2023-2024學(xué)年眉山市仁壽一中高二數(shù)學(xué)下學(xué)期3月考試卷附答案解析

-2024學(xué)年眉山市仁壽一中高二數(shù)學(xué)下學(xué)期3月考試卷（試卷滿分150分，考試用時(shí)120分鐘）一、選擇題（本題共8道小題，每小題5分，共40分）1．直線的傾斜角為（

）A．30° B．60° C．120° D．150°2．若甲、乙、丙三人排隊(duì)，則甲不排在第一位的概率為（

）A． B． C． D．3．在等差數(shù)列中，，則的值是（

）A．36 B．48 C．72 D．244．已知圓，圓，則圓與圓的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相交 C．內(nèi)切 D．外切5．若點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，且點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是它到軸距離的3倍，則的中點(diǎn)到軸距離等于（

）A．1 B． C．2 D．36．已知直線：與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，，則（

）A． B．的最大值為C． D．滿足的最大自然數(shù)n的值為238．已知雙曲線（a、b均為正數(shù)）的兩條漸近線與直線圍成的三角形的面積為，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．2二、多選題（本題共4道小題，每小題4分，共20分）9．對于直線.以下說法正確的有（

）A．的充要條件是B．當(dāng)時(shí)，C．直線一定經(jīng)過點(diǎn)D．點(diǎn)到直線的距離的最大值為510．下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則11．設(shè)，為兩個(gè)隨機(jī)事件，以下命題正確的為（

）A．若，是互斥事件，，，則B．若，是對立事件，則C．若，是獨(dú)立事件，，，則D．若，，且，則，是獨(dú)立事件12．在棱長為的正方體中，則（

）A．平面B．直線平面所成角為45°C．三棱錐的體積是正方體體積的D．點(diǎn)到平面的距離為三、填空題（本題共4道小題，每小題5分，共20分）13．已知等比數(shù)列中，，，則14．已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量是15．直線與圓相交于兩點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的值等于．16．已知是橢圓的左，右焦點(diǎn)，上兩點(diǎn)滿足，則的離心率為．四、解答題（本題共6道小題，第1題10分，第2題12分，第3題12分，第4題12分，第5題12分，第6題12分，共70分）17．已知某區(qū)甲、乙、丙三所學(xué)校的教師志愿者人數(shù)分別為240，160，80．為助力疫情防控，現(xiàn)采用按比例分配分層抽樣的方法，從這三所學(xué)校的教師志愿者中抽取6名教師，參與“抗擊疫情·你我同行”下卡口執(zhí)勤值守專項(xiàng)行動．（1）求應(yīng)從甲、乙、丙三所學(xué)校的教師志愿者中分別抽取的人數(shù)；（2）設(shè)抽出的6名教師志愿者分別記為，，，，，，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2名教師志愿者承擔(dān)測試體溫工作．①寫出本次實(shí)驗(yàn)的樣本空間；②設(shè)為事件“抽取的2名教師志愿者來自同一所學(xué)?！保笫录l(fā)生的概率．18．已知圓的圓心坐標(biāo)，直線被圓截得弦長為．(1)求圓的方程；(2)從圓外一點(diǎn)向圓引切線，求切線方程．19．在數(shù)列{an}中，．(1)求出，猜想的通項(xiàng)公式；并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．(2)令，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求．20．已知橢圓C：的離心率為，左頂點(diǎn)坐標(biāo)為．(1)求橢圓C的方程；(2)過點(diǎn)的直線l與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，問：直線BM，BN的斜率之和是否為定值？若是，請求出該值；否則，請說明理由．21．如圖，在四棱錐中，平面，底面為梯形，其中，點(diǎn)在棱上，點(diǎn)為中點(diǎn).(1)記平面平面，判斷直線和直線的位置關(guān)系，并證明；(2)若二面角的大小為是靠近的三等分點(diǎn)，求與平面所成角的正弦值.22．已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與拋物線交于點(diǎn)，且．(1)求拋物線的方程；(2)過點(diǎn)作拋物線的兩條互相垂直的弦，，設(shè)弦，的中點(diǎn)分別為P，Q，求的最小值．1．C【分析】化成斜截式方程得斜率為，進(jìn)而根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系求解即可.【詳解】將直線一般式方程化為斜截式方程得：，所以直線的斜率為，所以根據(jù)直線傾斜角與斜率的關(guān)系得直線的傾斜角為.故選：C2．D【分析】先列舉出所有基本事件，再找出甲不排在第一位的基本事件，由古典概型求解即可.【詳解】甲、乙、丙三人排隊(duì)的可能順序有甲、乙、丙，甲、丙、乙，乙、甲、丙，乙、丙、甲，丙、甲、乙，丙、乙、甲共6種情況，其中甲不排在第一位的有4種情況，則甲不排在第一位的概率為.故選：D.3．A【分析】利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)求得，再由即可得結(jié)果.【詳解】由題設(shè)，，則，所以.故選：A4．D【分析】利用圓心距跟半徑的和差關(guān)系，判斷圓與圓的位置關(guān)系.【詳解】圓心距，所以兩圓外切.故選：D5．B【解析】利用拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離建立等量關(guān)系，求出點(diǎn)橫坐標(biāo)，再求出的中點(diǎn)橫坐標(biāo)，則的中點(diǎn)到軸距離可求.【詳解】解：拋物線的準(zhǔn)線方程為，，由拋物線的定義，得點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，則，解得.所以的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以的中點(diǎn)到軸距離等于.故選：B.6．B【分析】畫出圖像,當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí),求出值;當(dāng)直線與曲線相切時(shí).求出,即可得出的取值范圍.【詳解】畫出如下圖像：當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí),,此時(shí)直線與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn);直線與曲線相切時(shí),,因此當(dāng)時(shí)，直線與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn).故選B【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓相切時(shí)滿足的關(guān)系,以及點(diǎn)到直線的距離公式,考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,準(zhǔn)確判斷出曲線方程所表示曲線形狀,且根據(jù)題意畫出圖形是解決問題的關(guān)鍵,屬于中檔題.7．C【解析】利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式可得，結(jié)合即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為由，可得，整理可得，由所，即，故A錯(cuò)誤；根據(jù)，則數(shù)列為遞減數(shù)列，，即，則前項(xiàng)或前項(xiàng)的和最大，故B錯(cuò)誤；C正確；所以，即，解得，滿足的最大自然數(shù)n的值為22，故D錯(cuò)誤；故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式、數(shù)列的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.8．D【分析】首先得到雙曲線的漸近線方程，再令，即可得到、坐標(biāo)，再根據(jù)面積公式求出，最后由離心率公式計(jì)算可得；【詳解】解：雙曲線的漸近線為，令，可得，不妨令，，所以，所以，，即，所以，所以；故選：D9．BD【分析】求出的充要條件即可判斷A;驗(yàn)證時(shí)，兩直線斜率之積是否為-1，判斷B;求出直線經(jīng)過的定點(diǎn)即可判斷C;判斷何種情況下點(diǎn)到直線的距離最大，并求出最大值，可判斷D.【詳解】當(dāng)時(shí)，解得或，當(dāng)時(shí)，兩直線為，符合題意；當(dāng)時(shí)，兩直線為，符合題意，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，兩直線為，，所以，故B正確；直線即直線，故直線過定點(diǎn)，C錯(cuò)誤；因?yàn)橹本€過定點(diǎn)，當(dāng)直線與點(diǎn)和的連線垂直時(shí)，到直線的距離最大，最大值為，故D正確，故選：BD.10．AD【分析】對于AB，根據(jù)對數(shù)函數(shù)和余弦函數(shù)的求導(dǎo)公式判斷即可，對于C，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)公式即可，D選項(xiàng)根據(jù)冪函數(shù)的求導(dǎo)公式即可.【詳解】對A，若，則，正確

對B，若，則，錯(cuò)誤；對C，，則，錯(cuò)誤；對D，若，則，正確.故選：AD.11．BCD【分析】利用互斥事件與相互獨(dú)立事件的性質(zhì)逐一判斷即可【詳解】對于A：若，是互斥事件，，，則，故A錯(cuò)誤；對于B：若，是對立事件，則，故B正確；對于C：若，是獨(dú)立事件，，，則，也是獨(dú)立事件，則，故C正確；對于D：若，，則且，則，是獨(dú)立事件，故，也是獨(dú)立事件，故D正確；故選：BCD12．AC【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量解決角度距離問題.【詳解】正方體中，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸，軸，軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則有，.，，，，，得，，由平面，，∴平面，A選項(xiàng)正確；，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則有，令，得，，則，，所以直線平面所成角不是45°，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；為邊長為的等邊三角形，，點(diǎn)到平面的距離，三棱錐的體積，而棱長為的正方體的體積為，所以三棱錐的體積是正方體體積的，C選項(xiàng)正確；，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則有，令，得，，則，，點(diǎn)到平面的距離為，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC13．16【分析】將等比數(shù)列的通項(xiàng)公式代入，中，可得，再求的值?！驹斀狻?，，，，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式基本量運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意廣義通項(xiàng)公式的應(yīng)用.14．【分析】由向量在向量上的投影向量為,，計(jì)算即可求出答案．【詳解】向量，，則，，，所以向量在向量上的投影向量為,,0,,0,，故答案為：．15．【分析】先根據(jù)圓心到直線距離與弦長一半的平方和等于半徑的平方，求出圓心到直線距離，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可得出結(jié)果?！驹斀狻拷猓河深}知，圓的圓心為，半徑為1，因?yàn)?，所以圓心到直線的距離，因?yàn)橹本€，所以，解得，故答案為：16．【分析】根據(jù)所給線段的長度關(guān)系及橢圓的定義，求出的邊長，利用余弦定理求，在中再由余弦定理即可求出離心率.【詳解】如圖，

因?yàn)椋钥稍O(shè)，又，所以，由橢圓定義，，即，又，即B點(diǎn)為短軸端點(diǎn)，所以在中，，又在中，，解得或（舍去）.故答案為：17．（1）分別抽取3人，2人，1人；（2）①見解析；②.【分析】（1）由已知，甲、乙、丙三所學(xué)校的教師志愿者人數(shù)之比為，進(jìn)而計(jì)算可得相應(yīng)的人數(shù)；（2）①列舉隨機(jī)抽取2名教師志愿者的所有結(jié)果共15種；②隨機(jī)抽取的2名教師來自同一學(xué)校的所有可能結(jié)果為，，，，，，，，共4種，由概率公式可得．【詳解】解：（1）由已知，甲、乙、丙三所學(xué)校的教師志愿者人數(shù)之比為由于采用分層抽樣的方法從中抽取6名教師，因此應(yīng)從甲、乙、丙三所學(xué)校的教師志愿者中分別抽取3人，2人，1人；（2）①從抽出的6名教師中隨機(jī)抽取2名教師的所有可能結(jié)果為，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共15種．②由①，不妨設(shè)抽出的6名教師中，來自甲學(xué)校的是，，，來自乙學(xué)校的是，，來自丙學(xué)校的是，則從抽出的6名教師中隨機(jī)抽取的2名教師來自同一學(xué)校的所有可能結(jié)果為，，，，，，，，共4種．所以，事件發(fā)生的概率．18．(1)(2)或【分析】（1）計(jì)算出圓心到直線的距離，利用勾股定理求出圓的半徑，由此可得出圓的方程；（2）對切線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，在第一種情況下，寫出切線方程，直接驗(yàn)證即可；在第二種情況下，設(shè)出切線方程為，利用圓心到切線的距離等于圓的半徑，由此可得出所求切線的方程.【詳解】（1）解：圓心到直線的距離為，所以，圓的半徑為，因此，圓的方程為.（2）解：當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，則切線的方程為，且直線與圓相切，合乎題意；當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，即，由題意可得，解得，此時(shí)，切線的方程為.綜上所述，所求切線的方程為或.19．(1)，，，證明見解析(2)【分析】（1）代入計(jì)算即可得到，按照數(shù)學(xué)歸納法的步驟證明即可；（2），再利用錯(cuò)位相減法即可.【詳解】（1）∵，∴因此可猜想:；當(dāng)時(shí)，，等式成立，假設(shè)時(shí)，等式成立，即，則當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，等式也成立，綜上所述，對任意自然數(shù)，.（2），①②由①-②得：20．(1)(2)為定值，定值為-2【分析】（1）由題意，先求得a值，根據(jù)離心率，可得c值，根據(jù)a，b，c的關(guān)系，可得的值，即可得答案.（2）當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線l：，與橢圓聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理，可得的表達(dá)式，根據(jù)斜率公式，求得的表達(dá)式，化簡整理，即可得答案；當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l：，所以，化簡計(jì)算，可得為定值，即可得答案.【詳解】（1）由題意得又，所以所以，所以橢圓C：．（2）當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線l：，（其中），，，聯(lián)立，消y可得，則，解得或，，所以（定值）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l：，則M，N關(guān)于x軸對稱，所以，所以，綜上可得（定值）21．(1)，證明見解析；(2)【分析】（1）先利用線面平行的判定定理證得平行，然后利用線面平行的性質(zhì)定理證得結(jié)論；（2）利用面面垂直的性質(zhì)定理證得平面，從而求得二面角的平面角，利用等體積法求得點(diǎn)到平面的距離，過作于點(diǎn)，求得的長，然后利用線面角概念求得結(jié)果.【詳解】（1），證明如下：因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?所以.（2）在梯形中，由條件可得，平面平面，平面平面平面，所以平面，所以二面角的平面角為，所以，因?yàn)槠矫妫?，由，得點(diǎn)到平面的距離，過作于點(diǎn)，則，所以，于是且，所以四邊形是平行四邊形.于是又，所以，所以與平面所成角正弦值為.22．(1)(2)8【分析】（1）設(shè)出，由焦半徑得到方程，求出，進(jìn)而求出拋物線方