2023-2024學(xué)年廣東省深圳市羅湖區(qū)部分學(xué)校高三年級(jí)上冊(cè)學(xué)期開(kāi)學(xué)模擬考試數(shù)學(xué)試卷（含答案）

絕密★啟用前試卷類型：A

2023—2024學(xué)年高三質(zhì)量檢測(cè)（一）

數(shù)學(xué)試卷2023.08

本試卷共4頁(yè)，22小題，滿分150分。考試用時(shí)120分鐘。

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上，正確粘貼條形碼；

2.作答選擇題時(shí)，用2B鉛筆在答題卡上將對(duì)應(yīng)答案的選項(xiàng)涂黑；

3.非選擇題的答案必須寫(xiě)在答題卡各題目的指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂

改液；不按以上要求作答無(wú)效；

4.考試結(jié)束后，考生上交答題卡。

一'選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的。

1.已知集合4={x|2'Wl}，B={-2,-l,0,l,2},則zn8=

A.{0,1,2}B.{1,2}C.{-2,-1,0)D.{-2,-1}

2.已知復(fù)數(shù)z滿足zi=l+2i,則/的虛部為

A.1B.-1C.2D.-2

3.已知向量。,力滿足。+4b）,b1（a+3b）,則向量的夾角為

71712兀5兀

A.-B.一D.—

63c-T6

4.已知函數(shù)/'（x）=@竺士d為奇函數(shù)，則a=

x2

1

A.-B.2c?1D.3

2

5.“a今至”是“圓G：x2+/=i與圓。2：（》+42+3一242=36存在公切線”的

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2023—2024學(xué)年高三質(zhì)量檢測(cè)（一）數(shù)學(xué)試卷第1頁(yè)（共4頁(yè)）

7.數(shù)列｛4｝中，4=2,%=3，??+I=anan+1,貝lja202A=

12

A.2B.3C.-D.一

33

8.已知一個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為10,高為8,則該圓錐內(nèi)切球的表面積與圓錐的表面積之比為

33〃13

A.—B?—C.—D.—

58313

二'選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.若隨機(jī)變量X?N(10,22),則

A.P(X210)=0.5B.尸(XW8)+P(XW12)=1

C.尸(8WXW14)=P(10WXW16)D.O(2X+1)=8

10.已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,/(x+1)為偶函數(shù)，/(3x+2)為奇函數(shù)，則

A./(x)的圖象關(guān)于x=l對(duì)稱B./(x)的圖象關(guān)于(1,0)對(duì)稱

20

C./(x+4)=/(x)D.Z/(i)=l

/=0

Y->21

11.已知橢圓E:亍+｝=1(。>6>0)的離心率為5,左、右焦點(diǎn)分別為耳，工，上頂點(diǎn)為P,

若過(guò)6且傾斜角為30。的直線/交橢圓E于43兩點(diǎn)，△PZ3的周長(zhǎng)為8,則

A.直線尸￡的斜率為-石B.橢圓E的短軸長(zhǎng)為4

_______48

C.PFL=2D.四邊形ZP3K的面積為宣

12.歐拉是人類歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一.在數(shù)學(xué)史上，人們稱18世紀(jì)為歐拉時(shí)代.直到

今天，我們?cè)跀?shù)學(xué)及其應(yīng)用的眾多分支中，常?？梢钥吹綒W拉的名字，如著名的歐拉函

數(shù).歐拉函數(shù)/(“)(“€N)的函數(shù)值等于所有不超過(guò)正整數(shù)〃且與〃互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù),

例如9⑴=1,。(4)=2,則下列說(shuō)法正確的是

A.S(15)=Q(3)S(5)B.Vrtj>n2,都有

C.方程6(〃)=〃一1(〃€1<)有無(wú)數(shù)個(gè)根D.0(7")=6X7*T(AeN,)

三'填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知U為銳角，tana=2,則sina+cosa=.

14.(》2+2)6的展開(kāi)式中，/的系數(shù)為.

X

15.過(guò)拋物線C:/=4x焦點(diǎn)F的直線/交拋物線C于/,B兩點(diǎn),且萬(wàn)=3而，若M為AB

的中點(diǎn)，則"到V軸的距離為.

16.正方體Z3CD-44G"的棱長(zhǎng)為2,底面43CQ內(nèi)(含邊界)的動(dòng)點(diǎn)尸到直線CG的距

離與到平面的距離相等，則三棱錐P-/片2體積的取值范圍為.

2023—2024學(xué)年高三質(zhì)量檢測(cè)(一)數(shù)學(xué)試卷第2頁(yè)(共4頁(yè))

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明'證明過(guò)程或演算步驟

17.（10分）

已知數(shù)列｛凡｝為正項(xiàng)等差數(shù)列，數(shù)列｛bn｝為遞增的正項(xiàng)等比數(shù)列，%=1,

a｛—b｛=a2—b2=aA—b3=0.

（1）求數(shù)列｛/｝,他,｝的通項(xiàng)公式；

a,〃為奇數(shù)

（2）數(shù)列｛%｝滿足c,=J不屈物，求數(shù)列9｝的前2〃項(xiàng)的和.

18.（12分）

在四棱錐P-43CZ）中，底面力3CZ）為正方形，AB1PD.

（1）證明：平面平面4BC。；

（2）若PA=PD,ZPDA=60°,求平面P4）與平面P3C夾角的余弦值.

（第18題圖）

19.（12分）

已知。，方，c分別為三角形△Z3C三個(gè)內(nèi)角4,8,C的對(duì)邊，且ccosB+36cosc=a-b.

（1）求C；

13

（2）若。=5,cosB=—,D為AB邊上一點(diǎn),且3。=5,求△NC。的面積.

14

2023—2024學(xué)年高三質(zhì)量檢測(cè)（一）數(shù)學(xué)試卷第3頁(yè)（共4頁(yè)）

20.（12分）

某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品每10件包裝成一箱，每箱含0,1,2件次品的概率分別為0.8,0.1,0.1.在

出廠前需要對(duì)每箱產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，質(zhì)檢員甲擬定了一種檢測(cè)方案：開(kāi)箱隨機(jī)檢測(cè)該箱中的3

件產(chǎn)品，若無(wú)次品，則認(rèn)定該箱產(chǎn)品合格，否則認(rèn)定該箱產(chǎn)品不合格.

（1）在質(zhì)檢員甲認(rèn)定一箱產(chǎn)品合格的條件下，求該箱產(chǎn)品不含次品的概率；

（2）若質(zhì)檢員甲隨機(jī)檢測(cè)一箱中的3件產(chǎn)品，抽到次品的件數(shù)為X,求X的分布列及期望.

21.(12分)

已知函數(shù)/(x)=e*-mx(w6R).

（1）討論/（x）的單調(diào)性；

（2）當(dāng)x20時(shí)，若關(guān)于x的不等式/（x）+ln（x+l）-l）（HiOLi,求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

22.（12分）

22

已知雙曲線。:0一4=1（?！?4>0）的左、右焦點(diǎn)分別為片，F(xiàn)2,且I耳用=4,若。上

ab

的點(diǎn)M滿足||及*Hg1|=2恒成立.

（1）求C的方程；

（2）若過(guò)點(diǎn)M的直線/與C的兩條漸近線交于P,。兩點(diǎn)，且|〃P|=|MQ|.

（i）證明：/與C有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；

（ii）求福j+溫的取值范圍?

2023—2024學(xué)年高三質(zhì)量檢測(cè)（一）數(shù)學(xué)試卷第4頁(yè)（共4頁(yè)）

2023—2024學(xué)年高三質(zhì)量檢測(cè)（一）

數(shù)學(xué)參考答案

一、選擇題本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

目要求的。

題號(hào)12345678

答案CADDACBB

二、選擇題本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

題號(hào)9101112

答案ABACACDACD

三、填空題本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.運(yùn)14.16016.E，2]

5⑸1

四、解答題本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（10分）

解：（1）設(shè)該等差數(shù)列｛an｝的公差為d,等比數(shù)列｛%｝的公比為q,

由已知得｛%+d=aq

r....................................................................................................................2分

%+3d=

因?yàn)閿?shù)列｛an｝為正項(xiàng)數(shù)列，｛%｝為正項(xiàng)遞增數(shù)列，

所以q=2,d=1,..................................................................................................................................4分

n-1n-1

所以an=1+(n-1)x1=n>bn=1x2=2......................................................................6分

n,n為奇數(shù)

（2）由已知得c=................................................................................................7分

n,2n-x,n為偶驗(yàn)

所以數(shù)列｛cn｝的前2n項(xiàng)和為

aaa

T2n=(l+3++2n-l)+⑸+以+???+b2n)

=(1+3+…+2n-1)+(21+23+…+22"-1)................................................................................8分

(l+2n-l)n21x(1-4n)

=2+1-4

3九2+22刀+1—2

........................................................................................................................................10分

3

18.（12分）

證：（1）?.?底面4BCD為正方形,

：.AB1AD,..............................................................................................................................................1分

XV/4B1PD,ADHPD=D,AD,PDu平面PAD..........................................................................3分

：.ABL^PAD,....................................................................................................................................4分

第1頁(yè)共5頁(yè)

u平面4BCD,.....................................................................................................................5分

平面PAD_L平面4BCD...............................................................................................................6分

解：(法一)(2)取4。中點(diǎn)為0,連結(jié)P0,

?.,在AP4D中，PA=PD,^PDA=60°.

：.PO1AD,APAC為等邊三角形.

?.?平面PADJL平面4BCD,平面PADn平面48CD=AD,POu平面PAD,

：.POJ■平面4BCD.........................................................................................................................7分

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)底面正方形4BCD的邊長(zhǎng)為2,

，P(0,0,遮)，4(100)，B(l,2,0),C(-l,2,0),D(-l,0,0),

.*.而=(1,2,-V3).PC=(-1,2,-V3)............................................................................9分

設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量m=(%,y,z),

則f里.機(jī)二°,即卜+2y_W：=o,

(PC-m=0[—%+2y—V3z=0

令y=3,則％=0,z=2V3,

Am=(0,3,2V3)...................................................................................................................10分

由(1)可知平面P4D的一個(gè)法向量Ji=(0,1,0)...................................................................11分

設(shè)平面PAD與平面PBC的夾角為0,

則皿。=黯=高=苧,

...平面PAD與平面PBC夾角的余弦值為衛(wèi)............................................12分

7

)(2)設(shè)平面PAD與平面PBG的發(fā)線為/,

■:EC//AD,4Cu平面H4D,BCC平面PZD,

；.%C〃平面PAD(，第18題圖1)

又,：BCu平面PBC,

:.BC“I,AD1)

?.?平面H4C與平面PBC有一個(gè)交點(diǎn)P,

.?〃為過(guò)點(diǎn)P且與BC平行的一條直線，如下圖，…7分

取AD中點(diǎn)為。，取BC中點(diǎn)為M,連結(jié)尸。，PM,OM,

?.?底面四邊形4BCD為正方形，0,M分別為4D,BC的中點(diǎn),

：.OM“AB,

又1平面24。，

；.OM1平面PAD,...................................................................8分

'：lu平面24。,

第2頁(yè)共5頁(yè)

：.OM1I,

?.?在△PAD中，PA=PD,。為4D的中點(diǎn),

：.PO1AD,PO1I,

又POnOM=。，PO,OMu平面PAD,

：.l1平面POM,

：.l1PM,

又；/OPM為銳角，

/OPM為平面24。與平面P8C的夾角，10分

設(shè)底面正方形4BCD的邊長(zhǎng)為2,

在APOM中,PM=7P0f°M2=6cos/POM=弟*號(hào)

...平面PAD與平面PBC夾角的余弦值為叵.12分

19.(12分)

解：(1)由正弦定理得sinCcos8+3cost=sin4-s出8,.....................2分

因?yàn)閟inA=sin[兀一(B+C)]=sin(B+C),

所以si幾CcosB+3sinBcosC=sin(8+C)—sioB,.................................3分

HPsinCcosB+3sinBcosC=sinBcosC+cosBsinC—sinB,

2sinBcosC=一sinB,

而sinBW0,

所以cosC=-}..................................................................5分

又因?yàn)镃W(0,7T),

所以C=叁.........................................................................6分

(2)因?yàn)閏osB=會(huì)，Be(0,n),

14

所以sinB=V1-cos2B=—?.....................................................7分

14

sinA=sin(B+C)=sinBcos—+cosBsin—=—?................................8分

v73314

nhr5bC

由正弦定理-r：=工=七;，得sb—3日一一，

sinAsinBstnC———

第3頁(yè)共5頁(yè)

解得力=3,c=7,..........................................................10分

則4D=c-BD=2,

所以SAACO=~xADxbxsinA=-x2x3x—=—.............................12分

AAC"221414

20.(12分)

解：(1)記“質(zhì)檢員甲認(rèn)定一箱產(chǎn)品合格”為事件4“該箱產(chǎn)品不含次品”為事件B,

則P(4)=0.8xl+0.1x^+0.1x^=￡,.....................................3分

P(AB)=0.8=/............................................................4分

4

由條件概率公式得P(B|A)=?黑=丟=當(dāng)

,⑷1255

所以在質(zhì)檢員甲認(rèn)定一箱產(chǎn)品合格的條件下，該箱產(chǎn)品不含次品的概率為蔡..............6分

(2)由題意可得X可以取0,1,2,.............................................7分

則P(X=0)=P(Z)=￡,......................................................8分

P(X=1)=0.1X+0.1x,........................................9分

''c?0c?03oo

P(X=2)=0.1x^=高，........................................................10分

L］。JLDU

所以隨機(jī)變量X的分布列為

X012

11231

P

12300150

...........................................................................11分

所以E(X)=0x-+lx—4-2x—=—.......................................12分

'125300150100

21.(12分)

解：(1)/(x)=ex-.....................................................1分

當(dāng)m<0時(shí)，由尸f(x)在R上單調(diào)遞增，.....................................2分

當(dāng)m>0時(shí)，由f(%)=0,可得％=Inm,

Axe(—oo,仇m)時(shí)，/(%)<0,/(%)單調(diào)遞減；.....................................3分

%W(Znm,+QO)時(shí),/(x)>0,f(%)單調(diào)遞增......................................4分

???當(dāng)m<0時(shí)，f(%)在R上單調(diào)遞增；

當(dāng)m>0時(shí)，/(%)在區(qū)間(一叫仇？n)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(mm,+8)上單調(diào)遞增.

(2)設(shè)g(x)=靖一m%+仇(x+1)-l(x>0),則g(%)=?*+-^—m,............5分

(i)當(dāng)m<1時(shí)，g'(x)=e"+W-7n>1-m>0,.......................6分

在區(qū)間［0,+g)上單調(diào)遞增，則g(%)>g(0)=0恒成立，.......................7分

［11

(ii)當(dāng)m>l時(shí)，令〃(%)=靖+七一m,則〃(x)=e*-示卡,......................8分

XTII冗十L)

第4頁(yè)共5頁(yè)

令4(%)=二一行M，則k'(x)=靖+/^>0,

；./c(x)在區(qū)間［0,+8)上單調(diào)遞增，則k(x)>fc(0)=0,

...〃(%)在區(qū)間［0,+8)上單調(diào)遞增，則a(x)(0)=2-m,..................................................9分

①若1cm<2,則g'(x)》。恒成立，則g(x)在區(qū)間［0,+8)上單調(diào)遞增，

，g(x)》g(o)=o......................................................................................................................10分

②若m>2,則g'(0)<0,g1(lnm+1)=(e-l)m+2+^nm>0,

C(0,nm+1),使得g'(%o)=0,

，g(x)在區(qū)間［0,%o)上單調(diào)遞減，則g(x(>)<g(。)=0，與條件矛盾，.................11分

綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍為(一8,2］...............................................................................12分

22.（12分）

解：（1）由雙曲線定義可知||時(shí)尸1|一附「2||=261=2,，（1=1.............................................1分

又由1?1?2|=4,：.c=21........................................................................................................2分

'."a2+h2=c2,.".b=V3..........................................................................................................3分