廣西桂林市部分學(xué)校2022-2023學(xué)年高一年級(jí)下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷（含解析）

桂林市部分學(xué)校2022?2023學(xué)年度下學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)

高一年級(jí)數(shù)學(xué)

第I卷選擇題

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且

只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知復(fù)數(shù)Z滿足z=3+2i,則Z的虛部為（）

A.-2B.2C.-3D.3

答案：B

解析：因?yàn)閦=3+2i,所以復(fù)數(shù)Z的虛部為2,

故選：B.

2.下列各角中，與18。角的終邊相同的是（）

A.378oB.78oC.-18oD.118°

答案：A

解析：與18。角的終邊相同的角的集合為{力I/?=18。+Z?360o,k≡7},

令k=l,得到尸=378。，故選項(xiàng)A正確，易知，不存在&eZ,使￡=78°,—18。/18°,故選項(xiàng)BCD均不

正確.

故選：A.

3.下列幾何體中為臺(tái)體的是（）

答案：C

解析：A：圓錐，B：圓柱，C：棱臺(tái)，D：球,

所以屬于臺(tái)體的只有棱臺(tái)，

故選：C.

4.已知向量d=（l,2）,A=（X,6）,且“〃b，則X=（)

A.2B.-2C.3D.-3

答案：c

解析：因?yàn)樯椒?，所以lχ6=2x,故x=3.

故選：C.

5.下列函數(shù)為偶函數(shù)的是()

A.y=sinXB.y=cosxc.y=tanxD.y=Inx

答案：B

解析：選項(xiàng)A,由y=sinx的性質(zhì)知，y=sinX為奇函數(shù)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

選項(xiàng)B,由V=COSX的性質(zhì)知，V=COSX為偶函數(shù)，故選項(xiàng)B正確；

選項(xiàng)C,由y=tanx的性質(zhì)知，y=tanx為奇函數(shù)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D,因y=Inx的定義域?yàn)?0,+8),不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以y=lnx為非奇非偶函數(shù)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：B.

6.將函數(shù)/(x)=sin2x的圖象向右平移E個(gè)單位長(zhǎng)度得到g(χ)圖象，則函數(shù)的解析式是()

6

A.g(x)=sin(2x+。)B.g(_x)=sin(2x+2)

C.g(x)=sin^2x-yjD.g(x)=sin(2x一看)

答案：C

TT

解析：由題意，將函數(shù)/(x)=sin2x的圖象向右平移?個(gè)單位長(zhǎng)度，

6

JTJT

可得g(x)=Sin2(尤---)=sin(2x---).

63

故選C.

7.已知。力,c是三條不同直線，是三個(gè)不同的平面，下列命題正確的是()

A.若CdIB,a/∕γ,則4///B.若H,ale,則Z√∕c

C.若;力，。-Lc，則匕J-CD.若a_L萬(wàn)，c_Ly，則用///

答案：A

解析：A中，若a//￡,aHγ,由平行與同一平面的兩平面平行，可得用//7,所以A正確；

B中，若;/_L.，a±c,則匕與C可能是異面直線，所以B錯(cuò)誤；

C中，若aJ_6，a±c,則。與C可能平行，所以C錯(cuò)誤；

D中，若αJ?Q,aLγ,則夕與/可能相交，所以D錯(cuò)誤.

故選：A.

8.兩個(gè)粒子A,8從同一粒子源發(fā)射出來(lái)，在某一時(shí)刻，以粒子源為原點(diǎn)，它們的位移分別為S.=(4,0),

SB=(1,6),此時(shí)SzJ在SA上的投影向量為()

1Ic-

Sb

?--^^A?ISAC.-SAD.SA

答案：B

解析：因?yàn)镾A=(4,0),SB=(LG),

所以之鳥(niǎo)=4,m=4,

S-SS1

所以品在SA上的投影向量為A卞B廣,向A=ISc八.

故選：B

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)是符合題目要求，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列說(shuō)法正確的是()

A.長(zhǎng)度相等的向量是相等向量B.單位向量的模為1

C.零向量的模為0D.共線向量是在同一條直線上的向量

答案：BC

解析：對(duì)于A,長(zhǎng)度相等、方向相同的向量叫相等向量，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,單位向量的模為1，故B正確；

對(duì)于C,零向量的模為O,故C正確；

對(duì)于D,方向相同或相反的向量叫共線向量，它們不一定在同一條直線上，故D錯(cuò)誤.

故選：BC

10.已知復(fù)數(shù)z∣=l-i,z2=2i,則()

A.Z2是純虛數(shù)B.z∣-Z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限

C.復(fù)數(shù)Zl的共輾復(fù)數(shù)為1+iD.Z]Z2=2i-2

答案：AC

解析：對(duì)于A,Z2是純虛數(shù)，故A正確；

對(duì)于B,z1-z2=（l-i）-2i=l-3i,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,一3）,位于第四象限，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,復(fù)數(shù)Zl的共粗復(fù)數(shù)為^=l+i,故C正確；

對(duì)于D,z∣Z2=（l-i）?2i=2i+2,故D錯(cuò)誤.

故選：AC

11.函數(shù)/（x）=ASin（5+0）（A,ω,。是常數(shù)，A>0.ω>0）的部分圖象如圖所示，下列結(jié)論正

確的是（）

A.函數(shù)“X）的圖象關(guān)于直線X=-jj兀對(duì)稱

B./（X）的圖象關(guān)于（|兀,θ）中心對(duì)稱

C.函數(shù)/（X）在區(qū)間?,?上單調(diào)遞減

答案：AB

解析：由題意可得，A=2，-屋=石"一1—7）二？，故T=冗,G=2,/(X)=2sin(2x+*),

又因?yàn)榈茫?2Sin（V+0）=-2,故誓?3兀，)

"+9=2kjι4—~,κ∈Z,

所以0=:+2E∕∈Z,所以/（x）=2sin（C兀C7c.兀

2x+3-+2faιJ=2smI2x+3-J.

1IτrTr3τr

對(duì)于A,當(dāng)X=-Y時(shí)，2x+-=一一，滿足該函數(shù)取得最值的條件，A正確;

1232

5TTTT(5、

對(duì)于B,X=—時(shí)，2x÷-=2π,則丁,O是該函數(shù)的對(duì)稱中心，B正確；

63k6)

,一,「兀兀C?！?兀4兀

對(duì)于C,當(dāng)x∈—■時(shí)，則/=2%+46■—^,-r-,

5兀4兀

因?yàn)楹瘮?shù)y=2sinr在—,?-不是單調(diào)減函數(shù)，

TrTr

所以函數(shù)/(χ)在區(qū)間上不是單調(diào)遞減函數(shù)，C錯(cuò)誤；

π兀兀

對(duì)于D,f—+—2sin-=1,D錯(cuò)誤.

63

故選：AB

12.已知正方體ABe。一AAGD，則

A.直線BG與直線。A所成的角為60B.直線BG與直線BlA所成的角為60

C.直線BG與平面ABCD所成的角為45D.直線Ba與平面8耳。。所成的角為30

答案：BCD

解析：如圖，連接用C、BG,因?yàn)锳旦/∕CQ∣//CD,A14=GA=C。，

所以四邊形ABC。為平行四邊形，所以Aθ∕∕B∣c,

所以直線BG與B1C所成的角即為直線BC1與DA1所成的角，

因?yàn)樗倪呅蜝與CC為正方形，則4C?LBG,故直線8C∣與。A所成的角為90，A錯(cuò)誤;

DiC1

對(duì)于B,連接A2，D1B1,因?yàn)锳B∕Λ41g//RG，AB=AiBi=DiCl,

則四邊形ABG。為平行四邊形，可得A?/∕BC∣,

直線BG與Be所成的角即為AA與8①所成的角,

設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1,則AA=A4=4。=0,

所以A旦2為等邊三角形，所以直線8G與Be所成的角為60,故B正確;

因?yàn)镚C_L平面ABC。，所以NC/C為直線BG與平面ABC。所成的角，易得GBC為等腰直角三角

形，所以NGBC=45,故C正確.

連接4G，設(shè)AGBB=O,連接80,

因?yàn)锽Bl1平面A1B1C1D1,C1OU平面A1B1C1D1,則GO1BxB,

因?yàn)镃0，BQ,BQICBIB=BI,BIDlU平面BBQQ,BiBU平面BBQD,所以GO_L平面BBQO,

所以NCf。為直線BG與平面BBQQ所成的角，

設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則GO=巫，BC1=√2,SinNG8。=段=；,

所以，直線BG與平面所成的角為30,故D正確；

故選：BCD.

第∏卷非選擇題

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.計(jì)算：sin↑50°=.

答案：g

解析：Sin150°=Sift(180°-30o)=sin30°=

2

故答案為：g

14.若向量α=(ι,2)和向量力=(加,一1)垂直，則機(jī)=.

答案：2

解析：因?yàn)橄蛄喀?（1,2）與向量力=（∕n,-l）垂直，

所以α力=m一2=0，解得加=2.

故答案為：2.

15.《九章算術(shù)》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，其對(duì)扇形田面積給出“以徑乘周四而一”的算法與現(xiàn)代的算法一致，

根據(jù)這一算法解決下列問(wèn)題：現(xiàn)有一扇形田，下周長(zhǎng)（弧長(zhǎng)）為10米，徑長(zhǎng)（兩段半徑的和）為10米，則

該扇形田的面積為平方米.

答案：25

解析：如圖所示，因徑長(zhǎng)為10米，下周長(zhǎng)為10米，即。A+OB=10且AB=IO,

所以扇形所在圓的半徑為R=T=5米，

所以該扇形田的面積為S=LXlOX5=25平方米.

2

故答案為：25.

O

16.已知，ABC的外接圓圓心為O,ZA=45o,若Ao=Τ?AB+夕?AC（q,夕∈R）,則α+"的最大值

為.

答案：2-JΣ

解析：設(shè)ABC三個(gè)角A、B、C所對(duì)的邊分別為“力,c,

取AB,AC中點(diǎn)。,E,連接0￡>,QE,

因?yàn)?ABC的外接圓圓心為O,所以0。_LAB,OEYAC,

則AB-AO-C--c--C2,ACAO-h-b--b2.

2222

因?yàn)锳o=αAB+Z?AC,

所以ABAO=￡卜3『+夕ABAC，AC-AO=aAB-AC+β?λc'?,

^??i-C2-c2a+^^hcβ<

-b2--bca+b2β，

2222

.√2?

a=1-------

解得，2二,

β=*

[2b

所以α+A=2-也已+工-)≤2--×2.∕-×-=2-√2,

2ch>2?cb

即。=C時(shí)，等號(hào)成立

Cb

所以α+∕7的最大值為2—J5?

故答案為：2-J5

C

四、解答題：本大題共6小題，共70分,解答應(yīng)給出文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟.

4

17.已知SinO=W,9為第二象限角.

(1)求sin2。的值；

(2)求sin(6+；)的值.

24

答案：(1)——■

25

⑵—

10

(1)

4_3

因?yàn)镾ine=M,夕為第二象限角，所以COSe=

^5,

4324

故Sin26=2sin6cose=2x-x(—二)=---.

5525

(2)

43

由(I)sinθ——,CC)Se=—,

55

所以sin(e+q=sinOcos—+cosOsin—=當(dāng)")看

I44425510

18.已知向量a,1滿足同=1,W=Jα?(d+1)=2.

⑴求a?b；

(2)求α與b的夾角夕；

(3)求卜-2司.

答案：(1)1(2)-

4

(3)√5

(1)

因?yàn)橥?1，MJ=?，又α?(α+b)=q2+4.〃=2,

所以“?b=2-l=L

(2)

a?b1√2/-\

因?yàn)镃oS(4,0麗=*=W,又但與6(°'兀),

所以〈郎?故α與。的夾角

(3)

|?-2/?|-a2-4a?h+4b2=l-4×l+4×2=5,所以卜一2W=6.

19.如圖,在四棱錐P—ABC。中,四邊形ABC。是菱形√?=PC,E為PB的中點(diǎn).求證:

(1)PD平面AEC-,

(2)平面AECj_平面尸BZX

答案：(1)證明見(jiàn)解析

(2)證明見(jiàn)解析

因?yàn)椤?E分別為BD,PB的中點(diǎn),所以P。〃EO,

又因?yàn)镻OtJ平面AEC,EOU平面AEC,

所以平面AEC.

(2)

連接PO,如圖所示:

因?yàn)楱M?=PC,。為AC的中點(diǎn),所以AC_LPO,

又因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形,所以AClBD,

因POU平面P3Z),BDu平面P8Z),且POBD=O,

所以AC_L平面PE),又因?yàn)锳CU平面AEC,

所以平面AEC±平面PBD.

20.在ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a,b,c,且αsin8+√?cosA=O.

(1)求角A的大?。?/p>

⑵若6=4,ABC的面積S=26，求，ABC的周長(zhǎng).

⑵6+2√7

(1)

因?yàn)棣羢inB+J的CoSA=O,所以由正弦定理可得到SinASinB+GsinBcosA=O)

又因?yàn)锽e(0,π),所以Sin,

故si〃A+&CoSA=O，得到tanA=-G，又因?yàn)锳e(O,π),所以A=g?

(2)

因?yàn)閎=4,ABC的面積S=2√i,

所以S=LOCSinA=LX4χ^?c=2也，得到c=2,

222

在,ABC中，由余弦定理得/=t>-+，-2。CCOSA=I6+4+2χ4χ2χ,=28,

2

所以α=2√7,故CABC的周長(zhǎng)為6+2近.

21.已知函數(shù)/(x)=Sin2尤+Gsinxcosx+-.

2

（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期;

（2）求函數(shù)的最大值及取得最大值時(shí)自變量X的取值集合;

（3）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.

答案：（1）兀

（2）函數(shù)的最大值為2,取得最大值時(shí)自變量X的取值集合為（x∣尤=m+kτ,keZ

π,5π,._

(3)—Fkτt,----Fkit,攵∈Z

36

(1)

12-cosIx芳

/(Λ)=sinX+君SinXCoSX+；=------------1-----sin2x+-

222

?/?._1_F...兀\1

—sin2元—cos2x+1=si∏(2x—)+1,

226

2兀

所以函數(shù)八X）的最小正周期為T=E=九

(2)

TT7ΓTT

當(dāng)2x-----=—+2kπ,Zr∈Z,即X=—■??kπ,kGZ,

623

時(shí)函數(shù)∕ω取得最大值為2,

所以函數(shù)的最大值為2,

取得最大值時(shí)自變量X的取值集合為∣x∣x=→Zτπ,?∈zj.

（3）

TrTT4τrTT5冗

當(dāng)—I-2kτt≤2x—-≤h2〃兀,&∈Z,即Pkτt≤X≤-----Fkit,Z∈Z,

26236

Ji5Tt

所以函數(shù)八X）的單調(diào)遞減區(qū)間為-+kπ,-+kπ,k≡Z.

_36_

22.本市某路口的轉(zhuǎn)彎處受地域限制，設(shè)計(jì)了一條單向雙排直角拐彎車道，平面設(shè)計(jì)如圖所示，每條車道寬

為4米，現(xiàn)有一輛大卡車，在其水平截面圖為矩形ABCD,它的寬AD為2.4米，車廂的左側(cè)直線Co與

中間車道的分界線相交于E、F，記N"E=e.

TT

（1）若大卡車在里側(cè)車道轉(zhuǎn)彎的某一刻，恰好。=一，且A、B也都在中間車道的直線上，直線8也恰

好過(guò)路口邊界。，求此大卡車的車長(zhǎng).

（2）若大卡車在里側(cè)車道轉(zhuǎn)彎時(shí)對(duì)任意。，此車都不越中間車道線，求此大卡車的車長(zhǎng)的最大值.

（3）若某研究性學(xué)習(xí)小組記錄了這兩個(gè)車道在這一路段的平均道路通行密度（輛∕km）,統(tǒng)計(jì)如下:

時(shí)間7:007:157:307:458:00

里側(cè)車道通行密度IlO120110100110

外側(cè)車道通行密度IlO117.5125117.5110

現(xiàn)給出兩種函數(shù)模型：①/（x）=ASinfυx+B（A>0,口>0）

②g（x）=α∣x-4+c,請(qǐng)你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，分別對(duì)兩車道選擇最合適的一種函數(shù)來(lái)描述早七點(diǎn)以后的

平均道路通行密度（單位：Wkm）與時(shí)間X（單位：分）的關(guān)系（其中X為7:00后所經(jīng)過(guò)的時(shí)間，例如7:30

即x=30分），并根據(jù)表中數(shù)據(jù)求出相應(yīng)函數(shù)的解析式.

答案：（1）8--

15

夜一日

(2)8

π

(3)/(x)=IOsin—X+110；g()=--∣%-30∣+125

30x

(1)

作EM垂足為作FTVLON,垂足為N,

TrTI

因?yàn)閆DAE=―,P斤以NMEo=/NOF=/BFO=—,

66

在RtAOE中，EO=2.4Xtan區(qū)=如3，在RtZ?8CR中,"=2=M

兀5

65tan-

6

OE=4=WIOF」~=8

在RtOME中，兀-3，在Rt△<?Nb中，.π

cos—sin—

66

所以Co=OE+OF-EO-CT7=盛+8—述一^^=8—速

35515

442.4

，OFED=2.4tan6,CF=------

CoSeSinetan

4424

所以AB=CO=QE+O/一Eo-C尸=-------1--------2.4tan

cosθsinθtan

4sin^+4cos0-2.4sin20-2.4COS2θ4(Sine+cos9)—2.4

SineCoSeSineCOS6