人教A版高中數學必修2學案2-1-3空間中直線與平面之間的位置關系2-1-4平面與平面之間的位置關系

空間中直線與平面之間的位置關系平面與平面之間的位置關系學習目標核心素養(yǎng)1.了解直線與平面的三種位置關系，并會用圖形語言和符號語言表示．(重點、易錯點)2.了解不重合的兩個平面之間的兩種位置關系，并會用圖形語言和符號語言表示．(難點)通過對直線與平面位置關系和對平面與平面位置關系的學習，培養(yǎng)邏輯推理、直觀想象的數學核心素養(yǎng)．1．直線與平面的位置關系位置關系直線在平面內直線在平面外直線與平面相交直線與平面平行公共點無數個公共點1個0個符號表示a?αa∩α＝Aa∥α圖形表示思考：“直線與平面不相交”與“直線與平面沒有公共點”是一回事嗎？[提示]不是．前者包括直線與平面平行及直線在平面內這兩種情況，而后者僅指直線與平面平行．2．兩個平面的位置關系位置關系平行相交圖示表示法α∥βα∩β＝a公共點個數0個無數個思考：分別位于兩個平行平面內的兩條直線的位置關系是什么？[提示]分別位于兩個平行平面內的直線一定無公共點，故它們的位置關系是平行或異面．1．直線l與平面α有兩個公共點，則()A．l∈α B．l∥αC．l與α相交 D．l?αD[根據公理1可知，l?α.]2．若M∈平面α，M∈平面β，α、β為不同的平面，則平面α與β的位置關系是()A．平行 B．相交C．重合 D．不確定B[由公理可知，平面α與平面β相交．]3．已知直線a，b分別在兩個不同的平面α，β內．則下列說法正確的是________(填序號).①若直線a和直線b相交，則平面α和平面β相交；②若平面α和平面β相交，則直線a和直線b相交．①[若直線a，b相交，設交點為P，則P∈a，P∈b.又a?α，b?β，所以P∈α，P∈β，故α，β相交．反之，若α，β相交，則a，b可能相交，也可能異面或平行．]直線與平面位置關系的判定【例1】(1)若直線上有一點在平面外，則下列結論正確的是()A．直線上所有的點都在平面外B．直線上有無數多個點都在平面外C．直線上有無數多個點都在平面內D．直線上至少有一個點在平面內B[直線上有一點在平面外，則直線不在平面內，故直線上有無數多個點在平面外．](2)下列說法中，正確的個數是()①如果兩條平行直線中的一條和一個平面相交，那么另一條直線也和這個平面相交；②經過兩條異面直線中的一條直線，有一個平面與另一條直線平行；③兩條相交直線，其中一條與一個平面平行，則另一條一定與這個平面平行．A．0B．1C．2D．3C[易知①正確，②正確．③中兩條相交直線中一條與平面平行，另一條可能平行于平面，也可能與平面相交，故③錯誤．選C.]直線與平面位置關系的判斷(1)空間直線與平面位置關系的分類是解決問題的突破口，這類判斷問題，常用分類討論的方法解決．另外，借助模型(如正方體、長方體等)也是解決這類問題的有效方法．(2)要證明直線在平面內，只要證明直線上兩點在平面α內，要證明直線與平面相交，只需說明直線與平面只有一個公共點，要證明直線與平面平行，則必須說明直線與平面沒有公共點．eq\a\vs4\al([跟進訓練])1．以下命題(其中a，b表示直線，α表示平面)，①若a∥b，b?α，則a∥α；②若a∥α，b∥α，則a∥b；③若a∥b，b∥α，則a∥α；④若a∥α，b?α，則a∥b.其中正確命題的個數是()A．0B．1C．2D．3A[如圖所示，在長方體ABCD-A′B′C′D′中，AB∥CD，AB?平面ABCD，但CD?平面ABCD，故①錯誤；A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′與B′C′相交，故②錯誤；AB∥A′B′，A′B′∥平面ABCD，但AB?平面ABCD，故③錯誤；A′B′∥平面ABCD，BC?平面ABCD，但A′B′與BC異面，故④錯誤．]平面與平面位置關系的判定[探究問題]1．若一個平面內的任意一條直線都與另一個平面平行，那么這兩個平面之間有什么位置關系？[提示]因為一個平面內任意一條直線都與另一個平面平行，所以該平面與另一平面沒有公共點，根據兩平面平行的定義知，這兩個平面平行．2．平面α內有無數條直線與平面β平行，那么α∥β是否正確？[提示]不正確．如圖，設α∩β＝l，則在平面α內與l平行的直線可以有無數條直線a1，a2，…，an，它們是一組平行線，這時a1，a2，…，an與平面β都平行，但此時α不平行于β，而α∩β＝l.【例2】(1)如果在兩個平面內分別有一條直線，這兩條直線互相平行，那么兩個平面的位置關系一定是()A．平行 B．相交C．平行或相交 D．不能確定C[逆向考慮畫兩平行面，看是否能在此兩面內畫兩條平行線．同樣畫兩相交面，看是否能在此兩面內畫兩條平行線，再作出選擇(如圖所示).](2)完成下列作圖：①在圖中畫出一個平面與兩個平行平面相交．②在圖中分別畫出三個兩兩相交的平面．[解]①如圖所示，②如圖所示，1．平面與平面的位置關系的判斷方法：(1)平面與平面相交的判斷，主要是以公理3為依據找出一個交點．(2)平面與平面平行的判斷，主要是說明兩個平面沒有公共點．2．常見的平面和平面平行的模型(1)棱柱、棱臺、圓柱、圓臺的上下底面平行；(2)長方體的六個面中，三組相對面平行.eq\a\vs4\al([跟進訓練])2．三個平面最多能把空間分為________部分，最少能把空間分成________部分．84[三個平面可將空間分成4，6，7，8部分，所以三個平面最少可將空間分成4部分，最多分成8部分．]3.試畫出相交于一點的三個平面．[解]如圖所示(不唯一).1．空間中直線與平面的位置關系有兩種分類方式(1)eq\a\vs4\al(按公共,點的個,數分類)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(直線與平面平行——直線與平面沒有公共點,\a\vs4\al(直線與平,面不平行)\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(直線與平面相交——直線與平面,有唯一公共點,直線在平面內——直線與平面有,無數公共點))))(2)eq\a\vs4\al(按是否,在平面,內分類)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(直線在平面內,直線在平面外\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(直線與平面相交,直線與平面平行))))2．判斷直線與平面及平面與平面位置關系的常用方法(1)定義法：借助線面、面面位置關系的定義判斷；(2)模型法：借助長方體等熟悉的幾何圖形進行判斷，有時起到事半功倍的效果；(3)反證法：反設結論進行推導，得出矛盾，達到準確的判斷位置關系的目的．1.已知直線a在平面α外，則()A．a∥αB．直線a與平面α至少有一個公共點C．a∩α＝AD．直線a與平面α至多有一個公共點D[直線a在平面α外，則直線a與平面α平行或相交，故直線a與平面α至多有一個公共點．選D.]2．如果直線a∥平面α，那么直線a與平面α內的()A．僅有一條直線不相交B．僅有兩條直線不相交C．無數條直線相交D．任意一條直線不相交D[直線a∥平面α，則a與α無公共點，與α內的任一直線均無公共點．]3．下列命題正確的是()A．直線a∥α，直線b?α，則a∥bB．若a?α，b?α，則a與b沒有公共點C．若a?α，則a∥α或a與α相交D．若a∥α，b∥α，則a∥bC[A中條件下，a與b還可能異面；B中b?α時，可能b與α相交，那么a與b也可能相交；D中，a與b可能平行，可能相交，也可能異面，只有C是正確的．]4．下列命題：①兩個平面有無數個公共