一道幾何題引發(fā)的思考(旋轉(zhuǎn)教案)

北京工大附中由一道幾何題引發(fā)的思索旋轉(zhuǎn)變換習(xí)題課張椿2021/4/19[在此處鍵入文檔摘要。摘要通常為文檔內(nèi)容的簡(jiǎn)短概括。在此處鍵入文檔摘要。摘要通常為文檔內(nèi)容的簡(jiǎn)短概括。]

【教材分析】旋轉(zhuǎn)是初中學(xué)段學(xué)習(xí)的最終一種圖形的全等變換，及平移、軸對(duì)稱相結(jié)合在幾何的推理證明中起著舉足輕重的作用，尤其在作協(xié)助線、找尋全等三角形中的作用及其突出.本章的位置是在四邊形和勾股定理之后，因此許多中考中的四邊形以及直角三角形的題目已經(jīng)可以從圖形變換的角度來(lái)思索.這節(jié)課就是在學(xué)習(xí)了旋轉(zhuǎn)變換之后，為了培育學(xué)生用運(yùn)動(dòng)變化的視角視察、分析問(wèn)題以及提高歸納、概括實(shí)力而設(shè)計(jì)的，同時(shí)在逐步弱化題目條件的探究過(guò)程中讓學(xué)生體會(huì)從特別到一般的、逐步提示事物本質(zhì)的方法.【學(xué)情分析】學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了平移、軸對(duì)稱和旋轉(zhuǎn)三種圖形變換，并且在解題過(guò)程中能夠看出哪些圖形是經(jīng)過(guò)這三種變換改變了位置，進(jìn)而找到相應(yīng)的全等三角形；也能通過(guò)這三種變換作簡(jiǎn)單的協(xié)助線，構(gòu)造全等圖形，并且在解題過(guò)程中漸漸具備了肯定的視察、抽象和分析實(shí)力。然而，圖形變換是一種運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程，這對(duì)于習(xí)慣了探討靜態(tài)圖形的學(xué)生來(lái)說(shuō)仍是難點(diǎn)，另外學(xué)生運(yùn)用精確的語(yǔ)言進(jìn)展歸納、概括的實(shí)力仍有待提高.【教學(xué)目標(biāo)】1、了解證明線段和、差的題型的協(xié)助線作法.2、通過(guò)閱讀相關(guān)材料、思索問(wèn)題，體會(huì)幾何變換在解題時(shí)作協(xié)助線、構(gòu)造全等三角形的作用.3、能夠仿照閱讀材料中的證明過(guò)程，寫(xiě)出比擬嚴(yán)謹(jǐn)、詳盡的幾何推理過(guò)程.4、通過(guò)一系列一般化題目條件的探究過(guò)程，提高視察、分析、概括實(shí)力，體會(huì)從特別到一般的、逐步提示事物本質(zhì)的方法.【教學(xué)重點(diǎn)】探究使得題目的結(jié)論成立的一般化條件，以及在探究過(guò)程中的協(xié)助線作法和幾何推理過(guò)程.【教學(xué)難點(diǎn)】使得題目的結(jié)論成立的一般化條件的探究過(guò)程.【教學(xué)過(guò)程】一、課前預(yù)習(xí)：仔細(xì)閱讀以下材料，思索并答復(fù)下列問(wèn)題.〔學(xué)生提前預(yù)習(xí)，課上小組溝通、探討，學(xué)生補(bǔ)全證明過(guò)程并答復(fù)下列問(wèn)題〕：如圖1-1，正方形ABCD中，點(diǎn)M、N分別在BC、DC邊上，BM＝DN，且∠MAN＝45°，連接MN.求證：BM＋DN＝MN．圖1-1圖1-3圖1-2圖1-1圖1-3圖1-2分析：此題的結(jié)論是線段和的形式，通常解決這種問(wèn)題的協(xié)助線方法是：截長(zhǎng)法或補(bǔ)短法.證法一：截長(zhǎng)法如圖1-2，作AE⊥MN于E，只需證明BM＝EM，DN＝EN即可。由正方形的性質(zhì)易證△ABM≌△AND，從而∠1＝∠2＝〔90°—∠MAN〕÷2＝°，AM＝AN，由三線合一得∠3＝∠°，所以∠1＝∠4，∠2＝∠3；由角平分線的性質(zhì)可得BM＝EM，DN＝EN，所以MN＝ME＋NE＝BM＋DN.證法二：補(bǔ)短法如圖1-3，延長(zhǎng)CB至點(diǎn)F，令BF＝DN，連接AF，只需證明FM＝MN即可。由正方形的性質(zhì)易證△ABF≌△ADN〔表達(dá)了旋轉(zhuǎn)變換，即把△AND圍著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABF〕，從而AF＝AN，∠1＝∠2，所以∠FAM＝∠2＋∠3＝∠1＋∠3＝90°—∠MAN＝45°，得∠FAM＝∠MAN，進(jìn)而可證明△AMF≌△AMN，所以MN＝MF＝BM＋BF＝BM＋DN.☆問(wèn)題1：在以上兩種證明過(guò)程中，用到了哪些正方形的性質(zhì)？AB＝AD，∠B＝∠D＝∠BAD＝90°〔詳細(xì)列舉〕☆問(wèn)題2：在上述兩種證明過(guò)程中，你發(fā)覺(jué)了哪幾種圖形變換？軸對(duì)稱和旋轉(zhuǎn)變換〔動(dòng)態(tài)演示〕☆問(wèn)題3：在證法二中，用到了全部題目條件了嗎？沒(méi)有用到哪個(gè)條件？假如去掉這個(gè)條件，圖形會(huì)有什么變化？在圖1-4中畫(huà)出變化后的圖形，重新設(shè)計(jì)此題，并進(jìn)展證明.〔學(xué)生小組溝通，展示探討成果，相互補(bǔ)充、完善〕變式1：：如圖1-4，正方形ABCD中，點(diǎn)M、N分別在BC、DC邊上，且∠MAN＝45°圖1-4求證：BM＋DN＝MN．圖1-4證明：BM＝DN的條件沒(méi)有用到，留意圖形中要強(qiáng)調(diào).可能有學(xué)生會(huì)選用證法一，可以展示，讓學(xué)生找錯(cuò)誤.你用的是哪種證法？?jī)煞N證法都能證明此題嗎？為什么？證法一不能證明此題，從協(xié)助線的作法看，無(wú)論是作垂線段還是直接截取都缺少全等的條件.二、深化探究變式2：：如圖2，四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，∠B＋∠D＝180°，點(diǎn)M、N分別在BC、DC邊上，∠MAN＝45°，連接MN.線段BM，DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫(xiě)出揣測(cè)，并簡(jiǎn)述證明過(guò)程．☆問(wèn)題4：比擬變式2及變式1，條件、結(jié)論和證明過(guò)程有什么異同點(diǎn)？圖2〔學(xué)生帶著問(wèn)題讀題，并視察變式1及變式2，思索并解答〕圖2揣測(cè)：BM＋DN＝MN．證明：條件：從∠B＝∠D＝90°變?yōu)椤螧＋∠D＝180°，其他不變.結(jié)論：不變證明過(guò)程：在證明△ABF≌△AND時(shí)，證明角等的過(guò)程有變化.變式3：圖3如圖3，四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＋∠D＝180°，點(diǎn)M、N分別在BC、DC邊上，∠MAN須要滿意什么條件，才能得到BM＋DN＝MN？寫(xiě)出揣測(cè)，并簡(jiǎn)述證明過(guò)程．圖3揣測(cè)：當(dāng)∠MAN＝60°時(shí)，BM＋DN＝MN.證明:☆問(wèn)題7：由變式3你得到了什么啟示？進(jìn)一步完善這個(gè)有關(guān)四邊形的命題，及同組同學(xué)探討后寫(xiě)下來(lái)，并畫(huà)出圖形展示給大家看！(不須要證明)變式4：圖4圖形畫(huà)在這里?。喝鐖D4，四邊形ABCD中，①AB＝AD，②∠B＋∠D＝180°，點(diǎn)M、N分別在BC、DC邊上，且③.圖4圖形畫(huà)在這里！求證：BM＋DN＝MN.三、小結(jié)歸納通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？〔主要由學(xué)生小結(jié)，老師幫助整理語(yǔ)言〕從旋轉(zhuǎn)變換的角度作協(xié)助線，是全新的考慮問(wèn)題的方式.題目條件從正方形到具有肯定條件的四邊形，漸漸一般化，但始終得到一樣的結(jié)論，學(xué)會(huì)了從特別到一般的提示問(wèn)題本質(zhì)的方法.提高了分析、歸納和推理實(shí)力等等.【課堂檢測(cè)】如圖①，有邊長(zhǎng)為1的等邊三角形ABC和頂角為120°的等腰△DBC，以D為頂點(diǎn)作∠MDN=60°，兩邊分別交AB、AC于M、N，連結(jié)MN.〔1〕求證MN=BM+CN；〔2〕試說(shuō)明△AMN的周長(zhǎng)為2．圖②〔3〕如圖②假設(shè)M,N分別在AB,CA的延長(zhǎng)線上，則〔1〕中結(jié)論還成立嗎？假如不成立，MN,BM,CN又滿意圖②圖圖①分層檢測(cè)，讓實(shí)力一般的學(xué)生完成〔1〕、〔2〕兩問(wèn)，強(qiáng)化證明過(guò)程；讓實(shí)力較強(qiáng)