18.2.2 矩形的判定 人教版數(shù)學(xué)八年級下冊教學(xué)設(shè)計(jì)

人教版初中數(shù)學(xué)八年級下冊18.2.2矩形的判定教學(xué)設(shè)計(jì)一、教學(xué)目標(biāo)：1.經(jīng)歷矩形判定定理的猜想與證明過程，理解并掌握矩形的判定定理．2.能應(yīng)用矩形的判定解決簡單的證明題和計(jì)算題.二、教學(xué)重、難點(diǎn)：重點(diǎn)：矩形判定定理的運(yùn)用.難點(diǎn)：矩形判定方法的理解及應(yīng)用.三、教學(xué)過程：復(fù)習(xí)回顧憶一憶1.矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.2.矩形的性質(zhì)：矩形的四個(gè)角都是直角；

矩形的對角線相等.知識精講想一想工人師傅做鋁合金窗框，分下面三個(gè)步驟進(jìn)行：(1)先截出兩對符合規(guī)格的鋁合金窗料，如圖①，使AB=CD，EF=GH；

(2)擺放成如圖②所示的四邊形，則這時(shí)窗框的形狀是___________，根據(jù)的數(shù)學(xué)道理是______________________________________；

(3)將直角尺靠窗框的一個(gè)角，如圖③，調(diào)整窗框的邊框，當(dāng)直角尺的兩條直角邊與窗框無縫隙時(shí)，如圖④，說明窗框合格，這時(shí)窗框是_____，根據(jù)的數(shù)學(xué)道理是__________________.工人師傅在做門窗或矩形零件時(shí)，不僅要測量兩組對邊的長是否分別相等，常常還要測量它們的兩條對角線是否相等，以確保圖形是矩形.你知道其中的道理嗎？思考：我們知道，矩形的對角線相等.反過來，對角線相等的平行四邊形是矩形嗎？猜想：對角線相等的平行四邊形是矩形.已知：四邊形ABCD是平行四邊形，且AC=BD.

求證：四邊形ABCD是矩形.證明：∵四形邊ABCD是平行四邊形

∴AB=DC，AB∥DC

又AC=BD，BC=CB

∴△ABC≌△DCB(SSS)

∴∠ABC=∠DCB

∵AB∥DC

∴∠ABC+∠DCB=180°

∴∠ABC=90°

∴四邊形ABCD是矩形矩形的判定定理1：對角線相等的平行四邊形是矩形.幾何符號語言：∵四邊形ABCD是平行四邊形，且AC=BD

∴四邊形ABCD是矩形想一想：對角線互相平分且相等的四邊形是矩形嗎？為什么？典例解析例1.如圖，在□ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，且OA=OD，∠OAD=50°．求∠OAB的度數(shù)．解：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴OA=OC=12AC，OB=OD=1又OA=OD∴AC=BD∴四邊形ABCD是矩形∴∠DAB=90°又∠OAD=50°∴∠OAB=40°【針對練習(xí)】如圖，□ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，△OAB是等邊三角形，且AB=4，求□ABCD的面積.解：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AC=2AO，BD=2BO∵△OAB是等邊三角形∴AO=BO=AB=4∴AC=BD=8∴四邊形ABCD是矩形∴∠ABC=90°∴在Rt△ABC中，BC=AC2-AB2=8∴S□ABCD=AB×BC=4×43=163例2.已知在四邊形ABCD中，作AE∥BC交BD于O點(diǎn)且OB＝OD，交DC于點(diǎn)E，連接BE，∠ABD＝∠EAB，∠DBE＝∠EBC．求證：四邊形ABED為矩形．證明：∵∠ABD＝∠EAB，∴OA＝OB，∵AE∥BC，∴∠AEB＝∠EBC，∵∠DBE＝∠EBC，∴∠AEB＝∠DBE，∴OE＝OB，∴OA＝OE，∵OB＝OD，∴四邊形ABED是平行四邊形，∵OA＝OB，OA＝OE，OB＝OD，∴OA＝OE＝OB＝OD，∴AE＝BD，∴平行四邊形ABED為矩形．【針對練習(xí)】如圖,矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E、F、G、H分別是AO、BO、CO、DO上的一點(diǎn),且AE=BF=CG=DH.求證:四邊形EFGH是矩形.證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD，AO=BO=CO=DO，∵AE=BF=CG=DH，∴OE=OF=OG=OH，∴四邊形EFGH是平行四邊形，∵EO+OG=FO+OH，即EG=FH，∴四邊形EFGH是矩形.知識精講思考：前面我們研究了矩形的四個(gè)角，知道它們都是直角.它的逆命題成立嗎？即四個(gè)角都是直角的四邊形是矩形嗎？進(jìn)一步，至少有幾個(gè)角是直角的四邊形是矩形？已知：如圖,在四邊形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.求證：四邊形ABCD是矩形.證明:∵∠A=∠B=∠C=90°,∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°，∴AD∥BC，AB∥CD.∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴四邊形ABCD是矩形.矩形的判定定理2：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.幾何符號語言：∵∠A=∠B=∠C=90°

∴四邊形ABCD是矩形典例解析例3.如圖，平行四邊形ABCD的四個(gè)內(nèi)角的平分線分別相交于E、F、G、H，求證:四邊形EFGH是矩形.證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB//CD∴∠ABC+∠BCD=180°∵BG平分∠ABC，CG平分∠BCD∴∠GBC+∠GCB=12(∠ABC+∠即∠G=90°同理∠E=90°,∠AFB=90°∴∠GFE=90°∴四邊形EFGH是矩形【針對練習(xí)】已知：如圖，P，B，C在同一條直線上，BD，BE分別是∠ABC與∠ABP的平分線，AE⊥BE,AP⊥BD，E，D為垂足．求證：四邊形AEBD是矩形．證明：∵BD，BE分別是∠ABC與∠∴∠ABE=1∵∠ABP+∠ABC=180°∴∠ABE+∠ABD=1即∠DBE=90°，∵AE⊥BE,AP⊥BD，∴∠E=∠D=90°，∴四邊形AEBD是矩形．例4.如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足為D，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為E，求證：四邊形ADCE為矩形．證明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠DAC，即∠DAC＝12∠BAC又∵AN是△ABC外角∠CAM的平分線，∴∠MAE＝∠CAE＝12∠CAM∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE＝12(∠BAC＋∠CAM)＝又∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ADC＝∠CEA＝90°,∴四邊形ADCE為矩形．例5.在矩形ABCD中，AB=4，BC=3．若點(diǎn)P是CD上任意一點(diǎn)，如圖①，PE⊥BD于點(diǎn)E，PF⊥AC于點(diǎn)F．(1)猜想PE和PF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的理由．(2)當(dāng)點(diǎn)P是AD上任意一點(diǎn)時(shí)，如圖②，猜想PE和PF之間的數(shù)量關(guān)系(3)當(dāng)點(diǎn)P是DC上任意一點(diǎn)時(shí)，如圖③，猜想PE和PF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出推理過程．（1）解：連接OP，如圖，設(shè)點(diǎn)C到BD的距離為h1在RtΔBCD中，由SΔh1∵四邊形ABCD是矩形，∴OC=OD，由SΔ12化簡得PE+PF=h（2）解：PE+連接OP，如下圖：設(shè)點(diǎn)O到AD的距離為h2由（1）得OD=OA=5∵S∴1∴PE+PF=12（3）解：PE-連接OP、BP，如圖．由S=S12化簡得2PE=h即PE-PF=h課堂小結(jié)1.本節(jié)課你有哪些收獲？2.還有沒解決的問題嗎？【設(shè)計(jì)意圖】培養(yǎng)學(xué)生概括的能力。使知識形成體系，并滲透數(shù)學(xué)思想方法。達(dá)標(biāo)檢測1.在數(shù)學(xué)活動課.上,老師讓同學(xué)們判斷一個(gè)四邊形門框是否為矩形，下面是某合作小組的四位同學(xué)擬定的方案，其中正確的是()A.測量對角線是否互相平分B.測量兩組對邊是否分別相等C.測量一組對角是否為直角D.測量其中三個(gè)角是否為直角2.已知平行四邊形ABCD中，下列條件:①AB=BC;②AC=BD;③AC⊥BD;④AC平分∠BAD.其中能說明平行四邊形ABCD是矩形的是()A.①B.②C.③D.④3.如圖，在□ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，且OA=OB.若AD=4，∠ABD=30°，則AB的長為()A.43B.23C.8D.834.如圖，在△ABC中，AC的垂直平分線分別交AC，AB于點(diǎn)D、F，BE⊥DF交DF的延長線于點(diǎn)E，已知∠A=30°，BC=2，AF=BF，則四邊形BCDE的面積是()A.23B.43C.45D.255.如圖，是四根木棒搭成的平行四邊形框架，AB=8cm，AD=6cm，使AB固定，轉(zhuǎn)動AD，當(dāng)∠DAB=_____時(shí)，□ABCD的面積最大，此時(shí)□ABCD是_____形，面積為______cm2.6.如圖，在矩形ABCD中，M為AD邊的中點(diǎn)，P為BC上一點(diǎn)，PE⊥MC，PF⊥MB，當(dāng)AB、BC滿足條件___________時(shí)，四邊形PEMF為矩形.7.如圖，在矩形ABCD中AD=3，CD=4，點(diǎn)P是AC上一個(gè)動點(diǎn)(點(diǎn)P與點(diǎn)A，C不重合)，過點(diǎn)P分別作PE⊥BC于點(diǎn)E，PF//BC交AB于點(diǎn)F，連接EF，則EF的最小值為______.8.已知：如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD,CB=CD，點(diǎn)M，N，P，Q分別是AB,BC,CD,DA的中點(diǎn)．求證：四邊形MNPQ是矩形．9.如圖，一張矩形紙片ABCD，點(diǎn)E在邊AB上，將△BCE沿直線CE對折，點(diǎn)B落在對角線AC上，記為點(diǎn)F．(1)若AB＝4，BC＝3，求AE的長．(2)連接DF，若點(diǎn)D，F(xiàn)，E在同一條直線上，且DF＝2，求AE的長．10.如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，動點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AD邊向點(diǎn)D以1cm/s的速度運(yùn)動，動點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿CB邊向點(diǎn)B以3cm/s的速度運(yùn)動，動點(diǎn)P，(1)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形ABQP為矩形？(2)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PQCD為平行四邊形？【參考答案】DBAA90°，矩，48AB=12128.證明：設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，AC與QM交于點(diǎn)F，BD與PQ交于點(diǎn)E，∵AB=AD，CB=CD，∴點(diǎn)A與點(diǎn)C都在BD的垂直平分線上，∴AC是BD的垂直平分線，即AC⊥BD，∴∠AOD=90°，∵點(diǎn)M，N，N，P，Q分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，∴MQ∥BD，∴四邊形OEQF是平行四邊形，又∠AOD=90°，∴四邊形OEQF是矩形，∴∠MQP=∠AOD=90°，同理：∠QMN=∠MNP=90°，∴四邊形MNPQ是矩形．9.（1）解：如圖，矩形紙片ABCD中，∵AB＝4，BC＝3，故由勾股定理可得AC＝5．由折疊知：FC＝BC＝3，∠EFC＝∠B＝90°，BE＝FE．∴AF=AC-FC=5-3=2．設(shè)AE＝x，則BE=4-x=FE．在Rt△AFE中，22解得：x=5∴AE=5（2）如圖，矩形紙片ABCD中，∵DC∥AB，∴∠DCE＝∠由折疊知：∠BEC＝∠FEC，∴∠DCE＝∠FEC，∴DC＝DE．又∵點(diǎn)D，F(xiàn)，E在同一條直線上，∠EFC＝∠B，∴∠DFC＝90°，∴∠DFC＝∠DAE＝90°，而CF＝CB＝DA，∴△CDF≌△DEA，∴AE＝DF＝10.（1）解：∵設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒，∴AP=t(cm)，如圖1