新教材同步備課2024春高中數(shù)學(xué)第7章復(fù)數(shù)7.2復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算7.2.2復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算課件新人教A版必修第二冊(cè)

第七章復(fù)數(shù)7.2復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算7.2.2復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算學(xué)習(xí)任務(wù)1．掌握復(fù)數(shù)的乘法和除法運(yùn)算．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)2．理解復(fù)數(shù)乘法的交換律、結(jié)合律和乘法對(duì)加法的分配律．(邏輯推理)3．掌握在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程的方法．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)必備知識(shí)·情境導(dǎo)學(xué)探新知01怎樣規(guī)定兩個(gè)復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算，才能使在復(fù)數(shù)集中的乘法、除法與原實(shí)數(shù)集中的有關(guān)規(guī)定內(nèi)容？復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算把i看作一個(gè)字母，相當(dāng)于多項(xiàng)式的合并同類項(xiàng)，那么復(fù)數(shù)乘法是否可以像多項(xiàng)式乘法那樣進(jìn)行呢？知識(shí)點(diǎn)1復(fù)數(shù)的乘法1．復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法法則已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝__________________．

(ac－bd)＋(ad＋bc)i2．復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律對(duì)于任意z1，z2，z3∈C，有交換律z1z2＝z2z1結(jié)合律(z1z2)z3＝_________乘法對(duì)加法的分配律z1(z2＋z3)＝__________z1(z2z3)z1z2＋z1z3

思考(1)復(fù)數(shù)的乘法與多項(xiàng)式的乘法有何不同？(2)|z|2＝z2，正確嗎？[提示]

(1)復(fù)數(shù)的乘法與多項(xiàng)式乘法是類似的，有一點(diǎn)不同即必須在所得結(jié)果中把i2換成－1，再把實(shí)部、虛部分別合并．(2)不正確．例如，|i|2＝1，而i2＝－1．

－ii－i關(guān)鍵能力·合作探究釋疑難02類型1復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算類型2復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算類型3在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程類型1復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算【例1】

(源自湘教版教材)計(jì)算：(1)(1＋2i)(4－3i)；[解]

(1＋2i)(4－3i)＝1×4＋1×(－3i)＋2i×4＋2i×(－3i)＝4－3i＋8i－6i2＝4－3i＋8i－6×(－1)＝10＋5i．(2)(1＋i)2；[解]

(1＋i)2＝12＋2·1·i＋i2＝1＋2i－1＝2i．(3)(1－i)2；[解]

(1－i)2＝12－2·1·i＋i2＝1－2i－1＝－2i．(4)(1＋i)1000．[解]

由(2)得，(1＋i)1000＝[(1＋i)2]500＝(2i)500＝2500·i500＝2500·1＝2500．反思領(lǐng)悟

1．兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式乘法的一般方法復(fù)數(shù)的乘法可以按多項(xiàng)式的乘法法則進(jìn)行，注意選用恰當(dāng)?shù)某朔ü竭M(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算，例如平方差公式、完全平方公式等．2．常用公式(1)(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)．(2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)．(3)(1±i)2＝±2i．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．(1)若復(fù)數(shù)(1－i)(a＋i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A．(－∞，1) B．(－∞，－1)C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)

√(2)計(jì)算：①(2＋3i)(2－3i)＝______；②(－2－i)(3－2i)(－1＋3i)＝________．①13

②5－25i

①(2＋3i)(2－3i)＝22－(3i)2＝22－(－9)＝13．②原式＝(－6＋4i－3i＋2i2)(－1＋3i)＝(－8＋i)(－1＋3i)＝8－24i－i＋3i2＝5－25i．135－25i

√

√√√

類型3在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程【例3】在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解下列方程．(1)x2＋5＝0；

(2)x2＋4x＋6＝0．

法二：由x2＋4x＋6＝0知Δ＝42－4×6＝－8＜0，所以方程x2＋4x＋6＝0無(wú)實(shí)數(shù)根．在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，設(shè)方程x2＋4x＋6＝0的根為x＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，則(a＋bi)2＋4(a＋bi)＋6＝0，所以a2＋2abi－b2＋4a＋4bi＋6＝0，整理得(a2－b2＋4a＋6)＋(2ab＋4b)i＝0，

反思領(lǐng)悟

在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程的方法(1)當(dāng)a，b，c都是實(shí)數(shù)且a≠0時(shí)，關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)總是有解的，而且①當(dāng)Δ＝b2－4ac＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；②當(dāng)Δ＝b2－4ac＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；③當(dāng)Δ＝b2－4ac＜0時(shí)，方程有兩個(gè)互為共軛的虛數(shù)根．(2)利用復(fù)數(shù)相等的定義求解設(shè)方程的根為x＝m＋ni(m，n∈R)，將此代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，化簡(jiǎn)后利用復(fù)數(shù)相等的定義求解．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0(b，c為實(shí)數(shù))的一個(gè)根．(1)求b，c的值；

(2)試判斷1－i是不是方程的根．[解]

由(1)知方程為x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程左邊得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0＝右邊，即方程成立．∴1－i是方程的根．學(xué)習(xí)效果·課堂評(píng)估夯基礎(chǔ)031234

√

1234√

1234√

4．若一元二次方程x2－2x＋5＝0，則該方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解為_(kāi)_____．1234

1±2i

2．復(fù)數(shù)除法的實(shí)質(zhì)是怎樣的？[提示]

復(fù)數(shù)除法的實(shí)質(zhì)是分母實(shí)數(shù)化的過(guò)程，兩個(gè)復(fù)數(shù)相除，就是先把它們的商寫成分?jǐn)?shù)的形式，然后把分子與分母都乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，再把結(jié)果化簡(jiǎn)即可．3．實(shí)系數(shù)一元二次方程的虛根有何特點(diǎn)？[提示]

實(shí)系數(shù)一元二次方程的虛根是成對(duì)出現(xiàn)的，即若復(fù)數(shù)a＋bi(a，b∈R，b≠0)是實(shí)系數(shù)一元二次方程的根，則其共軛復(fù)數(shù)a－bi是該方程的另一根．閱讀材料·拓展數(shù)學(xué)大視野04利用復(fù)數(shù)產(chǎn)生分形圖以前我們學(xué)過(guò)的函數(shù)，定義域都是實(shí)數(shù)集的子集．但函數(shù)概念還可以推廣：定義域是復(fù)數(shù)集的子集的函數(shù)稱為復(fù)變函數(shù)．類似地，我們還可以得到多項(xiàng)式復(fù)變函數(shù)的概念．例如，f

(z)＝z2就是一個(gè)多項(xiàng)式復(fù)變函數(shù)，此時(shí)f

(i)＝i2＝－1，f

(1＋i)＝(1＋i)2＝2i．給定多項(xiàng)式復(fù)變函數(shù)f

(z)之后，對(duì)任意一個(gè)復(fù)數(shù)z0，通過(guò)計(jì)算公式zn＋1＝f

(zn)，n∈N可以得到一列值z(mì)0，z1，z2，…，zn，…．如果存在一個(gè)正數(shù)M，使得|zn|＜M對(duì)任意n∈N都成立，則稱z0為f

(z)的收斂點(diǎn)；否則，稱z0為f

(z)的發(fā)散點(diǎn)