三角函數(shù)值域-蘇科版-南京名師講堂

三角函數(shù)的值域南京市第十三中學周德

同學們已經知道三角函數(shù)y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的值域分別為[－1，1]，[－1，1]，(－∞，＋∞).

沒有沒同學考慮過把這些函數(shù)進行加、減、乘、除等運算后得到的新的與三角函數(shù)有關的函數(shù)的值域是多少？如函數(shù)y＝sinx＋cosx的值域是多少？

有些同學這樣想，因為－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1，相加得－2≤sinx＋cosx≤2,

即y＝sinx＋cosx的值域為[－2，2]．你認為這樣得到的結果正確嗎？如果正確，則y能取到－2，也就是sinx，cosx都?。?，這兩個值能同時取到－1嗎？

根據sin2x＋cos2x＝1知道，顯然不可能．其中一個?。?，另一個只能取0，因此y不可能取到－2．

從而值域一定不是[－2，2]．

我們也可以從圖像上看，我們先在同一直角坐標系中畫出y＝sinx，y＝cosx的圖像．

xyOy＝sinxy＝cosxy＝sinx＋cosx我們可以用疊加法作出函數(shù)y＝sinx＋cosx的圖像，觀察其值域不是[－2，2]．題型：求三角函數(shù)的值域問題特征：同角正余弦的一次齊次式

．例1．求函數(shù)y＝sinx＋cosx的值域．例1．求函數(shù)y＝sinx＋cosx的值域．分析：

同學們除知道三角函數(shù)y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的值域分別為[－1，1]，[－1，1]，(－∞，＋∞)外，還知道哪些與三角函數(shù)有關的函數(shù)值域？

大家一定不會忘記函數(shù)y＝Asin(

x＋

)這類三角函數(shù)吧，它的值域是什么呢？

當A＞0時，值域是[－A，A]，當A＜0時，值域是[A，－A]．

觀察一下，我們要研究的函數(shù)y＝sinx＋cosx與函數(shù)y＝Asin(

x＋

)有什么關系呢？很顯然，把y＝Asin(

x＋

)用和角公式展開，即可得y＝asinx＋bcosx的形式，正好是兩個一次的同角三角函數(shù)的和．

因此，逆用公式即可把y＝sinx＋cosx轉化為y＝Asin(

x＋

)的形式．從而可以求出值域．

解：

例1．求函數(shù)y＝sinx＋cosx的值域．方法：

解：

題型：求三角函數(shù)的值域問題特征：同角正余弦的二次齊次式

．

例2．求函數(shù)y＝sin2x＋2sinxcosx－cos2x的值域．

分析：

同學們剛才解決了一次齊次式y(tǒng)＝asinx＋bcosx的值域，找一找要求的函數(shù)y＝sin2x＋2sinxcosx－cos2x與已解決的函數(shù)y＝asinx＋bcosx的聯(lián)系，兩個都是同角齊次，只是次數(shù)不一樣，能否把二次也化為一次呢，如果能做到這一點，那么問題就可以解決了．

能找到化二次為一次的公式嗎？

因為sin2

＝2sin

cos

，

cos2

＝cos2

－sin2

，它們的特點都左邊為一次，右邊為二次的，從左到右是升次，從右到左是降次．因此，只要逆用這些公式，即可實現(xiàn)化二次為一次的目的．解：

例2．求函數(shù)y＝sin2x＋2sinxcosx－cos2x的值域．

方法：

解：

題型：求三角函數(shù)的值域問題特征：同角正余弦非齊次式．例3．求函數(shù)y＝2sinx－cos2x的值域．

分析：

上面兩類問題最終都化為

y＝Asin(

x＋

)＋B的形式，然后再求值域．那么函數(shù)y＝2sinx－cos2x

能化為上面的類型嗎？

解：

例3．求函數(shù)y＝2sinx－cos2x的值域．

方法：

解：

題型：求三角函數(shù)的值域問題特征：同角正余弦非齊次式．例4．求函數(shù)y＝sinx＋2sinxcosx＋cosx的值域

．

分析：

剛才解決了y＝asin2x＋bcos2x＋csinx或函數(shù)y＝asin2x＋bcos2x＋ccosx這兩種類型函數(shù)的值域，特征是一次只有正弦或余弦中的一個，二次為正弦或余弦平方.而本題與上面有兩處不同，一是一次既有正弦也有余弦，二是二次是正弦與余弦的積.

由于這兩點不同，這就使我們用平方關系進行化同名不易操作了，而且此式中正弦、余弦的地位完全相同，也給我們消元帶來難處，不知消那一個，消哪一個都不公平.我們?yōu)榱吮苊饷?，是否可以考慮把正弦、余弦一起消去？根據前面講的用同角三角函數(shù)之間關系進行求值可知，只要令sinx＋cosx＝t，則2sinxcosx＝t2－1，這樣函數(shù)轉化為y＝t＋t2－1為一個關于t的二次函數(shù)，根據t的取值范圍可求出y的值域．

解：

例4．求函數(shù)y＝sinx＋2sinxcosx＋cosx的值域

．

方法：

解：

這一講我們主要討論了形如y＝asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x＋dsinx＋ecosx＋f這樣形式的三角函數(shù)的值域，變形的思想是把函數(shù)式化為同名同角的形式，再利用基本三角函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)的求值域的方法解決問題．

y＝asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x＋dsinx＋ecosx＋f下面三種特殊的類型，大家一定要熟練掌握：

①當a＝b＝c＝0，或d＝e＝0時，此時函數(shù)分別為同角正余弦的一次齊次式或二次齊次式，最終化y＝Asin(

x＋

)＋B的形式求出值域；

②