2023年湖南省邵陽市某中學(xué)高一年級下冊學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（含解析答案）

邵陽市二中2022年上學(xué)期期末考試卷子

高一年二期數(shù)學(xué)卷子

時量：120min分值：150min

一、選擇題：本大題共8小題，每題5分，共40分，在每題給出的4個選項中，只有一項

為哪一項符合題目要求的.

1.設(shè)集合Af={x[0<x<4},N=<>,則A/nN=（）

A.<x0<x<->B.-x-<x<4>

[3j[3

C.Ix|4<x<51D.|x|0<x<5|

（答案）B

（解析）

（分析）依據(jù)交集定義運(yùn)算即可

（詳解）因為M={x[0<x<4},N={x|；4x45},所以McN=，Wx<4）,

應(yīng)選：B.

（點(diǎn)睛）此題考查集合的運(yùn)算，屬根底題，在高考中要求不高，掌握集合的交并補(bǔ)的根本概念即可求解.

2.已知復(fù)數(shù)z滿足士=l+2i（其中i為虛數(shù)單位），則|z|=（）

A.3B.272C.2D.V10

（答案）D

（解析）

（分析）把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡求得z,然后利用復(fù)數(shù)模的公式計算.

（詳解）因為z=（l-i）（l+2i）=3+i,

所以|z|=132+T=JI5.

應(yīng)選：D.

3.已知向量a=（3,4）,1=（l,0）,c="+亦，假設(shè)<a,c>=<B,c>,貝！|/=（）

A.-6B.-5C.5D.6

（答案）C

（解析）

（分析）利用向量的運(yùn)算和向量的夾角的余弦公式的坐標(biāo)形式化簡即可求得

/、9+3f+163+f

【詳解）解：c=（3+/,4）,cosa,c=cosb,c,g［J―麗一「，解得f=5,

應(yīng)選：C

A.a<b<cB.c<b<a

C.b<c<aD.c<a<h

（答案）C

（解析）

（分析）依據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，利用中間橋0,1去比擬4、氏。的大小關(guān)系

（詳解）N=Igx為（0,+e）上單調(diào)遞增函數(shù)，則b=lg1<lgl=0,

N=為R上單調(diào)遞減函數(shù)，則c=<］（）=1,且c〉0

由歹=2,為R上單調(diào)遞增函數(shù)，可得q=2：>2。=］，

則b<c<a,

應(yīng)選：C.

5.排球社的同學(xué)為訓(xùn)練動作組織了墊排球比賽，以下為排球社50位同學(xué)的墊球個數(shù)所做的頻率分布直方

圖，全部同學(xué)墊球數(shù)都在5—40之間，估量墊球數(shù)的樣本數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)是（）

A.25B.26C.27D.28

（答案）D

（解析）

（分析）依據(jù)頻率分布直方圖，結(jié)合分位數(shù)計算公式即可求解.

【詳解）由己知，依據(jù)頻率分布直方圖可得：

墊球數(shù)在［5,10）的人數(shù)為0.01x5x50=2.5,占總數(shù)的5%；

墊球數(shù)在［10,15）的人數(shù)為0.01x5x50=2.5,占總數(shù)的5%；

墊球數(shù)在［15,20）的人數(shù)為0.04x5x50=10,占總數(shù)的20%；

墊球數(shù)在［20,25）的人數(shù)為0.06x5x50=15,占總數(shù)的30%；

墊球數(shù)在［25,30）的人數(shù)為0.05x5x50=12.5,占總數(shù)的25%；

墊球數(shù)在［30,35）的人數(shù)為0.02x5x50=5,占總數(shù)的10%；

墊球數(shù)在［35,40）的人數(shù)為0.01x5x50=2.5,占總數(shù)的5%；

0.75-0.6

因為75%分位數(shù)位于［25,30）內(nèi)，由25+5x28,

0.85-0.6

所以估量墊球數(shù)的樣本數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)是28.

應(yīng)選：D.

6.如圖，在矩形中，AB=4,AD=3,M,N分別為線段8C,0c上的動點(diǎn)，且MN=2,則

A.25-772B.15C.16D.17

（答案）B

（解析）

（分析）以A為原點(diǎn)，建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，設(shè)依據(jù)MN的長度得到

的坐標(biāo)，利用平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到萬7.麗關(guān)于。的三角函數(shù)表達(dá)式，利用輔助角公式化

簡，并利用三角函數(shù)的性質(zhì)得到最小值.

（詳解）以4為原點(diǎn)，48所在的直線為x軸，所在的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系X0,設(shè)

則”(4,3-2sin。),N=(4-2cos仇3)

AM?ZN=(4,3-2sin6)?(4-2cos，,3)=25-6sin8-8cose,

即初?麗=25—lOsin(，+0)其中sin。=—,cos°AM-AN>\5.

4_____

0+（P——時取"=",所以的最小值為15,

故答案為：15.

7.七巧板，又稱七巧圖、智慧板，是中國古代勞動人民的創(chuàng)造，其歷史至少可以追溯到公元前一世紀(jì)，到

了明代根本定型，于明、清兩代在民間廣泛流傳.某同學(xué)用邊長為4dm的正方形木板制作了一套七巧

板，如下圖，包含5個等腰直角三角形，1個正方形和1個平行四邊形.假設(shè)該同學(xué)從5個三角形中任取

出2個，則這2個三角形的面積之和不小于其它3個三角形面積之和的概率是（）

（答案）D

（解析）

（分析）先逐個求解全部5個三角形的面積，再依據(jù)要求計算概率.

（詳解）如下圖，AADO,GABO,△G"。，GBEF,△MC戶的面積分別為

S△血=；x4x4=4,S^CHO=S^BEF=lxix4x4=l,S^MCF=ix1x4x4=2.

將△ZZ>O，口Z8。，△G"。，UBEF,△MC戶分別記為邑，邑，S4,S5,從這5個三角形

中任取出2個，則樣本空間

個樣本點(diǎn).

記事件N表示“從5個三角形中任取出2個，這2個三角形的面積之和不小于其它3個三角形面積之

和"，則事件N包含的樣本點(diǎn)為⑸也），⑸㈤），⑸㈤），共3個，所以。（%）=歷.

應(yīng)選：D.

M為的中點(diǎn)，將口〃〃?,△3A/C分別沿MZ）,MC折起，使M4,

八四重合，得到一個四面體，則該四面體外接球的外表積為（）.

76%D19店i兀

A.——B.48萬C.8U

3'-9~

（答案）A

（解析）

（分析）先推斷出朋》_L平面Z8,ZUC。為等邊三角形.利用球內(nèi)截面的性質(zhì)，過ZUC。的中心。/作平

面的垂線//,過線段/C的中點(diǎn)Q作平面牘/C的垂線小記4門/2=。，則。即為三棱錐M一

ACD外接球的球心.利用勾股定理求出半徑R,即可求出外接球的外表積.

（詳解）如下圖，

由圖可知在四面體力-CD例中，由正方形為的中點(diǎn)，可得M4L4。，MALAC,ACDAD=A,

故平面ACD.

將圖形旋轉(zhuǎn)得到如下圖的三棱錐M-ACD,其中△NCD為等邊三角形，過△/CD的中心O/作平面ACD的

垂線/”過線段MC的中點(diǎn)Q作平面M4c的垂線以由球內(nèi)截面的性質(zhì)可得直線//與b相交，記

4門4=。，則。即為三棱錐M-ACD外接球的球心.

2

設(shè)外接球的半徑為R，連接OC,O/C,可得。。=一產(chǎn)。。=1.

19

在Rtzxoo,c中，oc?=oo；+oQ=5=R：,

故該外接球的外表積s=4萬R2==差%.

33

應(yīng)選：A.

二、選擇題：本大題共4小題，每題5分，共20分.在每題給出的四個選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得5分，局部選對的得2分，有選錯的得。分.

9.以下對各事件發(fā)生的概率推斷正確的選項是（）

A.連續(xù)拋兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，有3個根本領(lǐng)件，出現(xiàn)一正一反的概率為！

3

B.每個大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個素數(shù)的和，例如12=5+7,在不超過15的素數(shù)中隨機(jī)選取兩個不

同的數(shù)，其和等于14的概率為'

C.將一個質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲2次，記下兩次向上的點(diǎn)數(shù)，則點(diǎn)數(shù)之和為6的概率是』

36

D.從三件正pin、一件次品中隨機(jī)取出兩件，則取出的產(chǎn)品全是正pin的概率是3

（答案）BCD

（解析）

（分析）A.列舉全部的根本領(lǐng)件，得到概率，推斷選項；B.首先列舉素數(shù)，再依據(jù)組合數(shù)，寫出概率；C.

列舉滿足條件的根本領(lǐng)件，求概率；D.依據(jù)組合數(shù)寫出概率，推斷選項.

（詳解）A.連續(xù)拋兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，有4個根本領(lǐng)件，包含兩正，兩反，先反再正，先正再反，出現(xiàn)

21

一正一反的概率？=一=一，故A不正確；

42

B.不超過15的素數(shù)包含2,3,5,7,11,13,共6個數(shù)字，隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)字，和等于14的包含（3,11）

C11

,則概率為P=衣=正，故B正確;

C.將一個質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲2次，共36種情況，點(diǎn)數(shù)之和為6包含

（1,5）,（2,4）,（3,3）,（4,2）,（5,1）,共5種，所以點(diǎn)數(shù)之和為6的概率尸=當(dāng)，故C正確;

D.由題意可知取出的產(chǎn)品全是正pin的概率P故D正確.

2

（點(diǎn)睛）此題考查古典概型，列舉法，組合數(shù)，屬于根底題型，此題的關(guān)鍵是正確列舉全部滿足條件的根

本領(lǐng)件.

10.已知函數(shù)/（x）為R上的奇函數(shù)，g（x）=/（x+l）為偶函數(shù)，以下說法正確的有（）

A./(x)圖象關(guān)于直線x=—1對稱B.g(2023)=0

C.g(x)的最小正周期為4D.對任意xeR都有/(2-x)=/(x)

(答案)ABD

(解析)

(分析)由奇偶性知/(x)的對稱中心為(0,0)、對稱軸為x=l,進(jìn)而推得/(4+x)=/(x),即可推斷

各選項的正誤.

(詳解)由/(x)的對稱中心為(0,0),對稱軸為x=l,

則/(x)也關(guān)于直線x=—1對稱且/*)=/(2-x),A、D正確，

由A分析知：/(x)=/(2-x)=-/(-x),故/(2+x)=—/(x),

所以/(4+x)=-/(2+x)=/(x),

所以/.(x)的周期為4,則g(2023)=/(2024)=/(0)=0,B正確；

但不能說明/(x)最小正周期為4,C錯誤；

應(yīng)選：ABD

11.在長方體/sc。-44GA中，卜邳=|4D|=1,|四|=2,動點(diǎn)p在體對角線8"上(含端點(diǎn)),則

以下結(jié)論正確的有()

A.當(dāng)P為5"中點(diǎn)時，ZAPC為銳角

B.存在點(diǎn)P,使得BD]±平面APC

C.|4P|+|PC|的最小值2石

D.頂點(diǎn)8到平面4PC的最大距離為在

2

（答案）ABD

（解析）

（分析）如圖，以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)8。=/15。（04/141）,當(dāng)P為5"中點(diǎn)時，依

PAPC

據(jù)

cosN/PC=網(wǎng)|_?.因推斷cosNXPC得符號即可推斷A；當(dāng)84，平面4PC,則

則有—_o,求出丸，即可推斷B；當(dāng)8。J_ZP,8A_LCP時,

|/P|+|Pq取得最小值，結(jié)合B即可推斷C；利用向量法求出點(diǎn)5到平面4PC的距離，分析即可推斷D.

（詳解）解：如圖，以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)8P=/l8A(0W/l41),

則/(1,0,0),8(1,1,0),C(0,1,0),R(0,0,2),

則西=(一1,一1,2),故即=/1西=(-4-42孫

則萬=荔+麗=(0,1,0)+(-422)=(_41一42/1),

而=赤+而=(1,0,0)+(-4-42X)=(1-4,-2,24),

對于A,當(dāng)尸為8功中點(diǎn)時,

則萬=卜；,利,屈=c）,

-fl1、

則尸/=|不一不-1Ui

(22)

PAPC>0

所以i

cosZ.APCHR

所以N/PC為銳角，故A正確;

當(dāng)BR_L平面4PC,

因為ZP,CPu平面ZPC,所以8。_LCP,

牙=+1+42=0

解得2=，,

?CP=Z-l+/l+4/l=06

故存e在點(diǎn)P,使得8。，平面ZPC,故B正確;

對于C,當(dāng)84LC尸時，HP|+|PC|取得最小值,

由B得，此時2=，,

6

則正15ncpji_in

6’6'3『(6’6’3)

即\AP\+|PC|的最小值為等，故c錯誤;

對于D,方=（0,1,0）,就（一1,1,0）,

設(shè)平面4PC的法向量〃=（x,y,z）,

n-AC=-x+y=0

"有W-T4P=-2X4-(1-2)+2/IZ=0"

可取〃(24,24,24—1),

AB-n

則點(diǎn)B到平面APC的距離為畫?辰（畫分=

TV1222-4A+1，

當(dāng)2=0時，點(diǎn)8到平面ZPC的距離為0,

當(dāng)0<441時,

當(dāng)且僅當(dāng)％=g時，取等號,

所以點(diǎn)8到平面APC的最大距離為注，故D正確.

2

應(yīng)選：ABD.

12.已知a>0,b>0,以下命題中正確的選項是（）

A.“6+9+/：”的最小值為2

“+9

B.假設(shè)ab-a-26=0,則a+228

14

C.假設(shè)a+b=2,則一+;29

ab

D.假設(shè)一二+：1；=［，則ab+a+6214+6指

a+1b+23

（答案）BD

（解析）

（分析）求得JF+9+/—最小值排解選項A；求得a+25最小值選B；求得l+3最小值排解選

Vx+9ab

項C；求得ab+a+b最小值選D.

（詳解）選項A：%=42+9?23），則G+9+/:=Z+；

\lx+9t

令歹=工+!（工23）,則丫=乂+,在［3,+8）上為增函數(shù)，則歹

xxx3

故正+9+/—=t+：2孚，則6+9+J——最小值為—.推斷錯誤；

選項B：由a>0,b>0,=0可得〃+26=,

a+2b2

則2（〃+26）=2abW（當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=4時等號成立）,

2

解之得Q+2b28.推斷正確；

選項C：。>0,b>0,a+b=2,

a+b1“b4。、、1“.b4a9

二卡片了）町（5+2

abyah)~a~~b2

4149

(當(dāng)且僅當(dāng)b=2a=-時等號成立)，則一+72.推斷錯誤；

3ab2

選項D：由」一+」一=,，可得3(a+l)+3(b+2)=(a+l)(b+2),

a+\b+23

2b+7

則a=-----,又a〉0,b〉0,則6>1

b-1

nil,,26+7,2b+7,2〃+96+7

則Q6+Q+6=-------b+-----+b=-----------+b

b-\b-\b-1

2—13（1）+18+.*生+14*6指

b-\''b-\

（當(dāng)且僅當(dāng)6=遙+1時等號成立），故有46+”+6214+66.推斷正確.

應(yīng)選：BD

三、填空題：此題共4小題，每題5分，共20分.

13.設(shè)1,分別為兩條異面直線〃?，"的方向向量，且cos?,0=-*，則異面直線），〃所成的角

為.

（答案）^兀-71i300

66

（解析）

（分析）依據(jù)異面直線的夾角與方向向量夾角之間的關(guān)系，結(jié)合題意，即可求得結(jié)果.

（詳解）由題意35（1,^）=一立，故可得的夾角為150。，

7T

故加，〃所成的角為180°—150。=30。=—.

6

7T

故答案為：-

6

14.已知向量￡,B滿足Z=（i,i,、/5）,忖=2,且|￡+.=百|(zhì)￡—則￡+刃在￡上的投影向量的坐標(biāo)為

（解析）

（分析）對歸+可=6~-可兩邊平方后得到＞3=2,代入投影向量的公式進(jìn)行求解即可.

（詳解）卜+,=6卜一.兩邊平方化簡得：2萬2-8心5+2廬=0,①

因為￡=（1,1,正），所以同=Jl+l+2=2,

又忖=2,代入①得：8-8鼠5+8=0,解得：＞3=2，

所以Z+3在￡上的投影向量坐標(biāo)為

15.假設(shè)Vxe1,2,不等式2-一只0818+辦＜°恒成立，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍為.

（答案）（一°°,-5）

（解析）

（分析）別離參數(shù)，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，依據(jù)單調(diào)性可得.

（詳解）因為Vxe-,2,不等式“-xlogix+ax＜0恒成立，

22

所以"<1。8』“一2》對7%€152恒成立.

212_

記/(x)=log；x—2x,xe1,2,只需”/⑴…

因為y=bg[X在xe上2上單調(diào)遞減，y=-2x在xw1,2上單調(diào)遞減,

2|_2J\_2

所以/(x)Tog1x-2x在xJi,21上單調(diào)遞減,

2\_2_

所以/(Hmm=/(2)=一5,所以。<一5.

故答案為：（一°°,一5）

16.乒乓球被稱為中國的“國球"，是一種世界流行的球類體育工程，2023年之后國際比賽用球的直徑為

40mm.現(xiàn)用一個底面為正方形的棱柱盒子包裝四個乒乓球，為倡導(dǎo)環(huán)保理念，則此棱柱包裝盒（長方體）外

表積的最小值為cn?.（忽略乒乓球及包裝盒厚度）

（答案）256

（解析）

（分析）比擬三種情形下的外表積即可得：一種四個球排列一列，四個球心在同一直線上；第二種四個球

平放，四個球心構(gòu)成正方形；第三種四個球心構(gòu)成正四面體.

（詳解）設(shè)4民。,。是四個球的球心，以下面積單位是an?

（1）43,。,。四點(diǎn)共線,則5=2x42+4x4x16=288.

ABCD

（2）48,。,。四點(diǎn)構(gòu)成一個正方形，貝US=2X82+4X8X4=256

（3）48,四點(diǎn)構(gòu)成一正四面體，如圖，設(shè)￡是中心，則平面BCD,AE1BE，

476

=—x4=--AE=

33

正四棱柱為正方體，棱長為半+4,外表積為S=6x14+

=32(5+2向>256,

比擬可得外表積最小值為256c加2.

故答案為：256

四、解答題：此題共6小題，共70分.解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一球.甲先投且先投中者獲勝，約定有人獲勝或每人都已投球3次時

投籃結(jié)束.設(shè)甲每次投籃投中的概率為工，乙每次投籃投中的概率為;，且各次投籃互不影響.

32

(1)求甲獲勝的概率；

(2)求投籃結(jié)束時乙只投了2個球的概率.

13

(答案)(1〕—

27

⑵—

27

(解析)

(分析)(1)依據(jù)互斥事件和的概率公式及獨(dú)立事件同時成立的概率公式求解即可；

(2)寫出投籃結(jié)束時乙只投了2個球的事件，由互斥事件的和的概率公式，獨(dú)立事件概率公式求解.

(小問1詳解)

設(shè)4,舔分別表示甲、乙在第上次投籃時投中，則0(4)=1，=(k=l,2,3),記“甲獲勝”

為事件c,則P(C)=p(4)+?(地/)+尸(444區(qū)4)

=P(4)+P(Z)P(A)P(4)+P(N)P(A).P(Z)P(瓦)P(4)

1211<2Yfl?113

3323UjUj327

(小問2詳解)

記“投籃結(jié)束時乙只投了2個球”為事件D.

則P(。)=P^AlBlA2B2^+A2B2A3)

=尸(彳)尸(瓦)尸(4)尸(員)+尸(4)尸(瓦)?尸(Z)P(瓦)P(4)

=[1卜]{1+如出4=。

18.如圖截角四面體是一種半正八面體，可由四面體經(jīng)過適當(dāng)?shù)慕亟?，即截去四面體的四個頂點(diǎn)所產(chǎn)生的

多面體.如圖，將棱長為3的正四面體沿棱的三等分點(diǎn)作平行于底面的截面得到全部棱長均為1的截角四面

體.

人

[1〕該截角四面體的外表積；

[2]該截角四面體的體積.

（答案）（1）773;

（2）速

12

（解析）

（分析）（1）求出截角四面體一個的正六邊形、正三角形的面積即可求解作答.

（2）求出原正四面體和截去的一個正四面體的體積，再用割補(bǔ)法求解作答.

（小問1詳解）

依題意，該截角四面體是4個邊長為1的正三角形和4個邊長為1的正六邊形圍成,

截角四面體中，正三角形的面積￥=1x1x1x3=41,

1224

邊長為1的正六邊形的面積S,=6x'xlxlx且=也，

2222

所以該截角四面體的外表積為S=4x也+4x2?=7百.

42

（小問2詳解）

該截角四面體是棱長為3的正四面體去掉4個角上棱長為1的正四面體而得，

2

2_逅

_

-X_=

棱長為1的正四面體的高人3_3棱長為3的正四面體的高為3/7=V6，

則棱長為1的正四面體的體積匕▲叉立八旦=包,

34312

棱長為3的正四面體的體積匕=1且X32X#=2也

所以該截角四面體的體積為：2=匕—4匕=2包一4、也=竺也.

2'41212

19.口43。的內(nèi)角A、B、C所對邊的長分別為。、b、C,已知Ga=Gccos8+bsinC.

⑴求。的大??；

[2]假設(shè)口46。為銳角三角形且°=6,求/+〃的取值范圍.

71

（答案）（1）c=j

3

（2）（5,6]

（解析）

（分析）（1）利用正弦定理邊化角，再分析求解即可；

（2）/+〃=4sin2/+4sin2，+。），再利用三角函數(shù)求值域即可.

（小問1詳解）

由43a=J3ccos8+6sinC及正弦定理可得

sin5sinC+V3cos8sinC=Gsin/二百sin（5+C）=V3sinBcosC+V3cos8sinC，

所以sinBsinC=GsinBcosC，

因為8、CG（0,^）,則sin8〉0,V3cosC=sinC>0，則tanC=VJ，故C=。.

（小問2詳解）

abcV3n

依題意，UZBC為銳角三角形且。二百，由正弦定理得而彳=忑萬=嬴:二耳二，

所以Q=2sin4,6=2sin6=2sin（4+C）=2sin|^+―I,

VJJ

、、1—cos2AH----

所以/+占2=45^2/+4sin2(4+：1l-cos2/I3J

|=4x------------+4x--------------------

J22

=2-2cos2/+2-2cos[2Ad-------(1、

4—2cos2A—2—cos271------sin2,A

I3)

\227

=4-2cos2A+cos2A+y/3sin2A=V3sin2A-cos2/+4=2sin(24-己)+4,

0<A<-

2萬2ATIZdA冗

由于4+8=—,所以c，解得二<>

3c2萬“萬62

0<----A<—

32

所以^<2A-^<^-,所以si:fo?|

所以2sin12/-高e(1,2],所以2sin(2/―看J+4e(5,6].

所以/+〃的取值范圍是(5,6].

20.如圖，在長方體/8CC-4BCQ中，AB=2BC=2AA「P為同用的中點(diǎn).

(1)證明：DP工平面BPCi；

(2)求二面角P—8G-4的正弦值.

(答案)(1)見解析(2)在

9

(解析)

(分析)(1)由向量法結(jié)合判定證明即可；

(2)由向量法得出面角P-8CI-4的正弦值.

(小問1詳解)

以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如以下圖所示

設(shè)=2BC==2,則A(l,0,0),5(1,2,0),C(0,2,0),D(0,0,0)

4(1,0,1),5,(1,2,1),C,(0,2,1),Z),(0,0,l),P(l,l,l)

vDP=(1,1,1),BP=(Q-1,1),BC；=(-1,0,1)

揚(yáng)麗=-1+1=0,而?苑=T+l=0

：.BPA.DP,DPYBC,

又BPcBC]=B,：.DP上平面BPC]

(小問2詳解)

由(1)可知，平面BOG的法向量為加=(1,1,1)

設(shè)平面48G的法向量為n=(x,y,z),AXB=(0,2,-1)

n-AB=O2y-z=0

x令z=2,可得力=(2,1,2)

nBCx=O[-x+z=O

n~DP_2+1+2_573

cos(n,DP

\n\\DP\~y/3xy[9~9

V6

故二面角P-BC}-A,的正弦值為

9

21.為了弘揚(yáng)中華民族傳統(tǒng)文化，某中學(xué)高二年級舉行了“愛我中華，傳誦經(jīng)典”的考試，并從中隨機(jī)抽

取了60名學(xué)生的成績(總分值100分)作為樣本，其中成績不低于80分的學(xué)生被評為優(yōu)秀生，得到成績

(1)假設(shè)該年級共有1000名學(xué)生，試?yán)脴颖竟懒吭撃昙夁@次考試中優(yōu)秀生人數(shù)；

(2)試估量這次參加考試的學(xué)生的平均成績(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值作代表)：

(3)假設(shè)在樣本中，利用分層抽樣從成績不低于70分的學(xué)生中隨機(jī)抽取6人，再從中抽取2人贈送一套

國學(xué)經(jīng)典典籍，試求恰好抽中2名優(yōu)秀生的概率.

（答案）（1）300A；（2）72.5；⑶1.

（解析）

（分析）（1）由直方圖知，樣本中數(shù)據(jù)落在［80,100）的頻率為0.3,由此能估量全校這次考試中優(yōu)秀生人

數(shù)；

（2）將每個矩形底邊的中點(diǎn)值乘以矩形的面積，再將所得結(jié)果相加即可得出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)；

⑶由分層抽樣可知成績在［70,80）、［80,90）、［90,100］間分別抽取了3、2、1人，記成績在

［70,80）的3人為。、b、c,在［80,90）的2人為A、B,在［90,100］的I人記為C,列出全部的根本領(lǐng)

件，利用古典概型的概率公式可求出所求事件的概率.

（詳解）（1）由直方圖知，樣本中數(shù)據(jù)落在［80,100）的頻率為：0.2+0.1=0.3,

則估量全校這次考試中優(yōu)秀生人數(shù)為：1000x0.3=300人；

（2）該樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：

x=45x0.05+55x0.15+65x0.2+75x0.3+85x0.2+95x0.1=72.5，

估量全部參加考試的學(xué)生的平均成績?yōu)?2.5；

（3）由分層抽樣可知成績在［70,80）、［80,90）、［90,100］間分別抽取了3、2、1人，

記成績在［70,80）的3人為。、b、c,在［80,90）的2人為A、B,在［90,100］的1人記為C,

則6人中抽取2人的全部情況有15種，分別為：

｛a,b｝、｛a,c｝、｛b,c｝、｛a,A］,｛a,5｝、｛a,C｝>［b,A］>｛6,6｝、｛b,C｝、｛c,4｝、｛c,B｝、

｛c,C｝、｛43｝、｛4C｝、｛民C｝,

記抽取2人為優(yōu)秀生為事件E,則事件￡包含的根本領(lǐng)件有：｛4耳、｛4。｝、｛B,C