新教材同步備課2024春高中數(shù)學(xué)第8章成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析8.3列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)8.3.1分類變量與列聯(lián)表8.3.2獨(dú)立性檢驗(yàn)學(xué)生用書新人教A版選擇性必修第三冊(cè)

8.3.1分類變量與列聯(lián)表8.3.2獨(dú)立性檢驗(yàn)學(xué)習(xí)任務(wù)1．了解2×2列聯(lián)表、隨機(jī)變量χ2的意義．(數(shù)學(xué)抽象)2．理解獨(dú)立性檢驗(yàn)中P(χ2≥xα)的具體含義．(數(shù)學(xué)抽象)3．掌握獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法和步驟．(數(shù)據(jù)分析)4．通過(guò)典型案例，學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)方法，并能用這些方法解決一些實(shí)際問(wèn)題．(數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析)任意抽取某市的一名學(xué)生，記A：喜歡長(zhǎng)跑；B：是女生．(1)你能得出P(A)，P(B)，P(AB)這三者的準(zhǔn)確值嗎？(2)如果要判斷A與B是否獨(dú)立，該怎么辦？知識(shí)點(diǎn)1數(shù)值變量與分類變量數(shù)值變量：數(shù)值變量的取值為________，其大小和運(yùn)算都有實(shí)際含義．分類變量：這里所說(shuō)的變量和值不一定是具體的數(shù)值，例如：性別變量，其取值為男和女兩種，我們經(jīng)常會(huì)使用一種特殊的隨機(jī)變量，以區(qū)別不同的現(xiàn)象或性質(zhì)，這類隨機(jī)變量稱為________，分類變量的取值可以用________表示．知識(shí)點(diǎn)2列聯(lián)表與等高堆積條形圖(1)2×2列聯(lián)表①定義：列出的兩個(gè)分類變量的________，稱為列聯(lián)表．②2×2列聯(lián)表，一般地，假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，它們的取值分別為{0，1}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表為：XY合計(jì)Y＝0Y＝1X＝0aba＋bX＝1cdc＋d合計(jì)a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋d最后一行的前兩個(gè)數(shù)分別是事件{Y＝0}和{Y＝1}的頻數(shù)；最后一列的前兩個(gè)數(shù)分別是事件{X＝0}和{X＝1}的頻數(shù)；中間的四個(gè)數(shù)a，b，c，d是事件{X＝x，Y＝y(tǒng)}(x，y＝0，1)的頻數(shù)；右下角格中的數(shù)n為樣本容量．(2)等高堆積條形圖等高堆積條形圖和表格相比，更能直觀地反映出兩個(gè)分類變量間是否相互影響，常用等高堆積條形圖展示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的________特征，依據(jù)________的原理，我們可以推斷結(jié)果．2×2列聯(lián)表用于研究?jī)深愖兞恐g是否相互獨(dú)立，它適用于分析兩類變量之間的關(guān)系，是對(duì)兩類變量進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)的基礎(chǔ)．知識(shí)點(diǎn)3獨(dú)立性檢驗(yàn)(1)零假設(shè)：設(shè)X和Y為定義在Ω上，取值于{0，1}的成對(duì)分類變量．由于{X＝0}和{X＝1}，{Y＝0}和{Y＝1}都是互為對(duì)立事件，故要判斷事件{X＝1}和{Y＝1)之間是否有關(guān)聯(lián)，需要判斷假定關(guān)系H0：________是否成立．(2)獨(dú)立性檢驗(yàn)的公式χ2＝________________，其中n＝________，用隨機(jī)變量χ2取值的大小作為判斷零假設(shè)H0是否成立的依據(jù)，當(dāng)它比較大時(shí)推斷H0不成立，否則認(rèn)為H0成立．(3)臨界值：對(duì)任何小概率值α，可以找到相應(yīng)的正實(shí)數(shù)xα，使P(χ2≥xα)＝α．稱xα為α的臨界值．臨界值可作為判斷χ2大小的標(biāo)準(zhǔn)．概率值α越小，臨界值xα越大．(4)小概率值α的檢驗(yàn)規(guī)則：當(dāng)χ2≥xα?xí)r，推斷H0不成立，即認(rèn)為X和Y不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)α．當(dāng)χ2<xα?xí)r，沒(méi)有充分證據(jù)推斷H0不成立，可以認(rèn)為X和Y獨(dú)立．利用χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨(dú)立的方法稱為χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，讀作“卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)”，簡(jiǎn)稱獨(dú)立性檢驗(yàn)．(5)χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)中幾個(gè)常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值．α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.8281．思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)分類變量中的變量與函數(shù)中的變量是同一概念． ()(2)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)是兩個(gè)分類變量的頻數(shù)． ()(3)列聯(lián)表、頻率分析法、等高堆積條形圖都可初步分析兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系． ()(4)在獨(dú)立性檢驗(yàn)中，若χ2越大，則兩個(gè)分類變量有關(guān)系的可能性越大． ()(5)2×2列聯(lián)表是借助兩個(gè)分類變量之間頻率大小差異說(shuō)明兩個(gè)變量之間是否有關(guān)聯(lián)關(guān)系． ()(6)應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想對(duì)兩個(gè)變量間的關(guān)系作出的推斷一定是正確的． ()2．某校為了檢驗(yàn)高中數(shù)學(xué)新課程改革的成果，在兩個(gè)班進(jìn)行教學(xué)方式的對(duì)比試驗(yàn)，兩個(gè)月后進(jìn)行了一次檢測(cè)，試驗(yàn)班與對(duì)照班的成績(jī)統(tǒng)計(jì)如2×2列聯(lián)表所示(單位：人)，則其中m＝________，n＝________．班級(jí)成績(jī)合計(jì)80分及80分以上80分以下試驗(yàn)班321850對(duì)照班24m50合計(jì)5644n3．根據(jù)表格計(jì)算：性別不看電視看電視男3785女35143χ2≈________(保留3位小數(shù))．類型1列聯(lián)表與等高堆積條形圖【例1】(1)根據(jù)如圖所示的等高堆積條形圖可知喝酒與患胃病________關(guān)系．(填“有”或“沒(méi)有”)(2)網(wǎng)絡(luò)對(duì)現(xiàn)代人的生活影響較大，尤其是對(duì)青少年，為了解網(wǎng)絡(luò)對(duì)中學(xué)生學(xué)習(xí)成績(jī)的影響，某地區(qū)教育主管部門從轄區(qū)初中生中隨機(jī)抽取了1000人調(diào)查，發(fā)現(xiàn)其中經(jīng)常上網(wǎng)的有200人，這200人中有80人期末考試不及格，而另外800人中有120人不及格．利用等高堆積條形圖判斷，學(xué)生學(xué)習(xí)成績(jī)與經(jīng)常上網(wǎng)有關(guān)嗎？[嘗試解答]1．利用2×2列聯(lián)表分析兩變量間關(guān)系的步驟(1)根據(jù)題中數(shù)據(jù)獲得2×2列聯(lián)表；(2)根據(jù)頻率特征，即將aa+b與c2．利用等高堆積條形圖判斷兩個(gè)分類變量是否相關(guān)的步驟：[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．某學(xué)校對(duì)高三學(xué)生作了一項(xiàng)調(diào)查，發(fā)現(xiàn)：在平時(shí)的模擬考試中，性格內(nèi)向的學(xué)生426人中有332人在考前心情緊張，性格外向的學(xué)生594人中有213人在考前心情緊張．作出等高堆積條形圖，利用圖形判斷考前心情緊張與性格類別是否有關(guān)系．[嘗試解答]類型2由χ2進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)分類變量“相關(guān)的檢驗(yàn)”【例2】(源自湘教版教材)為了考察某種新疫苗預(yù)防疾病的作用，科學(xué)家對(duì)動(dòng)物進(jìn)行試驗(yàn)，所得數(shù)據(jù)(單位：只)如下表所示：是否接種疫苗發(fā)病沒(méi)發(fā)病合計(jì)接種疫苗81523沒(méi)接種疫苗18927合計(jì)262450能否作出接種疫苗與預(yù)防疾病有關(guān)的結(jié)論？[嘗試解答]用χ2進(jìn)行“相關(guān)的檢驗(yàn)”步驟(1)零假設(shè)：即先假設(shè)兩變量間沒(méi)關(guān)系．(2)計(jì)算χ2：套用χ2的公式求得χ2值．(3)查臨界值：結(jié)合所給小概率值α查得相應(yīng)的臨界值xα．(4)下結(jié)論：比較χ2與xα的大小，并作出結(jié)論．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．在某醫(yī)院，因?yàn)榛夹呐K病而住院的600名男性病人中，有200人禿頂，而另外750名不是因?yàn)榛夹呐K病而住院的男性病人中有150人禿頂．(1)填寫下列禿頂與患心臟病列聯(lián)表：是否禿頂患病合計(jì)患心臟病患其他病禿頂不禿頂合計(jì)據(jù)表中數(shù)據(jù)估計(jì)禿頂病患中患心臟病的概率P1和不禿頂病患中患心臟病的概率P2，并用兩個(gè)估計(jì)概率判斷禿頂與患心臟病是否有關(guān)；(2)依據(jù)α＝0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析禿頂與患心臟病有關(guān)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．注：χ2＝nadα0.100.050.0250.0100.0050.001xα2.7063.8415.0246.6357.87910.828[嘗試解答]分類變量“無(wú)關(guān)的檢驗(yàn)”【例3】某省進(jìn)行高中新課程改革，為了解教師對(duì)新課程教學(xué)模式的使用情況，某教育機(jī)構(gòu)對(duì)某學(xué)校的教師關(guān)于新課程教學(xué)模式的使用情況進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，共調(diào)查了50人，其中有老教師20人，青年教師30人．老教師對(duì)新課程教學(xué)模式贊同的有10人，不贊同的有10人；青年教師對(duì)新課程教學(xué)模式贊同的有24人，不贊同的有6人．(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個(gè)2×2列聯(lián)表；(2)試根據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析對(duì)新課程教學(xué)模式的贊同情況與教師年齡是否有關(guān)系．附：χ2＝nα0.0250.010.005xα5.0246.6357.879[嘗試解答]獨(dú)立性檢驗(yàn)的關(guān)注點(diǎn)(1)χ2計(jì)算公式較復(fù)雜，一是公式要清楚；二是代入數(shù)值時(shí)不能張冠李戴；三是計(jì)算時(shí)要細(xì)心．(2)判斷時(shí)把計(jì)算結(jié)果與臨界值比較，其值越大，有關(guān)的可信度越高．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．為了解某挑戰(zhàn)賽中是否接受挑戰(zhàn)與受邀者的性別是否有關(guān)系(假設(shè)每個(gè)人是否接受挑戰(zhàn)互不影響)，某機(jī)構(gòu)進(jìn)行了隨機(jī)抽樣調(diào)查，得到如下調(diào)查數(shù)據(jù)(單位：人)：性別挑戰(zhàn)合計(jì)接受挑戰(zhàn)不接受挑戰(zhàn)男性451560女性251540合計(jì)7030100試根據(jù)小概率值α＝0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析比賽中是否接受挑戰(zhàn)與受邀者的性別是否有關(guān)．附：χ2＝nadα0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828類型3獨(dú)立性檢驗(yàn)的綜合應(yīng)用【例4】第24屆冬奧會(huì)已于2022年2月4日至2月22日在北京市和河北省張家口市聯(lián)合舉行，這是中國(guó)歷史上第一次舉辦冬季奧運(yùn)會(huì)．為了宣傳冬奧會(huì)，讓更多的人了解喜愛(ài)冰雪項(xiàng)目，某校高三年級(jí)舉辦了冬奧會(huì)知識(shí)競(jìng)賽(總分：100分)，并隨機(jī)抽取了n名中學(xué)生的成績(jī)，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．已知前三組的頻率成等差數(shù)列，第一組和第五組的頻率相同．(1)求實(shí)數(shù)a，b的值，并估計(jì)這n名中學(xué)生的成績(jī)的平均值x；(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)(2)已知抽取的n名中學(xué)生中，男、女生人數(shù)相等，男生喜歡花樣滑冰的人數(shù)占男生人數(shù)的14，女生喜歡花樣滑冰的人數(shù)占女生人數(shù)的12，且在犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05的前提下，認(rèn)為中學(xué)生喜歡花樣滑冰與性別有關(guān)，求參考數(shù)據(jù)及公式如下：α0.050.010.001xα3.8416.63510.828χ2＝nad-bc2a+bc+da+cb+d，n＝[思路導(dǎo)引](1)頻率分布直(2)列聯(lián)表—計(jì)算[嘗試解答]獨(dú)立性檢驗(yàn)綜合應(yīng)用的方法策略(1)獨(dú)立性檢驗(yàn)在實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)用，是對(duì)實(shí)際生活中數(shù)據(jù)進(jìn)行分析的一種方法，通過(guò)這種分析得出的結(jié)論對(duì)實(shí)際生活有著重要的指導(dǎo)作用．(2)近幾年高考中較少單獨(dú)考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，經(jīng)常與統(tǒng)計(jì)、概率、頻率分布表、頻率分布直方圖等知識(shí)融合在一起考查．一般需要根據(jù)條件列出2×2列聯(lián)表，計(jì)算χ2值，從而解決問(wèn)題．[跟進(jìn)訓(xùn)練]4．某學(xué)校研究性學(xué)習(xí)小組對(duì)該校高三學(xué)生視力情況進(jìn)行調(diào)查，在高三的全體1000名學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的體檢表，并得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)若頻率分布直方圖中后四組的頻數(shù)成等差數(shù)列，試估計(jì)全年級(jí)視力在5.0以下的人數(shù)；(2)學(xué)習(xí)小組成員發(fā)現(xiàn)，學(xué)習(xí)成績(jī)突出的學(xué)生，近視的比較多，為了研究學(xué)生的視力與學(xué)習(xí)成績(jī)是否有關(guān)系，對(duì)年級(jí)名次在1～50名和951～1000名的學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查，得到下面的2×2列聯(lián)表，根據(jù)小概率值α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為視力與學(xué)習(xí)成績(jī)有關(guān)聯(lián)？視力學(xué)習(xí)成績(jī)合計(jì)名次在1～50名名次在951～1000名近視413273不近視91827合計(jì)5050100(3)在(2)中調(diào)查的100名學(xué)生中，按照分層抽樣在不近視的學(xué)生中抽取了6人，進(jìn)一步調(diào)查他們良好的護(hù)眼習(xí)慣，并且在這6人中任取2人，求抽取的2人中，恰有1人年級(jí)名次在1～50名的概率．附：χ2＝nadα0.050.010.0050.001xα3.8416.6357.87910.828[嘗試解答]1．下列不是分類變量的是()A．近視B．成績(jī)C．血壓D．飲酒2．假設(shè)有兩個(gè)分類變量X與Y，它們的可能取值分別為{0，1}，其2×2列聯(lián)表為XY合計(jì)Y＝0Y＝1X＝0101828X＝1m26m＋26合計(jì)10＋m4454＋m當(dāng)m取下面何值時(shí)，X與Y的關(guān)系最弱()A．8 B．9C．14 D．193．某校期中考試后，按照甲、乙兩個(gè)班學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀和良好統(tǒng)計(jì)人數(shù)后，得到如下列聯(lián)表：班級(jí)成績(jī)合計(jì)優(yōu)秀良好甲班113445乙班83745合計(jì)197190則χ2約為()A．0.600 B．0.828C．2.712 D．6.0044．下表是某校某屆本科志愿報(bào)名時(shí)，對(duì)其中304名學(xué)生進(jìn)入高校時(shí)是否知道想學(xué)專業(yè)的調(diào)查表：性別想學(xué)專業(yè)合計(jì)知道想學(xué)專業(yè)不知道想學(xué)專業(yè)男生63117180女生4282124合計(jì)105199304根據(jù)表中數(shù)據(jù)，則下列說(shuō)法正確的是_______________．(填序號(hào))①性別與知道想學(xué)專業(yè)有關(guān)；②性別與知道想學(xué)專業(yè)無(wú)關(guān)；③女生比男生更易知道想學(xué)專業(yè)．回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問(wèn)題：1．在χ2運(yùn)算后，得到χ2的值為29.78，在判斷變量相關(guān)時(shí)，P(χ2≥6.635)≈0.01和P(χ2≥7.879)≈0.005，哪種說(shuō)法是正確的？2．利用小概率值α獨(dú)立性檢驗(yàn)的依據(jù)是什么？8.3.1分類變量與列聯(lián)表8.3.2獨(dú)立性檢驗(yàn)[必備知識(shí)·情境導(dǎo)學(xué)探新知]知識(shí)點(diǎn)1實(shí)數(shù)分類變量實(shí)數(shù)知識(shí)點(diǎn)2(1)頻數(shù)表(2)頻率頻率穩(wěn)定于概率知識(shí)點(diǎn)3(1)P(Y＝1|X＝0)＝P(Y＝1|X＝1)(2)n(ad-bc)2(a課前自主體驗(yàn)1．(1)×(2)√(3)√(4)√(5)√(6)×2．26100[由題意得24＋m＝50,56＋44＝n3．4.514[χ2＝300×(37×143[關(guān)鍵能力·合作探究釋疑難]例1(1)有[從等高堆積條形圖上可以明顯地看出喝酒患胃病的頻率遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于不喝酒患胃病的頻率，所以由所給等高堆積條形圖可知，喝酒與患胃病有關(guān)系．](2)解：根據(jù)題目所給的數(shù)據(jù)得到如下2×2列聯(lián)表：學(xué)習(xí)成績(jī)上網(wǎng)合計(jì)經(jīng)常不經(jīng)常不及格80120200及格120680800合計(jì)2008001000得出等高堆積條形圖如圖所示：比較圖中陰影部分高可以發(fā)現(xiàn)經(jīng)常上網(wǎng)不及格的頻率明顯高于經(jīng)常上網(wǎng)及格的頻率，因此可以認(rèn)為學(xué)習(xí)成績(jī)與經(jīng)常上網(wǎng)有關(guān)．跟進(jìn)訓(xùn)練1．解：作列聯(lián)表如下：考前心情性格合計(jì)內(nèi)向外內(nèi)緊張332213545不緊張94381475合計(jì)4265941020相應(yīng)的等高堆積條形圖如圖所示．圖中陰影部分表示考前心情緊張與考前心情不緊張中性格內(nèi)向的比例．從圖中可以看出考前心情緊張的樣本中性格內(nèi)向占的比例比考前心情不緊張樣本中性格內(nèi)向占的比例高，可以認(rèn)為考前心情緊張與性格類別有關(guān)．例2解：提出統(tǒng)計(jì)假設(shè)H0：接種疫苗與預(yù)防疾病無(wú)關(guān)．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可以求得χ2＝50×(8×由于5.024<5.059<6.635，查臨界值表可知，我們至少有97.5%的把握認(rèn)為接種疫苗與預(yù)防疾病有關(guān)，即疫苗有效．跟進(jìn)訓(xùn)練2．解：(1)是否禿頂患病合計(jì)患心臟病患其他病禿頂200150350不禿頂4006001000合計(jì)6007501350P1＝200350＝47，P由于P1遠(yuǎn)大于P2，所以判斷禿頂與患心臟病有關(guān)．(2)零假設(shè)為H0：禿頂與患心臟病無(wú)關(guān)．由題可知χ2＝1350×(200×600-150×400所以依據(jù)小概率值α＝0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，即認(rèn)為禿頂與患心臟病有關(guān)．例3解：(1)2×2列聯(lián)表如表所示：教師年齡對(duì)新課程教學(xué)模式合計(jì)贊同不贊同老教師101020青年教師24630合計(jì)341650(2)零假設(shè)為H0：對(duì)新課程教學(xué)模式的贊同情況與教師年齡無(wú)關(guān)．由題可知χ2＝50×(10×6-24根據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒(méi)有充分證據(jù)推斷H0不成立，因此可以以為H0成立，即認(rèn)為對(duì)新課程教學(xué)模式的贊同情況與教師年齡無(wú)關(guān)．跟進(jìn)訓(xùn)練3．解：零假設(shè)H0：是否接受挑戰(zhàn)與受邀者的性別無(wú)關(guān)．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可以求得χ2＝100×(45×因?yàn)?.786<2.706，所以沒(méi)有充分的證據(jù)顯示比賽中是否接受挑戰(zhàn)與受邀者的性別有關(guān)．例4解：(1)由題意知a＋0.045則各組頻率依次為0.05，0.25，0.45，0.2，0.05．∴x＝0.05×50＋0.25×60＋0.45×70＋0.2×80＋0.05×90＝69.5(分)．(2)設(shè)男生人數(shù)為x，依