圖形及性質(zhì)平面內(nèi)與一個定點(diǎn)和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，定點(diǎn)叫拋物線的焦點(diǎn)，定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線．注：若在定義中有，則動點(diǎn)的軌跡為的垂線，垂足為點(diǎn)．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有4種形式：，，，，其中一次項與對稱軸一致，一次項系數(shù)的符號決定開口方向圖形標(biāo)準(zhǔn)方程頂點(diǎn)范圍，，，，對稱軸x軸y軸焦點(diǎn)離心率準(zhǔn)線方程焦半徑四、直線與曲線的聯(lián)立（1）橢圓與直線相交于兩點(diǎn)，設(shè)，，橢圓與過定點(diǎn)的直線相交于兩點(diǎn)，設(shè)為，如此消去，保留，構(gòu)造的方程如下：，注意：=1\*GB3①如果直線沒有過橢圓內(nèi)部一定點(diǎn)，是不能直接說明直線與橢圓有兩個交點(diǎn)的，一般都需要擺出，滿足此條件，才可以得到韋達(dá)定理的關(guān)系．=2\*GB3②焦點(diǎn)在軸上的橢圓與直線的關(guān)系，雙曲線與直線的關(guān)系和上述形式類似，不在贅述．（2）拋物線與直線相交于兩點(diǎn)，設(shè)，聯(lián)立可得，時，特殊地，當(dāng)直線過焦點(diǎn)的時候，即，，因?yàn)闉橥◤降臅r候也滿足該式，根據(jù)此時A、B坐標(biāo)來記憶．拋物線與直線相交于兩點(diǎn)，設(shè)，聯(lián)立可得，時，注意：在直線與拋物線的問題中，設(shè)直線的時候選擇形式多思考分析，往往可以降低計算量．開口向上選擇正設(shè)；開口向右，選擇反設(shè)；注意不可完全生搬硬套，具體情況具體分析．總結(jié)：韋達(dá)定理連接了題干條件與方程中的參數(shù)，所以我們在處理例如向量問題，面積問題，三點(diǎn)共線問題，角度問題等常考內(nèi)容的時候，要把題目中的核心信息，轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表達(dá)，轉(zhuǎn)化為可以使用韋達(dá)定理的形式，這也是目前考試最?？嫉姆绞剑呐袆e式和韋達(dá)定理與聯(lián)立，兩邊同時乘上即可得到，為了方便敘述，將上式簡記為．該式可以看成一個關(guān)于的一元二次方程，判別式為可簡單記．同理和聯(lián)立，為了方便敘述，將上式簡記為，，可簡記．與C相離；與C相切；與C相交．注意：（1）由韋達(dá)定理寫出，，注意隱含條件．（2）求解時要注意題干所有的隱含條件，要符合所有的題意．（3）如果是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，只需要把，互換位置即可．（4）直線和雙曲線聯(lián)立結(jié)果類似，焦點(diǎn)在x軸的雙曲線，只要把b2換成－b2即可；焦點(diǎn)在y軸的雙曲線，把a(bǔ)2換成－b2即可，b2換成a2即可．（5）注意二次曲線方程和二次曲線方程往往不能通過聯(lián)立消元，利用判斷根的關(guān)系，因?yàn)榇饲闆r下往往會有增根，根據(jù)題干的隱含條件可以舍去增根（一般為交點(diǎn)橫縱坐標(biāo)的范圍限制），所以在遇到兩條二次曲線交點(diǎn)問題的時候，使用畫圖的方式分析，或者解方程組，真正算出具體坐標(biāo)．五、弦長問題設(shè)，根據(jù)兩點(diǎn)距離公式．（1）若在直線上，代入化簡，得；（2）若所在直線方程為，代入化簡，得（3）構(gòu)造直角三角形求解弦長，．其中為直線斜率，為直線傾斜角．注意：（1）上述表達(dá)式中，當(dāng)為，時，；（2）直線上任何兩點(diǎn)距離都可如上計算，不是非得直線和曲線聯(lián)立后才能用．（3）直線和曲線聯(lián)立后化簡得到的式子記為，判別式為，時，，利用求根公式推導(dǎo)也很方便，使用此方法在解題化簡的時候可以大大提高效率．（4）直線和圓相交的時候，過圓心做直線的垂線，利用直角三角形的關(guān)系求解弦長會更加簡單．（5）直線如果過焦點(diǎn)可以考慮焦點(diǎn)弦公式以及焦長公式．中點(diǎn)弦問題（1）是橢圓（a＞b＞0）的一條弦，中點(diǎn)，則的斜率為，運(yùn)用點(diǎn)差法求的斜率；設(shè)，，，都在橢圓上，所以，兩式相減得所以即，故（2）運(yùn)用類似的方法可以推出；若是雙曲線（a＞b＞0）的弦，中點(diǎn)，則；若曲線是拋物線，則．題型一圓錐曲線的定義及方程【例1】已知圓錐曲線的方程：.當(dāng)為正整數(shù)，且時，存在兩條曲線、，其交點(diǎn)與點(diǎn)滿足，則滿足題意的有序?qū)崝?shù)對共有對.【答案】3【分析】本題主要考查圓錐曲線的定義，易得到，，是橢圓，，，，是雙曲線，從而根據(jù)題意可得，.再結(jié)合橢圓與雙曲線的定義與即可得，從而得到答案.【詳解】由題意得，，是橢圓，，，，是雙曲線，結(jié)合橢圓與雙曲線的幾何性質(zhì)可知本題中的任意兩橢圓與兩雙曲線均無公共點(diǎn)，從而時，存在兩條曲線、有交點(diǎn)，必然有，.設(shè)，，則由橢圓與雙曲線的定義可得，，且，，故，即，所以存在兩條曲線、，且，，.故答案為：3.【例2】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為為橢圓上任意一點(diǎn)，為圓：上任意一點(diǎn)，則的最小值為.【答案】【分析】根據(jù)三角形三邊之間的不等關(guān)系可得，再結(jié)合橢圓定義將化為，結(jié)合以及圖形的幾何性質(zhì)即可求得答案.【詳解】由題意知為橢圓上任意一點(diǎn)，為圓：上任意一點(diǎn)，故，

故，當(dāng)且僅當(dāng)共線時取等號，所以，當(dāng)且僅當(dāng)共線時取等號，而,故的最小值為，故答案為：反思總結(jié)求橢圓的方程問題，一般有如下兩種解決途徑：（1）定義法：根據(jù)橢圓定義，確定a2,b2的值，再結(jié)合焦點(diǎn)位置，直接寫出橢圓方程.（2）待定系數(shù)法：根據(jù)橢圓焦點(diǎn)是在x軸還是y軸上，設(shè)出相應(yīng)形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)條件列出a,b,c的方程組，解出a2,b2，從而求得標(biāo)準(zhǔn)方程.求雙曲線的方程問題，一般有如下兩種解決途徑：（1）在已知方程類型的前提下，根據(jù)題目中的條件求出方程中的參數(shù)a,b,c，即利用待定系數(shù)法求方程．（2）根據(jù)動點(diǎn)軌跡滿足的條件，來確定動點(diǎn)的軌跡為雙曲線，然后求解方程中的參數(shù)，即利用定義法求方程．求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟為：（1）先根據(jù)題設(shè)條件及拋物線定義判斷它為拋物線并確定焦點(diǎn)位置：（2）根據(jù)題目條件列出p的方程（3）解方程求出p，即得標(biāo)準(zhǔn)方程鞏固訓(xùn)練：1.已知是橢圓的左，右焦點(diǎn)，是橢圓上任意一點(diǎn)，過引的外角平分線的垂線，垂足為，則與短軸端點(diǎn)的最近距離為.【答案】【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)可確定為中點(diǎn)，結(jié)合橢圓定義和三角形中位線性質(zhì)可確定點(diǎn)軌跡為以為圓心，為半徑的圓，進(jìn)而確定當(dāng)位于軸時取得最近距離.【詳解】由題意知：，設(shè)的延長線交的延長線于點(diǎn)，，為線段中點(diǎn)，

由橢圓定義知：，，分別為和中點(diǎn)，，點(diǎn)軌跡是以為圓心，為半徑的圓，由橢圓方程知：短軸端點(diǎn)為，當(dāng)點(diǎn)在軸上時，其到臨近的短軸端點(diǎn)的距離最近，最近距離為.故答案為：.2.已知橢圓，點(diǎn)P是橢圓上的動點(diǎn)，定點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則的最小值為【答案】/【分析】令且，應(yīng)用兩點(diǎn)距離公式及點(diǎn)在橢圓上得到關(guān)于的函數(shù)，即可求最值.【詳解】令且，則，而，故，所以，當(dāng)時，.故答案為：3.已知橢圓方程是其左焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，若的最大值為，最小值為，那么（

）A． B．4 C．8 D．【答案】C【分析】利用橢圓的定義轉(zhuǎn)化為的最值問題，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】由題意，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，連接，則，如圖：

當(dāng)點(diǎn)P在位置M時，取到最大值，當(dāng)點(diǎn)P在位置N時，取到最小值，所以的取值范圍是，即，所以的最大值，最小值，所以.故選：C.4．平面內(nèi)有一個動點(diǎn)M及兩定點(diǎn)A，B．設(shè)p：為定值，q：點(diǎn)M的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓．那么（）A．p是q的充分不必要條件B．p是q的必要不充分條件C．p是q的充要條件D．p既不是q的充分條件，又不是q的必要條件【答案】B【分析】根據(jù)為定值，且定值大于時軌跡才是橢圓，從而得到答案.【詳解】當(dāng)為定值時，若定值大于時，點(diǎn)M軌跡是橢圓，若定值等于，點(diǎn)M軌跡是線段，若定值小于，則軌跡不存在；當(dāng)點(diǎn)M的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓時，必為定值；所以，但，故p為q的必要不充分條件．故選：B5.分別求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)兩個焦點(diǎn)分別是，橢圓上的點(diǎn)P與兩焦點(diǎn)的距離之和等于8；(2)兩個焦點(diǎn)分別是，并且橢圓經(jīng)過點(diǎn)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)橢圓定義以及焦點(diǎn)坐標(biāo)可計算出，，即可求得橢圓方程；（2）由焦點(diǎn)坐標(biāo)可知且在y軸上，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程代入計算即可.【詳解】（1）由已知得，因此．又因?yàn)?，所以，易知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為．由已知得，又因?yàn)?，所以．因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，即．從而有，解得或（舍去）．因此，從而所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．題型二圓錐曲線中的焦點(diǎn)三角形【例3】（多選）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在C上，且的最大值為3，最小值為1，則（

）A．橢圓C的圓心率為B．的周長為4C．若，則的面積為D．若，則【答案】ACD【分析】對A，根據(jù)題意可得，即可求解；對B，根據(jù)橢圓的定義判斷即可；對C，根據(jù)余弦定理結(jié)合橢圓的定義判斷即可；對D，根據(jù)余弦定理與橢圓的定義求解即可.【詳解】對A，由題意，，故，故A正確；對B，的周長為，故B錯誤；對C，若，則，即，故，故，故C正確；對D，由余弦定理，即，解得，故，故D正確；故選：ACD【例4】已知點(diǎn)，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線C右支上一點(diǎn)，過點(diǎn)向的角平分線作垂線，垂足為點(diǎn)Q，則點(diǎn)和點(diǎn)Q距離的最大值為（

）A．2 B． C．3 D．4【答案】C【分析】延長，交于點(diǎn)T，則可得，再結(jié)合雙曲線的定義得，連接，則，而為定值，所以由圖可知，從而可求得結(jié)果.【詳解】如圖所示，延長，交于點(diǎn)T，則因?yàn)槠椒?，，所以，，因?yàn)镻在雙曲線上，所以，所以，連接，則，因?yàn)?，所以，?dāng)三點(diǎn)共線時取等號，即點(diǎn)和點(diǎn)Q距離的最大值為3，故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查雙曲線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用已知條件結(jié)合雙曲線的性質(zhì)可得，，考查數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題.反思總結(jié)焦點(diǎn)三角形的問題常用定義與解三角形的知識來解決，對于涉及橢圓上點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)將距離問題常用定義，即|PF1|+|PF2|=2a.對于題中涉及雙曲線上點(diǎn)到雙曲線兩焦點(diǎn)距離問題常用定義，即||PF1|－|PF2||=2a，在焦點(diǎn)三角形面積問題中若已知角，則用S△PF1F2=EQ\F(1,2)|PF1|·|PF2|sinθ，||PF1|－|PF2||=2a及余弦定理等知識；若未知角，則用S△PF1F2=EQ\F(1,2)·2c·|y0|．鞏固訓(xùn)練1.（多選）雙曲線具有如下光學(xué)性質(zhì)：如圖，，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，從發(fā)出的光線射在雙曲線右支上一點(diǎn)，經(jīng)點(diǎn)反射后，反射光線的反向延長線過；當(dāng)異于雙曲線頂點(diǎn)時，雙曲線在點(diǎn)處的切線平分.若雙曲線的方程為，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．射線所在直線的斜率為，則B．當(dāng)時，C．當(dāng)過點(diǎn)時，光線由到再到所經(jīng)過的路程為5D．若點(diǎn)坐標(biāo)為，直線與相切，則【答案】ACD【分析】求出雙曲線漸近線方程，可判斷A選項；利用勾股定理以及雙曲線的定義可判斷B選項；利用雙曲線的定義可判斷C選項；利用角平分線定理結(jié)合雙曲線的定義可判斷D選項.【詳解】在雙曲線中，，，則，故、，設(shè)，，對于A選項，因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，當(dāng)點(diǎn)在第一象限內(nèi)運(yùn)動時，隨著的增大，射線慢慢接近于直線，此時，同理可知當(dāng)點(diǎn)在第四象限內(nèi)運(yùn)動時，，當(dāng)點(diǎn)為雙曲線的右頂點(diǎn)時，，綜上所述，，A對；對于B選項，當(dāng)時，，，所以，B錯；對于C選項，，故過點(diǎn)時，光由到再到所經(jīng)過的路程為，C對；對于D選項，若，，因?yàn)椋?，所以，即，解得，D對.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：掌握雙曲線的定義及理解雙曲線的下光學(xué)性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.2.已知是橢圓的左焦點(diǎn)，過作直線交橢圓于兩點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【分析】設(shè)直線方程，聯(lián)立方程組，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式化簡，利用均值不等式求解.【詳解】如圖，

由橢圓方程可知，，當(dāng)直線斜率不為0時，設(shè)直線，，聯(lián)立，得：，，弦長，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以的最小值為；當(dāng)直線斜率為0時，.綜上，的最小值為.故答案為：3.已知雙曲線的離心率為2，左、右焦點(diǎn)分別為、，且到漸近線的距離為3，過的直線與雙曲線C的右支交于、兩點(diǎn)，和的內(nèi)心分別為、，則的最小值為.【答案】【分析】求出雙曲線的方程，根據(jù)與的內(nèi)心性質(zhì)得到關(guān)系式和點(diǎn)的橫坐標(biāo)，設(shè)出直線的傾斜角，得到的表達(dá)式，即可求出的取值范圍，則得到其最小值.【詳解】由題意，，已知焦點(diǎn)到漸近線的距離為3，由對稱性，不妨設(shè)焦點(diǎn)為，漸近線，即，則焦點(diǎn)到漸近線的距離為，又離心率為2，∴，解得，∴，∴雙曲線的方程為.記的內(nèi)切圓在邊，，上的切點(diǎn)分別為，則，橫坐標(biāo)相等，且，，，由，即，得，即，由雙曲線定義知點(diǎn)雙曲線右支上，且在軸上，則，即內(nèi)心的橫坐標(biāo)為.同理內(nèi)心的橫坐標(biāo)也為，故軸.設(shè)直線的傾斜角為，則，（為坐標(biāo)原點(diǎn)），在中，，由于直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，且的一條漸近線的斜率為，傾斜角為，∴，即，∴的范圍是，當(dāng)時，即直線垂直于軸時，取到最小值.故答案為：.

【點(diǎn)睛】雙曲線焦點(diǎn)三角形內(nèi)切圓問題結(jié)論點(diǎn)睛：雙曲線上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)若構(gòu)成三角形，則焦點(diǎn)三角形的內(nèi)切圓與實(shí)軸相切于實(shí)軸頂點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在雙曲線左支時，切點(diǎn)為左頂點(diǎn)，且當(dāng)點(diǎn)在雙曲線右支時，切點(diǎn)為右頂點(diǎn).4.已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，M為橢圓C上任意一點(diǎn)，N為圓E：上任意一點(diǎn)，則的最小值為.【答案】/【分析】根據(jù)橢圓定義可將轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)可得的最小值為，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式即得答案.【詳解】由題意橢圓C：，M為橢圓C上任意一，N為圓E：上任意一點(diǎn)，

故，當(dāng)且僅當(dāng)共線時等號成立，故，當(dāng)且僅當(dāng)共線時等號成立，而，故，即的最小值為，故答案為：5.已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓W：的左、右焦點(diǎn)，M為橢圓W上的一點(diǎn)．(1)若點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，m）（m>0），求△F1MF2的面積；(2)若點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x0，y0），且∠F1MF2是鈍角，求橫坐標(biāo)x0的范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）代入法求得值，然后求出焦點(diǎn)坐標(biāo)后可得三角形面積；（2）由余弦定理可得．【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)M（1，m）在橢圓上，所以，因?yàn)閙>0，所以，因?yàn)閍＝2，b＝1，所以，所以，，所以（2）因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓上，所以－2≤x0≤2，由余弦定理得cos∠F1MF2＝＝，因?yàn)椤螰1MF2是鈍角，所以，又因?yàn)?，所以，解得，故橫坐標(biāo)x0的范圍為.6．如圖，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，P為C的右支上一點(diǎn)，且，求的面積．

【答案】48【分析】過點(diǎn)作邊上的高，根據(jù)所給條件結(jié)合雙曲線的定義可求出三角形的高，即可求出三角形的面積.【詳解】如圖，

由可得，，，，，過點(diǎn)作邊上的高，則，，所以的面積為.題型三圓錐曲線的性質(zhì)[例5]如圖，把橢圓的長軸AB分成10等份，過每個分點(diǎn)作x軸的垂線分別交橢圓的上半部分于點(diǎn)，，…，，F(xiàn)是左焦點(diǎn)，則（

）

A．16 B．18 C．20 D．22【答案】B【分析】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，且，根據(jù)橢圓的定義和橢圓的對稱性，即可求解.【詳解】因?yàn)榘褭E圓的長軸AB分成10等份，過每個分點(diǎn)作x軸的垂線分別交橢圓的上半部分于點(diǎn)，，…，，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，且，可得，由橢圓的定義及橢圓的對稱性，可得，所以.故選：B.反思總結(jié)圓錐曲線的性質(zhì)是其自身固有的本質(zhì)屬性,涉及元素多,包括點(diǎn)(中心、頂點(diǎn)、焦點(diǎn))、直線(對稱軸、漸近線﹑準(zhǔn)線等)取值范圍、離心率等,公式多,關(guān)系雜,其中離心率問題是高考考查的熱點(diǎn)之一-。使用橢圓的性質(zhì)解決問題是注意是用橢圓的對稱性解決問題，發(fā)現(xiàn)隱藏條件.處理雙曲線的問題的時候，如果需要畫圖，注意作圖規(guī)范，結(jié)合圖象分析，另外因?yàn)殡p曲線有兩條漸近線，所以要分清楚，到底是點(diǎn)在雙曲線上還是漸近線上，切勿搞混．在處理拋物線的考題的時候，要更加注意定義優(yōu)先原則，考察頻率更高，很多問題用上拋物線定義可以簡化計算．鞏固訓(xùn)練1．橢圓與直線相交于A，B兩點(diǎn)，C，D兩點(diǎn)在橢圓上，如果四邊形為平行四邊形，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)橢圓和平行四邊形的對稱性，可知直線和直線關(guān)于原點(diǎn)對稱，則可求出直線的方程.【詳解】因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以，設(shè)直線的方程為，依題意可知直線和直線關(guān)于原點(diǎn)對稱，則原點(diǎn)到直線和到直線的距離相等，所以，解得（舍去），所以直線的方程為.故選：B.

2.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線為軸正半軸上一點(diǎn)，線段的垂直平分線交于兩點(diǎn)，若，則四邊形的周長為（

）A． B．64 C． D．80【答案】A【分析】線段的垂直平分線交于兩點(diǎn),結(jié)合拋物線的對稱性可得與互相平分,則四邊形為菱形,可設(shè)點(diǎn)坐標(biāo),通過幾何關(guān)系求出點(diǎn)坐標(biāo),在代入拋物線方程即可求解.【詳解】因?yàn)榫€段的垂直平分線交于兩點(diǎn)，所以結(jié)合拋物線的對稱性可得與互相平分,則四邊形為菱形.設(shè)點(diǎn)且則線段的垂直平分線方程為，令與軸交于點(diǎn),又，則在直角三角形中繼而可得，所以點(diǎn)坐標(biāo)為，代入拋物線，可得，解得，直角三角形中,所以四邊形的周長為.故選：A.3.如圖，橢圓的中心在原點(diǎn)，長軸在x軸上．以、為焦點(diǎn)的雙曲線交橢圓于C、D、、四點(diǎn)，且．橢圓的一條弦AC交雙曲線于E，設(shè)，當(dāng)時，雙曲線的離心率的取值范圍為．

【答案】【分析】由題意設(shè)，則可設(shè)，根據(jù)向量的共線求得點(diǎn)坐標(biāo)，代入雙曲線的方程，結(jié)合離心率化簡可得，求出的表達(dá)式，結(jié)合條件可列不等式，即可求得答案.【詳解】設(shè)，則設(shè)，(其中為雙曲線的半焦距，為C.到軸的距離)，，則，即，，即點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)雙曲線的方程為，將代入方程，得①，將，E代入①式，整理得，消去，得，所以，由于.所以，故，故答案為：4.如圖，一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面（橢圓繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面）的一部分，過對稱軸的截口BAC是橢圓的一部分，燈絲位于橢圓的一個焦點(diǎn)上，片門位于另一個焦點(diǎn)上.由橢圓一個焦點(diǎn)F1發(fā)出的光線，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)橢圓面反射后集中到另一個焦點(diǎn).已知，，.

(1)如圖建立平面直角坐標(biāo)系，求截口所在的橢圓的方程；(2)寫出與（1）中所求形狀相同，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓G的方程（直接寫出，不需要寫過程）；(3)設(shè)過點(diǎn)的直線l與橢圓G交于不同的兩點(diǎn)M，N，且M，N與坐標(biāo)原點(diǎn)O構(gòu)成三角形，求面積的最大值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)題意得出，，設(shè)出橢圓方程，根據(jù)已知得出方程組，求解即可得出答案；（2）根據(jù)（1）的方程，交換的位置，即可得出答案；（3）聯(lián)立直線與橢圓的方程，根據(jù)韋達(dá)定理表示出弦長.根據(jù)點(diǎn)到直線的距離求出點(diǎn)到直線的距離，即可代入面積公式，整理化簡得出.然后令，根據(jù)基本不等式即可得出答案.【詳解】（1）由已知可得，，，，設(shè)橢圓的方程為，由已知可得，，解得，所以，截口所在的橢圓的方程為.（2）根據(jù)（1）的方程，交換的位置，即可得出橢圓G的方程為.（3）易知直線的斜率存在，設(shè)斜率為，則直線的方程為，設(shè)，，聯(lián)立直線與橢圓的方程，可得，，解得或.又由韋達(dá)定理可得，，所以，.又點(diǎn)到直線的距離，所以，.設(shè)，則，所以.因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，取得最小值6.所以，，所以，面積的最大值為.

題型四離心率問題[例6]已知橢圓：的上頂點(diǎn)為，兩個焦點(diǎn)為，，線段的垂直平分線過點(diǎn)，則橢圓的離心率為．【答案】/【分析】求出線段的中點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)兩直線垂直斜率關(guān)系可得，再結(jié)合可求得離心率.【詳解】

如圖，設(shè)的垂直平分線與交于點(diǎn)，由題，，，，則，，，，，化簡得，，由，解得，，即.故答案為：.反思總結(jié)求離心率的本質(zhì)就是探究a,c之間的數(shù)量關(guān)系，知道a,b,c中任意兩者間的等式關(guān)系或不等關(guān)系便可求解出e的值或其范圍.具體方法為方程法、不等式法、定義法和坐標(biāo)法.鞏固訓(xùn)練1.已知圓與橢圓，若在橢圓上存在一點(diǎn)，使得由點(diǎn)所作的圓的兩條切線的夾角為，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)橢圓上任意點(diǎn)(與上下頂點(diǎn)不重合)作圓的切線，且，根據(jù)題意問題化為保證時，進(jìn)而得到關(guān)于橢圓參數(shù)的不等式，結(jié)合橢圓離心率范圍及求法確定離心率的取值范圍.【詳解】由題設(shè)，圓與橢圓在上下頂點(diǎn)處相切，橢圓上任意點(diǎn)(與上下頂點(diǎn)不重合)作圓的切線，如下圖，

若且，要所作的圓的兩條切線的夾角最小，只需最大，所以，當(dāng)與左右頂點(diǎn)重合時，此時最??；靠近上下頂點(diǎn)時無限接近；在橢圓上存在一點(diǎn)，使得所作的圓的兩條切線的夾角為，所以，保證時，即，由題意及圖知：，故，而，所以橢圓的離心率的取值范圍是.故選：A2.設(shè)點(diǎn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為直徑的圓與雙曲線的漸近線交于兩點(diǎn)（均異于點(diǎn)）．若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】作出圖形，分析可知，四邊形為正方形，可得出，求出的值，進(jìn)而可求得該雙曲線的離心率的值.【詳解】如下圖所示：連接、，設(shè)，由對稱性可知，為的中點(diǎn)，，因?yàn)?，則線段是以為直徑的圓的一條直徑，則為圓心，故為的中點(diǎn)，又因?yàn)?，且、互相垂直且平分，所以，四邊形為正方形，則，所以，，所以，該雙曲線的離心率為.故選：A.3.已知斜率為的直線經(jīng)過雙曲線的上焦點(diǎn)，且與雙曲線的上、下兩支都相交，則雙曲線的離心率的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)已知直線的斜率，求出漸近線的斜率范圍，推出，的關(guān)系，然后求出離心率的范圍．【詳解】由題意可得雙曲線的漸近線方程為，過雙曲線上焦點(diǎn)且平行于漸近線的方程為，此直線只與雙曲線的上支有一個交點(diǎn)，要使斜率為的直線經(jīng)過雙曲線的上焦點(diǎn)的直線與與雙曲線的上、下兩支相交，則，所以，因此，故答案為：

4.橢圓和圓，（為橢圓的半焦距），對任意的恒有四個交點(diǎn)，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由圓的半徑大于橢圓的短半軸長且小于橢圓的長半軸長得不等關(guān)系，從而得的不等關(guān)系，再結(jié)合可得離心率的范圍．【詳解】由題意對于恒成立，∴，由得，，，，又，即，整理得，又，∴．故選：B．題型五直線與圓錐曲線的位置關(guān)系[例7]已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為，過且垂直于軸的直線被橢圓所截得的線段長為3．(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，射線交橢圓于點(diǎn)，若，求直線的方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）利用橢圓的通徑公式以及離心率求出橢圓的方程即可；（2）設(shè)直線的方程為，將直線與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)弦長公式求出，利用三角形面積公式用表示出，由可求得，即可求直線的方程.【詳解】（1）由已知得，設(shè)過且垂直于軸的直線與橢圓交于點(diǎn),則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，將其代入得，解得，即，所以，因?yàn)闄E圓的離心率，所以．因?yàn)?，所以．故橢圓的方程為．（2）由題意知，直線不垂直于軸，設(shè)直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立方程組消去并整理得，其中，所以，，所以，因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離，且是線段的中點(diǎn)，所以點(diǎn)到直線的距離為，所以．由，解得或（舍去），所以，故直線的方程為，即或．

【點(diǎn)睛】如果直線過軸上一點(diǎn)，則直線方程可以設(shè)為，當(dāng)時直線與軸垂直，但是不包含與軸平行的情況，此種情況需要單獨(dú)說明.【例8】（多選）已知拋物線的準(zhǔn)線為，焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，于，則下列說法正確的是（

）A．若，則B．以PQ為直徑的圓與準(zhǔn)線l相切C．設(shè)，則D．過點(diǎn)與拋物線C有且僅有一個公共點(diǎn)的直線至多有2條【答案】ABC【分析】根據(jù)過焦點(diǎn)的直線與拋物線的相交的交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系、圓的幾何性質(zhì)逐項判斷即可.【詳解】由題意，拋物線的準(zhǔn)線為，所以，拋物線C的方程為，焦點(diǎn)為，過作于，

則由拋物線的定義可得，故A正確；，則以PQ為直徑的圓的半徑，線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則線段PQ的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，所以以PQ為直徑的圓與準(zhǔn)線l相切，故B正確；拋物線的焦點(diǎn)為，，當(dāng)且僅當(dāng)M，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線時取等號，所以，故C正確；對于D，當(dāng)直線斜率不存在時，直線方程為，與拋物線只有一個交點(diǎn)，當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線方程為，聯(lián)立消去x，并整理得，當(dāng)時，方程的解為，此時直線與拋物線只有一個交點(diǎn)，當(dāng)時，則，解得，綜上所述，過點(diǎn)與拋物線C有且僅有一個公共點(diǎn)的直線有3條，故D錯誤．故選：ABC．反思總結(jié)方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(x1，y1)，(x2，y2)；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程，必要時計算△；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為x1＋x2、x1x2（或y1＋y2、y1y2）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.鞏固訓(xùn)練1.已知橢圓，直線依次交軸、橢圓軸于點(diǎn)四點(diǎn)．若，且直線斜率．則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意分析可知：的中點(diǎn)即為弦的中點(diǎn)，利用點(diǎn)差法運(yùn)算求解.【詳解】設(shè)直線：，可得，設(shè)的中點(diǎn)為，連接OM，則，，因?yàn)?，則，即為弦的中點(diǎn)，設(shè)，則，因?yàn)椋傻?，兩式相減得，整理得，可得，即，可得，所以橢圓的離心率為.故選：D.

2．設(shè)A，B為雙曲線右支上的兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)為，則直線AB的方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用點(diǎn)差法，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系進(jìn)行求解判斷即可.【詳解】設(shè)，則有，兩式相減，得，因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)為，所以，因此由，即直線AB的斜率為，方程為，代入雙曲線方程中，得，因?yàn)椋跃€段AB存在，故選：C3．已知直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用點(diǎn)差法可求得直線斜率，由直線點(diǎn)斜式方程可整理得到結(jié)果.【詳解】設(shè)，由得：，線段的中點(diǎn)為，，，，即直線的斜率為，直線的方程為：，即.故選：A.4．設(shè)拋物線C：的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為D，A，B兩點(diǎn)在C上，直線依次經(jīng)過點(diǎn)A，B，D，直線AF與C的另一個交點(diǎn)為E，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】對于A，由直線求出D點(diǎn)坐標(biāo)即可得；對于B、C，聯(lián)立拋物線與直線方程，求出A、B點(diǎn)坐標(biāo)即可得；對于D，求出直線AF的方程，進(jìn)而求出E點(diǎn)坐標(biāo)，用兩點(diǎn)距離公式即可.【詳解】解：直線經(jīng)過D點(diǎn)，令，則，所以，則，故，A正確；所以C：，聯(lián)立，解得，，所以，B正確；，C錯誤；直線AF的方程為，即，與拋物線聯(lián)立，可得，解得,，則，D正確.故選：ABD5．已知橢圓，左右焦點(diǎn)分別為，，直線與橢圓交于A，兩點(diǎn)，弦被點(diǎn)平分．(1)求直線的方程；(2)求弦的長．【答案】(1)(2)5【分析】（1）利用點(diǎn)差法計算直線的斜率，再用點(diǎn)斜式求直線方程即可；（2）利用弦長公式計算即可.【詳解】（1）設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)，因?yàn)橄冶稽c(diǎn)平分，所以又，兩式相減得：），所以直線的斜率，故直線的方程為（2）由（1）可知，與橢圓方程聯(lián)立，所以，由弦長公式可知.6．已知雙曲線的焦距為6，且虛軸長是實(shí)軸長的倍.(1)求雙曲線的方程；(2)過雙曲線的右焦點(diǎn)F且傾斜角為的直線l與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意可知得，且，再結(jié)合求出，進(jìn)而可得雙曲線的方程；（2）由題意可得直線的方程為，設(shè)，然后將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立方程組，消去，利用根與系數(shù)的關(guān)系，再利用弦長公式可得結(jié)果.【詳解】（1）由雙曲線的焦距為6，且虛軸長是實(shí)軸長的倍.得，且，又，解得,所以，所以雙曲線方程為.（2）由（1）可知雙曲線的右焦點(diǎn)為，所以直線的方程為，設(shè)，由，得，所以，所以.

7．如圖，橢圓與過，的直線有且只有一個公共點(diǎn)P，且橢圓的離心率，求該橢圓的方程.

【答案】【分析】首先聯(lián)立直線與橢圓方程，并根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系，得到的關(guān)系式，再根據(jù)離心率，即可求解橢圓方程.【詳解】由題意可知，直線方程為，聯(lián)立，消去，得，因?yàn)橹本€與橢圓相切，所以，得，又，聯(lián)立上面兩式，解得：，，所以橢圓方程為.8．已知雙曲線的離心率為2，右焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為.(1)求雙曲線的方程；(2)已知點(diǎn)，過點(diǎn)作直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，若，求直線的方程.【答案】(1)(2)，或.【分析】（1）先利用焦點(diǎn)到漸近線的距離求得，再根據(jù)離心率求得，從而求出雙曲線方程；（2）分類討論，當(dāng)直線的斜率為0時，滿足題意，當(dāng)直線的斜率不為0時，設(shè)直線的方程為，與雙曲線聯(lián)立，韋達(dá)定理，結(jié)合及點(diǎn)在直線上求解方程即可.【詳解】（1）由題知，雙曲線的一條斬近線為，則，又，所以，所以雙曲線的方程為.（2）由（1）知，，，由題易知直線的斜率存在，當(dāng)直線的斜率為0時，直線的方程為，此時直線與雙曲線的交點(diǎn)為和，滿足，符合題意；當(dāng)直線的斜率不為0時，設(shè)直線的方程為，設(shè)，線段的中點(diǎn)為，聯(lián)立，整理得，所以，即，所以，，，，因?yàn)椋?，所以，所以，又點(diǎn)在直線上，所以，所以，解得或，滿足，所以直線的方程為或.綜上，直線的方程為，或.

題型六圓錐曲線的定點(diǎn)、定值問題【例9】已知橢圓的對稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在軸上，離心率，且過點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且直線的傾斜角互補(bǔ)，判斷直線的斜率是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．【答案】(1)(2)是定值，定值為2【分析】（1）利用離心率求得之間的關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)在橢圓上，解方程即可得答案；（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系，利用直線的傾斜角互補(bǔ)，可得，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系化簡即可得結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意知，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程又為，即，又橢圓過點(diǎn)，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由題意可知直線的斜率存在且不過點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，，由，消去整理得，需滿足，則，，直線的傾斜角互補(bǔ)，，，，將，代入得，整理得，而，，所以直線的斜率為定值，其定值為2.反思總結(jié)（1）瞄準(zhǔn)圖象“對稱”的特征,讓視角從客觀走進(jìn)微觀（2）抓住“點(diǎn)在直線上”的特點(diǎn),讓問題從發(fā)現(xiàn)走向解決（3）善于“溯本求源”,讓問題從解決走向貫通解決直線和圓錐曲線位置關(guān)系中的定值、定點(diǎn)問題，解答時困難在于計算的復(fù)雜性，且都是關(guān)于字母參數(shù)的計算，計算量較大，要十分細(xì)心才可以.鞏固訓(xùn)練1.已知橢圓C：過點(diǎn)，且C的右焦點(diǎn)為．(1)求C的離心率；(2)過點(diǎn)F且斜率為1的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，P直線上的動點(diǎn)，記直線PM，PN，PF的斜率分別為，，，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)條件求出橢圓方程再求離心率；（2）設(shè)，，，將直線MN的方程與橢圓方程聯(lián)立得，，代入斜率公式驗(yàn)證成立即可.【詳解】（1）由得C的半焦距為，所以，又C過點(diǎn)，所以，解得，所以，．故C的離心率為．（2）

由（1）可知C的方程為．設(shè)，，．由題意可得直線MN的方程為，聯(lián)立，消去y可得，則，，則，又，因此．2．如圖，已知點(diǎn)和點(diǎn)在雙曲線上，雙曲線的左頂點(diǎn)為，過點(diǎn)且不與軸重合的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，直線，與圓分別交于，兩點(diǎn).

(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線，的斜率分別為，，求的值；(3)證明：直線過定點(diǎn).【答案】(1)(2)(3)直線過定點(diǎn),證明見解析.【分析】（1）根據(jù)雙曲線上的點(diǎn)求標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）利用韋達(dá)定理運(yùn)算求解即可；（3）利用聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理求得的坐標(biāo)，猜想過定點(diǎn)，并用三點(diǎn)共線與斜率的關(guān)系證明求解.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)和點(diǎn)在雙曲線上，所以，解得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由題可知，直線的斜率不等于零，故可設(shè)直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立，整理得，若，即，直線的斜率為，與漸近線平行，此時直線與雙曲線有且僅有一個交點(diǎn)，不滿足題意，所以，所以，，因?yàn)?所以，所以.（3）（i）當(dāng)軸時，且，所以，則，聯(lián)立，整理得，即，解得或，當(dāng)時，，所以，由于對稱性，，此時直線過定點(diǎn)；（ii）當(dāng)不垂直于軸時，以下證明直線仍過定點(diǎn)設(shè)為，因?yàn)椋月?lián)立，即，所以，解得或，當(dāng)時，，所以,同理，將上述過程中替換為可得，所以，，因?yàn)?，所以，所以，所以三點(diǎn)共線，即此時直線恒過定點(diǎn)，綜上直線過定點(diǎn).3．已知拋物線上有兩點(diǎn)，且直線過點(diǎn)．(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若拋物線上有一點(diǎn)，縱坐標(biāo)為4，拋物線上另有兩點(diǎn)，且直線與的斜率滿足重心的橫坐標(biāo)為4，求直線的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，再由，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由三角形重心坐標(biāo)公式結(jié)合，代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）

由題意知直線的斜率不可能為0，設(shè)，直線的方程為，由得，，即，即，即，將代入，得，則，則，則，由，解得，故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）

由拋物線方程可得點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)，則，則，且，則，故．又，則，又，可得直線的中點(diǎn)坐標(biāo)為，故由點(diǎn)斜式得直線的方程為5），即．4．已知F是拋物線C：的焦點(diǎn)，是拋物線上一點(diǎn)，且.(1)求拋物線C的方程；(2)直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則直線l否會過某個定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo).【答案】(1)；(2)恒過定點(diǎn).【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用拋物線的定義求出值作答.（2）設(shè)出直線的方程，與的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及數(shù)量積的坐標(biāo)表示計算作答.【詳解】（1）由知，拋物線的準(zhǔn)線方程為，而是該拋物線的焦點(diǎn)，又，因此，解得，所以拋物線C的方程為.（2）顯然直線不垂直于y軸，設(shè)直線l：，，，由消去x并整理得，，即，于是，，，由，得，則有，即，因此，則，解得，滿足，直線過定點(diǎn)，所以直線恒過定點(diǎn).

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：與圓錐曲線相交的直線過定點(diǎn)問題，設(shè)出直線的斜截式方程，與圓錐曲線方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理求出直線斜率與縱截距的關(guān)系即可解決問題.題型七圓錐曲線的定直線問題【例10】已知橢圓的離心率為．(1)求橢圓C的方程；(2)當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時，直線與橢圓的一個交點(diǎn)為P（點(diǎn)P不在坐標(biāo)軸上），點(diǎn)P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為Q，經(jīng)過點(diǎn)Q且斜率為的直線與l交于點(diǎn)M，點(diǎn)N滿足軸，軸，求證：點(diǎn)N在直線上．【答案】(1)或(2)證明見解析【分析】（1）分焦點(diǎn)在軸和軸上兩種情況求橢圓方程即可；（2）聯(lián)立橢圓和直線的方程得到點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)和點(diǎn)的對稱關(guān)系得到點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到經(jīng)過點(diǎn)的直線方程，然后聯(lián)立直線方程得到點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)，最后根據(jù)點(diǎn)橫縱坐標(biāo)的關(guān)系即可證明點(diǎn)在直線上.【詳解】（1）當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時，，解得，，所以此時橢圓方程為；當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時，，所以，解得，所以此時橢圓方程為.（2）

由題意得，橢圓方程為，聯(lián)立得，設(shè)點(diǎn)，則，所以，故，，所以經(jīng)過點(diǎn)且斜率為的直線方程為，聯(lián)立得，所以，，,又，所以點(diǎn)在直線上.反思總結(jié)直線與圓錐曲線綜合應(yīng)用中的定直線問題的求解，求解此類問題的基本思路如下：①假設(shè)直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，整理為關(guān)于x或y的一元二次方程的形式；②利用△＞0求得變量的取值范圍，得到韋達(dá)定理的形式；③利用韋達(dá)定理表示出已知中的等量關(guān)系，代入韋達(dá)定理可整理得到變量間的關(guān)系，消掉變量后可得定直線方程.鞏固訓(xùn)練1．已知橢圓：的短軸長為，離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)過點(diǎn)的動直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，在線段上取點(diǎn)，滿足，證明：點(diǎn)總在某定直線上．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意得，再結(jié)合可求出，從而可求得橢圓方程，（2）設(shè)，，，，設(shè)的方程為，代入橢圓方程化簡，利用根與系數(shù)的關(guān)系，由可得，再結(jié)合前面的式子化簡可求出關(guān)于的方程，從而可證得結(jié)論.【詳解】（1）由題意可知，因?yàn)椋越獾?，．所以所求橢圓的方程為（2）設(shè)，，，，直線的斜率顯然存在，設(shè)為，則的方程為．因?yàn)?，，，四點(diǎn)共線，不妨設(shè)，則，，，，由，可得，化簡得．（*）聯(lián)立直線和橢圓的方程，得，消去，得，，得，由韋達(dá)定理，得，．代入（*）化簡得，即．又，代入上式，得，化簡得．所以點(diǎn)總在一條定直線上．

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是設(shè)出直線的方程，利用弦長公式表示出，代入化簡，再將直線方程代入橢圓方程化簡，利用根與系數(shù)的關(guān)系，幾個式子相結(jié)合可證得結(jié)論.2．已知點(diǎn)，，動點(diǎn)滿足直線與的斜率之積為，記動點(diǎn)的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)過點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，直線與相交于．求證：點(diǎn)在定直線上．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用可整理得到軌跡方程；（2）設(shè)，，表示出直線的方程，聯(lián)立后可整理得到，聯(lián)立與雙曲線方程可得韋達(dá)定理的結(jié)論，利用可整理得到所求定直線.【詳解】（1），，，整理可得：，又，曲線的方程為：.（2）

由題意知：直線斜率不為，則可設(shè)，設(shè)，則直線，直線，由得：，由得：，則，即，，，，，解得：，即點(diǎn)在定直線上.3．已知曲線上任意一點(diǎn)滿足，且.(1)求的方程；(2)設(shè)，若過的直線與交于兩點(diǎn)，且直線與交于點(diǎn).證明：點(diǎn)在定直線上.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)雙曲線的定義進(jìn)行求解；（2）設(shè)出經(jīng)過的直線方程，且，利用的坐標(biāo)表示出的橫坐標(biāo)，然后結(jié)合韋達(dá)定理求解.【詳解】（1）由于，符合雙曲線的定義，于是，即，故，注意到，且焦點(diǎn)在軸上，故曲線的方程為（2）若過的直線與交于兩點(diǎn)，則斜率不會是，否則和右支只有一個交點(diǎn)，

設(shè)該直線為，和雙曲線聯(lián)立可得，則，故，設(shè)，則方程可寫作：，的方程可寫作：，聯(lián)立的方程可得，，整理可得，，則，利用在直線上，于是，于是，故，即，故交點(diǎn)一定落在上.4．過拋物線內(nèi)部一點(diǎn)作任意兩條直線，如圖所示，連接延長交于點(diǎn)，當(dāng)為焦點(diǎn)并且時，四邊形面積的最小值為32

(1)求拋物線的方程；(2)若點(diǎn)，證明在定直線上運(yùn)動，并求出定直線方程.【答案】(1)(2)證明見解析，【分析】（1）設(shè)直線，聯(lián)立方程組求得，利用弦長公式，分別求得，得到，結(jié)合基本不等式，即可求解；（2）由和共線，得到，，又由和共線，得到和，進(jìn)而得到，即可求解.【詳解】（1）解：設(shè)，設(shè)直線，聯(lián)立方程組，整理得，可得，所以，同理可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，所以拋物線的方程為.（2）解：當(dāng)為時，，由共線，可得，可得

①，同理由共線

②又由共線，可得，所以

③同理由共線，可得

④由①③得，即

⑤又由②④得，即

⑥由⑤⑥得，即，即，所以在上.

題型八圓錐曲線的最值、范圍問題【例11】（1）已知A，B為橢圓長軸上的兩個端點(diǎn)，Q為橢圓上任意一點(diǎn)，證明：當(dāng)點(diǎn)Q為橢圓短軸的端點(diǎn)時，最大；（2）設(shè)A，B是橢圓長軸的兩個端點(diǎn)，若C上存在點(diǎn)M滿足，求m的取值范圍.【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）假設(shè)，從而可得再利用兩角和的正切公式表示，討論其最大值即可；（2）根據(jù)（1）所得結(jié)論分橢圓的焦點(diǎn)在軸分類討論求解.【詳解】（1）如圖，不妨設(shè)，

則，所以,又因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以，所以?dāng)時，最大，此時最大，所以點(diǎn)Q為橢圓短軸的端點(diǎn)時，最大.（2）（i）若橢圓焦點(diǎn)在軸上，則，設(shè)橢圓的短軸的一個頂點(diǎn)為，由（1）可知，，所以，則，所以，解得；（ii）若橢圓焦點(diǎn)在軸上，則，設(shè)橢圓的短軸的一個頂點(diǎn)為，由（1）可知，，所以，則，所以，解得；綜上，的取值范圍是：.反思總結(jié)